2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【轉(zhuǎn)化思想】方程中的轉(zhuǎn)化思想（解析版）

方程中的轉(zhuǎn)化思想知識方法精講1．轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的HYPERLINK\t"/item/%E5%8C%96%E5%BD%92%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學(xué)思維方式。所謂的轉(zhuǎn)化思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而達到解決的一種方法。一般總是將復(fù)雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單問題；將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題；將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題?？傊?，轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)解題中幾乎無處不在，轉(zhuǎn)化的基本功能是：生疏化成熟悉，復(fù)雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。說到底，轉(zhuǎn)化的實質(zhì)就是以運動變化發(fā)展的觀點，以及事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點看待問題，善于對所要解決的問題進行變換轉(zhuǎn)化，使問題得以解決。實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有：HYPERLINK\t"/item/%E5%8C%96%E5%BD%92%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"待定系數(shù)法，配方法，HYPERLINK\t"/item/%E5%8C%96%E5%BD%92%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"整體代入法以及化動為靜，由抽象到具體等轉(zhuǎn)化思想。2．一元一次方程的解定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等．3．二元一次方程組的解（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的．?dāng)?shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點，當(dāng)遇到有關(guān)二元一次方程組的解的問題時，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù)．4．解二元一次方程組（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程組中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來．②將變形后的關(guān)系式代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程．③解這個一元一次方程，求出x（或y）的值．④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個未知數(shù)的值．⑤把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解．（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)．②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程．③解這個一元一次方程，求得未知數(shù)的值．④將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值．⑤把所求得的兩個未知數(shù)的值寫在一起，就得到原方程組的解，用的形式表示．5．解三元一次方程組（1）三元一次方程組的定義：方程組含有三個未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組．（2）解三元一次方程組的一般步驟：①首先利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組．②然后解這個二元一次方程組，求出這兩個未知數(shù)的值．③再把求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系數(shù)比較簡單的方程，得到一個關(guān)于第三個未知數(shù)的一元一次方程．④解這個一元一次方程，求出第三個未知數(shù)的值．⑤最后將求得的三個未知數(shù)的值用“{”合寫在一起即可．6．解一元二次方程-直接開平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負(fù)數(shù)．②降次的實質(zhì)是由一個二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．7．解一元二次方程-配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．8．解一元二次方程-公式法（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進而確定a，b，c的值（注意符號）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實數(shù)根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．9．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．10．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．11．根與系數(shù)的關(guān)系（1）若二次項系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．（2）若二次項系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝，x1x2＝，反過來也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根．②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件．12．分式方程的解求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．13．