2025年中考數學思想方法復習系列 【新定義問題】圓中的新定義問題（原卷版）

圓中的新定義問題知識方法精講1．解新定義題型的方法：方法一:從定義知識的新情景問題入手這種題型它要求學生在新定義的條件下，對提出的說法作出判斷，主要考查學生閱讀理解能力，分析問題和解決問題的能力．因此在解這類型題時就必須先認真閱讀，正理解新定義的含義；再運用新定義解決問題；然后得出結論。方法二：從數學理論應用探究問題入手對于涉及到數學理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細研究前面的問題解法．即前面解決問題過程中用到的知識在后面問題中很可能還會用到，因此在解決新問題時，認真閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關問題和內容，并注意這些新知識運用的方法步驟．方法三：從日常生活中的實際問題入手對于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題，那么處理此類問題需要結合生活實際，再將問題轉化成數學知識、或者將生活圖形轉化為數學圖形，從而利用數學知識進行解答。2．解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.3．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?．弧長的計算（1）圓周長公式：C＝2πR（2）弧長公式：l＝（弧長為l，圓心角度數為n，圓的半徑為R）①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長．③題設未標明精確度的，可以將弧長用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數、弧長三個概念，度數相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統一．一．填空題（共2小題）1．（2021?祿勸縣模擬）如圖，是正三角形，曲線叫做“正三角形的漸開線”，其中弧、弧、弧的圓心依次按、、循環(huán)，它們依次相連接．若，則曲線的長是．2．（2020?成都模擬）如圖，在中，，分別是兩邊的中點，如果（可以是劣弧、優(yōu)弧或半圓）上的所有點都在的內部或邊上，則稱為的中內弧，例如，圖中是其中的某一條中內?。粼谄矫嬷苯亲鴺讼抵校阎c，，，在中，，分別是，的中點，的中內弧所在圓的圓心的縱坐標的取值范圍是．二．解答題（共18小題）3．（2021秋?石景山區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為2．點P，Q為⊙O外兩點，給出如下定義：若⊙O上存在點M，N，使得以P，Q，M，N為頂點的四邊形為矩形，則稱點P，Q是⊙O的“成對關聯點”．（1）如圖，點A，B，C，D橫、縱坐標都是整數．在點B，C，D中，與點A組成⊙O的“成對關聯點”的點是；（2）點E（t，t）在第一象限，點F與點E關于x軸對稱，若點E，F是⊙O的“成對關聯點”，直接寫出t的取值范圍；（3）點G在y軸上，若直線y＝4上存在點H，使得點G，H是⊙O的“成對關聯點”，直接寫出點G的縱坐標yG的取值范圍．4．（2021秋?海淀區(qū)期末）在平面直角坐標系中，圖形上任意兩點間的距離有最大值，將這個最大值記為．對點及圖形給出如下定義：點為圖形上任意一點，若，兩點間的距離有最大值，且最大值恰好為．則稱點為圖形的“倍點”．（1）如圖1，圖形是半徑為1的．①圖形上任意兩點間的距離的最大值為；②在點，，中，的“倍點”是；（2）如圖2，圖形是中心在原點的正方形，點．若點是正方形的“倍點”，求的值；（3）圖形是長為2的線段，為的中點，若在半徑為6的上存在線段的“倍點”，直接寫出所有滿足條件的點組成的圖形的面積．5．（2021秋?豐臺區(qū)期末）對于平面直角坐標系中的圖形，，給出如下定義：若圖形和圖形有且只有一個公共點，則稱點是圖形和圖形的“關聯點”．已知點，，，．（1）直線經過點，的半徑為2，在點，，中直線和的“關聯點”是；（2）為線段中點，為線段上一點（不與點，重合），若和有“關聯點”，求半徑的取值范圍；（3）的圓心為點，，半徑為，直線過點且不與軸重合．