專題02 一元二次函數(shù)、方程和不等式（知識(shí)梳理+考點(diǎn)精講精練+實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練）（含答案解析）

專題02一元二次函數(shù)、方程和不等式目錄TOC\o"1-2"\h\u明晰學(xué)考要求 1基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1考點(diǎn)精講講練 4考點(diǎn)一：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì) 4考點(diǎn)二：基本不等式 6考點(diǎn)三：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式 9實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練 13明晰學(xué)考要求1、理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)；2、掌握基本不等式（）；3、能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大值或最小值的問題4、會(huì)結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù)，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系；5、了解一元二次不等式的意義，會(huì)求一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；基礎(chǔ)知識(shí)梳理1、不等式的概念在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“”“”“”“”“”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系.含有這些不等號(hào)的式子，叫做不等式.自然語言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于符號(hào)語言2、實(shí)數(shù)大小的比較1、如果是正數(shù)，那么；如果等于，那么；如果是負(fù)數(shù)，那么，反過來也對(duì).2、作差法比大?。孩?；②；③3、不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對(duì)稱性（等價(jià)于）傳遞性（推出）可加性（等價(jià)于可乘性注意的符號(hào)（涉及分類討論的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性，同為正數(shù)4、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）①如果，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．②其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．5、兩個(gè)重要的不等式①（）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．②（）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．6、利用基本不等式求最值①已知，是正數(shù)，如果積等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和有最小值；②已知，是正數(shù)，如果和等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，積有最大值；7、二次函數(shù)（1）形式：形如的函數(shù)叫做二次函數(shù).（2）特點(diǎn)：①函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程的實(shí)根.②當(dāng)且()時(shí)，恒有()；當(dāng)且()時(shí)，恒有().8、一元二次不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.9.或型不等式的解集不等式解集10、一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根有兩相異實(shí)數(shù)根，()有兩相等實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集考點(diǎn)精講講練考點(diǎn)一：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【典型例題】例題1．（2024北京）已知，則下面不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小【分析】由不等式的性質(zhì)及特例逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于ABD:取，滿足，顯然和，都不成立；對(duì)于C：由可得，故成立.故選：C例題2．（2024福建）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷AB，舉反例判斷CD．【詳解】因?yàn)椋?，A正確；，因此，B錯(cuò)；時(shí)，，但，，CD錯(cuò)；故選：A．例題3．（2024湖北）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.能夠表示這一事實(shí)的不等式是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】根據(jù)題意建立不等關(guān)系即可.【詳解】由題意可知糖水原濃度為，加糖之后的濃度為，則有.故選：C【即時(shí)演練】1．已知四個(gè)實(shí)數(shù)．當(dāng)時(shí)，這四個(gè)實(shí)數(shù)中的最大者是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合作差法比較大小.【詳解】由，得，則；，則；，則，所以這四個(gè)實(shí)數(shù)中的最大者是.故選：C2．（多選）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，下列命題錯(cuò)誤的有（

）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)可判斷.【詳解】A選項(xiàng)：，若，則，選項(xiàng)錯(cuò)誤;B選項(xiàng)：,，設(shè)，，，，則，選項(xiàng)錯(cuò)誤;C選項(xiàng)：若，則，選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，設(shè)a=2，，則，選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD.3．設(shè)，，則有．（請(qǐng)?zhí)睢啊?、“”、“”，“”，“”）【答案?lt;【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】利用作差法以及完全平方數(shù)比較即可求解．【詳解】因?yàn)椋?，所以，故．故答案為?lt;．考點(diǎn)二：基本不等式【典型例題】例題1．（2023廣西）如圖，是半圓O的直徑，點(diǎn)C是直徑上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作的垂線，交弧于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)、、．設(shè)，，比較線段與的長(zhǎng)度，得出結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】由基本不等式比較大小【分析】根據(jù)幾何關(guān)系表示和，即可比較大小.【詳解】因?yàn)槭菆A的半徑，所以，因?yàn)槭菆A的直徑，所以，則，即，即，所以，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，否則，即，所以.故選：B例題2．（2024天津）已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題【分析】分析可知：原題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立，則，原題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，可得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.例題3．（2024云南）已知，則的最小值是.【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)基本不等式求出最小值即可.【詳解】由題意知，，當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以最小值是6.故答案為：6例題4．（2024安徽）已知函數(shù)是二次函數(shù)，且滿足，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)x＞0時(shí)，求函數(shù)的最小值.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】已知函數(shù)類型求解析式、求二次函數(shù)的解析式、基本不等式求和的最小值【分析】（1）由求出，由求出，即可得出答案；（2）由基本不等式求解即可.【詳解】（1）設(shè)（），由，得，由，得，整理，得，則，解得，，所以.（2）由（1）知，，因?yàn)閤＞0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.【即時(shí)演練】1．已知0＜x＜1，則的最小值是（

