專題16空間向量及其應(yīng)用(講義)（原卷版）

專題16空間向量及其應(yīng)用(講義)1.空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共面向量平行于同一個平面的向量2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個基底.3.空間向量的數(shù)量積(1)兩向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.(2)兩向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(3)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)))5.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量.在空間求平面的法向量的方法：（1）直接法：找一條與平面垂直的直線，求該直線的方向向量。（2）待定系數(shù)法：建立空間直接坐標(biāo)系①設(shè)平面的法向量為②在平面內(nèi)找兩個不共線的向量和③建立方程組：④解方程組，取其中的一組解即可。6.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2l1∥l2u1∥u2?u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2?u1·u2＝0直線l的方向向量為u，平面α的法向量為nl∥αu⊥n?u·n＝0l⊥αu∥n?u＝λn平面α，β的法向量分別為n1，n2α∥βn1∥n2?n1＝λn2α⊥βn1⊥n2?n1·n2＝0常用結(jié)論：1.在平面中A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).2.在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間任意一點(diǎn).3.向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不滿足結(jié)合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.4.在利用eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))證明MN∥平面ABC時，必須說明M點(diǎn)或N點(diǎn)不在平面ABC內(nèi).7.計算角與距離1.求兩點(diǎn)間的距離公式：若，，則，或．2.求兩異面直線所成的角 已知兩異面直線，，則異面直線所成的角為：3.求直線和平面所成的角已知A,B為直線上任意兩點(diǎn)，為平面的法向量，則和平面所成的角為:（1）當(dāng)時（2）當(dāng)時4.求二面角（1）已知二面角，且，則二面角的平面角的大小為：（2）已知二面角分別為面的法向量，則二面角的平面角的大小與兩個法向量所成的角相等或互補(bǔ)。即注:如何判斷二面角的平面角和法向量所成的角的關(guān)系。(1)通過觀察二面角銳角還是鈍角,再由法向量的成的角求之。(2)通過觀察法向量的方向,判斷法向量所成的角與二面角的平面角相等還是互補(bǔ)。5.求兩條異面直線的距離已知兩條異面直線,是與兩直線都垂直的向量,則兩條異面直線的距離6.求點(diǎn)到面的距離已知平面和點(diǎn)A,B且,為平面的法向量,則點(diǎn)A到平面的距離一、單選題1．下列說法正確的是（

）A．任一空間向量與它的相反向量都不相等B．將空間向量所有的單位向量平移到同一起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個圓C．同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小D．不相等的兩個空間向量的模必不相等2．已知三棱柱，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．3．下面關(guān)于空間向量的說法正確的是（

）.A．若向量，平行，則，所在直線平行B．若向量，所在直線是異面直線，則，不共面C．若，，，四點(diǎn)不共面，則向量，不共面D．若，，，四點(diǎn)不共面，則向量，，不共面4．若：，，是三個非零向量；：，，為空間的一個基底，則p是q的

（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．有下列說法:①若，則與，共面；②若與，共面，則=x+y；③若=x+y，則P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，則=x+y.其中正確的是（

）A．①②③④B．①③④C．①③D．②④6．已知，，則在上的投影向量為（

）A．1 B． C． D．7．設(shè)，向量，，，且，，則的值為（

）A．1 B．1 C．2 D．38．在空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在線段OA上，且，N為BC的中點(diǎn)，則等于（

）A． B．C． D．9．設(shè)α，β是不重合的兩個平面，α，β的法向量分別為，l和m是不重合的兩條直線，l，m的方向向量分別為，那么αβ的一個充分條件是（

）A．l?α，m?β，且 B．l?α，m?β，且C．，且 D．，且10．下列命題中，正確命題的個數(shù)為（

）①若分別是平面α，β的法向量，則?α∥β；②若分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?；③若是平面α的法向量，是直線l的方向向量，若l與平面α平行，則；④若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面不垂直．A．1 B．2 C．3 D．411．下列四個命題中，正確命題的個數(shù)是（

