《電路基礎 》課件第2章

2.1電阻電路的等效

2.2支路電流法

2.3節(jié)點電壓法

2.4疊加定理

2.5等效電源定理

2.6最大功率傳輸定理

2.7本章實訓戴維南定理的驗證第2章電路的基本分析方法2.1.1等效及等效化簡

對電路進行等效變換是指結構、元件參數(shù)不相同的兩部分電路N1、N2，若端口具有相同的伏安特性，則稱它們彼此等效，如圖2.1所示。由此，當用N1代替N2時，將不會改變N2所在電路其他部分的電流、電壓，反之亦成立。這種分析電路的方法稱為電路的等效變換。用簡單電路等效代替復雜電路可簡化整個電路的計算。2.1電阻電路的等效圖2.1電路的等效

1.電阻的串聯(lián)

幾個電阻依次串接起來，中間沒有分支的連接方式，稱為電阻的串聯(lián)。圖2.2(a)所示為兩個電阻的串聯(lián)電路。

圖2.2(a)中串聯(lián)的電阻R1、R2可用圖2.2(b)中的一個電阻R來等效，電阻之間的等效關系為

R=R1+R2

若有n個電阻串聯(lián)，則等效電阻為

即串聯(lián)電路等效電阻等于各電阻之和。圖2.2電阻串聯(lián)電路的等效在串聯(lián)電路中，當總電壓一定時，各電阻上電壓的大小與它的電阻值成正比。兩電阻串聯(lián)電路的分壓公式為

2.電阻的并聯(lián)

幾個電阻跨接在相同兩點的連接方式，稱為電阻的并聯(lián)，圖2.3(a)所示為兩個電阻的并聯(lián)電路。

圖2.3(a)中并聯(lián)的電阻R1、R2可用圖2.3(b)中的一個電阻R來等效。電阻之間的等效關系為

若有n個電阻并聯(lián)，則有

圖2.3電阻并聯(lián)電路的等效或者

即并聯(lián)電路等效電阻的倒數(shù)等于各電阻倒數(shù)之和，或等效電導等于各電導之和。

在并聯(lián)電路中，當總電流一定時，各電阻上電流的大小與它的電阻值成反比。兩電阻并聯(lián)電路的分流公式為

3.電阻的混聯(lián)

電路中，既有電阻并聯(lián)又有電阻串聯(lián)，稱為電阻的混聯(lián)，如圖2.4所示。圖2.4中混聯(lián)的電阻也可用一個電阻R來等效，其等效電阻為

R=［(R3+R4)∥R5+R2］∥R1

圖2.4電阻混聯(lián)電路

例2-1

如圖2.5(a)所示電路，求a、d間的等效電阻(設R1=R2=R3)。

解從電阻的連接關系看，3個電阻為并聯(lián)關系，如圖2.5(b)所示。故

圖2.5例2-1圖

例2-2

電路如圖2.6(a)所示，計算a、b兩端的等效電阻Rab。

解在圖2.6(a)中，1Ω電阻被短路，可化簡為圖2.6(b)所示電路。在該電路中，3Ω電阻與6Ω電阻并聯(lián)，再化簡為圖2.6(c)所示的電路。在該電路中，2Ω電阻與7Ω電阻串聯(lián)，而后再與9Ω電阻并聯(lián)，最后簡化為圖2.6(d)所示的電路，等效電阻為

圖2.6例2-2圖2.1.2星形和三角形電阻網(wǎng)絡的等效變換

有些電路中電阻連接既非串聯(lián)也非并聯(lián)，這時就不能用串并聯(lián)進行等效化簡。對于這種復雜電路可采用Y-△網(wǎng)絡變換進行等效。

星形(Y形)網(wǎng)絡和三角形(△形)網(wǎng)絡如圖2.7(a)、(b)所示。星形網(wǎng)絡中，三個電阻的一端連在公共點上，另一端分別接在三個端鈕上；三角形網(wǎng)絡中，三個電阻首尾相連，并引出三個端鈕。圖2.7電阻的Y形連接、△形連接假設端鈕3斷開，端口1、2的入端電阻相等，即

(2-1)

