《自動控制原理與應(yīng)用》課件第2章

第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1控制系統(tǒng)的微分方程

2.2拉普拉斯變換及應(yīng)用2.3傳遞函數(shù)

2.4控制系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖

2.5典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型及階躍響應(yīng)

2.6自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

2.7MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示2.1控制系統(tǒng)的微分方程

建立微分方程的一般步驟是：①分析系統(tǒng)和元件的工作原理，找出各物理量之間所遵循的物理規(guī)律，確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。②一般從系統(tǒng)的輸入端開始，根據(jù)各元件或環(huán)節(jié)所遵循的物理規(guī)律，依次列寫它們的微分方程。③將各元件或環(huán)節(jié)的微分方程聯(lián)立起來，消去中間變量，求取一個僅含有系統(tǒng)的輸入量和輸出量的微分方程，它就是系統(tǒng)的微分方程。

④將該方程整理成標準形式。即把與輸入量有關(guān)的各項放在微分方程的右邊，把與輸出量有關(guān)的各項放在微分方程的左邊，方程兩邊各階導(dǎo)數(shù)按降冪排列，并將方程的系數(shù)化為具有一定物理意義的表示形式，

如時間常數(shù)等。

例1:

建立圖2-1所示電路的微分方程。ur為輸入量，uc為輸出量。

.

解：

由基爾霍夫定律，

列寫方程

聯(lián)立以上各式，

消去中間變量得

將上式進行標準化處理，令T=RC，

則

式中：T稱為該電路的時間常數(shù)。圖2-1

RC無源網(wǎng)絡(luò)

例2：建立圖2-2所示電路的微分方程。ur為輸入量，uc2為輸出量。圖2-2兩級RC無源網(wǎng)絡(luò)

解：由基爾霍夫定律，列寫方程

聯(lián)立以上各式，可得

將上式進行標準化處理，令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2,則

例3：建立圖2-3所示直流電動機的微分方程。ud為輸入量，n為輸出量。

解：直流電動機各物理量之間的基本關(guān)系如下：圖2-3直流電動機運動模型

式中：，為電樞電壓；e為電樞電動勢；id為電樞電流；Rd為電樞電阻；Td為電磁轉(zhuǎn)矩；TL為摩擦和負載轉(zhuǎn)矩；Φ為磁通；KT為電磁常數(shù)；Ke為電動勢常數(shù)；n為轉(zhuǎn)速；J為轉(zhuǎn)動慣量；GD2為飛輪矩。聯(lián)立以上各式得：

式中：τm為電動機的機電時間常數(shù)，；τd為電磁時間常數(shù)，

。

由上式可見，電動機的轉(zhuǎn)速與電動機自身的固有參數(shù)τm、τd有關(guān)，與電動機的電樞電壓ud、負載轉(zhuǎn)矩TL以及負載轉(zhuǎn)矩對時間的變化率有關(guān)。若不考慮電動機負載的影響，則2.2拉普拉斯變換及應(yīng)用2.2.1拉普拉斯變換的定義設(shè)函數(shù)f(t)，t為實變量，s=σ+jω為復(fù)變量，其線性積分：如果存在，就稱其為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換(簡稱拉氏變換)，記作

拉氏變換是一種單值變換。f(t)和F(s)之間具有一一對應(yīng)關(guān)系。通常稱f(t)為原函數(shù)，F(xiàn)(s)為象函數(shù)。由拉氏變換的定義，可從已知的原函數(shù)求取對應(yīng)的象函數(shù)，同樣也可由象函數(shù)求取對應(yīng)的原函數(shù)，表2-1是常用的原函數(shù)與象函數(shù)的對應(yīng)表。表2-1原函數(shù)與象函數(shù)的對應(yīng)表2.2.2拉普拉斯變換的幾個基本定理

1.線性定理如果F1(s)=L［f1(t)］，F(xiàn)2(s)=L［f2(t)］，且a、b均為常數(shù)，則有

L［af1(t)±bf2(t)］=aL［f1(t)］±bL［f2(t)］=aF1(s)±bF2(s)

2.微分定理如果F(s)=L［f(t)］，則有當初始條件為零時，即式中f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)(最高階為n－1階)在t=0時的值都為零，則上式可以寫為

3.積分定理

如果F(s)=L［f(t)］，則有

……

同樣，當式中f(t)及其各重積分在t=0時的值都為零，則上式可以寫為

4.位移定理

如果F(s)=L［f(t)］，則有實數(shù)域中位移定理

L［f(t－τ)］=e－τsF(s)