）①若是空間的一個基底，則對任意一個空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使得；②若兩條不同直線l，m的方向向量分別是，，則l∥m；③若是空間的一個基底，且，則A，B，C，D四點(diǎn)共面；④若兩個不同平面α，β的法向量分別是，且，，則α∥β．A．1 B．2 C．3 D．412．在正三棱柱中，若，則與所成的角的大小是（

）A． B． C． D．13．已知平面的法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為，則＝()A．－1 B．－11C．－1或－11 D．－2114．已知四邊形ABCD為正方形，P為平面ABCD外一點(diǎn)，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角PADC為60°，則P到AB的距離是（

）A．2 B．C．2 D．15．如圖，在圓錐中，，為底面圓的兩條直徑，，且，，，異面直線與所成角的正切值為（

）A． B． C． D．16．已知二面角的大小為，和是兩條異面直線，且，則與所成的角的大小為（

）A． B． C． D．17．平行六面體（底面是平行四邊形的棱柱）中，，，，則（

）A．1 B． C．2 D．418．已知四面體中，，，兩兩垂直，，與平面所成角的正切值為，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．19．正四面體的棱長為1，點(diǎn)是該正四面體內(nèi)切球球面上的動點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時，點(diǎn)到的距離為（

）A． B． C． D．20．如圖，直三棱柱中，側(cè)棱長為，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是側(cè)面（含邊界）上的動點(diǎn).要使平面，則線段的長的最大值為A． B． C． D．21．將邊長為1的正方形沿對角線翻折，使得二面角的平面角的大小為，若點(diǎn),分別是線段和上的動點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．22．如圖，在棱長為2的正四面體ABCD中，點(diǎn)N，M分別為和的重心，P為線段CM上一點(diǎn)．（

）A．的最小為2B．若DP⊥平面ABC，則C．若DP⊥平面ABC，則三棱錐P－ABC外接球的表面積為D．若F為線段EN的中點(diǎn)，且，則二、填空題23．若為空間的一個基底，則下列各組向量中一定能構(gòu)成空間的一個基底的是______．（填序號）①，，；

②，，；③，，；

④，，．24．已知，，，．若，則實(shí)數(shù)k的值為______．25．在平形六面體，其中，，，，，則的長為____________26．正四棱柱中，與平面所成角的正弦值為，則異面直線與所成角的余弦值為______________．27．如圖，在棱長為4的正方體中，M是棱上的動點(diǎn)，N是棱的中點(diǎn).當(dāng)平面與底面所成的銳二面角最小時，___________.28．如圖所示，在四棱錐PABCD中，，且，若，，則二面角APBC的余弦值為______．29．二面角為，A，B是棱l上的兩點(diǎn)，，分別在半平面內(nèi)，，，且，，則的長_______________.30．如圖所示，在四棱錐PABCD中，若平面平面ABCD，側(cè)面PAD是邊長為的正三角形，底面ABCD是矩形，，點(diǎn)Q是PD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是______．（填序號）①平面PAD；②PC與平面AQC所成角的余弦值為；③三棱錐BACQ的體積為；④四棱錐QABCD外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為．三、解答題31．在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，分別是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．32．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.33．如圖，在三棱柱，，，，.(1)證明：⊥平面；(2)若，求二面角的正弦值.34．如圖，內(nèi)接于，AB為的直徑，，，，且平面ABC，E為AD的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面ABD；(2)求異面直線BE與AC所成的角的余弦值；(3)求點(diǎn)A到平面BCE的距離．35．四棱錐中，平面平面，，，，，，，是中點(diǎn)．(1)求平面與平面夾角的余弦值；(2)在側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．36．如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M是線段EF的中點(diǎn)．(1)求證：平面BDE，并求直線AM和平面BDE的距離；(2)求二面角的大小；(3)試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使PF與BC所成的角是60°．3