專題52導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（原卷版）

專題5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1．導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)記作f′(x0)或.f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))

eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))

eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(2)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))

eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x)．5．復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．【常用結(jié)論】1．區(qū)分在點(diǎn)處的切線與過點(diǎn)處的切線(1)在點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)一定是切點(diǎn)，切線有且僅有一條．(2)過點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，切線至少有一條．2.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,fx)))′＝eq\f(－f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．6．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)f′(x)>0f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增f′(x)<0f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減f′(x)＝0f(x)在區(qū)間(a，b)上是常數(shù)函數(shù)2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；第3步，用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．【常用結(jié)論】1．若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則x∈(a，b)時(shí)，f′(x)≥0恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則x∈(a，b)時(shí)，f′(x)≤0恒成立．上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則x∈(a，b)時(shí)，f′(x)<0有解．7．函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，則a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，則b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值．8．函數(shù)的最大(小)值(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟：①求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．【常用結(jié)論】對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件．一、單選題1．下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．2．已知函數(shù)，，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．已知，則等于（

）A．0 B． C．2 D．14．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（

）A．3 B．2 C． D．15．已知函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則（

）A．0 B． C．1 D．6．以點(diǎn)為切點(diǎn)的曲線的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（

）A． B．1 C． D．27．已知函數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．8．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且，則（

）A．1 B．2 C．12 D．249．若函數(shù)滿足，則的值為（

）．A．1 B．2 C．0 D．10．定義滿足方程的實(shí)數(shù)解叫做函數(shù)的“自足點(diǎn)”，則下列函數(shù)存在“自足點(diǎn)”的是（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（

）A． B． C．4 D．12．已知函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．在區(qū)間單調(diào)遞減C．的最小值為2e D．有1個(gè)零點(diǎn)13．已知函數(shù)，則（

）A． B．0 C． D．114．已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．15．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則A．2 B． C． D．16．已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則a=（

）A．4 B．8 C．2 D．117．若函數(shù)的圖象上的任意一點(diǎn)的切線斜率都大于0，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．18．如圖所示為函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是() B．C． D．19．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．20．已知定義在上的函數(shù)和函數(shù)滿足，且，則下列不等式成立的是A． B．C． D．二、填空題21．已知函數(shù)滿足，則___________.22．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則函數(shù)的取值范圍為______．23．已知函數(shù)且的圖像在點(diǎn)處的切線與x軸，y軸分別交于A，B點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)面積最小時(shí)，___________.24．已知函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)且與相切的兩條切線，斜率之和=____________.25．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則f（1）＝______．26．已知函數(shù)的解析式唯一，且滿足.則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為_________