復(fù)域中的位移定理

L［e－αtf(t)］=F(s－α)

5.終值定理

6.初值定理

2.2.3拉普拉斯反變換

我們將拉普拉斯變換的逆運算

稱為拉氏反變換。

上式為復(fù)變函數(shù)，很難直接計算。該式一般作為拉氏反變換的定義，而在實際應(yīng)用中常采用下面的方法：先將F(s)分解為一些簡單的有理分式函數(shù)之和，這些基本函數(shù)都是前面介紹的典型函數(shù)形式，然后由拉氏變換表查出其反變換函數(shù)，即得到了原函數(shù)。設(shè)F(s)的一般表達式為式中，a1、…、an－1、an以及b0、b1、…、bm－1、bm為實數(shù)系數(shù)，m、n為正，且m<n。

1.A(s)=0無重根其中各項系數(shù)可按下式求得

2.A(s)=0有重根上式中C1、…、Cr－1、Cr為重根之系數(shù)，可按下式求解Cr+1、…、Cn為不重根之系數(shù)，其求解方法與無重根時相同。故

例4

已知F(s)=，求其拉氏反變換。

解：由A(s)=s2+4s+3=0,得

s1=－1，s2=－3

C1=F(s)(s+1)|s=－1=2

C2=F(s)(s+3)|s=－3=－1故

對上式進行拉氏反變換得到

f(t)=2e－t－e－3t

例5

已知，求其拉氏反變換。解:由A(s)=s2(s+2)=0得

s1=s2=0，s3=－2

C1=F(s)s2|s=0=4

C2=［F(s)s2］′|s=0=－2

C3=F(s)(s+2)|s=－2=2故

對上式進行拉氏反變換得到

f(t)=4t2－2+2e－2t

2.2.4控制系統(tǒng)微分方程的求解用拉普拉斯變換求解微分方程的步驟如下：①將微分方程進行拉氏變換，得到以s為變量的變換方程；②解出變換方程，即求出輸出量的拉氏變換表達式；③將輸出量的象函數(shù)展開成部分分式表達式；④對輸出量的部分分式進行拉氏反變換，即可得微分方程的解。

例6

求圖2-1所示電路中的uc。其中ur=1(t)，uc及各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值為零。解：由例1知系統(tǒng)的微分方程為

在零初始條件下，對上式進行拉氏變換得到

TsUc(s)+Uc(s)=Ur(s)由于ur=1(t)的拉氏變換為

，則輸出量的拉氏變換式為將上式展開成部分分式表達式

取拉氏反變換得微分方程的解為

例7

已知系統(tǒng)的微分方程為，y及各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值為零。試求在x=1(t)時系統(tǒng)的輸出y。解：對微分方程進行零初始條件下的拉氏變換

s2Y(s)+2sY(s)+Y(s)=X(s)由于x=1(t)的拉氏變換為,則輸出量的拉氏變換式為將上式展開成部分分式表達式取拉氏反變換，得微分方程的解為

y=1－te－t－e－t

2.3傳遞函數(shù)

2.3.1傳遞函數(shù)的定義設(shè)描述系統(tǒng)或元件的微分方程的一般表示形式為

式中：r(t)為系統(tǒng)的輸入量；c(t)為系統(tǒng)的輸出量；為了便于分析系統(tǒng)，規(guī)定控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，即在t=0-時系統(tǒng)的輸出：

這表明，在外作用加于系統(tǒng)的瞬時(t=0)之前，系統(tǒng)是相對靜止的，被控量及其各階導(dǎo)數(shù)相對于平衡工作點的增量為零。所以，

在初始條件為零時，

對微分方程的一般表示式兩邊進行拉氏變換

即

則有

令 ，稱為系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)，則可得傳遞函數(shù)的定義為：在初始條件為零時，輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。

即

2.3.2傳遞函數(shù)的求取

1．直接計算法對于系統(tǒng)或元件，首先建立描述元件或系統(tǒng)的微分方程式，然后在零初始條件下，對方程式進行拉氏變換，即可按傳遞函數(shù)的定義求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

例8：試求取圖2-3所示直流電動機的轉(zhuǎn)速與輸入電壓之間的傳遞函數(shù)。

解：對求取的直流電動機的微分方程式進行拉氏變換后可得

根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，則其傳遞函數(shù)為

2．阻抗法求取無源網(wǎng)絡(luò)或電子調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)，采用阻抗法較為方便。電路中的電阻、電感、電容元件的復(fù)域模型電路如圖2-4所示。

