2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【新定義問(wèn)題】三角形中的新定義問(wèn)題（原卷版）

三角形中的新定義問(wèn)題知識(shí)方法精講1．解新定義題型的方法：方法一:從定義知識(shí)的新情景問(wèn)題入手這種題型它要求學(xué)生在新定義的條件下，對(duì)提出的說(shuō)法作出判斷，主要考查學(xué)生閱讀理解能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．因此在解這類型題時(shí)就必須先認(rèn)真閱讀，正理解新定義的含義；再運(yùn)用新定義解決問(wèn)題；然后得出結(jié)論。方法二：從數(shù)學(xué)理論應(yīng)用探究問(wèn)題入手對(duì)于涉及到數(shù)學(xué)理論的題目，要解決后面提出的新問(wèn)題，必須仔細(xì)研究前面的問(wèn)題解法．即前面解決問(wèn)題過(guò)程中用到的知識(shí)在后面問(wèn)題中很可能還會(huì)用到，因此在解決新問(wèn)題時(shí)，認(rèn)真閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關(guān)問(wèn)題和內(nèi)容，并注意這些新知識(shí)運(yùn)用的方法步驟．方法三：從日常生活中的實(shí)際問(wèn)題入手對(duì)于一些新定義問(wèn)題，出題的方向通常借助生活問(wèn)題，那么處理此類問(wèn)題需要結(jié)合生活實(shí)際，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)知識(shí)、或者將生活圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，從而利用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答。2．解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問(wèn)題.3．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．4．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．5．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．6．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．7．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．8．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．說(shuō)明：①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來(lái)解決問(wèn)題．注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．9．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．（3）概念說(shuō)明：①“接”是說(shuō)明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)．10．相似三角形的判定與性質(zhì)（1）相似三角形相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對(duì)應(yīng)邊的比相等和對(duì)應(yīng)角相等兩方面下定義；反過(guò)來(lái)，兩個(gè)三角形相似也有對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可單獨(dú)使用，有時(shí)需要綜合運(yùn)用，無(wú)論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可．11．解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系：sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊）一．填空題（共5小題）1．（2021秋?花都區(qū)期末）如圖，在四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．箏形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)．已知，，小嬋同學(xué)得到如下結(jié)論：①是等邊三角形；②；③；④點(diǎn)、分別在線段、上，且，則，其中正確的結(jié)論有．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）2．（2021秋?長(zhǎng)寧區(qū)期末）定義：在中，點(diǎn)和點(diǎn)分別在邊、邊上，且，點(diǎn)、點(diǎn)之間距離與直線與直線間的距離之比稱為關(guān)于的橫縱比．已知，在中，，上的高長(zhǎng)為3，關(guān)于的橫縱比為，則．3．（2021秋?贛州期中）規(guī)定：若，，，，則．例如，，則．已知，，則的最小值是．4．（2021秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱作為這個(gè)平面圖形的一條優(yōu)美線．已知中，，，點(diǎn)、在邊上，且，為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的優(yōu)美線交過(guò)點(diǎn)的優(yōu)美線于，那么線段的長(zhǎng)等于．5．（2021秋?鄒城市期中）當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“奇妙三角形”，其中稱為“奇妙角”．如果一個(gè)“奇妙三角形”的一個(gè)內(nèi)角為，那么這個(gè)“奇妙三角形”的另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為．二．解答題（共15小題）6．（2021秋?鄞州區(qū)期末）【問(wèn)題提出】如圖1，中，線段的端點(diǎn)，分別在邊和上，若位于上方的兩條線段和之積等于下方的兩條線段和之積，即，則稱是的“友好分割”線段．（1）如圖1，若是的“友好分割”線段，，，求的長(zhǎng)；【發(fā)現(xiàn)證明】（2）如圖2，中，點(diǎn)在邊上，交于，交于，連結(jié)，求證：是的“友好分割”線段；【綜合運(yùn)用】（3）如圖3，是的“友好分割”線段，連結(jié)并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，過(guò)點(diǎn)畫(huà)交的外接圓于點(diǎn)，連結(jié)，設(shè)，．①求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；②連結(jié)，，當(dāng)時(shí)，求的值．7．（2021秋?石鼓區(qū)期末）我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做底角的鄰對(duì)，如圖1，在中，，底角的鄰對(duì)記作，這時(shí)．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的鄰對(duì)值是一一對(duì)應(yīng)的，根據(jù)上述角的鄰對(duì)的定義，解下列問(wèn)題：（1），若，則．（2）如圖2，在中，，，，求的周長(zhǎng)．8．（2021秋?豐臺(tái)區(qū)期末）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的線段及點(diǎn)，給出如下定義：若點(diǎn)滿足，則稱為線段的“軸點(diǎn)”，其中，當(dāng)時(shí)，稱為線段的“遠(yuǎn)軸點(diǎn)”；當(dāng)時(shí)，稱為線段的“近軸點(diǎn)”．（1）如圖1，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，則在，，，中，線段的“軸點(diǎn)”是；線段的“近軸點(diǎn)”是．（2）如圖2，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸正半軸上，．