《高等數(shù)學(xué)》課件第4章

第4章不定積分

4.1原函數(shù)與不定積分

4.2換元積分法

4.3分部積分法

4.4簡單有理積分

本章小結(jié)

4.1原函數(shù)與不定積分

4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念微分學(xué)中研究的一個基本問題是求一個已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).在實際問題中，還常常會遇到相反的問題，即已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求原來的函數(shù)，這就形成了“原函數(shù)”的概念.一般地，如果已知F′(x)=f(x)，如何求F(x)？為此引入下述定義.定義4-1設(shè)函數(shù)f(x)在某區(qū)間上有定義，若存在函數(shù)F(x)對于該區(qū)間上任一點x，使得F′(x)=f(x)(或dF(x)=f(x)dx)，則稱函數(shù)F(x)是已知函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的一個原函數(shù).例4-1設(shè)函數(shù)f(x)=cosx，x∈(－∞，+∞)，求其原函數(shù).

解由于函數(shù)F(x)=sinx在區(qū)間(－∞，+∞)上滿足(sinx)′=cosx，所以F(x)=sinx是f(x)=cosx的一個原函數(shù).不難看出，sinx+1、sinx+2、sinx+C(C為任意常數(shù))，都是f(x)=cosx的原函數(shù).由此可得如下結(jié)論：

(1)如果函數(shù)F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則F(x)+C(C為任意常數(shù))都是f(x)的原函數(shù)；

(2)如果函數(shù)F(x)和G(x)都是f(x)的原函數(shù)，則F(x)和G(x)僅相差一個常數(shù).一般地，如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則F(x)+C表示了f(x)的全部原函數(shù).定義4-2函數(shù)f(x)的全部原函數(shù)族F(x)+C叫做f(x)的不定積分，記作

其中，“∫”稱為積分號；x稱為積分變量；f(x)叫做被積函數(shù)；f(x)dx稱為被積表達式；C稱為積分常數(shù).由定義4-2知，求函數(shù)f(x)的不定積分實際上只需要求出一個原函數(shù)，再加上任意常數(shù)C，即可得到其全部原函數(shù).例4-2求函數(shù)f(x)=e－5x的不定積分.解因為，所以的一個原函數(shù)，因此

例4-3求.

解因為，所以arctanx是的一個原函數(shù)，因此（C為任意常數(shù)）

從幾何上看，當(dāng)積分常數(shù)C變動時，不定積分表示的不只是一個函數(shù)，而是一族函數(shù)，如圖4-1所示.對于一個給定的積分常數(shù)C，F(xiàn)(x)+C就表示了一條確定的曲線，稱之為f(x)的一條積分曲線.由于C可以取任意值，因此不定積分∫f(x)dx=F(x)+C表示了f(x)的一族積分曲線，其中每一條積分曲線都可以由曲線y=F(x)沿y軸上、下平移得到，并且在每一條積分曲線上橫坐標(biāo)相同的點處的切線互相平行.圖4-1例4-4求過點(1，2)且切線斜率為2x的曲線方程.

解由于∫2xdx=x2+C故得積分曲線族y=x2+C將x=1和y=2代入上式，得C=1因此，所求曲線方程為y=x2+14.1.2不定積分的性質(zhì)

性質(zhì)4-1不定積分與微分互為逆運算.

(1)［∫f(x)dx］′=f(x)或d［∫f(x)dx］=f(x)dx

(4-2)

(2)∫F′(x)dx=F(x)+C或∫dF(x)=F(x)+C

(4-3)

顯然，式(4-2)表明:不定積分的導(dǎo)數(shù)(或微分)等于被積函數(shù)(或被積表達式).如式(4-3)表明:對于一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)求不定積分，其結(jié)果與該函數(shù)僅相差一個積分常數(shù).性質(zhì)4-2被積表達式中的非零常數(shù)因子，可以提取到積分號前.即∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

(4-4)

性質(zhì)4-3兩個函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于各自不定積分的代數(shù)和.即∫［f(x)±g(x)］dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

(4-5)式(4-5)還可以推廣到任意有限多個函數(shù)代數(shù)和的情形，即∫［f1(x)±f2(x)±…±fn(x)］dx

=∫f1(x)dx±∫f2(x)dx±…±∫fn(x)dx(4-6)4.1.3不定積分的基本積分公式由于不定積分是微分的逆運算，因此由基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式可以得到相應(yīng)的積分公式.