其傳遞函數(shù)分別為電阻元件

電感元件

電容元件

圖2-4

R、L、C元件的復(fù)域模型

例9：試求圖2-5(a)所示電路的傳遞函數(shù)，uo為輸出量，ui為輸入量。圖2-5RLC串聯(lián)電路

解：圖2-5(a)所示電路的復(fù)域電路如圖2-5(b)所示。由基爾霍夫定律得

經(jīng)整理得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

例10：試求取圖2-6(a)所示電路的傳遞函數(shù)。uo為輸出量，ui為輸入量。圖2-6積分調(diào)節(jié)器

解：圖2-6(a)所示電路的復(fù)域電路如圖2-6(b)所示。由電子技術(shù)知識可得

3．利用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖求取傳遞函數(shù)對于較復(fù)雜的系統(tǒng)，應(yīng)先求出元件的傳遞函數(shù)，再利用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖和框圖運算法則，可方便地求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。該方法將在后面的內(nèi)容中討論。

2.3.3傳遞函數(shù)的性質(zhì)

(1)傳遞函數(shù)是由微分方程變換得來的，它和微分方程之間存在著對應(yīng)的關(guān)系。對于一個確定的系統(tǒng)(輸入量與輸出量也已經(jīng)確定)，它的微分方程是惟一的，所以，其傳遞函數(shù)也是唯一的。

(2)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s(s=σ+jω)的有理分式，s是復(fù)數(shù)，而分式中的各項系數(shù)an，an-1，…，a1，a0及bm，bm－1，…，b1，b0都是實數(shù)，它們是由組成系統(tǒng)的元件結(jié)構(gòu)、參數(shù)決定的，而與輸入量、擾動量等外部因素?zé)o關(guān)。因此傳遞函數(shù)代表了系統(tǒng)的固有特性，是一種用象函數(shù)來描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，稱為系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域模型。

(3)傳遞函數(shù)是一種運算函數(shù)。由G(s)=C(s)/R(s)可得C(s)=G(s)R(s)。此式表明，若已知一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)，則對任何一個輸入量r(t)，只要以R(s)乘以G(s)，即可得到輸出量的象函數(shù)C(s)，再以拉氏反變換，就可得到輸出量c(t)。由此可見，G(s)起著從輸入到輸出的傳遞作用，故名傳遞函數(shù)。

(4)傳遞函數(shù)的分母是它所對應(yīng)的微分方程的特征方程多項式，即傳遞函數(shù)的分母是特征方程ansn+an－1sn－1

+…+a1s+a0=0的等號左邊部分。而以后的分析表明：特征方程的根反映了系統(tǒng)的動態(tài)過程的性質(zhì)，所以由傳遞函數(shù)可以研究系統(tǒng)的動態(tài)特性。特征方程的階次n即為系統(tǒng)的階次。

(5)傳遞函數(shù)的分子多項式的階次總是低于分母多項式的階次，即m≤n。這是由于系統(tǒng)總是含有慣性元件以及受到系統(tǒng)能源的限制的原因。2.4控制系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖

2.4.1動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的組成動態(tài)結(jié)構(gòu)圖一般由信號線、引出點、綜合點和功能框等部分組成。它們的圖形如圖2－7所示。現(xiàn)分別介紹如下：

(1)信號線。信號線表示流通的途徑和方向，用帶箭頭的直線表示。一般在線上標明該信號的拉氏變換式，如圖2-7(a)所示。

(2)引出點。引出點又稱為分離點，如圖2-7(b)所示，它表示信號線由該點取出。從同一信號線上取出的信號，其大小和性質(zhì)完全相同。

(3)綜合點。綜合點又稱為比較點，完成兩個以上信號的加減運算?！?”表示相加；“-”表示相減。通?！?”可省略不寫。如圖2-7(c)所示。

(4)功能框。功能框表示系統(tǒng)或元件，如圖2-7(d)所示。框左邊向內(nèi)的箭頭為輸入量(拉氏變換式)，框右邊向外箭頭為輸出量(拉氏變換式)。框圖為系統(tǒng)中一個相對獨立的單元的傳遞函數(shù)G(s)。它們之間的關(guān)系為C(s)=G(s)R(s)。圖2-7結(jié)構(gòu)圖的基本元素

