備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學(xué)（全國(guó)）搶分秘籍10 圓中證切線、求弧長(zhǎng)、求面積、新定義探究問題（8題型）（原卷版）

搶分秘籍10圓中證切線、求弧長(zhǎng)、求面積、新定義探究問題（壓軸通關(guān)）目錄【中考預(yù)測(cè)】預(yù)測(cè)考向，總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）圓中證切線、求弧長(zhǎng)、求扇形面積問題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點(diǎn)頻率看，證明切線是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)，圓通常還會(huì)和其他幾何圖形及函數(shù)結(jié)合一起考查。2．從題型角度看，以解答題的第六題或第七題為主，分值8~10分左右，著實(shí)不少！題型一證切線、求面積【例1】（2024·湖北襄陽·一模）是的直徑，，，與相交于點(diǎn)．(1)如圖1，求證：是的切線；(2)如圖2，連接，過點(diǎn)作分別交，于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，若，求圖中陰影部分的面積．本題考查切線的判定，圓周角定理、垂徑定理以及扇形面積；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)切線的判定方法進(jìn)行解答即可；根據(jù)垂徑定理，平行線的性質(zhì)以及扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．本題考查切線的判定，圓周角定理、垂徑定理以及扇形面積；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)切線的判定方法進(jìn)行解答即可；根據(jù)垂徑定理，平行線的性質(zhì)以及扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．【例2】（2024·湖北十堰·一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．(1)求證：是的切線；(2)若線段與的交點(diǎn)是的中點(diǎn)，的半徑為6，求陰影部分的面積．1．（2024·廣東佛山·一模）如圖，點(diǎn)是正方形的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作交線段于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，求陰影部分的面積．2．（2024·遼寧沈陽·一模）如圖，直線l與相切于點(diǎn)M，點(diǎn)P為直線l上一點(diǎn)，直線交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C在線段上，連接BC，且．

