數(shù)學分析華東師大第四級數(shù)的收斂性

數(shù)學分析華東師大第四級數(shù)的收斂性對于有限個實數(shù)u1,u2,…,un相加后還是一個實數(shù),這是在中學就知道的結(jié)果,那么“無限個實數(shù)相加”會有什么結(jié)果呢？請看下面的幾個例子.如在第二章提到《莊子·天下篇》“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”的例中,將每天截下那一部分的長度“加”起來是:第1頁/共24頁由于前n項相加的和是,可以推測這“無限個數(shù)相加”的結(jié)果應該是1.又如下面由“無限個數(shù)相加”的表達式中,如果將其寫作結(jié)果肯定是0,而寫作第2頁/共24頁則結(jié)果是1.兩個結(jié)果的不同向我們提出了兩個基本問題:“無限個數(shù)相加”是否存在“和”;如果存在,“和”等于什么?由此可見,“無限個數(shù)相加”不能簡單地與有限個數(shù)相加作簡單的類比,需要建立新的理論.定義1給定一個數(shù)列{un},將其各項依次用“+”號連接起來的表達式第3頁/共24頁稱為數(shù)項級數(shù)或無窮級數(shù)(也常簡稱級數(shù)),其中un稱為數(shù)項級數(shù)(1)的通項或一般項.數(shù)項級數(shù)(1)也常記為.在不致誤解時可簡記為數(shù)項級數(shù)(1)的前n項之和記為稱為數(shù)項級數(shù)(1)的第n個部分和,也簡稱部分和.定義2若數(shù)項級數(shù)(1)的部分和數(shù)列收斂于S第4頁/共24頁(即),則稱數(shù)項級數(shù)(1)收斂,S稱為數(shù)項級數(shù)(1)的和,記作例1討論等比級數(shù)(也稱幾何級數(shù))的收斂性(a≠0).若是發(fā)散數(shù)列,則稱數(shù)項級數(shù)(1)發(fā)散.第5頁/共24頁解q≠1時,級數(shù)(3)的第n個部分和為因此此時級數(shù)(3)收斂,其和為第6頁/共24頁綜合起來得到:級數(shù)(3)發(fā)散.例2討論數(shù)項級數(shù)的收斂性.第7頁/共24頁解級數(shù)(4)的第n個部分和為由于第8頁/共24頁因此級數(shù)(4)收斂,且其和為1.注由于級數(shù)(1)的收斂或發(fā)散(簡稱斂散性),是由它的部分和數(shù)列來確定,因而也可把級數(shù)(1)作為數(shù)列的另一種表現(xiàn)形式.反之,任給一個數(shù)列,如果把它看作某一數(shù)項級數(shù)的部分和數(shù)列,則這個數(shù)項級數(shù)就是這時數(shù)列與級數(shù)(5)具有相同的斂散性,且當收斂時,其極限值就是級數(shù)(5)的和.第9頁/共24頁基于級數(shù)與數(shù)列的這種關(guān)系,讀者不難根據(jù)數(shù)列極限的性質(zhì)得出下面有關(guān)級數(shù)的定理.定理12.1(級數(shù)收斂的柯西準則)級數(shù)(1)收斂的充要條件是:任給正數(shù)使得當以及對任意的正整數(shù)p都有根據(jù)定理12.1以及數(shù)列發(fā)散的充要條件,可以立刻寫出級數(shù)(1)發(fā)散的充要條件是:對第10頁/共24頁任何正整數(shù)N,總存在正整數(shù)m0(>N)和p0,有由定理12.1立即可得如下推論.推論(級數(shù)收斂的必要條件)若級數(shù)(1)收斂,則注推論是級數(shù)收斂的一個必要條件:一般項不趨于第11頁/共24頁零,級數(shù)一定發(fā)散,但一般項趨于零,則級數(shù)未必收斂,因此用來判斷級數(shù)發(fā)散很有效.如級數(shù)例3討論調(diào)和級數(shù)的斂散性.解這里一般項,不能利用推論判斷級數(shù)的斂散性.因為一般項un=()n-1不趨于零,所以發(fā)散.第12頁/共24頁若令p=m,則有故取第13頁/共24頁對任何正整數(shù)N只要m>N和p=m就有(7)式成立,因此調(diào)和級數(shù)發(fā)散.例4判斷級數(shù)的斂散性.解因為所以由級數(shù)收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散.第14頁/共24頁例5運用級數(shù)收斂的柯西準則證明級數(shù)收斂.證由于第15頁/共24頁因此,當m>N及任意正整數(shù)p,由上式可得收斂.注級數(shù)的收斂性已由例5的證明過程所第16頁/共24頁顯示.定理12.2則對任意常數(shù)c,d,亦收斂,且根據(jù)級數(shù)收斂的柯西準則,級數(shù)的收斂與否與第17頁/共24頁級數(shù)前面有限項的取值無關(guān).從而可得到以下定理.定理12.3去掉、增加或改變級數(shù)的有限項并不改變級數(shù)的斂散性.注去掉、增加或改變級數(shù)的有限項雖不改變該級數(shù)的斂散性,但在收斂時,其和一般還是要變的.由定理12.3知,其和為S,則級數(shù)第n個余項(簡稱余項),它表示以部分和Sn代替S第18頁/共24頁時所產(chǎn)生的誤差.定理12.4在收斂級數(shù)的項中任意加括號,既不改變級數(shù)的收斂性,也不改變它的和.證設括號后的級數(shù)收斂,且其和也是第19頁/共24頁注從級數(shù)加括號后的收斂,不能推斷它在未加括號于是,若為收斂級數(shù)的部分和數(shù)列,則級數(shù)時也收斂.例如收斂,但級數(shù)卻是發(fā)散的.第20頁/共24頁*例6證明級數(shù)收斂,并求其和.證令,若