2.4.2控制系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的建立建立系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的一般步驟是：

(1)列寫系統(tǒng)各元件的微分方程;

(2)對各元件的微分方程進行拉氏變換，求取其傳遞函數(shù)，標明輸入量和輸出量;

(3)按照系統(tǒng)中各量的傳遞順序，依次將各元件的結(jié)構(gòu)圖連接起來，輸入量置于左端，輸出量置于右端，便得到系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。

例11：試繪出圖2-1所示電路的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。解：以ur為輸入量，uc為輸出量。由基爾霍夫定律，列寫方程對以上各式進行拉氏變換得

由上面各式可分別畫出如圖2-8(a)、(b)、(c)所示的結(jié)構(gòu)圖。

圖2-8RC電路結(jié)構(gòu)圖的建立過程

圖2-9RC電路結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)系統(tǒng)中信號的傳遞關(guān)系及方向，可畫出系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖，如圖2-9所示。例12：建立圖2-2所示電路的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。ur為輸入量，uc2為輸出量。

解：由基爾霍夫定律，列寫方程

對以上各式進行拉氏變換得

圖2-10兩級RC電路結(jié)構(gòu)圖的建立過程

2.4.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換及化簡

1.串聯(lián)變換規(guī)則傳遞函數(shù)分別為G1(s)和G2(s)的兩個方框,若G1(s)的輸出量作為G2(s)輸入量,則稱G1(s)和G2(s)串聯(lián),如圖2-11(a)所示。(注意：兩個串聯(lián)的方框所代表的元件之間無負載效應(yīng)。)圖2-11串聯(lián)結(jié)構(gòu)圖的等效變換

由圖2-11(a)有

則

式中:G(s)=G1(s)G2(s)，是串聯(lián)方框的等效傳遞函數(shù)，可用圖2-11(b)所示結(jié)構(gòu)圖表示。由此可知，當系統(tǒng)中有兩個(或兩個以上)環(huán)節(jié)串聯(lián)時，其等效傳遞函數(shù)為各串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積。這個結(jié)論可推廣到n個串聯(lián)連接的方框。

2.并聯(lián)變換規(guī)則傳遞函數(shù)分別為G1(s)和G2(s)的兩個方框,若它們有相同的輸入量，而輸出量等于兩個方框輸出量的代數(shù)和時，則G1(s)和G2(s)為并聯(lián)連接,如圖2-12(a)所示。由圖2-12(a)有

則

式中：G(s)=G1(s)±G2(s)，是并聯(lián)方框的等效傳遞函數(shù)，可用圖2-12(b)所示結(jié)構(gòu)圖表示。由此可知，當系統(tǒng)中兩個(或兩個以上)環(huán)節(jié)并聯(lián)時，其等效傳遞函數(shù)為各并聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的代數(shù)和。這個結(jié)論可推廣到n個并聯(lián)連接的方框。圖2-12并聯(lián)結(jié)構(gòu)圖的等效變換

3.反饋聯(lián)接變換規(guī)則若傳遞函數(shù)分別為G(s)和H(s)的兩個方框,如圖2-13(a)所示形式連接，則稱為反饋連接?！?”為正反饋，表示輸入信號與反饋信號相加；“－”為負反饋，表示輸入信號與反饋信號相減。由圖2-13(a)有

圖2-13反饋結(jié)構(gòu)圖的等效變換

則

或

式中：G(s)為前向通道傳遞函數(shù);H(s)為反饋通道傳遞函數(shù);Φ(s)為反饋聯(lián)接的等效傳遞函數(shù)，一般稱它為閉環(huán)傳遞函數(shù)。式中分母中的加號，對應(yīng)于負反饋，減號對應(yīng)于正反饋。

4.引出點和比較點的移動規(guī)則移動規(guī)則的出發(fā)點是等效原則，即移動前后的輸入量和輸出量保持不變。

1)引出點的移動①

引出點的前移,如圖2-14所示。

圖2-14引出點前移(a)移動前；

(b)

移動后

②

引出點的后移，

如圖2-15所示。

圖2-15引出點后移(a)移動前；(b)移動后③

相鄰引出點之間互移，如圖2-16所示。相鄰的引出點之間互移引出量不變。

圖2-16引出點之前的移動(a)移動前；

(b)移動后

2)綜合點的移動①

綜合點的前移，

如圖2-17所示。

圖2-17綜合點前移(a)移動前；

(b)