(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，的半徑為，求圖中陰影部分的面積．題型二證切線、求線段或半徑【例1】（新考法，拓視野）（2024·廣東深圳·一模）如圖，已知是的直徑．點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D是上一點(diǎn)．連接，過點(diǎn)B作垂直于，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C、連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)E，且(1)求證：是的切線；(2)若，求半徑的長(zhǎng)．本題考查切線的判定，圓周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，圓周角定理以及切線的判定方法是正確解答的關(guān)鍵．本題考查切線的判定，圓周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，圓周角定理以及切線的判定方法是正確解答的關(guān)鍵．【例2】（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且，點(diǎn)O在上，以點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過C，D兩點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑為3，求的長(zhǎng)．1．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┤鐖D，是的直徑，，E是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使．連結(jié)交于點(diǎn)D，連結(jié)，．(1)求證：直線是的切線．(2)若，求的長(zhǎng)．2．（2024·湖北隨州·一模）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是直徑，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．題型三圓與（特殊）平行四邊形綜合問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·廣東江門·一模）如圖，矩形中，，．E是的中點(diǎn)，以為直徑的與交于F，過F作于G．(1)求證：是的切線．(2)求的值．本題主要考查了圓，矩形，三角形綜合．熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)和圓周角定理推論，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理解直角三角形，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，是解題的關(guān)鍵．本題主要考查了圓，矩形，三角形綜合．熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)和圓周角定理推論，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理解直角三角形，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，是解題的關(guān)鍵．【例2】（2024·安徽馬鞍山·一模）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，直徑平分．(1)求證：；(2)過點(diǎn)A向圓外作，且，求證：四邊形為平行四邊形．1．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，線段與相切于點(diǎn)B，交于點(diǎn)M，其延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，連接，，D為上一點(diǎn)且弧的中點(diǎn)為M，連接，．(1)求的度數(shù)；(2)四邊形是否是菱形？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說明理由；(3)若，求弧的長(zhǎng)．2．（2024·河南平頂山·一模）如圖，為的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：(2)連接，當(dāng)時(shí)：①連接，判斷四邊形的形狀，并說明理由．②若，圖中陰影部分的面積為（用含有的式子表示）．3．（2024·江蘇南京·一模）如圖，四邊形是平行四邊形，；(1)如圖①，當(dāng)與相切時(shí)，求證：四邊形是菱形．(2)如圖②，當(dāng)與相交于點(diǎn)E時(shí)．（Ⅰ）若，，求的半徑．（Ⅱ）連接，交于點(diǎn)F，若，則的度數(shù)是°．題型四圓內(nèi)接三角形和四邊形【例1】（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)D，連接交于點(diǎn)G，連接，設(shè)（m為常數(shù)）．(1)求證：；(2)設(shè)，求證：；(3)求的值（用含m的代數(shù)式表示）．本題主要考查圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，垂徑定理等，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．本題主要考查圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，垂徑定理等，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例2】（2024·天津?yàn)I海新·一模）如圖，是的直徑，弦與相交于點(diǎn)P，若．(1)如圖①，求的度數(shù)；(2)如圖②，過點(diǎn)C作的切線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若，求的度數(shù)．1．（2024·安徽蕪湖·一模）四邊形ABCD內(nèi)接于，．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2．連接交于點(diǎn)E．①求證：；②若，，，求的長(zhǎng)．2．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖1，在中，直徑垂直弦于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于F，交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)E，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，求證：；(3)如圖3，連接，分別交于點(diǎn)，當(dāng)，，求線段的長(zhǎng)．3．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖1，在中，為直徑，和為弦，且．(1)求的度數(shù)；(2)如圖2，E為上一點(diǎn)，連接，作于E交于F，連接，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接交于G，過F作于F，交延長(zhǎng)線于N，若，，求的長(zhǎng)．4．（2024·河北滄州·一模）如圖，珍珍利用一張直徑為8cm的半圓形紙片探究圓的知識(shí)，將半圓形紙片沿弦折疊．(1)如圖1，為的切線，當(dāng)時(shí)，求證：．(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，通過計(jì)算比較與弧哪個(gè)長(zhǎng)度更長(zhǎng)．（π?。?3)如圖3，M為的中點(diǎn)，為點(diǎn)M關(guān)于弦的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫出點(diǎn)與點(diǎn)M之間的距離約為_____cm．（結(jié)果保留兩位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：27）題型五生活中的實(shí)物抽象出圓的綜合問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·河南洛陽·一模）中國(guó)最遲在四千多年前的夏禹時(shí)代已有了馬車，而目前考古發(fā)現(xiàn)最早的雙輪馬車始見年代為商代晚期(河南安陽殷城)．小明在殷墟游玩時(shí)，見到了如圖1的馬車車廂模型，他繪制了如圖2的車輪側(cè)面圖．如圖2，當(dāng)過圓心O的車架的一端A落在地面上時(shí)，與的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，水平地面切于點(diǎn)B．(1)求證：；(2)若，求的直徑．本題主要考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理等等本題主要考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理等等.【例2】（2024·廣東珠?！ひ荒＃楹霌P(yáng)民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運(yùn)動(dòng)會(huì)的比賽項(xiàng)目．滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成．小明對(duì)滾鐵環(huán)的啟動(dòng)階段進(jìn)行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時(shí)，鐵環(huán)與水平地面相切于點(diǎn)C，推桿與鉛垂線的夾角為點(diǎn)O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．當(dāng)推桿與鐵環(huán)相切于點(diǎn)B時(shí)，手上的力量通過切點(diǎn)B傳遞到鐵環(huán)上，會(huì)有較好的啟動(dòng)效果．

(1)求證：．(2)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，切點(diǎn)B只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時(shí)，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動(dòng)．圖中點(diǎn)B是該區(qū)域內(nèi)最低位置，此時(shí)點(diǎn)A距地面的距離最小，測(cè)得．已知鐵環(huán)的半徑為，推桿的長(zhǎng)為，求此時(shí)的長(zhǎng)．1．（2024·河北石家莊·一模）圖1是傳統(tǒng)的手工推磨工具，根據(jù)它的原理設(shè)計(jì)了如圖2所示的機(jī)械設(shè)備，磨盤半徑，用長(zhǎng)為的連桿將點(diǎn)與動(dòng)力裝置相連（大小可變），點(diǎn)在軌道上滑動(dòng)，帶動(dòng)點(diǎn)使磨盤繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，，．(1)當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線的時(shí)候，的長(zhǎng)為______；(2)點(diǎn)由軌道最遠(yuǎn)處向滑動(dòng)，使磨盤轉(zhuǎn)動(dòng)不超過的過程中：①與相切于點(diǎn)，如圖3，求的長(zhǎng)；②從①中相切的位置開始，點(diǎn)繼續(xù)向點(diǎn)方向滑動(dòng)至點(diǎn)，點(diǎn)隨之逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)，此時(shí)，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留）．（參考數(shù)據(jù)：，，）2．（2024·河北石家莊·一模）如圖1，某玩具風(fēng)車的支撐桿垂直于桌面，點(diǎn)為風(fēng)車中心，，風(fēng)車在風(fēng)吹動(dòng)下繞著中心旋轉(zhuǎn)，葉片端點(diǎn)，，，將四等分，已知的半徑為．(1)風(fēng)車在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在左側(cè)，如圖2所示，求點(diǎn)到桌面的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)在風(fēng)車轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，求點(diǎn)到桌面的距離不超過時(shí)，點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留）；(3)連接，當(dāng)與相切時(shí)，求切線長(zhǎng)的值，并直接寫出，兩點(diǎn)到桌面的距離的差．題型六圓中動(dòng)點(diǎn)問題【例1】（2024·江蘇淮安·一模）如圖，是的直徑，，延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿圓周按順時(shí)針方向以每秒個(gè)單位的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)D，連接、、、．