分式方程的增根（1）增根的定義：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根．（3）檢驗增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．一．選擇題（共11小題）1．（2021春?松江區(qū)期末）下列方程中，有實數(shù)解的是A． B． C． D．【考點】解一元二次方程直接開平方法；無理方程；分式方程的解【分析】根據(jù)一元二次方程、分式方程、無理方程的解法，分別解方程即可得答案．【解答】解：、由，得，，原方程無實數(shù)根，故選項不符合題意；、由得，而的判別式△，原方程無實數(shù)根，故選項不符合題意；、由得，解得或，經(jīng)檢驗，是原方程的根，故符合題意；、由得，經(jīng)檢驗：是原方程增根，原方程無實數(shù)根，故不符合題意，故選：．【點評】本題主要考查了一元二次方程、分式方程及無理方程的解，熟練應(yīng)用相關(guān)方法進行求解是解決本題的關(guān)鍵，特別注意分式方程和無理方程都要檢驗．2．（2021?盂縣一模）將關(guān)于的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于的一次多項式，從而達到“降次”的目的，又如，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：，且，則的值為A． B． C． D．【考點】解一元二次方程公式法；高次方程【分析】利用，得，用一元二次方程求根公式得，且，所以取，代入即可求得．【解答】解：，，且，，，，故選：．【點評】本題考查了整體降次的思想方法，但降次后得到的是的代數(shù)式，還要利用一元二次方程求根公式求出的值，代入化簡后的中計算出結(jié)果．3．（2020?高青縣二模）已知，是方程的兩個根，則的值為A． B．4044 C． D．2020【考點】根與系數(shù)的關(guān)系【分析】由，是方程的兩個根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得，由一元二次方程的根的定義，可得，，繼而求得答案．【解答】解：，是方程的兩個根，，，，．故選：．【點評】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解．注意，是方程的兩根時，，．4．方程組的解為，則被遮蓋的兩個數(shù)、分別為A．4，2 B．1，3 C．2，3 D．2，4【考點】二元一次方程組的解【分析】本題主要將代入得出和，再將，的值代入方程組即可．【解答】解：將代入得，，將，代入得．故選：．【點評】本題主要考查了二元一次方程的解、問題轉(zhuǎn)化等思想．5．設(shè)，是方程的兩根，則A． B． C．3 D．5【考點】根與系數(shù)的關(guān)系【分析】先求出，再求其算術(shù)平方根即可．【解答】解：，是方程的兩根，，，而，且，故，，故選：．【點評】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及算術(shù)平方根，主要是如何變形為與的式子．6．（2021秋?宣化區(qū)期末）一元二次方程的根是A． B． C．， D．，【考點】解一元二次方程因式分解法【分析】先移項得到，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：，，或，所以，．故選：．【點評】本題考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．7．（2020?浙江自主招生）方程的實數(shù)解的個數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．大于2【考點】立方根【分析】令，，分別求出，，所以、是方程的兩個實數(shù)根，△，可知方程無解，由此可求解．【解答】解：令，，，，，，，，、是方程的兩個實數(shù)根，△，方程無解，方程無實數(shù)根，故選：．【點評】本題考查立方根、一元二次方程，利用換元法和立方和公式進行量的轉(zhuǎn)換，再構(gòu)造一元二次方程，借助判別式求解是解題的關(guān)鍵．8．下列無理方程中，有實數(shù)解的方程是A． B． C． D．【考點】無理方程【分析】移項得出，兩邊平方得出，整理后得出，兩邊平方得出，求出后檢驗，即可判斷；根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性即可判斷；移項得出，兩邊平方得出，整理后得出，兩邊平方得出，根據(jù)根的判別式即可判斷；兩邊平方得出，求出方程的解，經(jīng)檢驗即可判斷．【解答】解：．，移項，得，兩邊平方，得，整理，得，兩邊平方，得，即，△，此方程無解，即原方程無解，故本選項不符合題意；．，不論為何值，的值不能為負(fù)數(shù)，此方程無解，故本選項不符合題意；．，移項，得，兩邊平方，得，整理，得，兩邊平方，得，即，△，此方程無解，所以原方程無解，故本選項不符合題意；．，兩邊平方，得，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的解，所以原方程的解是，故本選項符合題意；故選：．【點評】本題考查了解無理方程和解一元二次方程，能把解無理方程轉(zhuǎn)化成解有理方程是解此題的關(guān)鍵，注意：解無理方程一定要檢驗．9．用代入法解方程組時，將方程①代入②中，所得的方程正確的是A． B． C． D．【考點】解二元一次方程組【分析】將方程①代入②，然后進行消元．【解答】解：，把①代入②得：，去括號得：．故選：．【點評】這是用代入法解二元一次方程組的關(guān)鍵一步“代入消元”，通過這一步，使二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程來解答，典型地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想．10．（2021?元陽縣模擬）若關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程有正數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)的值為A．6.7，8，9 B．6，7，8 C．7，8 D．6，8【考點】解一元一次不等式組；分式方程的解【分析】先求出不等式解集，根據(jù)一元一次不等式組的解集為，求出的取值范圍，進一步解分式方程，用表示，代入，求出的取值范圍，再根據(jù)關(guān)于的分式方程有正數(shù)解，求出，這樣也就求出的值．【解答】解：解不等式，得，，一元一次不等式組的解集為，，解分式方程，，解得，，，，關(guān)于的分式方程有正數(shù)解，或3，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上所述：的值是7或8．故選：．【點評】本題考查解一元一次不等式組、分式方程．掌握不等式解集的確定，轉(zhuǎn)化思想是解題關(guān)鍵．11．，其中，，，，是常數(shù)，且，則，，，，的大小順序是A． B． C． D．