移動后

②

綜合點的后移，

如圖2-18所示。

圖2-18綜合點后移(a)移動前；

(b)

移動后

③

綜合點之間的互移，

如圖2-19所示。

相鄰的綜合點之間可以互移。

圖2-19綜合點之前的移動(a)移動前；

(b)移動后

5.等效單位反饋若系統(tǒng)為反饋系統(tǒng)，可通過等效變換將其轉(zhuǎn)換為單位反饋系統(tǒng)，

如圖2-20所示。

圖2-20等效單位反饋

例13：用結(jié)構(gòu)圖的等效變換，求圖2-21(a)所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 。

解：由于此系統(tǒng)有相互交叉的回路，所以先要通過引出點或綜合點的移動來消除相互交叉的回路，然后再應(yīng)用串、并聯(lián)和反饋連接等變換規(guī)則求取其等效傳遞函數(shù)?；嗊^程如圖2-21(b)、(c)、(d)所示。圖2-21交叉多回路系統(tǒng)的化簡

例14：用結(jié)構(gòu)圖的等效變換，求圖2-22(a)所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 。

解：化簡過程如圖2-22(b)、(c)、(d)、(e)、(f)所示。圖2-22交叉多回路系統(tǒng)的化簡

2.4.4用公式法求傳遞函數(shù)應(yīng)用梅遜公式可直接寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，這里只給出公式，不作證明。梅遜公式的一般表示形式為

式中：Φ(s)為系統(tǒng)等效傳遞函數(shù)；Δ為特征式，有

∑La為系統(tǒng)中所有回路的回路傳遞函數(shù)之和；

∑LaLb為系統(tǒng)中所有兩個互不接觸回路的回路傳遞函數(shù)乘積之和；∑LaLbLc為系統(tǒng)中所有三個互不接觸的回路傳遞函數(shù)乘積之和；Pk是從輸入端至輸出端的第k條前向通路的傳遞函數(shù)；Δk是與第k條前向通路不接觸部分的Δ值，稱為第k條前向通路的余因子。回路傳遞函數(shù)是指反饋回路的前向通路和反饋通路的傳遞函數(shù)的乘積，并包含代表反饋極性的正、負號。例15：利用梅遜公式求圖2-23所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

圖2-23系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解：由圖2-23可知，系統(tǒng)前向通路有兩條，k=2。各前向通路傳遞函數(shù)分別為系統(tǒng)有5個反饋回路，各回路的傳遞函數(shù)分別為：

所以

系統(tǒng)的所有回路都相互接觸，故特征式為

兩條前向通路均與所有回路有接觸，

故其余子式為

由梅遜公式得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

例16：利用梅遜公式求圖2-21所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

解：從圖2-21可以看出，系統(tǒng)前向通路有一條，其前向通路的傳遞函數(shù)為

反饋回路有3個，各回路的傳遞函數(shù)分別為：

所以

而且，

回路Ⅰ與Ⅲ互不接觸，所以

其特征式為

兩個回路均與前向通道P1接觸，故其余子式為

由梅遜公式得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

2.5典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型及階躍響應(yīng)

2.5.1典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型

1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的特點是輸出量與輸入量成正比，

無失真和延時，

其微分方程為

比例環(huán)節(jié)是自動控制系統(tǒng)中遇到的最多的一種典型環(huán)節(jié)。例如電子放大器、杠桿機構(gòu)、永磁式發(fā)電機、電位器等，如圖2-24所示。

圖2-24比例環(huán)節(jié)實例

2.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的特點是輸出量為輸入量的積分，當輸入量消失后，輸出量具有記憶功能。其微分方程為

式中：T為積分時間常數(shù)。積分環(huán)節(jié)的特點是它的輸出量為輸入量對時間的積累。因此，凡是輸出量對輸入量有儲存和積累特點的元件一般都含有積分環(huán)節(jié)。如電容的電量與電流等。積分環(huán)節(jié)也是自動控制系統(tǒng)中遇到最多的環(huán)節(jié)之一。圖2-25所示為積分環(huán)節(jié)的例子。

圖2-25積分環(huán)節(jié)實例

3.理想微分環(huán)節(jié)