若和直線的“關聯點”在直線上，請直接寫出的取值范圍．6．（2021秋?大興區(qū)期末）在平面直角坐標系中，點在軸上，以點為圓心的圓與軸交于，兩點，對于點和，給出如下定義：若拋物線經過，兩點且頂點為，則稱點為的“圖象關聯點”．（1）已知，，，，，，在點，，，中，的”圖象關聯點”是；（2）已知的“圖象關聯點”在第一象限，若，判斷與的位置關系，并證明；（3）已知，，當的“圖象關聯點”在外且在四邊形內時，直接寫出拋物線中的取值范圍．7．（2021秋?海淀區(qū)校級期末）平面內的和外一點，過點的直線與交于，兩點在，之間），點為平面內一點．若以為邊的正方形的面積等于分別以，為一組鄰邊的矩形的面積，則稱正方形為點關于的“原本正方形”，該正方形的中心稱為點關于的“原本點”．如圖所示，正方形的面積等于矩形的面積，其中，稱正方形為點關于的“原本正方形”，該正方形中心點稱為點關于的“原本點”．特別的，當點恰好在上時，稱此時正方形的中心為點關于的“單純原本點”．（1）在平面直角坐標系中，的半徑為4，．①過點的直線與軸重合，則點關于的“原本正方形”的邊長為；②過點的直線與軸夾角為，則點關于的“原本點”中，橫縱坐標均為整數的點有個．（2）的圓心為，半徑為1．點為坐標平面上一點，且，過點的直線與交于，兩點．直線與，軸分別交于點和點，若線段上存在點關于的“原本點”，求的取值范圍．（3）的圓心為，，半徑為．點為坐標平面內一點，過點的直線與有兩個交點，且．若直線上存在點，使得點為點關于的“單純原本點”，直接寫出的最小值．8．（2021秋?門頭溝區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，，的半徑為1．如果將線段繞原點逆時針旋轉后的對應線段所在的直線與相切，且切點在線段上，那么線段就是的“關聯線段”，其中滿足題意的最小就是線段與的“關聯角”．（1）如圖1，如果，線段是的“關聯線段”，那么它的“關聯角”為．（2）如圖2，如果、，、，、．那么的“關聯線段”有（填序號，可多選）．①線段②線段③線段（3）如圖3，如果、，線段是的“關聯線段”，那么的取值范圍是．（4）如圖4，如果點的橫坐標為，且存在以為端點，長度為的線段是的“關聯線段”，那么的取值范圍是．9．（2021秋?海淀區(qū)校級期末）新定義：在平面直角坐標系中，若幾何圖形與有公共點，則稱幾何圖形的叫的關聯圖形，特別地，若的關聯圖形為直線，則稱該直線為的關聯直線．如圖，為的關聯圖形，直線為的關聯直線．（1）已知是以原點為圓心，2為半徑的圓，下列圖形：①直線；②直線；③雙曲線，是的關聯圖形的是（請直接寫出正確的序號）．（2）如圖1，的圓心為，半徑為1，直線與軸交于點，若直線是的關聯直線，求點的橫坐標的取值范圍．（3）如圖2，已知點，，，經過點，的關聯直線經過點，與的一個交點為；的關聯直線經過點，與的一個交點為；直線，交于點，若線段在直線上且恰為的直徑，請直接寫出點橫坐標的取值范圍．10．（2021秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）在平面直角坐標系內，過（半徑為外一點引它的一條切線，切點為，若，則稱點是的“沙湖點”．（1）當的半徑為1時，①在點，，中，的“沙湖點”是；②點在直線上，且點是的“沙湖點”，求點的橫坐標的取值范圍；（2）的圓心為，半徑為2，直線與軸，軸分別交于點，．若直線上的所有點都是的“沙湖點”，求的取值范圍．11．（2021秋?溧陽市期中）概念認識：平面內，為圖形上任意一點，為上任意一點，將、兩點間距離的最小值稱為圖形到的“最近距離”，記作．例：如圖1，在直線上有、、三點，以為對角線作正方形，以點為圓心作圓，與交于、兩點，若將正方形記為圖形，則、兩點間的距離稱為圖形到的“最近距離”．數學理解：（1）在平面內有、兩點，以點為圓心，5為半徑作，將點記為圖形，若，則．（2）如圖2，在平面直角坐標系中，以為圓心，半徑為2作圓．①將點記為圖形，則．②將一次函數的圖記為圖形，若，求的取值范圍．推廣運用：（3）在平面直角坐標系中，的坐標為，的半徑為2，、兩點的坐標分別為、，將記為圖形，若，則．12．（2021?常州一模）在平面直角坐標系中，的半徑是，，為外兩點，．