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)；

(7)；

(8)；

(9)；

(10)；

(11)；

(12)；利用基本初等函數(shù)的積分公式表和不定積分的性質(zhì)，可求出一些簡單函數(shù)的不定積分，通常把這種方法叫做直接積分法.例4-5求

解

在上式中逐項積分后，每個不定積分都含有任意常數(shù)，由于任意常數(shù)之和仍為任意常數(shù)，因此只需用一個C表示即可.例4-6求.解在進行不定積分計算時，有時需要把被積函數(shù)做適當(dāng)?shù)淖冃?，再利用基本積分公式及其性質(zhì)進行積分.例4-7求下列不定積分(1)；(2)；解(1)原式(2)原式例4-8求.解4.2換元積分法

4.2.1第一類換元積分(湊微分法)對于積分∫cos3xdx，在積分公式中雖有∫cosxdx=sinx+C，但是卻不能利用該公式得到∫cos3xdx=sin3x+C，這是因為(sin3x+C)′=3cos3x.此時可利用變量代換的方法，先把所求積分化為∫cosxdx=sinx+C的形式，再利用公式計算.如這樣一來，不定積分基本積分公式的適用范圍可變得更廣泛.例4-9求.解因為2xdx=dx2

，所以令x2=u，于是例4-10求.解令4－3x=u，從而有，于是在湊微分較為熟練的情形下，可以省略換元及回代過程.

例4-11求下列不定積分.

(1)；(2)；

(3)；(4).解

(1)原式=；

(2)原式=；

(3)原式(4)原式例4-12求下列不定積分.(1)；(2)；(3)；(4)

.解

(1)(2)(3)(4)同理可求得.運用湊微分法的難點在于應(yīng)該把被積函數(shù)中的哪一部分湊成∫dφ(x)的形式，這需要經(jīng)驗.下面給出一些常見的微分公式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)sinxdx=d(－cosx)；(8)cosxdx=dsinx；(9)；(10)exdx=d(ex)=d(ex+C)；(11)sec2xdx=d(tanx)；(12)csc2xdx=－d(cotx).例4-13求∫(ax+b)ndx(a、b為常數(shù)，a≠0).解例4-14求∫x(1+x2)100dx.解

例4-15求.

解

例4-16求

.解

例4-17求解4.2.2第二類換元積分法

問題：如何求？解法：如果令x=sint，那么由此可引申出如下定理：定理4-2若∫f［φ(x)］φ′(x)dx=F(x)+C，且x=φ(t)是單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)φ′(t)≠0時有(4-8)將這種求積分的方法叫做第二類換元積分法.式(4-8)中φ－1(x)是x=φ(t)的反函數(shù).證明由于所以需要注意的是，第二類換元積分法主要是解決被積函數(shù)中帶根號的一類積分，去掉根號是選擇代換函數(shù)的主要思路.例4-18求.解設(shè)，則x=5－t2，dx=－2tdt.例4-19求.解令x=t4(t>0)，則dx=4t3dt.例4-20求.解令x=asint，，則有，從而有由圖4-2所示三角形，得，故圖4-2例4-21求(a>0).解令x=atant，，則dx=asec2tdt

由圖4－3所示直角三角形，得，故圖4-3例4-22求.解令x=asect，，則dx=asecttantdt，于是由圖4-4所示直角三角形，得圖4-4由以上幾個例子可以看出：

(1)當(dāng)被積函數(shù)含有根式時，令ax+b=tn(t>0).

(2)當(dāng)被積函數(shù)含根式和時，令ax+b=tn，(t>0).其中n為n1和n2的最小公倍數(shù).

(3)當(dāng)被積函數(shù)分別含有根式、、時，可做如下三角代換：①含有時，令；②含有時，令；③含有時，令.4.3分部積分法利用換元積分法可以求許多函數(shù)的不定積分，然而還有一些不定積分，如∫lnxdx、∫xsinxdx、∫x2exdx等還是不能用換元積分法計算，對此，我們可以用下面介紹的分部積分法來解決.