微分環(huán)節(jié)的特點是輸出量是輸入量的微分，輸出量能預(yù)示輸入量的變化趨勢。理想微分環(huán)節(jié)的微分方程為

式中：τ為微分時間常數(shù)。理想微分環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量之間的關(guān)系恰好與積分環(huán)節(jié)相反，傳遞函數(shù)互為倒數(shù)，因此，積分環(huán)節(jié)(如圖2-25所示)的實例的逆過程就是理想微分。如電感元件的電流與電壓之間的關(guān)系即為一理想微分環(huán)節(jié)。

4.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)含有一個儲能元件，因而對輸入量不能立即響應(yīng)，但輸出量不發(fā)生振蕩現(xiàn)象。其微分方程為

式中：T為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。

慣性環(huán)節(jié)實例1：電阻、電容電路(RC網(wǎng)絡(luò))，如圖2-26所示。

由基爾霍夫定律可得電路的微分方程為

則

式中：τ=RC。

圖2-26RC無源網(wǎng)絡(luò)

圖2-27慣性調(diào)節(jié)器

因運算放大器的開環(huán)增益很大，輸入阻抗很高，所以

于是有

經(jīng)整理得

式中：，

慣性環(huán)節(jié)實例3：彈簧—阻尼系統(tǒng),如圖2-28所示。其中阻尼力 ，

式中B為粘性阻尼系數(shù)。

圖2-28彈簧—阻尼系統(tǒng)分析系統(tǒng)所遵循的物理規(guī)律，得出系統(tǒng)的彈簧力為

由于系統(tǒng)的阻尼力與彈簧力兩力相等，即f1=f2，于是有

經(jīng)整理得

式中：

，k為彈性系數(shù)。

5.比例微分環(huán)節(jié)比例微分環(huán)節(jié)又稱為一階微分環(huán)節(jié)，

其微分方程為

式中，τ為微分時間常數(shù)。

如圖2-29所示為一比例微分調(diào)節(jié)器。

圖2-29比例微分調(diào)節(jié)器

由系統(tǒng)所遵循的物理規(guī)律，可列寫出其微分方程為

于是有

經(jīng)整理得

6．振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)包含兩個儲能元件，能量在兩個元件之間相互轉(zhuǎn)換，因而其輸出出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象。其微分方程為：

直流電動機的數(shù)學(xué)模型就是一個振蕩環(huán)節(jié)，我們在前面已經(jīng)作過介紹。在如圖2-30所示的RLC串聯(lián)電路中，其輸入電壓為ur，輸出電壓為uc。圖2-30

RLC串聯(lián)電路由基爾霍夫定律有

整理成標準形式后，

其微分方程為

7.延遲環(huán)節(jié)

延遲環(huán)節(jié)也是一個線性環(huán)節(jié)，其特點是輸出量在延遲一定的時間后復(fù)現(xiàn)輸入量。其微分關(guān)系為

式中：τ0為延遲時間。

如在晶閘管整流電路中，當控制角由α1變到α2時，若晶閘管已導(dǎo)通，則要等到下一個自然換相點以后才起作用。這樣，晶閘管整流電路的輸出電壓較控制電壓的改變延遲了一段時間。若延遲時間為τ0，觸發(fā)整流電路的輸入電壓為ui(t)，整流器的輸出電壓為uo(t)，則2.5.2典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及階躍響應(yīng)

1.比例環(huán)節(jié)

1)

微分方程

2)傳遞函數(shù)為：

其功能框如圖2-31(a)所示。

3)動態(tài)響應(yīng)當r(t)=1(t)時，c(t)=K1(t)，表明比例環(huán)節(jié)能立即成比例地響應(yīng)輸入量的變化。比例環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)曲線如圖2-31(b)所示。圖2-31比例環(huán)節(jié)2.積分環(huán)節(jié)1)

微分方程

式中：T為積分時間常數(shù)。

2)

傳遞函數(shù)

其功能框圖如圖2-32(a)所示。

圖2-32積分環(huán)節(jié)(a)功能框圖；

(b)階躍響應(yīng)

3)動態(tài)響應(yīng)若r(t)=1(t)時，R(s)=1/s，則所以

其階躍響應(yīng)曲線如圖2-32(b)所示。由圖可見，輸出量隨著時間的增長而不斷增加，

增長的斜率為1/T。

3.理想微分環(huán)節(jié)1)

微分方程

式中：τ為微分時間常數(shù)。

2)傳遞函數(shù)為

其功能框如圖2-33(a)所示。

圖2-33微分環(huán)節(jié)(a)功能框圖；

(b)

階躍響應(yīng)

