河北省衡水市十三中2024屆招生全國統(tǒng)一考試·數學試題

河北省衡水市十三中2024屆招生全國統(tǒng)一考試·數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知排球發(fā)球考試規(guī)則：每位考生最多可發(fā)球三次，若發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到次結束為止．某考生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數為，若的數學期望，則的取值范圍為()A． B． C． D．2．運行如圖程序，則輸出的S的值為（）A．0 B．1 C．2018 D．20173．在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為A1D1的中點，若三棱錐P?ABC的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A．12 B． C． D．104．如圖所示的程序框圖，當其運行結果為31時，則圖中判斷框①處應填入的是（）A． B． C． D．5．已知半徑為2的球內有一個內接圓柱，若圓柱的高為2，則球的體積與圓柱的體積的比為（）A． B． C． D．6．一物體作變速直線運動，其曲線如圖所示，則該物體在間的運動路程為（）m．A．1 B． C． D．27．，則與位置關系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面或相交8．若集合，，則（）A． B． C． D．9．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A． B． C． D．10．已知是等差數列的前項和，若，，則（）A．5 B．10 C．15 D．2011．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的整數的最大值為()A．7 B．15 C．31 D．6312．四人并排坐在連號的四個座位上，其中與不相鄰的所有不同的坐法種數是（）A．12 B．16 C．20 D．8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線C：（）的左、右焦點為，，為雙曲線C上一點，且，若線段與雙曲線C交于另一點A，則的面積為______.14．從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名代表，甲被選中的概率為__________.15．已知，為虛數單位，且，則=_____.16．已知數列為等差數列，數列為等比數列，滿足，其中，，則的值為_______________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數列是公差不為零的等差數列，其前項和為，，若，，成等比數列．（1）求及；（2）設，設數列的前項和，證明：．18．（12分）已知函數.（1）證明：當時，；（2）若函數有三個零點，求實數的取值范圍.19．（12分）已知公差不為零的等差數列的前n項和為，，是與的等比中項.（1）求；（2）設數列滿足，，求數列的通項公式.20．（12分）過點作傾斜角為的直線與曲線（為參數）相交于M、N兩點．（1）寫出曲線C的一般方程；（2）求的最小值．21．（12分）在如圖所示的四棱錐中，四邊形是等腰梯形，，，平面，，.（1）求證：平面；（2）已知二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）如圖，正方形所在平面外一點滿足，其中分別是與的中點.（1）求證：；（2）若，且二面角的平面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據題意，分別求出再根據離散型隨機變量期望公式進行求解即可【詳解】由題可知，，，則解得，由可得，答案選A【點睛】本題考查離散型隨機變量期望的求解，易錯點為第三次發(fā)球分為兩種情況：三次都不成功、第三次成功2、D【解析】

依次運行程序框圖給出的程序可得第一次：，不滿足條件；第二次：，不滿足條件；第三次：，不滿足條件；第四次：，不滿足條件；第五次：，不滿足條件；第六次：，滿足條件，退出循環(huán)．輸出1．選D．3、C【解析】

取B1C1的中點Q，連接PQ，BQ，CQ，PD，則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱，此直三棱柱和三棱錐P?ABC有相同的外接球，求出等腰三角形的外接圓半徑，然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【詳解】如圖，取B1C1的中點Q，連接PQ，BQ，CQ，PD，則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱，所以該直三棱柱的六個頂點都在球O的球面上，的外接圓直徑為，球O的半徑R滿足，所以球O的表面積S=4πR2=，故選：C.【點睛】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長的關系，及球的表面積公式，解題時要注意審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題.4、C【解析】

根據程序框圖的運行，循環(huán)算出當時，結束運行，總結分析即可得出答案.【詳解】由題可知，程序框圖的運行結果為31，當時，；當時，；當時，；當時，；當時，.此時輸出.故選：C.【點睛】本題考查根據程序框圖的循環(huán)結構，已知輸出結果求條件框，屬于基礎題.5、D【解析】

分別求出球和圓柱的體積，然后可得比值.【詳解】設圓柱的底面圓半徑為，則，所以圓柱的體積.又球的體積，所以球的體積與圓柱的體積的比，故選D.【點睛】本題主要考查幾何體的體積求解，側重考查數學運算的核心素養(yǎng).6、C【解析】

由圖像用分段函數表示，該物體在間的運動路程可用定積分表示，計算即得解【詳解】由題中圖像可得，由變速直線運動的路程公式，可得．所以物體在間的運動路程是．故選：C【點睛】本題考查了定積分的實際應用，考查了學生轉化劃歸，數形結合，數學運算的能力，屬于中檔題.7、D【解析】結合圖(1)，(2)，(3)所示的情況，可得a與b的關系分別是平行、異面或相交．選D．8、B【解析】

根據正弦函數的性質可得集合A，由集合性質表示形式即可求得，進而可知滿足.【詳解】依題意，；而，故，則.故選：B.【點睛】本題考查了集合關系的判斷與應用，集合的包含關系與補集關系的應用，屬于中檔題.9、C【解析】