設(shè)函數(shù)u=u(x)、v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)乘積微分法則

d(uv)=vdu+udv

移項，得udv=d(uv)－vdu

對上式兩邊積分，可得∫udv=uv－∫vdu

(4-9)式(4-9)稱為分部積分公式.例4-23求∫xsinxdx.解令u=x，dv=sinxdx，則du=dx，v=－cosx,∫xsinxdx=－xcosx+∫cosxdx=－xcosx+sinx+C

在該例中，若令u=sinx，dv=xdx，則顯然，該式右端的積分比原積分更復(fù)雜，所以不能這樣選擇u和dv.分部積分法的所謂分部就是將被積分表達式分解成u和dv兩部分(一定要保證udv等于被積表達式)，正確運用分部積分公式的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)倪x取u和dv，如果對其選擇不當(dāng)，就有可能求不出積分結(jié)果或者計算很困難.一般來說選擇u和dv的原則是：

(1)由v′要容易求出v；

(2)∫vdu要比原積分∫udv容易計算.例4-24求∫x2exdx.解設(shè)u=x2，則v=ex，因此∫x2exdx=∫x2dex=x2ex－2∫xexdx

=x2ex－2∫xdex

=x2ex－2xex+2∫exdx

=x2ex－2xex+2ex+C=ex(x2－2x+2)+C

例4-24表明，有時求積分時，需要多次運用分部積分公式才能求出積分.但應(yīng)注意，在多次應(yīng)用分部積分公式時，u必須是同類函數(shù).當(dāng)運算較為熟練時，u和v可以不再寫出.結(jié)論4-1當(dāng)積分是形如“∫xnsinxdx”、“∫xncosxdx”、“∫xnexdx”等時，均取u=xn.說明:以上所列類型中的xn可換成更一般的形式pn(x)，即n次多項式，以下類似.例4-25求∫x2lnxdx.解例4-26求解

結(jié)論4-2當(dāng)積分是“∫

xnlnxdx”、“∫xnarcsinxdx”、“∫xnarctanxdx等時，均取u=lnx、arcsinx、arctanx等.例4-27求∫excosxdx.解∫excosxdx=∫exdsinx=exsinx－∫exsinxdx

=exsinx+∫exdcosx

=exsinx+excosx－∫excosxdx

此時式中再次出現(xiàn)∫excosxdx，即出現(xiàn)了“循環(huán)”，此時需要將其移至左端并整理，可得結(jié)論4-3當(dāng)積分是∫eaxsinbxdx、∫eaxcosbxdx等時，可設(shè)u=sinbx，u=cosbx，也可設(shè)u=eax，但一經(jīng)選定，再次分部積分時，必須仍按原來的選擇.經(jīng)兩次分部積分后，出現(xiàn)了循環(huán)現(xiàn)象，這時所求積分是經(jīng)過解方程而求得的.在分部積分中，循環(huán)是經(jīng)常發(fā)生的情況.若出現(xiàn)循環(huán)，只需移項并整理即可.

例4-28求∫sec3xdx.解∫sec3xdx=∫secxd(tanx)

=secxtanx－∫tanxd(secx)=secxtanx－∫tan2xsecxdx

=secxtanx－∫(sec2x－1)secxdx

=secxtanx－∫sec3xdx+∫secxdx

=secxtanx－∫sec3xdx+ln(secx+tanx|顯然，式中出現(xiàn)了循環(huán)∫sec3xdx，將其移至左端，整理得通常情況下，在選用分部積分法求積分時，根據(jù)組成被積函數(shù)的基本函數(shù)將積分順序整理為口訣：“反對冪三指”，即分別代指反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積分次序.如例4-23中，就是先對冪函數(shù)x積分，再對三角函數(shù)積分；例4-24中，先對冪函數(shù)積分，再對指數(shù)函數(shù)積分.例4-29求.解設(shè)，則x=t2，dx=2tdt，于是例4-30求.解令，則x=ln(1+t2)，，于是4.4簡單有理積分

