2024屆湖北省利川市第五中學(xué)高三適應(yīng)性數(shù)學(xué)試題考試試卷1

2023屆湖北省利川市第五中學(xué)高三適應(yīng)性數(shù)學(xué)試題考試試卷[1]考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知是空間中兩個(gè)不同的平面，是空間中兩條不同的直線，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，且，則B．若，且，則C．若，且，則D．若，且，則2．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，設(shè)其前n項(xiàng)和，若（），則（）A．30 B． C． D．623．若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．函數(shù)的大致圖象為（）A． B．C． D．5．在平面直角坐標(biāo)系中，銳角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸正半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（）A． B． C． D．6．已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，，，為某三角形的三邊長(zhǎng)，且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)（）.A．6 B．5 C．4 D．37．設(shè)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，若，則()A． B． C． D．8．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥βC．α與β相交，且交線垂直于 D．α與β相交，且交線平行于9．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)（），則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．10．如圖，在平面四邊形中，滿足，且，沿著把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且使，則三棱錐體積的最大值為（）A．12 B． C． D．11．已知函數(shù)，若有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．12．盒中有6個(gè)小球，其中4個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任取個(gè)球，在取出的球中，黑球放回，白球則涂黑后放回，此時(shí)盒中黑球的個(gè)數(shù)，則()A．， B．，C．， D．，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，曲線與直線相交，若存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，則可取到的最大值為_(kāi)_________.14．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則________15．在一次體育水平測(cè)試中，甲、乙兩校均有100名學(xué)生參加，其中:甲校男生成績(jī)的優(yōu)秀率為70%，女生成績(jī)的優(yōu)秀率為50%;乙校男生成績(jī)的優(yōu)秀率為60%，女生成績(jī)的優(yōu)秀率為40%.對(duì)于此次測(cè)試，給出下列三個(gè)結(jié)論:①甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率大于乙校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率;②甲、乙兩校所有男生成績(jī)的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績(jī)的優(yōu)秀率;③甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率的大小關(guān)系不確定.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________.16．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的實(shí)部為_(kāi)___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，求.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)已知直線與曲線交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，求.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求圓的極坐標(biāo)方程；（2）直線的極坐標(biāo)方程是，射線與圓的交點(diǎn)為、，與直線的交點(diǎn)為，求線段的長(zhǎng).20．（12分）已知數(shù)列和，前項(xiàng)和為，且，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求和的普通方程；（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線交曲線于點(diǎn)（異于），交曲線于點(diǎn)，求的最小值.22．（10分）在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到平面距離最大時(shí)，求三棱錐的體積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

利用線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理,對(duì)選項(xiàng)做出判斷，舉出反例排除.【詳解】解：對(duì)于，當(dāng)，且，則與的位置關(guān)系不定，故錯(cuò)；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，不能判定，故錯(cuò)；對(duì)于，若，且，則與的位置關(guān)系不定，故錯(cuò)；對(duì)于，由可得，又，則故正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查空間線面位置關(guān)系.判斷線面位置位置關(guān)系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體模型，以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷．2．B【解析】

根據(jù)，分別令，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組，解方程組求出首項(xiàng)和公式，最后利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可知中：.由，分別令，可得、，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，因此.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3．B【解析】

轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求函數(shù)最值，即得解.【詳解】由，可知．設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．所以．故的取值范圍是．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在恒成立問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.4．A【解析】

利用特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代入，排除掉C，D；再由判斷A選項(xiàng)正確.【詳解】，排除掉C，D；，，，.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問(wèn)題，代入特殊點(diǎn)，采用排除法求解是解決這類問(wèn)題的一種常用方法，屬于中檔題.5．A【解析】

根據(jù)單位圓以及角度范圍，可得，然后根據(jù)三角函數(shù)定義，可得，最后根據(jù)兩角和的正弦公式，二倍角公式，簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，又為銳角所以，根據(jù)三角函數(shù)的定義：所以由所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及兩角和正弦公式，還考查二倍角的正弦、余弦公式，難點(diǎn)在于公式的計(jì)算，識(shí)記公式，簡(jiǎn)單計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.6．C【解析】

若對(duì)任意的恒成立，則為的最大值，所以由已知，只需求出取得最大值時(shí)的n即可.【詳解】由已知，，又三角形有一個(gè)內(nèi)角為，所以，，解得或（舍），故，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.7．D【解析】

利用與的關(guān)系，求得的值.【詳解】依題意，所以故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.8．D【解析】

試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．考點(diǎn)：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論．9．B【解析】

利用換元法化簡(jiǎn)解析式為二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍，由此求得的值域.【詳解】因?yàn)椋ǎ?，所以，令（），則（），函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，所以，，所以，所以的值域?yàn)?故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，換元思想，分類討論和應(yīng)用意識(shí).10．C【解析】