假設端鈕2斷開，端口1、3的入端電阻相等，即

(2-2)假設端鈕1斷開，端口2、3的入端電阻相等，即

(2-3)

將上面3式聯(lián)立求解得

(2-4)

(2-5)

(2-6)將式(2-4)、式(2-5)、式(2-6)聯(lián)立，同樣可以推導得到電阻的Y形連接變換到△形連接時的公式，即

(2-7)

(2-8)

(2-9)

當進行Y-△形等效變換的三個電阻相等時，有

R△=3RY

(2-10)

例2-3

對圖2.8(a)的電橋電路應用Y-△變換，并求電壓Uab。

解利用Y-△等效變換，得到圖2.8(b)所示的等效電路，其中

電路右半部分的等效電阻Rab為

則a、b兩點間電壓Uab為

Uab=5×Rab=5×30=150V圖2.8例2-3圖支路電流法是分析電路最基本的方法，這種方法是以支路電流為未知量，直接應用KCL和KVL分別對節(jié)點和回路列出所需要的節(jié)點電流方程及回路電壓方程，然后聯(lián)立求解，得出各支路的電流值。

下面以圖2.9所示的電路為例，說明支路電流法的求解過程。2.2支路電流法圖2.9支路電流法圖例圖2.9中的電路共有3個支路、兩個節(jié)點和3個回路。已知各電源電壓值和各電阻的阻值，求解3個未知支路的電流I1、I2、I3，需要列出三個獨立方程聯(lián)立求解。所謂獨立方程是指該方程不能通過已經(jīng)列出的方程線性變換而來。

列方程時，必須先選定各支路電流的參考方向，并標明在電路圖上。根據(jù)KCL，列出節(jié)點a和b的KCL方程為

－I1+I2－I3=0

(2-11)

I1－I2+I3=0

(2-12)顯然，式（2-11）和式（2-12）實際相同，所以只有1個方程是獨立的，可見兩個節(jié)點只能列1個獨立的電流方程。

可以證明：若電路中有n個節(jié)點，則應用KCL只能列出n－1個獨立的節(jié)點電流方程。

其次，選定回路繞行方向，一般選順時針方向，并標明在電路圖上。根據(jù)KVL，列出各回路的電壓方程。

對于回路Ⅰ，可列出

I1R1－Us1+I2R2=0

(2-13)

對于回路Ⅱ，可列出

－I2R2+Us3－I3R3=0

(2-14)對于回路Ⅲ，可列出

I1R1－Us1+Us3－I3R3=0

(2-15)

從式（2-13）、式（2-14）和式（2-15）可以看出，這三個方程中任何一個方程都可以從其他兩個方程中導出，所以只有兩個方程是獨立的。這正好是求解三個未知電流所需的其余方程的數(shù)目。

同樣可以證明，對于含有b條支路、n個節(jié)點、m個網(wǎng)孔的平面電路，必含有m個獨立的回路，且m=b－(n－1)。網(wǎng)孔是最容易選擇的獨立回路?？傊瑢τ诰哂衎條支路、n個節(jié)點、m

個網(wǎng)孔的電路，應用KCL可以列出n－1個獨立節(jié)點的電流方程，應用KVL可以列出m個網(wǎng)孔電壓方程，而獨立方程總數(shù)為(n－1)+m，恰好等于支路數(shù)b，所以方程組有唯一解。如圖2.9，可以聯(lián)立式（2-11）、式（2-13）及式（2-14），有

