2024北京日壇中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2024北京日壇中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)（本試卷共4頁，考試時(shí)間120min，滿分150分）第一部分（選擇題共50分）一、單選題：（共10小題，每小題5分）1.直線的傾斜角為（）A.30° B.45° C.60° D.135°2.已知圓：，圓：，那么兩圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.外離 C.外切 D.內(nèi)含3.已知點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.4.如圖，平行六面體中，E為BC的中點(diǎn)，，，，則（）A. B.C. D.5.在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線：和直線：有可能是（）A.B.C. D.6.已知直線l的方向向量為，平面的法向量為，則“”是“”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件7.已知底面邊長為2的正四棱柱的體積為，則直線與所成角的余弦為（）A. B. C. D.8.已知直線l1：mx-y+m=0與直線l2：x+my-1=0的交點(diǎn)為Q，橢圓的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則|QF1|+|QF2|的取值范圍是（）A. B. C. D.9.如圖，在正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A.存在點(diǎn)∥平面 B.對(duì)任意點(diǎn)C.存在點(diǎn)，使得與所成的角是 D.不存在點(diǎn)，使得與平面所成的角是10.設(shè)集合，，，中至少有兩個(gè)元素，且滿足：①對(duì)于任意，若，都有；②對(duì)于任意，若，則；則集合可以是（）（1）（2）（3）（4）A.（1）（2） B.（2）（3） C.（2）（4） D.（3）（4）第二部分（非選擇題共100分）二、填空：（共6小題，每小題5分）11.已知，，且，那么___________．12.圓截直線所得的弦長為_________．13.已知點(diǎn)，是橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C上，則的周長為__________.14.已知直線，．若，則實(shí)數(shù)的值是_______．15.能說明“直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)”是真命題的一個(gè)的值為______.16.已知四棱錐的高為和均是邊長為的等邊三角形，給出下列四個(gè)結(jié)論：①四棱錐不可能為正四棱錐；②空間中一定存在到距離都相等的點(diǎn)；③可能有平面平面；④四棱錐的體積的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.三、解答題：（共70分）17.已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．（1）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；（2）求的面積．18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）求在區(qū)間上的最值.19.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)B到平面的距離．20.如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的正方形.再從條件①?條件②?條件③中選擇兩個(gè)能解決下面問題的條件作為已知.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）設(shè)是的中點(diǎn)，棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求線段的長；若不存在，說明理由.條件①：；條件②：；條件③：平面平面注：如果選擇多種方案分別解答，那么按第一種方案解答計(jì)分.21.已知橢圓的離心率是.（1）求橢圓的方程；（2）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過作斜率為的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，直線，分別交軸于不同的兩點(diǎn).如果為銳角，求的取值范圍.

參考答案第一部分（選擇題共50分）一、單選題：（共10小題，每小題5分）1.【答案】D【分析】先求出直線的斜率，再由斜率與傾斜角的關(guān)系即可得出答案.【詳解】由題意，直線,則直線的斜率,設(shè)直線的傾斜角為，則,又因?yàn)?所以.故選：D.2.【答案】A【分析】分別找出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩圓心的距離，并與半徑比較即可．【詳解】由題意，圓圓心為，半徑，圓圓心為，半徑，則圓心距，且，所以兩圓相交.故選：A.3.【答案】D【分析】由已知可得，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出，利用向量模的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又，即，所以，所以，故選：D.4.【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的線性運(yùn)算求解即得.【詳解】在平行六面體中，E為BC的中點(diǎn)，所以.故選：B5.