2025年中考數(shù)學思想方法復習系列 【新定義問題】三角形中的新定義問題（原卷版）

三角形中的新定義問題知識方法精講1．解新定義題型的方法：方法一:從定義知識的新情景問題入手這種題型它要求學生在新定義的條件下，對提出的說法作出判斷，主要考查學生閱讀理解能力，分析問題和解決問題的能力．因此在解這類型題時就必須先認真閱讀，正理解新定義的含義；再運用新定義解決問題；然后得出結論。方法二：從數(shù)學理論應用探究問題入手對于涉及到數(shù)學理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細研究前面的問題解法．即前面解決問題過程中用到的知識在后面問題中很可能還會用到，因此在解決新問題時，認真閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關問題和內容，并注意這些新知識運用的方法步驟．方法三：從日常生活中的實際問題入手對于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題，那么處理此類問題需要結合生活實際，再將問題轉化成數(shù)學知識、或者將生活圖形轉化為數(shù)學圖形，從而利用數(shù)學知識進行解答。2．解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.3．三角形內角和定理（1）三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0°且小于180°．（2）三角形內角和定理：三角形內角和是180°．（3）三角形內角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內角移到一起，組合成一個平角．在轉化中借助平行線．（4）三角形內角和定理的應用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．4．線段垂直平分線的性質（1）定義：經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．5．等腰三角形的性質（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結論．6．等邊三角形的性質（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．7．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．8．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質就是判斷一個角是不是直角．然后進一步結合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．9．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經過三角形的三個頂點．②銳角三角形的外心在三角形的內部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內接三角形卻有無數(shù)個．10．相似三角形的判定與性質（1）相似三角形相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對應邊的比相等和對應角相等兩方面下定義；反過來，兩個三角形相似也有對應角相等，對應邊的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，都要具備應有的條件方可．11．解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關系①銳角、直角之間的關系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關系：sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊）一．填空題（共5小題）1．（2021秋?花都區(qū)期末）如圖，在四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．箏形的對角線、相交于點．已知，，小嬋同學得到如下結論：①是等邊三角形；②；③；④點、分別在線段、上，且，則，其中正確的結論有．（填寫所有正確結論的序號）2．（2021秋?長寧區(qū)期末）定義：在中，點和點分別在邊、邊上，且，點、點之間距離與直線與直線間的距離之比稱為關于的橫縱比．已知，在中，，上的高長為3，關于的橫縱比為，則．3．（2021秋?贛州期中）規(guī)定：若，，，，則．例如，，則．已知，，則的最小值是．4．（2021秋?閔行區(qū)校級期中）如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱作為這個平面圖形的一條優(yōu)美線．已知中，，，點、在邊上，且，為中點，過點的優(yōu)美線交過點的優(yōu)美線于，那么線段的長等于．5．（2021秋?鄒城市期中）當三角形中一個內角是另一個內角的兩倍時，我們稱此三角形為“奇妙三角形”，其中稱為“奇妙角”．如果一個“奇妙三角形”的一個內角為，那么這個“奇妙三角形”的另兩個內角的度數(shù)為．二．解答題（共15小題）6．（2021秋?鄞州區(qū)期末）【問題提出】如圖1，中，線段的端點，分別在邊和上，若位于上方的兩條線段和之積等于下方的兩條線段和之積，即，則稱是的“友好分割”線段．（1）如圖1，若是的“友好分割”線段，，，求的長；【發(fā)現(xiàn)證明】（2）如圖2，中，點在邊上，交于，交于，連結，求證：是的“友好分割”線段；【綜合運用】（3）如圖3，是的“友好分割”線段，連結并延長交的延長線于，過點畫交的外接圓于點，連結，設，．①求關于的函數(shù)表達式；②連結，，當時，求的值．7．（2021秋?石鼓區(qū)期末）我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做底角的鄰對，如圖1，在中，，底角的鄰對記作，這時．