支路電流法的一般步驟如下：

（1）選定支路電流的參考方向和獨立回路的繞行方向，標明在電路圖上。

（2）根據(jù)KCL列出獨立節(jié)點的電流方程，n個節(jié)點可列n－1個獨立電流方程。

（3）根據(jù)KVL列出獨立回路的電壓方程，網(wǎng)孔數(shù)等于獨立回路數(shù)，m個網(wǎng)孔可列m個獨立電壓方程。

（4）聯(lián)立求解上述方程組，求得各支路電流。

（5）依據(jù)元件的伏安關系（VCR）進一步求解各支路電壓。

例2-4

電路如圖2.10所示，用支路電流法求各支路的電流。

解選定并標出支路電流I1、I2、I3的參考方向如圖2.10所示。由節(jié)點a列KCL方程，有

－I1－I2+I3=0

選定網(wǎng)孔繞行方向，如圖2.10所示，由網(wǎng)孔Ⅰ列KVL方程，有

－12+3I1－9－6I2=0

由網(wǎng)孔Ⅱ列KVL方程，有

6I2+9+3I3=0圖2.10例2-4電路圖聯(lián)立以上三個方程，求解得

I1=3A，I2=－2A，I3=1A

在用支路電流法分析含有理想電流源的電路時，對含有理想電流源的回路，應將理想電流源的端電壓列入回路電壓方程。此時，電路增加一個變量，應該補充一個相應的輔助方程，該方程可由電流源所在支路的電流為已知來引出。第二種處理方法是，由于理想電流源所在支路的電流為已知，在選擇回路時也可以避開理想電流源支路。

例2-5

電路如圖2.11所示，用支路電流法求各支路電流。解選定并標出支路電流I1、I2、I3以及電流源端電壓U0的參考方向，并選定網(wǎng)孔繞向，如圖2.11所示。列KCL方程，得

－I1－I2+I3=0

列KVL方程，得

－2+2I1+U0=0

－U0+2I3+2=0圖2.11例2-5電路圖補充一個輔助方程

I2=2A

聯(lián)立方程組，解得

I1=－1A，I2=2A，I3=1A，U0=4V

圖2.12所示電路有三個節(jié)點，選擇0點為參考節(jié)點，則其余兩個為獨立節(jié)點，設獨立節(jié)點的電壓為Ua、Ub。圖2.12節(jié)點電壓法圖例2.3節(jié)點電壓法各支路電流在圖示參考方向下與節(jié)點電壓存在以下關系

(2-16)對節(jié)點a、b分別列寫KCL方程

－Is1+I1+I2+I3=0

－I2－I3+I4+I5=0

將式（2-16）代入以上兩式，可得

－Is1+G1Ua+G2(Ua－Ub－Us2)+G3(Ua－Ub)=0

－G2(Ua－Ub－Us2)－G3(Ua－Ub)+G4Ub+G5(Ub－Us5)=0整理得

(2-17)

式（2-17）可以概括為如下形式

(2-18)式（2-18）是具有兩個獨立節(jié)點的節(jié)點電壓方程的一般形式，有如下規(guī)律:

（1）Gaa、Gbb分別稱為節(jié)點a、b的自電導，Gaa=G1+G2+G3，Gbb=G2+G3+G4+G5，其數(shù)值等于各獨立節(jié)點所連接的各支路的電導之和，它們總取正值。

（2）Gab、Gba稱為節(jié)點a、b的互電導，Gab=Gba=

－(G2+G3)，其數(shù)值等于兩節(jié)點間的各支路電導之和，它們總取負值。

（3）Isaa、Isbb分別稱為流入節(jié)點a、b的等效電流源的代數(shù)和，若是電壓源與電阻串聯(lián)的支路，則看成是已變換了的電流源與電導相并聯(lián)的支路。當電流源的電流方向指向相應節(jié)點時取正號，反之，則取負號。式（2-18）可推廣到具有n個節(jié)點的電路，應該有n－1個獨立節(jié)點，可寫出節(jié)點電壓方程的一般形式為

(2-19)根據(jù)以上分析，可歸納節(jié)點電壓法的一般步驟如下：

（1）選定參考節(jié)點0，用“⊥”符號表示，并以獨立節(jié)點的節(jié)點電壓為電路變量。

（2）按上述規(guī)則列出節(jié)點電壓方程。

（3）聯(lián)立并求解方程組，求得各節(jié)點電壓。

（4）根據(jù)節(jié)點電壓與支路電流的關系，求得各支路電流。

例2-6

電路如圖2.13所示，用節(jié)點電壓法求各支路電流。

解該電路有3個節(jié)點，以0點為參考節(jié)點，獨立節(jié)點a、b的電壓分別設為Ua、Ub，列節(jié)點電壓方程為

化簡得

圖2.13例2-6電路圖解方程組得

Ua=4V，

Ub=－4V

根據(jù)圖中標出的各支路的電流參考方向，可計算得

例2-7

電路如圖2.14所示，用節(jié)點電壓法求電流I1、I2、I3。

解該電路有4個節(jié)點，以0點為參考節(jié)點，獨立節(jié)點a、b、c的電壓分別設為Ua、Ub、Uc。因為節(jié)點c與參考節(jié)點0連接有理想電壓源，有Uc=－1V，再列節(jié)點a、b兩端的電壓方程為