3)動態(tài)響應(yīng)若r(t)=1(t)時，R(s)=1/s，則所以

δ(t)為單位脈沖函數(shù),其階躍響應(yīng)曲線如圖2-33(b)所示。

4.慣性環(huán)節(jié)1)

微分方程

2)

傳遞函數(shù)

其功能框圖如圖2-34(a)所示。

圖2-34慣性環(huán)節(jié)(a)功能框圖；

(b)階躍響應(yīng)

3)動態(tài)響應(yīng)若r(t)=1(t)時，R(s)=1/s，

則

所以

慣性環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)曲線如圖2-34(b)所示。由圖可見，當輸入信號發(fā)生突變時，輸出量不能突變，只能按指數(shù)規(guī)律逐漸變化，這就反映了該環(huán)節(jié)具有慣性。

5.比例微分環(huán)節(jié)1)

微分方程

2)

傳遞函數(shù)

式中：τ為微分時間常數(shù)。比例微分環(huán)節(jié)的功能框圖如圖2-35(a)所示。

圖2-35比例微分環(huán)節(jié)(a)功能框圖；

(b)階躍響應(yīng)

3)動態(tài)響應(yīng)比例微分環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)為比例與微分環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)的疊加，如圖2-35(b)所示。

6.振蕩環(huán)節(jié)1)

微分方程

2)

傳遞函數(shù)

式中：ωn=1/T，稱為無阻尼自然振蕩頻率；ξ稱為阻尼系數(shù)。振蕩環(huán)節(jié)的功能框圖如圖2-36(a)

所示。

圖2-36振蕩環(huán)節(jié)(a)功能框圖；

(b)階躍響應(yīng)

3)動態(tài)響應(yīng)

當ξ=0時，c(t)為等幅振蕩,其振蕩頻率為ωn。ωn稱為無阻尼自然振蕩頻率。當0<ξ<1時，c(t)為減幅振蕩，其振蕩頻率為ωd。ωd

稱為阻尼振蕩頻率。式中：，。其階躍響應(yīng)，曲線如圖2-36(b)所示。

7.延遲環(huán)節(jié)

1)

微分方程

式中：τ0為延遲時間。

2)傳遞函數(shù)由拉氏變換轉(zhuǎn)換可得

若將按泰勒級數(shù)展開，

則

由于τ0很小，所以可只取前兩項，，

于是有

3)動態(tài)響應(yīng)延遲環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)如圖2-37(b)所示。

圖2-37延遲環(huán)節(jié)(a)功能框圖；

(b)階躍響應(yīng)

2.6自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

自動控制系統(tǒng)的典型框圖如圖2-38所示。系統(tǒng)的輸入量包括給定信號和干擾信號。對于線性系統(tǒng)，可以分別求出給定信號和干擾信號單獨作用下系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。當兩信號同時作用于系統(tǒng)時，可以應(yīng)用疊加原理，求出系統(tǒng)的輸出量。為了便于分析系統(tǒng)，下面我們給出系統(tǒng)的幾種傳遞函數(shù)表示法。

圖2-38自動控制系統(tǒng)的一般形式

1.閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)我們定義閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

注意:G0(s)為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),這里是指斷開主反饋通路(開環(huán))而得到的傳遞函數(shù)，而不是開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

2.系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

1)在輸入量R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)和系統(tǒng)的輸出若僅考慮輸入量R(s)作用，則可暫略去擾動量D(s)。則由圖2-38可得輸出量C(s)對輸入量的閉環(huán)傳遞函數(shù)GR(s)為此時系統(tǒng)的輸出量CR(s)為

2)在擾動量D(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)和系統(tǒng)的輸出若僅考慮擾動量D(s)作用，則可暫略去輸入信號R(s)。圖2-38可化簡為如圖2-39所示的形式。因此，得輸出量C(s)對輸入量的閉環(huán)傳遞函數(shù)GD(s)為此時系統(tǒng)的輸出量CD(s)為

圖2-39擾動量作用時的框圖(a)僅考慮擾動量作用時的一般形式；(b)僅考慮擾動量作用時的等效框圖

3)在R(s)和D(s)共同作用下，系統(tǒng)的總輸出設(shè)此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，因此可以應(yīng)用疊加定理：即當輸入量和擾動量同時作用時，系統(tǒng)的輸出可看成兩個作用量分別作用的疊加。于是有

