專題112正弦定理與余弦定理的應(yīng)用（4類必考點）（2019）（原卷版）

專題11.2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用TOC\o"13"\t"正文,1"\h【考點一：距離測量問題】 1【考點二：高度測量問題】 3【考點三：角度測量問題】 7【考點四：其他應(yīng)用問題】 12【考點一：距離測量問題】【知識點：距離測量問題】[方法技巧]處理距離問題的策略(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理．1．（2023春·寧夏·高一六盤山高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在鐵路建設(shè)中需要確定隧道的長度，已測得隧道兩端的兩點A,B到某一點C的距離分別是3km，1km及∠ACB=60°，則A．7km B．13km C．7km2．（2023春·廣東東莞·高一校考階段練習(xí)）如圖，為了測定河兩岸點B與點C間的距離，在點B同側(cè)的河岸選定點A，測得∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120m，則點B與點C3．（2023春·北京·高一北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知兩燈塔A和B與海洋觀測站C的距離都為100km，燈塔A在觀測站C的北偏東20°方向上，燈塔B在觀測站C的南偏東40°方向上，則燈塔A與燈塔B的距離為_________km4．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學(xué)?？计谀┮凰逸喆凑毡逼珫|40°方向，以18海里/小時的速度直線航行，一座燈塔原來在輪船的南偏東20°方向上，經(jīng)過20分鐘的航行，輪船與燈塔的距離為2195．（2023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，某林場為了及時發(fā)現(xiàn)火情，設(shè)立了兩個觀測點B和C，在B點處觀測到C的方位角為155°，B點和C點相距25千米．某日兩個觀測站都觀測到了A處出現(xiàn)火情，在B點處觀測到A的方位角為125°．在C點處，觀測到A的方位角為80°，則觀測站C與火情A之間的距離為________．6．（2023春·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東70°的方向航行3?1nmile后到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東10°的方向航行2(1)求AC的長；(2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，應(yīng)沿什么方向航行多少n?mile？7．（2023春·上海浦東新·高三上海市實驗學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，A、B、C三地在以O(shè)為圓心的圓形區(qū)域邊界上，AB=30公里，AC=10公里，∠BAC=60°，D是圓形區(qū)域外一景點，∠DBC=90°，∠DCB=60°.(1)O、A相距多少公里？（精確到小數(shù)點后兩位）(2)若一汽車從A處出發(fā)，以每小時50公里的速度沿公路AD行駛到D處.需要多少小時？（精確到小數(shù)點后兩位）【考點二：高度測量問題】【知識點：高度測量問題】[方法技巧]求解高度問題應(yīng)注意的問題(1)理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)等的定義．(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）小明同學(xué)為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為153?1m，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為（A．20m B．30m C．203m D．303m2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）塔是一種在亞洲常見的，有著特定的形式和風(fēng)格的中國傳統(tǒng)建筑．最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛經(jīng)、僧人遺體等的高聳型點式建筑，稱“佛塔”．如圖，為測量某塔的總高度AB，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D，現(xiàn)測得∠BCD=30°，∠BDC=45°，CD=30米，在C點測得塔頂A的仰角為60°，則塔的總高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：2≈1.4，3A．13米 B．24米 C．39米 D．45米3．（2023春·湖南·高一衡陽市八中校聯(lián)考階段練習(xí)）泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列為“世界文化遺產(chǎn)”．秦姬陵是印度古代皇帝為了紀(jì)念他的皇妃建造的，于1631年開始建造，用時22年，距今已有366年歷史．如圖所示，為了估算泰姬陵的高度，現(xiàn)在泰姬陵的正東方向找一參照物AB，高約為50m，在它們之間的地面上的點Q（B，Q，D三點共線）處測得A處、泰姬陵頂端C處的仰角分別是45°和60°，在A處測得泰姬陵頂端C處的仰角為15°，則估算泰姬陵的高度CD為（