過(guò)作于，連接，易知，，從而可證平面，進(jìn)而可知，當(dāng)最大時(shí)，取得最大值，取的中點(diǎn)，可得，再由，求出的最大值即可.【詳解】在和中，，所以，則，過(guò)作于，連接，顯然，則，且，又因?yàn)椋云矫?，所以，?dāng)最大時(shí)，取得最大值，取的中點(diǎn)，則，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上（不在左右頂點(diǎn)），其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距長(zhǎng)為8，所以的最大值為橢圓的短軸長(zhǎng)的一半，故最大值為，所以最大值為，故的最大值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的最大值，考查學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算求解能力，屬于中檔題.11．C【解析】

令，可得，要使得有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即和有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合已知，即可求得答案.【詳解】令，可得，要使得有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即和有兩個(gè)交點(diǎn)，，令，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，若直線和有兩個(gè)交點(diǎn)，則.實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的步驟，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.12．C【解析】

根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出概率并求得數(shù)學(xué)期望，由此判斷出正確選項(xiàng).【詳解】表示取出的為一個(gè)白球，所以.表示取出一個(gè)黑球，，所以.表示取出兩個(gè)球，其中一黑一白，，表示取出兩個(gè)球?yàn)楹谇?，，表示取出兩個(gè)球?yàn)榘浊?，，所?所以，.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．4【解析】

由于曲線與直線相交，存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，所以函數(shù)的周期，可得到的取值范圍，再由解出的兩類不同的值，然后列方程求出，再結(jié)合的取值范圍可得的最大值.【詳解】，可得，由，則或，即或，由題意得，所以，則或，所以可取到的最大值為4.故答案為：4【點(diǎn)睛】此題考查正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用及三角方程的求解，熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.14．【解析】

直接根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】，．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則的應(yīng)用．15．②③【解析】

根據(jù)局部頻率和整體頻率的關(guān)系，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】不能確定甲乙兩校的男女比例，故①不正確；因?yàn)榧滓覂尚５哪猩膬?yōu)秀率均大于女生成績(jī)的優(yōu)秀率，故甲、乙兩校所有男生成績(jī)的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績(jī)的優(yōu)秀率，故②正確；因?yàn)椴荒艽_定甲乙兩校的男女比例，故不能確定甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率的大小關(guān)系，故③正確.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】本題考查局部頻率和整體頻率的關(guān)系，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.16．【解析】

利用復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算即可得到答案.【詳解】，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為2.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（Ⅰ）（為參數(shù)）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，，則，代入化簡(jiǎn)得到答案.（Ⅱ）分別計(jì)算，的極坐標(biāo)方程為，，取代入計(jì)算得到答案.【詳解】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，，，故，故的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.（Ⅱ），故，極坐標(biāo)方程為：；，故，極坐標(biāo)方程為：.，故，，故.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，弦長(zhǎng)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.18．（1）(x－1)2＋y2＝4,直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y－2＝0；（2）3.【解析】

(1)消參得到曲線的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的互化公式求得直線的直角坐標(biāo)方程；(2)先得到直線的參數(shù)方程，將直線的參數(shù)方程代入到圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.【詳解】(1)由曲線C的參數(shù)方程(α為參數(shù))(α為參數(shù))，兩式平方相加，得曲線C的普通方程為(x－1)2＋y2＝4；由直線l的極坐標(biāo)方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝2，即直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y－2＝0.(2)由題意可得P(2，0)，則直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，將(t為參數(shù))代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，則Δ>0，由韋達(dá)定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.19．（1）（2）【解析】

（1）首先將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程再根據(jù)公式化為極坐標(biāo)方程即可；（2）設(shè)，，由，即可求出，則計(jì)算可得；【詳解】解：（1）圓的參數(shù)方程（為參數(shù)）可化為，∴，即圓的極坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)，由，解得.設(shè)，由，解得.∵，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了利用極坐標(biāo)方程求曲線的交點(diǎn)弦長(zhǎng)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20．（1），；（2）.【解析】

（1）令求出的值，然后由，得出，然后檢驗(yàn)是否符合在時(shí)的表達(dá)式，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)題意列出和的方程組，解出這兩個(gè)量，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出；（2）求出數(shù)列的前項(xiàng)和，然后利用分組求和法可求出.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.也適合上式，所以，.設(shè)數(shù)列的公比為，則，由，兩式相除得，，解得，，；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，.【點(diǎn)睛】本題考查利用求，同時(shí)也考查了等比數(shù)列通項(xiàng)的計(jì)算，以及分組求和法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.21．（1）曲線的普通方程為：；曲線的普通方程為