(1)當(dāng)時(shí)．①求的度數(shù)；②判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求t的值．本題考查切線的判定，圓的相關(guān)性質(zhì)，勾股定理的逆定理，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．本題考查切線的判定，圓的相關(guān)性質(zhì)，勾股定理的逆定理，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【例2】（2024·云南昆明·一模）如圖，，是的兩條直徑，且，點(diǎn)E是上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)P在上，且，連接，分別交，于點(diǎn)M，N，連接，設(shè)的半徑為r．(1)求證：是的切線；(2)當(dāng)時(shí)，求證：；(3)在點(diǎn)E的移動(dòng)過程中，判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．1．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）如圖①，在中，，以點(diǎn)為圓心，以2為半徑畫圓，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)再次經(jīng)過點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．(1)的長(zhǎng)為______；(2)在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)到距離的最大值為______；(3)延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．①當(dāng)為等腰三角形時(shí)，連結(jié)接，求的面積：②如圖②，連接，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，作的角平分線交于點(diǎn)．點(diǎn)的位置隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生改變，則點(diǎn)形成的軌跡路徑長(zhǎng)為______．題型七圓中新定義探究綜合問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）定義：對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形叫做圓的“奇妙四邊形”．(1)若是圓的“奇妙四邊形”，則是_________（填序號(hào)）：①矩形；②菱形；③正方形(2)如圖1，已知的半徑為R，四邊形是的“奇妙四邊形”．求證：；(3)如圖2，四邊形是“奇妙四邊形”，P為圓內(nèi)一點(diǎn)，，，，且．當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，求的值．本題是圓的綜合題，考查的是勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，熟練的建立數(shù)學(xué)模型并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵本題是圓的綜合題，考查的是勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，熟練的建立數(shù)學(xué)模型并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵.【例2】（2024·浙江臺(tái)州·一模）【概念呈現(xiàn)】在鈍角三角形中，鈍角的度數(shù)恰好是其中一個(gè)銳角的度數(shù)與90度的和，則稱這個(gè)鈍角三角形為和美三角形，這個(gè)銳角叫做和美角．【概念理解】（1）當(dāng)和美三角形是等腰三角形時(shí)，求和美角的度數(shù)．

【性質(zhì)探究】（2）如圖1，是和美三角形，是鈍角，是和美角，求證：．【拓展應(yīng)用】（3）如圖2，是的直徑，且，點(diǎn)C，D是圓上的兩點(diǎn)，弦與交于點(diǎn)E，連接，，是和美三角形．①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．②當(dāng)是和美三角形時(shí)，直接寫出的值．1．（2024·山東濟(jì)寧·二模）【初步感知】（1）如圖1，點(diǎn)A，B，P均在上，若，則銳角的大小為______度；【深入探究】（2）如圖2，小明遇到這樣一個(gè)問題：是等邊三角形的外接圓，點(diǎn)P在上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合），連接，，．求證：；小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接，通過證明．可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證.請(qǐng)根據(jù)小明的分析思路完成證明過程．【啟發(fā)應(yīng)用】（3）如圖3，是的外接圓，，，點(diǎn)P在上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在的兩側(cè)，連接，，，若，則的值為_____．題型八圓與函數(shù)的綜合問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且．

(1)求該拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在點(diǎn)M，使，如果存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)，如果不存在，說明理由；(3)若點(diǎn)D是拋物線第二象限上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)的圓與交于點(diǎn)E，連接，求的面積．本題主要考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．本題主要考查了二次函數(shù)的圖像和性