3.閉環(huán)控制系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)在對自動控制系統(tǒng)的分析中，除了要了解輸出量的變化規(guī)律外，還要關(guān)心誤差的變化規(guī)律?？刂普`差的大小，也就達到了控制系統(tǒng)的精度的目的，而偏差與誤差之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系，因此通過偏差可達到分析誤差的目的。我們暫且規(guī)定，系統(tǒng)的偏差e(t)為被控量c(t)的測量信號b(t)和給定信號r(t)之差，即則

圖2-40閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)的一般形式

1)只有輸入量R(s)作用下的偏差傳遞函數(shù)若求輸入量R(s)作用下的偏差傳遞函數(shù)，則可暫略去擾動量D(s)的影響。如圖2-41所示為在輸入量R(s)作用下偏差的結(jié)構(gòu)圖。所以有

圖2-41僅考慮輸入量時的偏差傳遞函數(shù)框圖

2)只有擾動量D(s)作用下的偏差傳遞函數(shù)若求在擾動量D(s)作用下的偏差傳遞函數(shù)，同理，可暫略去輸入量R(s)的影響,如圖2-42所示。所以

圖2-42僅考慮擾動量作用時的誤差傳遞函數(shù)框圖(a)僅考慮擾動量作用時的框圖；(b)僅考慮擾動量作用時的等效框圖

3)R(s)和D(s)同時作用下的偏差若在R(s)和D(s)同時作用下，則其偏差就為兩者偏差之和，即

2.7MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示在進行控制系統(tǒng)分析之前，首先要建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。MATLAB命令中可以建立三種控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型：傳遞函數(shù)模型（TF模型）、零點模型（ZPK模型）和狀態(tài)模型（SS模型）。各模型之間要以由轉(zhuǎn)換函數(shù)相互轉(zhuǎn)換，以滿足不同的使用需求。對結(jié)構(gòu)圖表示的系統(tǒng)可以用反饋函數(shù)、并聯(lián)函數(shù)、串聯(lián)函數(shù)實現(xiàn)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立。2.7.1傳遞函數(shù)模型（FT模型）線性定?？刂葡到y(tǒng)的傳遞函數(shù)一般可表示為式中,ai和bj均為常數(shù)。在MATLAB中可以用分子、分母系數(shù)向量num、den來表示傳遞函數(shù)G(s)，實現(xiàn)函數(shù)為tf（），其調(diào)用格式如下：

num=［b0，b1，…，bm－1，bm］

den=［a0，a1，…，an－1，an］

sys=tf(num，den)注意：構(gòu)成分子、分母的向量應(yīng)按降冪排列，缺項部分用0補齊。

例17

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試用MATLAB中語句建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。

解：MATLAB程序如下：

%example17

num=［1，2，3］；

den=［2，3，2，1］；

sys=tf(num，den)執(zhí)行結(jié)果：

Transferfunction：

s^2+2s+3

--------------------------

2s^3+3s^2+2s+

例18

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試在MATLAB中生成系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。

解：MATLAB程序如下：

%example18

num=［10，10］；

den=conv(［1，0，0］，conv(［1，3］，［1，6，10］))；

sys=tf(num，den)執(zhí)行結(jié)果：

Transferfunction：

10s+10

-------------------------------------

s^5+9s^4+28s^3+30s^22.7.2控制系統(tǒng)的零極點模型（ZPK模型）控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達式可表示為零極點形式：式中,Kg為根軌跡增益;zi（i=0，1，…，m）為系統(tǒng)的m零點;pj（j=0，1，…，n）為系統(tǒng)的n極點。在MATLAB中可以用Kg、zi、pj來表示傳遞函數(shù)G(s)，實現(xiàn)函數(shù)為zpk（），其調(diào)用格式如下：

sys=zpk(z，p，k)

例19

已知系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為試用MATLAB語句建立系統(tǒng)的零極點模型。

解：MATLAB程序如下：

%example19

num=［2，18，40］；

den=［1，6，11，6］；

%傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零極點模型［z，p，k］=tf2zp(num，den)；

sys=zpk(z，p，k)執(zhí)行結(jié)果：

Zero/pole/gain：

2(s+5)(s+4)

---------------------

(s+3)(s+2)(s+1)上題也可以用下面程序（執(zhí)行結(jié)果同上）：

%example2-19

num=［2，18，40］；

den=［1，6，11，6］；

%傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零極點模型

sys=tf(num，den)；

syszpk=zpk(sys)2.7.3傳遞函數(shù)的特征根及零極點圖

1.特征根函數(shù)roots（）特征方程的根是