【答案】B【分析】根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)中與的圖象，分別確定的取值即可判斷.【詳解】對(duì)于A，直線單調(diào)遞減，與軸交于正半軸，則，直線單調(diào)遞減，與軸交于負(fù)半軸，則，不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線單調(diào)遞減，與軸交于負(fù)半軸，則，直線單調(diào)遞減，與軸交于負(fù)半軸，則，成立，故B正確；對(duì)于C，直線單調(diào)遞增，與軸交于負(fù)半軸，則，直線單調(diào)遞增，與軸交于正半軸，則，不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線單調(diào)遞增，與軸交于正半軸，則，直線單調(diào)遞減，與軸交于正半軸，則，不成立，故D錯(cuò)誤；故選：B.6.【答案】D【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，結(jié)合充分、必要條件的概念，即可得答案.【詳解】若，則或，故充分性不成立，若，則，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：D.7.【答案】D【分析】根據(jù)異面直線所成角及余弦定理即可求解.【詳解】如圖，連接，則，正四棱柱的體積為，則，則，則為異面直線與所成角，則，，故.故選：D8.【答案】D【分析】判斷兩條直線經(jīng)過的定點(diǎn)，判斷交點(diǎn)所在的位置，利用橢圓的定義判斷求解即可．【詳解】橢圓的焦點(diǎn)為：，由與方程可知直線與直線的交點(diǎn)為，且兩條直線經(jīng)過定點(diǎn)，它們的交點(diǎn)滿足：，在橢圓內(nèi)部且與橢圓的短軸端點(diǎn)相交當(dāng)與重合時(shí)，取最小值為：當(dāng)與短軸端點(diǎn)重合時(shí)，取最大值為：的取值范圍是：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，軌跡方程的求法，關(guān)鍵能夠通過直線經(jīng)過的定點(diǎn)確定交點(diǎn)的位置．9.【答案】D【分析】設(shè)正方體的棱長為1，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量方法求解.選項(xiàng)A，取平面的一個(gè)法向量，將∥平面平面轉(zhuǎn)化為；選項(xiàng)B，轉(zhuǎn)化為；選項(xiàng)C，與所成的角是轉(zhuǎn)化為；選項(xiàng)D，由平面，結(jié)合選項(xiàng)C可知.【詳解】設(shè)正方體的棱長為1，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，又，∴，又，則，∴，選項(xiàng)A，取平面的一個(gè)法向量，令，解得，此時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，與垂直，而平面，故∥平面，故A項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，，則，故對(duì)任意點(diǎn)，故B項(xiàng)正確；選項(xiàng)C，，則，令，化簡得，解得，或，故存在點(diǎn)，使得與所成的角是，故C項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，連接，在正方體中，由底面是正方形，則，由平面，平面，則，又平面，平面，，則平面，即是平面的一個(gè)法向量，由C項(xiàng)分析可知，存在點(diǎn)，使得與所成的角是，即存在點(diǎn)，使得與平面所成的角是，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.10.【答案】C【分析】對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行判斷，出現(xiàn)矛盾的可排除，正確的證明即可.【詳解】對(duì)于（1），易知，所以應(yīng)有，矛盾，即（1）錯(cuò)誤；對(duì)于（2），易知，且，則可取滿足題意，即（2）正確；對(duì)于（3），易知，所以應(yīng)有，矛盾，即（3）錯(cuò)誤；對(duì)于（4），易知，且，則可取滿足題意，即（4）正確；故選：C.第二部分（非選擇題共100分）二、填空：（共6小題，每小題5分）11.【答案】【分析】利用向量共線定理求解即可.【詳解】，，，則，解得：，.故答案為：12.【答案】【分析】把圓的方程化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑，再求出圓心到直線的距離，根據(jù)垂徑定理，利用勾股定理可以求出弦長的一半，最后求出弦長．【詳解】圓心的坐標(biāo)為（2，-2），半徑，圓心到直線的距離，根據(jù)垂徑定理，可以求出弦長．13.【答案】18【分析】根據(jù)橢圓的定義求出以及的長，從而得到的周長.【詳解】

因?yàn)闄E圓，所以,由橢圓定義可得，，所以的周長為.故答案為：18.14.【答案】0或－3【詳解】試題分析：由題意得：考點(diǎn)：直線位置關(guān)系15.【答案】0【分析】根據(jù)直線與圓相交，利用圓心到直線的距離小于圓的半徑，得到，求得的取值范圍，即可求解.【詳解】由題意，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，若直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則滿足圓心到直線的距離小于圓的半徑，即，解得，所以命題為真命題的一個(gè)的值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記直線與圓的位置關(guān)系，列出不等式求得的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16.