給出如下定義：平移線段，使平移后的線段成為的弦（點，分別為點，的對應點），線段長度的最小值成為線段到的“優(yōu)距離”．（1）如圖1，中的弦、是由線段平移而得，這兩條弦的位置關系是；在點，，，中，連接點與點的線段長度等于線段到的“優(yōu)距離”；（2）若點，，線段的長度是線段到的“優(yōu)距離”，則點的坐標為；（3）如圖2，若，是直線上兩個動點，記線段到的“優(yōu)距離”為，則的最小值是；請你在圖2中畫出取得最小值時的示意圖，并標記相應的字母．13．（2021?建鄴區(qū)二模）【概念學習】在平面直角坐標系中，的半徑為1，若平移個單位后，使某圖形上所有點在內或上，則稱的最小值為對該圖形的“最近覆蓋距離”．例如，如圖①，，，則對線段的“最近覆蓋距離”為3．【概念理解】（1）對點的“最近覆蓋距離”為．（2）如圖②，點是函數圖象上一點，且對點的“最近覆蓋距離”為3，則點的坐標為．【拓展應用】（3）如圖③，若一次函數的圖象上存在點，使對點的“最近覆蓋距離”為1，求的取值范圍．（4）、，且，將對線段的“最近覆蓋距離”記為，則的取值范圍是．14．（2021?石景山區(qū)二模）在平面直角坐標系中，對于內的一點，若在外存在點，使得，則稱點為的二倍點．（1）當的半徑為2時，①在，，，三個點中，是的二倍點的是；②已知一次函數與軸的交點是，若一次函數在第二象限的圖象上的所有點都是的二倍點，求的取值范圍．已知點，，，的半徑為2，若線段上存在點為的二倍點，直接寫出的取值范圍．15．（2020?雨花區(qū)校級一模）在平面直角坐標系中，對于點和正實數，給出如下定義：當時，以點為圓心，為半徑的圓，稱為點的“倍雅圓”例如，在圖1中，點的“1倍雅圓”是以點為圓心，2為半徑的圓．（1）在點，中，存在“1倍雅圓”的點是．該點的“1倍雅圓”的半徑為．（2）如圖2，點是軸正半軸上的一個動點，點在第一象限內，且滿足，試判斷直線與點的“2倍雅圓”的位置關系，并證明；（3）如圖3，已知點，，將直線繞點順時針旋轉得到直線．①當點在直線上運動時，若始終存在點的“倍雅圓”，求的取值范圍；②點是直線上一點，點的“倍雅圓”的半徑為，是否存在以點為圓心，為半徑的圓與直線有且只有1個交點，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．16．（2020?豐臺區(qū)二模）過直線外一點且與這條直線相切的圓稱為這個點和這條直線的點線圓．特別地，半徑最小的點線圓稱為這個點和這條直線的最小點線圓．在平面直角坐標系中，點．（1）已知點，，，分別以，為圓心，1為半徑作，，以為圓心，2為半徑作，其中是點和軸的點線圓的是；（2）記點和軸的點線圓為，如果與直線沒有公共點，求的半徑的取值范圍；（3）直接寫出點和直線的最小點線圓的圓心的橫坐標的取值范圍．17．（2020?海淀區(qū)一模），是上的兩個點，點在的內部．若為直角，則稱為關于的內直角，特別地，當圓心在邊（含頂點）上時，稱為關于的最佳內直角．如圖1，是關于的內直角，是關于的最佳內直角．在平面直角坐標系中．（1）如圖2，的半徑為5，，是上兩點．①已知，，，在，，中，是關于的內直角的是；②若在直線上存在一點，使得是關于的內直角，求的取值范圍．（2）點是以為圓心，4為半徑的圓上一個動點，與軸交于點（點在點的右邊）．現有點，，對于線段上每一點，都存在點，使是關于的最佳內直角，請直接寫出的最大值，以及取得最大值時的取值范圍．18．（2020?延慶區(qū)一模）對于平面內的點和圖形，給出如下定義：以點為圓心，以為半徑作，使得圖形上的所有點都在的內部（或邊上），當最小時，稱為圖形的點控制圓，此時，的半徑稱為圖形的點控制半徑．已知，在平面直角坐標系中，正方形的位置如圖所示，其中點．（1）已知點，正方形的點控制半徑為，正方形的點控制半徑為，請比較大?。?；（2）連接，點是線段上的點，直線；若存在正方形的點控制圓與直線有兩個交點，求的取值范圍．19．（2020?海淀區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系中，已知點，點在軸上，以為直徑作，點在軸上，且在點上方，過點作的切線，為切點，如果點在第一象限，則稱為點的離點．例如，圖1中的為點的一個離點．（1）已