專題08證明不等式問題（原卷版）

專題08證明不等式問題【方法技巧與總結】利用導數證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數；（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.（4）對數單身狗，指數找基友（5）凹凸反轉，轉化為最值問題（6）同構變形【題型歸納目錄】題型一：直接法題型二：構造函數（差構造、變形構造、換元構造、遞推構造）題型三：分析法題型四：凹凸反轉、拆分函數題型五：對數單身狗，指數找朋友題型六：放縮法題型七：虛設零點題型八：同構法題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理題型十：分段分析法、主元法、估算法題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值題型十二：函數與數列不等式問題題型十三：三角函數【典例例題】題型一：直接法例1．已知函數，．（1）討論函數的單調性；（2）當時，證明：，．例2．設函數，．（1）討論函數的單調性；（2）當且時，證明：．例3．已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）當，，時，證明：．題型二：構造函數（差構造、變形構造、換元構造、遞推構造）例4．已知曲線與曲線在公共點處的切線相同，（Ⅰ）求實數的值；（Ⅱ）求證：當時，．例5．已知．（1）若時，不等式恒成立，求的取值范圍；（2）求證：當時，．例6．已知函數．（1）當時，求在點，處的切線方程；（2）當時，若的極大值點為，求證：．．例7．已知函數．（1）判斷的單調性，并說明理由；（2）若數列滿足，，求證：對任意，．題型三：分析法例8．已知，函數，其中為自然對數的底數．（Ⅰ）證明：函數在上有唯一零點；（Ⅱ）記為函數在上的零點，證明：（?。?；（ⅱ）．例9．已知，函數，其中為自然對數的底數．（Ⅰ）證明：函數在上有唯一零點；（Ⅱ）記為函數在上的零點，證明：．（參考數值：例10．已知函數在上有零點，其中是自然對數的底數．（Ⅰ）求實數的取值范圍；（Ⅱ）記是函數的導函數，證明：．題型四：凹凸反轉、拆分函數例11．已知函數且（1）．（1）求函數的單調區(qū)間；（2）證明：．例12．已知函數，．（1）若恒成立，求實數的取值范圍；（2）求證：當時，．例13．已知函數．（Ⅰ）當時，判斷函數的單調性；（Ⅱ）證明：當時，不等式恒成立．題型五：對數單身狗，指數找朋友例14．已知函數．（Ⅰ）當時，求在，上最大值及最小值；（Ⅱ）當時，求證．例15．已知函數，曲線在點，（1）處的切線方程為．（1）求、的值；（2）當且時．求證：．例16．已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）若函數圖象過點，求證：．例17．已知函數．（Ⅰ）討論函數的單調性；（Ⅱ）若函數圖象過點，求證：．題型六：放縮法例18．已知函數．（其中常數，是自然對數的底數．（1）討論函數的單調性；（2）證明：對任意的，當時，．例19．已知函數，（1）討論函數的單調性；（2）求證：當時，．例20．已知函數．（1）求函數的單調區(qū)間；（2）解關于的不等式題型七：虛設零點例21．設函數．（1）討論的導函數零點的個數；（2）證明：當時，．例22．設函數．（Ⅰ）討論的導函數零點的個數；（Ⅱ）證明：當時，．例23．已知函數．（1）若函數在上單調遞增，求的取值范圍；（2）若，證明：當時，．參考數據：，．題型八：同構法例24．已知函數．（1）討論在區(qū)間上的單調性；（2）當時，證明：．例25．已知函數，．（1）討論的單調區(qū)間；（2）當時，證明．例26．已知函數，．（1）討論函數的單調性；（2）若，，證明：當時，題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理例27．已知函數，．（1）若恰為的極小值點．（?。┳C明：；（ⅱ）求在區(qū)間上的零點個數；（2）若，，又由泰勒級數知：，．證明：．例28．已知函數．（1）求函數的單調區(qū)間；（2）若，對，恒成立，求實數的取值范圍；（3）當時．若正實數，滿足，，，，證明：．例29．英國數學家泰勒發(fā)現了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當時，，，，．（1）證明：當時，；（2）設，若區(qū)間，滿足當定義域為，時，值域也為，，則稱為的“和諧區(qū)間”，（?。r，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由；（ⅱ）時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由．題型十：分段分析法、主元法、估算法例30．設且，函數．（1）若在區(qū)間有唯一極值點，證明：，；（2）若在區(qū)間沒有零點，求的取值范圍．例31．已知函數，其中，為自然對數的底數．（1）當時，討論函數的單調性；（2）當時，求證：對任意的，，．例32．已知函數=.（1）討論的單調性；（2）設，當時，,求的最大值；（3）已知，估計ln2的近似值（精確到0.001）例33．已知函數．（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）若取，試估計的范圍．（精確到0.01）題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值例34．已知函數為自然對數的底數）．（1）求函數的零點，以及曲線在處的切線方程；（2）設方程有兩個實數根，，求證：．例35．已知函數為自然對數的底數）．（1）求函數的零點，以及曲線在其零點處的切線方程；（2）若方程有兩個實數根，，求證：．例36．已知函數為自然對數的底數）．（1）求曲線在點，處的切線方程：（2）若方程有兩個不等的實數根，，求證：．題型十二：函數與數列不等式問題例37．已知函數，其中為實常數．（1）若函數定義域內恒成立，求的取值范圍；（2）證明：當時，；（3）求證：．例38．證明：．例39．已知，為自然對數的底數）．（1）求證：恒成立；（2）設是正整數，對任意正整數，，求的最小值．題型十三：三角函數例40．已知函數.(1)設且，求函數的最小值；(2)當，證明：.例41．已知函數，其中為自然對數的底數．（1）若，求實數的值；（2）證明：．例42．已知.（1）當有兩個零點時，求a的取值范圍；（2）當，時，設，求證：.【過關測試】1．（2022·重慶市第十一中學校高二階段練習）已知函數，且．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若函數有三個極值點，且，求證：．2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數在上有兩個極值點，，且．(1)求實數a的取值范圍；(2)證明：當時，．3．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預測（文））已知.(1)若在區(qū)間上有且僅有一個極值點，求實數的取值范圍；(2)在（1）的條件下，證明.4．（2022·全國·哈師大附中模擬預測（文））已知函數（其中是自然對數的底數）.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求證：.5．（2022·江蘇江蘇·高二階段練習）已知函數，.(1)試討論f（x）的單調性；(2)若對任意，均有，求a的取值范圍；(3)求證:.6．（2022·天津·模擬預測）已知函數.(1)試判斷函數在上單調性并證明你的結論；(2)若對于恒成立，求正整數的最大值；(3)求證：．7．（2022·山東·肥城市教學研究中心模擬預測）已知函數.(1)若是的極值點，求的值域；(2)當時，證明：8．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預測）已知函數在處的切線方程為.(1)求實數的值；(2)（i）證明：函數有且僅有一個極小值點，且；（ii）證明：.參考數據：，，，.9．（2022·廣東·高二階段練習）關于的函數，我們曾在必修一中學習過“二分法”求其零點近似值.現結合導函數，介紹另一種求零點近似值的方法——“牛頓切線法”.(1)證明：有唯一零點，且；(2)現在，我們任取(1,a)開始，實施如下步驟：在處作曲線的切線，