4.4.1有理函數(shù)兩個多項式的商所表示的函數(shù)R(x)稱為有理函數(shù)，即(4-10)其中，n和m是非負(fù)整數(shù)；a0、a1、a2、…、an及b0、b1、b2、…、bm都是實數(shù)，并且a0≠0，b0≠0.當(dāng)式(4-10)的分子多項式的次數(shù)n小于其分母多項式的次數(shù)m，即n<m時，稱為有理真分式；當(dāng)n≥m時，稱為有理假分式.一個重要結(jié)論：任何有理假分式，通過多項式的除法，都能化為一個多項式T(x)與一個有理真分式之和.即例如，可見，任何有理函數(shù)的不定積分，都可以化為多項式的積分和有理真分式的不定積分.根據(jù)代數(shù)知識，有理真分式必定可以表示成若干個部分分式之和，因而求不定積分的問題歸結(jié)為求部分分式的不定積分.為此，先把怎樣分解部分分式的步驟簡述如下：第一步:在有理真分式(此時n<m)中，對分母Q(x)在實系數(shù)內(nèi)做標(biāo)準(zhǔn)分解：(4-11)第二步:根據(jù)分母的各個因式分別寫出與之對應(yīng)的部分分式.對于每個形如(x－a)k的因式，它所對應(yīng)的部分分式是對每個形如(x2+px+q)k的因式，它所對應(yīng)的部分分式是把所有部分分式加起來，使之等于，即其中，部分分式中的常數(shù)系數(shù)A、B、C、P、Q、R、H等皆為待定的.第三步：確定待定系數(shù).一般方法是將所有的部分分式通分相加，所得分式的分母即為原分母Q(x)，而其分子亦應(yīng)與原分子P(x)恒等.于是，按同冪項系數(shù)必定相等，得到一組關(guān)于待定系數(shù)的線性方程，這組方程的解就是需要確定的系數(shù).例4-31對做部分分式分解.解按上述步驟依次執(zhí)行如下：Q(x)=x5+x4－5x3－2x2+4x－8=(x－2)(x+2)2(x2－x+1)部分分式分解的待定形式為(a)用Q(x)乘上式兩邊，得一恒等式2x4－x3+4x2+9x－10≡A0(x+2)2(x2－x+1)+A1(x－2)(x+2)(x2－x+1)+A2(x－2)(x2－x+1)+(Bx+C)(x－2)(x+2)2

(b)然后使等式兩邊同冪項系數(shù)相等，得到線性方程組：求出它的解：A0=1，A1=2，A2=－1，B=－1，C=1，并代入式(a)，便完成了對R(x)的部分分式分解，即上述待定系數(shù)法有時可用較簡便的方法去替代.例如可將x的某些特定值(如Q(x)=0的根)代入式(b)，以便得到一組較簡單的方程式，或直接求得某幾個待定系數(shù)的值.對于例4-31，若分別將x=2和x=－2代入式(b)，則立即求得A0=1和A2=－1于是式(b)簡化成為x4－3x3+12x－16=A1(x－2)(x+2)(x2－x+1)+(Bx+C)(x－2)(x+2)2

為繼續(xù)求得A1、B、C，還可將x的三個簡單值代入上式，如令x=0、1、－1，相應(yīng)得到由此易得A1=2，B=－1，C=1.這就同樣確定了所有的待定系數(shù).在實數(shù)范圍內(nèi)，任何有理真分式都可以分解成下面四類簡單分式之和：(1)；(2)(k是正整數(shù)，k≥2)；(3)(4)(k是正整數(shù)，k≥2，p2－4q<0).例如:4.4.2簡單有理函數(shù)的積分求有理函數(shù)的不定積分可歸結(jié)為求四類簡單分式的積分.下面討論這四類簡單分式的積分.(1)(2)(3)(4)(k≥2，p2－4q<0)其中第一個積分第二個積分可通過建立遞推公式求得．記利用分部積分法有整理得于是可得遞推公式(4-12)利用式(4-12)，逐步遞推，可歸結(jié)為不定積分最后回代全部換回原積分變量，即可求出不定積分.例4-32求.解例4-33求.解由分項分式定理可知:其中A、B、C為待定系數(shù).可以用兩種方法求出待定系數(shù).方法一：等式兩端去掉分母后，得1=A(x－1)2+Bx+Cx(x－1)

(a)即1=(A+C)x2+(B－2A－C)x+A

由于式(a)是恒等式，其兩端x2和x的系數(shù)及常數(shù)項必須分別相等，于是有從而解得A=1，B=1，C=－1.方法二：在恒等式(a)中代入特殊的x值，從而求出待定系數(shù).如令x=0，得A=1；令x=1，得B=1；把A、B的值代入式(a)，并令x=2，得1=1+2+2C，即C=－1.于是例4-34求.解因為上式兩端去分母得上式兩端比較系數(shù)得解方程組得A=1，B=－2，C=0，D=－1，E=－1，故例4-35求.解因為上式兩端去分母得x+3=A(x－3)+B(x－2)令x=2，得A=－5；令x=3，得B=6.于是從理論上講，多項式Q(x)總可以在實數(shù)范圍內(nèi)分解成一次因式和二次質(zhì)因式的乘積，從而把有理函數(shù)分解為多項式與四類簡單分式之和，而其中的簡單分式都可以積出.所以，任何有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).但我們同時也應(yīng)該注意到，在具體使用上述方法時