【答案】②④【分析】對(duì)①，分析當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)是否滿足條件即可；對(duì)②，設(shè)四棱錐的高為，分析可得點(diǎn)滿足；對(duì)③，假設(shè)平面平面，再推導(dǎo)得出矛盾即可判斷；對(duì)④，設(shè)，得出四棱錐的體積表達(dá)式再求解即可【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，又因?yàn)楹途沁呴L為的等邊三角形，易得，且對(duì)①，當(dāng)時(shí)，底面為正方形，且為底面中心，此時(shí)四棱錐可能為正四棱錐，故①錯(cuò)誤；對(duì)②，，故一定存在到，，，，距離都相等的點(diǎn)，故②正確；對(duì)③，當(dāng)平面平面時(shí)，因?yàn)椋势矫?，此時(shí)，又因?yàn)椋藭r(shí)重合，不滿足題意，③錯(cuò)誤；對(duì)④，設(shè)，則，因?yàn)?，故，所以，故④正確故答案為：②④三、解答題：（共70分）17.【答案】（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為；離心率為（2）【分析】（1）由橢圓的定義及性質(zhì)可以得出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率，（2）先計(jì)算點(diǎn)到的距離，再利用公式求出線段的長，最后用面積公式計(jì)算解決問題.【小問1詳解】橢圓知，該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)焦距為，由，所以，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為離心率為：【小問2詳解】由直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)則消去得，，所以又到的距離為所以的面積為：18.【答案】（1）（2）單調(diào)增區(qū)間為：，；單調(diào)減區(qū)間為：，.（3）最小值為0，最大值為2.【分析】（1）先利用三角變換公式把化成的形式，利用求函數(shù)周期.（2）整體換元法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（3）整體換元法求函數(shù)的值域.【小問1詳解】因?yàn)?由，所以函數(shù)的最小正周期為：.【小問2詳解】由，得：，.由由，得：，.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為：，.【小問3詳解】因?yàn)?，所?所以.所以函數(shù)在上的最小值為0，最大值為2.19.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）利用線面平行的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出面面角的余弦值；（3）利用點(diǎn)到平面距離的向量公式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)闉檎叫?，所以，又平面，平面，所以平?【小問2詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，又，所以兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由，則，，設(shè)平面的法向量n=x,y,z則，令，則，所以，又因?yàn)槠矫?，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.【小問3詳解】因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄?，，所以，所以點(diǎn)B到平面的距離為.20.【答案】（1）證明見詳解（2）（3）存在點(diǎn)；【分析】（1）只能選擇①③，由平面平面易證，結(jié)合勾股定理逆定理可證，進(jìn)而得證平面；（2）以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，求出和平面的法向量，結(jié)合線面夾角的向量公式即可求解；（3）結(jié)合向量法，要使平面，即，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出的長.【小問1詳解】因所求問題包括線面角大小，需要求出邊長，故①必選，選②缺垂直條件，因?yàn)?，又四邊形是邊長為4的正方形，所以，，平面平面所以平面又平面所以，選①②無法證明平面；故只能選擇①③，理由如下：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，四邊形是邊長為4的正方形，所以，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕?，所以，又因?yàn)?，所以，平面，，所以平面；【小?詳解】由（1）知兩兩垂直，故以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，，設(shè)平面的方向量為，則，即，令，得，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為；【小問3詳解】假設(shè)存在設(shè)點(diǎn)，使得平面，則，因?yàn)槠矫妫?，，所以，，解得，故，，所以存在點(diǎn)，為中點(diǎn)，使得平面，此時(shí).21.【答案】（1）（2）【分析】（1）由題意，列出方程組，求得，即可得到橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合向量的數(shù)量【詳解】（1）由題意，橢圓的離心率是，可得解得，所以橢圓的