）A．75m B．502m C．256m4．（2023春·陜西西安·高二西安中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在離地面高200m的熱氣球M上，觀察到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，已知∠BAC=60°5．（2023·甘肅蘭州·校考模擬預(yù)測）蘭州黃河樓，位于黃河蘭州段大拐彎處，是一座講述黃河故事的人文地標(biāo)，是傳承和記錄蘭州文化的精神產(chǎn)物，展現(xiàn)了甘肅濃厚的歷史文化底蘊及黃河文化的獨特魅力．某同學(xué)為了估算該樓的高度，采用了如圖所示的方式來進(jìn)行測量：在地面選取相距90米的C、D兩觀測點，且C、D與黃河樓底部B在同一水平面上，在C、D兩觀測點處測得黃河樓頂部A的仰角分別為45°,30°，并測得∠BCD=120°，則黃河樓AB的估計高度為_____________米．6．（2022·浙江·模擬預(yù)測）小軍在校園內(nèi)測對岸廣電大廈樓頂無線塔AB的高度，他在校園水平面上選取兩點C,D，測得CD=l，測得∠ACB=θ，∠ACD=α1，∠BCD=α2，(1)求AC；(2)求無線塔AB的高度.7．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）文筆塔，又稱慈云塔，位于保山市隆陽區(qū)太保山麓，古塔建設(shè)于唐代南詔時期．2007年4月在原址拆除重建后的文筆塔新塔與廣大市民見面．如圖，某同學(xué)在測量塔高AB時，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C和D．測得∠BCD=α,∠BDC=β，在點C測得塔頂A仰角為θ，已知sinα=45,?cos(1)求sin∠CBD(2)求塔高AB（結(jié)果保留整數(shù)）．【考點三：角度測量問題】【知識點：角度測量問題】[方法技巧]解決角度問題的注意事項(1)測量角度時，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義．(2)求角的大小時，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解應(yīng)用題時，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點．1．（2023春·安徽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）一艘輪船航行到A處時看燈塔B在A的北偏東75°，距離126海里，燈塔C在A的北偏西30°，距離為123海里，該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時再看燈塔B在其南偏東60°方向，則2．（2023春·安徽銅陵·高一銅陵一中?？茧A段練習(xí)）如圖，為測塔高，在塔底所在的水平面內(nèi)取一點C，測得塔頂?shù)难鼋菫棣?，由C向塔前進(jìn)30米后到點D，測得塔頂?shù)难鼋菫?θ，再由D向塔前進(jìn)103米后到點E，測得塔頂?shù)难鼋菫?θ，則θ3．（2022秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）一艘客船在A處測得燈塔B在它的北偏東75°,在A處測得燈塔C在它的北偏西30°,距離為182nmile.客船由A處向正北航行126nmile到達(dá)D處,再看燈塔B在它的南偏東60°,則AB=______nmile;設(shè)燈塔C在D4．（2023春·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東70°的方向航行3?1nmile后到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東10°的方向航行2(1)求AC的長；(2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，應(yīng)沿什么方向航行多少n?mile？5．（2021春·廣東東莞·高一東莞高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12千米，漁船乙以10千米/時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時在C處追上.(1)請根據(jù)已知條件，在指定區(qū)域規(guī)范畫出示意圖（標(biāo)明點A、B、C）；(2)求漁船甲的航行速度和sinα6．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追起漁船乙，剛好用2小時追上，此時到達(dá)C處．(1)求漁船甲的速度；(2)求sinα(3)求角α．7．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，一輛汽車在水平的公路上向正西直線行駛，到A處時測得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山項D（D在水平面上的射影為點C）在西偏北30°的方向上，仰角為30°，行駛1km后到達(dá)B處，測得山頂在西偏北45°的方向上．(1)求此山的高度（單位km，精確到0.01km）：(2)求汽車行駛過程中仰望山頂D的仰角θ的最大值（精確到1°）8．（2021秋·河南信陽·高二校考階段練習(xí)）信陽南灣湖以源遠(yuǎn)流長的歷史遺產(chǎn)，濃郁豐厚的民俗風(fēng)情而著稱；以幽、樸、秀、奇的獨特風(fēng)格，山、水、林、島的完美和諧而聞名，是融自然景觀、人文景觀、森林生態(tài)環(huán)境、森林保健功能于一體，是河南省著名的省級風(fēng)景區(qū).