若為線段的“遠(yuǎn)軸點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．9．（2020秋?南沙區(qū)期末）新定義：頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形互為“兄弟三角形”．（1）如圖①中，若和互為“兄弟三角形”，，．寫(xiě)出，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖②，和互為“兄弟三角形”，，，點(diǎn)、點(diǎn)均在外，連接、交于點(diǎn)，連接，求證：平分．（3）如圖③，若，，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．10．（2021秋?余姚市月考）定義：若兩個(gè)三角形有一對(duì)公共邊，且另有一組對(duì)應(yīng)邊和一對(duì)對(duì)應(yīng)角分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形稱為鄰等三角形．例如：如圖1，中，，，，則與是鄰等三角形．（1）如圖2，中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，那么請(qǐng)判斷與是否為鄰等三角形，并說(shuō)明理由．（2）如圖3，以點(diǎn)為圓心，為半徑的交軸于點(diǎn)，是的內(nèi)接三角形，．①求的度數(shù)和的長(zhǎng)；②點(diǎn)在上，若與是鄰等三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．11．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）定義：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角，滿足，那我們稱這個(gè)三角形為“近直角三角形”．（1）若是“近直角三角形”，，，則；（2）如圖1，在中，，，．若是的平分線，①求證：是“近直角三角形”；②在邊上是否存在點(diǎn)（異于點(diǎn)，使得也是“近直角三角形”？若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖2，在中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，以為直徑的圓交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，若為“近直角三角形”，且，，求的長(zhǎng)．12．（2021秋?荔城區(qū)校級(jí)期中）概念學(xué)習(xí)規(guī)定：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱這兩個(gè)三角形互為“等角三角形”．從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角開(kāi)中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原來(lái)三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線”．理解概念：（1）如圖1，在中，，，請(qǐng)寫(xiě)出圖中兩對(duì)“等角三角形”．概念應(yīng)用：（2）如圖2，在中，為角平分線，，．求證：為的等角分割線．動(dòng)手操作：（3）在中，若，是的等角分割線，請(qǐng)求出所有可能的的度數(shù)．13．（2021秋?金安區(qū)校級(jí)期中）概念學(xué)習(xí)：已知，點(diǎn)為其內(nèi)部一點(diǎn)，連接、、，在、和中，如果存在一個(gè)三角形，其內(nèi)角與的三個(gè)內(nèi)角分別相等，那么就稱點(diǎn)為的等角點(diǎn)．理解應(yīng)用（1）判斷以下兩個(gè)命題是否為真命題，若為真命題，則在相應(yīng)橫線內(nèi)寫(xiě)“真命題”；反之，則寫(xiě)“假命題”．①內(nèi)角分別為、、的三角形存在等角點(diǎn)；②任意的三角形都存在等角點(diǎn)．（2）如圖中，點(diǎn)是銳角三角形的等角點(diǎn)，若，探究圖中么、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．14．（2021?安溪縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)、和圖形，給出如下定義：若圖形上存在一點(diǎn)，使，則稱點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于圖形的一個(gè)“直角聯(lián)絡(luò)點(diǎn)”．已知點(diǎn)，．（1）在點(diǎn)、中，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“直角聯(lián)絡(luò)點(diǎn)”是（直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)）（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“直角聯(lián)絡(luò)點(diǎn)”，求．15．（2021?臨海市一模）在三角形中，一個(gè)角兩夾邊的平方和減去它對(duì)邊的平方所得的差，叫做這個(gè)角的勾股差．（1）概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差為；在底邊長(zhǎng)為2的等腰三角形中，底角的勾股差為；（2）性質(zhì)探究：如圖1，是的中線，，，，，記中的勾股差為，中的勾股差為；①求，的值（用含，，，的代數(shù)式表示）；②試說(shuō)明與互為相反數(shù)；（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖2，在四邊形中，點(diǎn)與分別是與的中點(diǎn)，連接，，，若，且，，求的值．16．（2021秋?南昌期中）【概念學(xué)習(xí)】如圖1，2，已知，點(diǎn)為其內(nèi)部一點(diǎn)，連接、、，在、、中，如果存在一個(gè)三角形，其內(nèi)角與的三個(gè)內(nèi)角分別相等，那么就稱點(diǎn)為的等角點(diǎn)．【理解應(yīng)用】（1）判斷以下兩個(gè)命題是否為真命題，若為真命題，則在相應(yīng)橫線內(nèi)寫(xiě)“真命題”；反之，則寫(xiě)“假命題”．①等邊三角形存在等角點(diǎn)：；②等腰直角三角形存在等角點(diǎn)：；③內(nèi)角分別為、、的三角形存在等角點(diǎn)：；④任意的三角形都存在等角點(diǎn)：；【深入理解】（2）如圖1，點(diǎn)是銳角的等角點(diǎn)，且與的三個(gè)內(nèi)角分別相等，已知：若，，求的度數(shù)；（3）如圖2，點(diǎn)是銳角的等角點(diǎn)，若，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．17．（2021秋?諸暨市期中）定義：兩邊的平方和與這兩邊乘積的差等于第三邊平方的三角形叫做“和諧三角形”．如圖1在中，若，則是“和諧三角形”．（1）等邊三角形一定是“和諧三角形”，是命題（填“真”或“假”．（2）若中，，，，，且，若是“和諧三角形”，求．18．（2021秋?大田縣期中）在平面直角坐標(biāo)系中，將三點(diǎn)，，的“矩面積”記為，定義如下：，，中任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的最大值稱為“水平底”，任意兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的最大值稱為“鉛垂高”，“水平底”與“鉛垂高”的乘積即為點(diǎn)，，的“矩面積”，即．例如：點(diǎn)，，，它們的“水平底”為5，“鉛垂高”為4，“矩面積”．解決以下問(wèn)題：（1）已知點(diǎn)，，，求，，的“矩面積”；（2）已知點(diǎn)，，，且，，的“矩面積”為12，求的值；（3）已知點(diǎn)，，，若，且，，的“矩面積”為25，求的值．19．（2021秋?廣陵區(qū)期中）我們知道，到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．由此，我們可以引入如下新定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心．（1）如圖1，點(diǎn)在線段上，，．求