節(jié)點a：

節(jié)點b：圖2.14例2-7電路圖聯(lián)立，化簡得

補充一個輔助方程

Uc=－1

解得

Ua=1V，Ub=－2V

對節(jié)點c有

∑I=－I1+2+I2+I3=0

I3=I1－2－I2=4－2－1=1A

例2-8

電路如圖2.15所示，用節(jié)點電壓法求各支路電流。

解根據(jù)節(jié)點電壓法，以0點為參考點，只有一個獨立節(jié)點a，有

圖2.15例2-8電路圖根據(jù)各支路電流的參考方向，有

對節(jié)點a進行電流驗證

∑I=－I1+I2－5+I3=－3+4－5+4=0A對于圖2.15所示電路，因為只有一個獨立節(jié)點，其節(jié)點電壓方程寫成一般式為

(2-20)

疊加定理是分析線性電路的一個重要定理，下面以圖2.16所示電路為例說明線性電路的疊加性。

對于圖2.16（a）電路，由彌爾曼定理得

（2-21）2.4疊加定理圖2.16疊加定理圖例運用疊加定理時，必須注意以下幾點：

(1)疊加定理只適用于線性電路，不適用于非線性電路。

(2)疊加定理只適用于計算電壓和電流，不適用于計算功率。

(3)疊加時，必須注意電壓和電流的參考方向。

(4)所謂電源單獨作用是指當一個電源單獨作用時，其他電源置零。其中，理想電壓源置零相當于短路；理想電流源置零相當于開路。

例2-9

電路如圖2.17(a)所示，試用疊加定理求電流I。

解

(1)60V電壓源單獨工作時，將40V電壓源短路，如圖2.17(b)所示,有

(2)40V電壓源單獨作用時，將60V電壓源短路，如圖2.17(c)所示,有

(3)兩電源共同作用時，由于方向一致，所以

I=I′+I″=5+1.67=6.67A圖2.17例2-9圖

例2-10

應用疊加定理求圖2.18(a)所示電路中的電流I和電壓U。

解畫出5V電壓源和10A電流源分別單獨作用的電路圖，如圖2.18（b）和圖2.18(c)所示，并標出分電流和分電壓的參考方向。

圖2.18（b）中:

圖2.18(c)中:

圖2.18例2-10電路圖

疊加后，有

I=I′－I″=1－6=－5A

U=U′+U″=3+12=15V

在線性電路中，當所有激勵（電壓源和電流源）都同時增大或縮小K倍（K為實常數(shù)），電路響應（電壓和電流）也將同樣增大或縮小K倍，這就是線性電路的齊次定理，它不難從疊加定理推得。應當指出，這里的激勵是指獨立電源，并且必須全部激勵同時增大或縮小K倍，否則將導致錯誤。在一些復雜電路計算中，有時只需求解某條支路的電流，如果仍用支路電流法或節(jié)點電壓法求解，計算就太繁瑣了。這時可以把這條支路以外的電路用等效電源定理進行化簡。等效電源定理又稱二端網(wǎng)絡定理。所謂二端網(wǎng)絡是指具有兩個引出端的部分電路。二端網(wǎng)絡分為有源二端網(wǎng)絡與無源二端網(wǎng)絡兩種，其中不含電源的二端網(wǎng)絡稱為無源二端網(wǎng)絡，如圖2.19所示的電阻混聯(lián)電路。無源二端網(wǎng)絡可用一個等效電阻代替。含有電源的二端網(wǎng)絡稱為有源二端網(wǎng)絡，如圖2.20所示。有源二端網(wǎng)絡可用電源和電阻組合來等效代替。2.5等效電源定理圖2.19無源二端網(wǎng)絡圖2.20有源二端網(wǎng)絡2.5.1戴維南定理