如圖，為迎接第九屆開漁節(jié)，某漁船在湖面上A處捕魚時，天氣預(yù)報幾小時后會有惡劣天氣，該漁船的東偏北θ方向上有一個小島C可躲避惡劣天氣，在小島C的正北方向有一航標(biāo)燈D距離小島25海里，漁船向小島行駛50海里后到達(dá)B處，測得∠DBC=45°，(1)求A處距離航標(biāo)燈D的距離AD；(2)求cosθ(3)為保護南灣湖水源自然環(huán)境，請寫出兩條建議（言之有物即可）.【考點四：其他應(yīng)用問題】【知識點：其他應(yīng)用問題】1．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）據(jù)氣象部門報道某臺風(fēng)影響我國東南沿海一帶，測定臺風(fēng)中心位于某市南偏東60°，距離該市400千米的位置，臺風(fēng)中心以40千米/時的速度向正北方向移動，距離臺風(fēng)中心350千米的范圍都會受到臺風(fēng)影響，則該市從受到臺風(fēng)影響到影響結(jié)束，持續(xù)的時間為_________小時．2．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中?？茧A段練習(xí)）如圖，某濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個觀景臺D，已知射線AB，AC為濕地兩邊夾角為π3的公路（長度均超過4千米），在兩條公路AB，AC上分別設(shè)立游客接送點E，F(xiàn)，且AE=AF=3千米，若要求觀景臺D與兩接送點所成角∠EDF與∠BAC互補且觀景臺D在EF的右側(cè)，并在觀景臺D與接送點E，F(xiàn)之間建造兩條觀光線路DE與3．（2023·云南昆明·統(tǒng)考一模）“不以規(guī)矩，不能成方圓”，出自《孟子·離婁章句上》．“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的角尺，是用來測量、畫圓和方形圖案的工具。有一塊圓形木板，以“矩”量之，較長邊為10cm，較短邊為5cm，如圖所示，將這塊圓形木板截出一塊三角形木塊，三角形頂點A,B,C都在圓周上，角A,B,C的對邊分別為a，b，c，滿足c=4(1)求sinC(2)若△ABC的面積為8cm2，且a>c，求4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，某廣場有一塊不規(guī)則的綠地，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計的底座形狀分別為△ABC、△ABD，經(jīng)測量AD=BD=7m，BC=5m，AC=8m(1)求AB的長度；(2)若環(huán)境標(biāo)志的底座每平方米造價為5000元，不考慮其他因素，小李、小王誰的設(shè)計使建造費用較低（請說明理由）？較低造價為多少？5．（2022秋·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB,AC，根據(jù)規(guī)劃在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N（異于村莊A），要求(1)當(dāng)∠AMN=30°時，求線段(2)問如何設(shè)計，使得工廠產(chǎn)生的噪音對居民的影響最??？（即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn)）6．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在某海濱城市O東偏南θcosθ=2(1)海濱城市O是否會受到臺風(fēng)影響，說明理由；(2)如果海濱城市O會受到臺風(fēng)影響，持續(xù)時間有多長．7．（2022秋·云南·高二云南省下關(guān)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，為方便市民游覽市民中心附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準(zhǔn)備在河岸一側(cè)建造一個觀景臺P，已知射線AB，AC為兩邊夾角為120°的公路（長度均超過3千米），在兩條公路AB，AC上分別設(shè)立游客上下點M，N，從觀景臺P到M，N建造兩條觀光線路PM，PN，測得AM=3千米，AN=(1)求線段MN的長度；(2)若∠MPN=60°，求兩條觀光線路PM與PN所圍成△PMN的面積的最大值.8．（2023春·上海金山·高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為打贏打好脫貧攻堅戰(zhàn)，某村加大旅游業(yè)投入，準(zhǔn)備將如圖扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉觀賞區(qū)，分別種植玫瑰花、郁金香和菊花，已知扇形的半徑為100米，圓心角為23π，點P在扇形的弧上，點Q在OB上，且(1)當(dāng)Q是OB的中點時，求PQ的長；(2)已知種植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分別為30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，要使郁金香種植區(qū)△OPQ的面積盡可能的大，求△OPQ面積的最大值，并求此時扇形區(qū)域AOB種植花卉的總成本．9．（2022春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）四月的某一天，N