）A．16 B．25 C．27 D．34【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用，結(jié)合基本不等式可求最小值.【詳解】由，得因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值25．故選：B.2．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.3．若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】由基本不等式求出，從而得到，求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故只需，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.4．已知，且，則的最大值為．【答案】100【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值【分析】利用基本不等式求解.【詳解】由基本不等式，，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故答案為:100.考點(diǎn)三：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【典型例題】例題1．（2024福建）不等式的解集為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】根據(jù)給定條件，解一元二次不等式即可.【詳解】解不等式，得，所以原不等式的解集為.故選：A例題2．（2024安徽）若不等式對(duì)所有實(shí)數(shù)恒成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題【分析】分和兩種情況討論，時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)圖象得到的取值范圍.【詳解】時(shí)，原不等式化為，解得，不對(duì)所有的恒成立，不符合題意；時(shí)，原不等式為一元二次不等式，要對(duì)所有實(shí)數(shù)恒成立，則二次函數(shù)的圖象開口向下且與軸無交點(diǎn)，從而，解得，所以，的取值范圍為，故選：B.例題3．（2024廣東）若不等式的解集為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】由題意可得，是方程的兩個(gè)根，且，利用韋達(dá)定理運(yùn)算求解.【詳解】由題意知，是方程的兩個(gè)根，且，則，解得，所以.故選：D.例題4．（2024新疆）設(shè)函數(shù)(1)若，求不等式的解集；(2)若時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）代入，解出一元二次不等式即可；（2）分離參數(shù)，再利用基本不等式求出右邊最小值即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，即為，解得或，則該不等式解集為.（2）對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，分離參數(shù)得對(duì)恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則.【即時(shí)演練】1．已知關(guān)于x的不等式的解集是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C．2,3 D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題【分析】對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為0分類討論可得正確的選項(xiàng).【詳解】若，則，此不等式恒不成立，故原不等式無解，符合題設(shè)；若，因?yàn)椴坏仁降慕鉃榭占?，故，故，綜上，，故選：A.2．一元二次不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．【詳解】不等式即可化為，解得，所以不等式的解集為.故選：B3．關(guān)于的不等式：的解集為或，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】由一元二次不等式的解集可得、的具體值，再代入不等式中求解即可得.【詳解】由題意可得，故，解得，故，解得，故關(guān)于的不等式的解集為.故選：B.4．已知關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題【分析】不等式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)開口向上，只需判別式小于0，函數(shù)圖像與軸無交點(diǎn)，則不等式大于0恒成立，從而求出參數(shù)取值范圍.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練一、單選題1．已知，下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及代入特殊值可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，令，則，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；對(duì)于B，若，，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；對(duì)于C，，則，即，故選項(xiàng)C正確，符合題意；對(duì)于D，令，則，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C.2．下列命題中，正確的是（

）.A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】利用絕對(duì)值的意義結(jié)合特殊值法判定即可.【詳解】若，即，但，故A、D錯(cuò)誤；若，即，但，故B錯(cuò)誤；顯然，則，故C正確.故選：C3．不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】解出一元二次不等式，寫出解集即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以解集?故選：D.4．若一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值集合為（

）A． B．C． D．或【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題【分析】根據(jù)一元二次不等式恒成立列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】依題意，一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，所以，解得，所以的取值集合為.故選：A5．已知，則的最小值為（

）A． B．0 C．4 D．8【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】由，利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為0.故答案為：B.6．設(shè)，且，則的最小值為（

）A．5 B． C．4 D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.7．若，則的最小值為（）A．3 B．4C．1 D．2【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】利用，結(jié)合基本不等式可求最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：B.8．已知，，，則的最大值是（

）A． B． C． D．1【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求出最大值.【詳解】由，，，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是1.故選：D二、多選題9．英國數(shù)學(xué)家哈利奧特最先使用“”和“”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．已知，，則下列不等式一定成立的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】采用作差法依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，，，，，，，，即，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，，即，，B正確；對(duì)于C，，，，，，，即，，C正確；對(duì)于D，，，，，，即，，D正確.故選：BCD.10．已知不等式的解集為，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】根據(jù)一元二次不等式的解與二次方程的根的關(guān)系，利用韋達(dá)定理即可求解.【詳解】由于不等式的解集為，所以和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故且，解得，，故選：AC三、填空題11．已知，，且滿足，則的最大值是.【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】解：因?yàn)椋?，且滿足，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是3.故答案為：3.12．已知一元二次不等式的解集為，則.