【考點】一元一次不等式的應(yīng)用【分析】本方程組牽涉5個未知數(shù)，，，，，經(jīng)觀察方程（1）與（2）、（2）與（3）、（3）與（4）、（4）與（5）、（5）與（1）均含有相同的兩個未知數(shù)，只要做差就會出現(xiàn)，通過的大小關(guān)系，即可確定，，，，的大小關(guān)系．【解答】解：方程組中的方程按順序兩兩分別相減得因為所以，，，，于是有故選：．【點評】本題如果直接比較，，，，的大小關(guān)系很難，那么考慮到方程（1）與（2）、（2）與（3）、（3）與（4）、（4）與（5）、（5）與（1）均含有相同的兩個未知數(shù)，通過比較，，，，的大小就容易的多了，本題要注意并不是任何兩個方程都能相減，需要消去兩個未知數(shù)，保留兩個未知數(shù)的差，這才是目的．二．填空題（共3小題）12．（2021秋?鼓樓區(qū)校級期中）已知關(guān)于的一元一次方的解為，那么關(guān)于的一元一次方程的解為．【考點】一元一次方程的解【分析】根據(jù)換元法得出，進而解答即可．【解答】解：關(guān)于的一元一次方程的解為，關(guān)于的一元一次方程中的，解得：，故答案是：．【點評】此題考查一元一次方程的解，關(guān)鍵是根據(jù)換元法解答．13．（2021秋?虹口區(qū)校級月考）無論取何值，關(guān)于、方程組都只有一組解，則3．【考點】根的判別式【分析】將②變形后代入①可整理出關(guān)于的一元二次方程，由方程組只有一組解，可得出，結(jié)合可以為任何值，可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出，的值，再將其代入中即可求出結(jié)論．【解答】解：．由②可得出③，將③代入①整理得：．無論取何值，關(guān)于、方程組都只有一組解，△，即，，，．故答案為：3．【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)△時，方程有兩個相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．14．已知等式對一切實數(shù)都成立，則，．【考點】解二元一次方程組【分析】根據(jù)條件“對于一切實數(shù)都成立”，將原式轉(zhuǎn)化為關(guān)于、的二元一次方程組解答．【解答】解：由于等式對一切實數(shù)都成立，所以，有解得．故答案為：，．【點評】本題考查了二元一次方程組的解法．解決本題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為關(guān)于、的二元一次方程組；體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．三．解答題（共4小題）15．（2021秋?三元區(qū)期中）為了響應(yīng)“踐行核心價值觀，傳遞青春正能量”的號召，小穎決定走入社區(qū)號召大家參加“傳遞正能量志愿服務(wù)者”．假定從一個人開始號召，每一個人每周能夠號召相同的個人參加，被號召參加的人下一周會繼續(xù)號召，兩周后，將有121人被號召成為“傳遞正能量志愿服務(wù)者”．（1）求出的值；（2）經(jīng)過計算后，小穎、小紅、小麗三人開始發(fā)起號召，但剛剛開始，她們就發(fā)現(xiàn)了同題，實際號召過程中，不是每一次號召都可以成功，而她們?nèi)说某晒β室哺鞑幌嗤?，已知小紅的成功率比小穎的兩倍少，第一周后小麗比小穎多號召成功4人，三人一共號召成功19人，其中小穎號召成功了人．求出值，并分別求出她們?nèi)颂栒俚某晒β剩究键c】一元二次方程的應(yīng)用【分析】（1）第一周一個人能夠號召個人參加，可得第一周結(jié)束共有個人參加，第二周個人可以號召個人，可得兩周后號召志愿者的人數(shù)有人，進而列出方程即可求出的值；（2）根據(jù)題意列出方程即可分別求出他們?nèi)颂栒俚某晒β?；根?jù)小紅的成功率比小穎的兩倍少，列出方程即可求出的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意，得，即，，，（舍去），答：的值為10；（2）根據(jù)題意，得小穎號召了人．小麗號召了人，小紅號召了人，所以小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為，因為小紅的成功率比小穎的兩倍少，所以，解得；所以小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為；答：的值為4，小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系．16．（2021秋?介休市期中）（1）解方程：．（2）下面是小明解一元二次方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解：二次系數(shù)化為1，得第一步移項，得第二步配方，得，即第三步由此，可得第四步所以，，第五步任務(wù)：①上面小明同學(xué)的解法中運用“配方法”將該一元二次方程“降次”為兩個一元一次方程，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，其中“配方法”所依據(jù)的一個數(shù)學(xué)公式是；②“第二步”變形的依據(jù)是；③上面小明同學(xué)解題過程中，從第步開始出現(xiàn)錯誤，請直接寫出正確的解是；④請你根據(jù)平時學(xué)習(xí)經(jīng)驗，就解一元二次方程時還需要注意的事項為其他同學(xué)提一條意見．【考點】解一元二次方程配方法；一元一次方程的定義；數(shù)學(xué)常識【分析】（1）利用提公因式法解出方程；（2）①根據(jù)轉(zhuǎn)化思想、完全平方公式解答；②根據(jù)移項的依據(jù)是等式的性質(zhì)解答；③根據(jù)完全平方公式判斷，再根據(jù)配方法求出方程的解；④根據(jù)解一元二次方程時，學(xué)生的常見錯誤給出意見．【解答】解：（1），移項，得，提公因式，得，則或，，；（2）①上面小明同學(xué)的解法中運用“配方法”將該一元二次方程“降次”為兩個一元一次方程，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，其中“配方法”所依據(jù)的一個數(shù)學(xué)公式是完全平方公式；②“第二步”變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)；③上面小明同學(xué)解題過程中，從第三步開始出現(xiàn)錯誤，正確的解是，；④解一元二次方程時需要注意的事項：先把方程化為一般形式、移項要變號、正確運用完全平方公式、解要化為最簡（答案不唯一），故答案為：①轉(zhuǎn)化思想；完全平方公式；②等式的性質(zhì)；③三；，．【點評】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握提公因式法、配方法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．17．（2021秋?南京期中）【閱讀材料】求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為的形式．求解二元一次