任何一個線性有源二端網(wǎng)絡，就其外部特性而言，總可以用一個電壓源與電阻的串聯(lián)組合來等效代替。電壓源的數(shù)值和極性與引出端開路時的開路電壓Uoc相同；電阻等于該有源二端網(wǎng)絡中所有獨立源置零(電壓源短路、電流源開路)時從引出端看進去的入端電阻Ri,這就是戴維南定理。戴維南等效電路如圖2.21所示。圖2.21戴維南等效電路

例2-11

求圖2.22(a)所示電路的戴維南等效電路。

解

(1)a、b兩端開路電壓為

(2)a、b兩端入端電阻為

(3)戴維南等效電路如圖2.22(b)所示。圖2.22例2-11圖

例2-12

電路如圖2.23（a）所示，應用戴維南定理求電流I。

解（1）根據(jù)戴維南定理，將待求支路移開，形成有源二端網(wǎng)絡，如圖2.23（b）所示，可求開路電壓Uoc。因為此時I(1)=0，所以電流源電流2A全部流過2Ω電阻，有

Uoc=2×2+10=14V

（2）作出相應的無源二端網(wǎng)絡如圖2.23(c)所示，其等效電阻為

Ri=2Ω

（3）作出戴維南等效電路，并與待求支路相連，如圖2.23(d)所示，求得圖2.23例2-12圖2.5.2諾頓定理

任何一個線性有源二端網(wǎng)絡，就其外部特性而言，總可以用一個電流源和電阻的并聯(lián)組合來等效代替。電流源數(shù)值和極性與引出端短路時的短路電流Isc相同；電阻等于該有源二端網(wǎng)絡中所有獨立源置零時從引入端得到的入端電阻Ri，這就是諾頓定理。諾頓等效電路如圖2.24所示。圖2.24諾頓等效電路

例2-13

求圖2.25（a）所示有源二端網(wǎng)絡的諾頓等效電路。

解（1）根據(jù)諾頓定理，將a、b兩端短接，求得電流Isc，如圖2.25（b）所示。設電流I1、I2如圖2.25(b)所示。因為Uab=0，有

解得

I1=－2A，I2=1A

圖2.25例2-13圖又根據(jù)節(jié)點a列寫KCL方程，有

I1+I2－2+Isc=0

Isc=－I1－I2+2=－(－2)－1+2=3A

（2）作出相應的無源二端網(wǎng)絡如圖2.25(c)所示，其等效電阻為

（3）作出諾頓等效電路如圖2.25(d)所示，該電路就是2.25(a)所示的有源二端網(wǎng)絡的諾頓等效電路。給定線性有源二端網(wǎng)絡，輸出端接不同負載，所獲得的功率也不同。在電子技術中經(jīng)常希望負載能獲得最大功率，比如一臺擴音機希望所接的喇叭能放出的聲音最大，那么，負載應滿足什么條件能獲得最大功率呢？

圖2.26(a)表示線性有源二端網(wǎng)絡Ns向負載RL傳輸功率，設Ns可以用戴維南等效電路替代，如圖2.26(b)所示。2.6最大功率傳輸定理圖2.26最大功率傳輸定理圖解圖2.26(b）中，流經(jīng)負載RL的電流為

負載所獲得的功率為

由此可見，負載得到的功率是關于可變負載RL的非線性函數(shù)。要使P最大，應使dP／dRL=0，由此可得出P為最大值時RL的數(shù)值，即

因此

RL=Ri

（2-22）

此時，負載獲得的最大功率為

(2-23)

“匹配”時電路傳輸?shù)男蕿?/p>

例2-14

電路如圖2.27（a）所示，負載RL可調，當RL為何值時，RL可獲得最大功率？并求此最大功率Pmax。

解（1）先將圖2.27（a）中負載RL移開，形成有源二端網(wǎng)絡，如圖2.27（b）所示，求開路電壓Uoc，由KVL，有

10－20+(10+10)I=0

I=0.5A

Uoc=10I=10×0.5=5V

(2）作出相應無源二端網(wǎng)絡如圖2.27（c）所示。其等效電阻為

圖2.27例2-14圖（3