根據在關于對稱的區(qū)間上概率相等的性質求解．【詳解】，，，．故選：C．【點睛】本題考查正態(tài)分布的應用．掌握正態(tài)曲線的性質是解題基礎．隨機變量服從正態(tài)分布，則．10、C【解析】

利用等差通項，設出和，然后，直接求解即可【詳解】令，則，，∴，，∴.【點睛】本題考查等差數列的求和問題，屬于基礎題11、B【解析】試題分析：由程序框圖可知：①，；②，；③，；④，；⑤，.第⑤步后輸出，此時，則的最大值為15，故選B.考點：程序框圖.12、A【解析】

先將除A，B以外的兩人先排，再將A，B在3個空位置里進行插空，再相乘得答案.【詳解】先將除A，B以外的兩人先排，有種；再將A，B在3個空位置里進行插空，有種，所以共有種.故選：A【點睛】本題考查排列中不相鄰問題，常用插空法，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由已知得即，,可解得,由在雙曲線C上,代入即可求得雙曲線方程,然后求得直線的方程與雙曲線方程聯立求得點A坐標,借助,即可解得所求.【詳解】由已知得，又，，所以，解得或，由在雙曲線C上，所以或，所以或（舍去），因此雙曲線C的方程為.又，所以線段的方程為，與雙曲線C的方程聯立消去x整理得，所以，，所以點A坐標為，所以.【點睛】本題主要考查直線與雙曲線的位置關系,考查雙曲線方程的求解,考查求三角形面積,考查學生的計算能力,難度較難.14、【解析】

甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,根據公式即可求得概率.【詳解】甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,.故答案為:.【點睛】本題考查古典概型的概率的計算,考查學生分析問題的能力,難度容易.15、4【解析】

解：利用復數相等，可知由有．16、【解析】

根據題意，判斷出，根據等比數列的性質可得，再令數列中的，，，根據等差數列的性質，列出等式，求出和的值即可.【詳解】解：由，其中，，可得，則，令，，可得.①又令數列中的，，，根據等差數列的性質，可得，所以.②根據①②得出，.所以.故答案為.【點睛】本題主要考查等差數列、等比數列的性質，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據題中條件求出等差數列的首項和公差，然后根據首項和公差即可求出數列的通項和前項和；（2）根據裂項求和求出，根據的表達式即可證明.【詳解】（1）設的公差為，由題意有，且，所以，；（2）因為，所以，.【點睛】本題主要考查了等差數列基本量的求解，裂項求和法，屬于基礎題.18、（1）見解析；（2）【解析】

（1）要證明，只需證明即可；（2）有3個根，可轉化為有3個根，即與有3個不同交點，利用導數作出的圖象即可.【詳解】（1）令，則，當時，，故在上單調遞增，所以，即，所以.（2）由已知，，依題意，有3個零點，即有3個根，顯然0不是其根，所以有3個根，令，則，當時，，當時，，當時，，故在單調遞減，在，上單調遞增，作出的圖象，易得.故實數的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數證明不等式以及研究函數零點個數問題，考查學生數形結合的思想，是一道中檔題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）根據題意，建立首項和公差的方程組，通過基本量即可寫出前項和；（2）由（1）中所求，結合累加法求得.【詳解】（1）由題意可得即又因為，所以，所以.（2）由條件及（1）可得.由已知得，所以.又滿足上式，所以【點睛】本題考查等差數列通項公式和前項和的基本量的求解，涉及利用累加法求通項公式，屬綜合基礎題.20、（1）；（2）．【解析】

（1）將曲線的參數方程消參得到普通方程；（2）寫出直線MN的參數方程，將參數方程代入曲線方程，并將其化為一個關于的一元二次方程，根據，結合韋達定理和余弦函數的性質，即可求出的最小值.【詳解】（1）由曲線C的參數方程（是參數），可得，即曲線C的一般方程為．（2）直線MN的參數方程為（t為參數），將直線MN的參數方程代入曲線，得，整理得，設M，N對應的對數分別為，，則，當時，取得最小值為．【點睛】該題考查的是有關參數方程的問題，涉及到的知識點有參數方程向普通方程的轉化，直線的參數方程的應用，屬于簡單題目.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）由已知可得，結合，由直線與平面垂直的判定可得平面；（2）由（1）知，，則，，兩兩互相垂直，以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，設，0，，由二面角的余弦值為求解，再由空間向量求解直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）證明：因為四邊形是等腰梯形，，，所以.又，所以，因此，，又，且，，平面，所以平面.（2）取的中點，連接，，由于，因此，又平面，平面，所以.由于，，平面，所以平面，故，所以為二面角的平面角.在等腰三角形中，由于，因此，又，因為，所以，所以以為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標系，則，，，，設平面的法向量為所以，即，令，則，，則平面的法向量，，設直線與平面所成角為，則【點睛】本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了利用空間向量求解空間角，屬于中檔題．22、（1）證明見解析（2）【解