容易知道一個角的大小與這個角的鄰對值是一一對應的，根據(jù)上述角的鄰對的定義，解下列問題：（1），若，則．（2）如圖2，在中，，，，求的周長．8．（2021秋?豐臺區(qū)期末）對于平面直角坐標系中的線段及點，給出如下定義：若點滿足，則稱為線段的“軸點”，其中，當時，稱為線段的“遠軸點”；當時，稱為線段的“近軸點”．（1）如圖1，點，的坐標分別為，，則在，，，中，線段的“軸點”是；線段的“近軸點”是．（2）如圖2，點的坐標為，點在軸正半軸上，．若為線段的“遠軸點”，請直接寫出點的橫坐標的取值范圍．9．（2020秋?南沙區(qū)期末）新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”．（1）如圖①中，若和互為“兄弟三角形”，，．寫出，和之間的數(shù)量關系，并證明．（2）如圖②，和互為“兄弟三角形”，，，點、點均在外，連接、交于點，連接，求證：平分．（3）如圖③，若，，試探究和的數(shù)量關系，并說明理由．10．（2021秋?余姚市月考）定義：若兩個三角形有一對公共邊，且另有一組對應邊和一對對應角分別對應相等，那么這兩個三角形稱為鄰等三角形．例如：如圖1，中，，，，則與是鄰等三角形．（1）如圖2，中，點是的中點，那么請判斷與是否為鄰等三角形，并說明理由．（2）如圖3，以點為圓心，為半徑的交軸于點，是的內接三角形，．①求的度數(shù)和的長；②點在上，若與是鄰等三角形時，請直接寫出點的坐標．11．（2021秋?岳麓區(qū)校級月考）定義：如果一個三角形中有兩個內角，滿足，那我們稱這個三角形為“近直角三角形”．（1）若是“近直角三角形”，，，則；（2）如圖1，在中，，，．若是的平分線，①求證：是“近直角三角形”；②在邊上是否存在點（異于點，使得也是“近直角三角形”？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由．（3）如圖2，在中，，點為邊上一點，以為直徑的圓交于點，連結交于點，若為“近直角三角形”，且，，求的長．12．（2021秋?荔城區(qū)校級期中）概念學習規(guī)定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形互為“等角三角形”．從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角開中一個為等腰三角形，另一個與原來三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”．理解概念：（1）如圖1，在中，，，請寫出圖中兩對“等角三角形”．概念應用：（2）如圖2，在中，為角平分線，，．求證：為的等角分割線．動手操作：（3）在中，若，是的等角分割線，請求出所有可能的的度數(shù)．13．（2021秋?金安區(qū)校級期中）概念學習：已知，點為其內部一點，連接、、，在、和中，如果存在一個三角形，其內角與的三個內角分別相等，那么就稱點為的等角點．理解應用（1）判斷以下兩個命題是否為真命題，若為真命題，則在相應橫線內寫“真命題”；反之，則寫“假命題”．①內角分別為、、的三角形存在等角點；②任意的三角形都存在等角點．（2）如圖中，點是銳角三角形的等角點，若，探究圖中么、、之間的數(shù)量關系，并說明理由．14．（2021?安溪縣模擬）在平面直角坐標系中，對于點、和圖形，給出如下定義：若圖形上存在一點，使，則稱點為點關于圖形的一個“直角聯(lián)絡點”．已知點，．（1）在點、中，點關于點的“直角聯(lián)絡點”是（直接寫出符合條件的點）（2）點的坐標為，若點是點關于點的“直角聯(lián)絡點”，求．15．（2021?臨海市一模）在三角形中，一個角兩夾邊的平方和減去它對邊的平方所得的差，叫做這個角的勾股差．（1）概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差為；在底邊長為2的等腰三角形中，底角的勾股差為；（2）性質探究：如圖1，是的中線，，，，，記中的勾股差為，中的勾股差為；①求，的值（用含，，，的代數(shù)式表示）；②試說明與互為相反數(shù)；（3）性質應用：如圖2，在四邊形中，點與分別是與的中點，連接，，，若，且，，求的值．16．（2021秋?南昌期中）【概念學習】如圖1，2，已知，點為其內部一點，連接、、，在、、中，如果存在一個三角形，其內角與的三個內角分別相等，那么就稱點為的等角點．【理解應用】（1）判斷以下兩個命題是否為真命題，若為真命題，則在相應橫線內寫“真命題”；反之，則寫“假命題”．①等邊三角形存在等角點：；②等腰直角三角形存在等角點：；③內角分別為、、的三角形存在等角點：；④任意的三角形都存在等角點：；【深入理解】（2）如圖1，點是銳角的等角點，且與的三個內角分別相等，已知：若，，求的度數(shù)；（3）如圖2，點是銳角的等角點，若，探究、、之間的數(shù)量關系，并說明理由．17．（2021秋?諸暨市期中）定義：兩邊的平方和與這兩邊乘積的差等于第三邊平方的三角形叫做“和諧三角形”．如圖1在中，若，則是“和諧三角形”．（1）等邊三角形一定是“和諧三角形”，是命題（填“真”或“假”．（2）若中，，，，，且，若是“和諧三角形”，求．18．（2021秋?大田縣期中）在平面直角坐標系中，將三點，，的“矩面積”記為，定義如下：，，中任意兩點橫坐標差的最大值稱為“水平底”，任意兩點縱坐標差的最大值稱為“鉛垂高”，“水平底”與“鉛垂高”的乘積即為點，，的“矩面積”，即．例如：點，，，它們的“水平底”為5，“鉛垂高”為4，“矩面積”．解決以下問題：（1）已知點，，，求，，的“矩面積”；（2）已知點，，，且，，的“矩面積”為12，求的值；（3）已知點，，，若，且，，的“矩面積”為25，求的值．19．（2021秋?廣陵區(qū)期中）我們知道，到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上．由此，我們可以引入如下新定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心．（1）如圖1，點在線段上，，．求