高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)訓(xùn)練：用空間向量研究距離夾角問題 12種?？碱}型歸類（88題）（原卷版）

專題06用空間向量研究距離、夾角問題12種常考題型歸類（88題）

高頻考點

題型一求點到直線的距離（二）求線線角的最值或范圍

（一）求點線距題型七已知線線角求其他量

（二）根據(jù)點線距求值題型八求直線與平面所成的角

（三）求點線距的最值（一）求線面角

題型二求點到平面的距離（-）求線面角的最值或范圍

題型三求直線與平面的距離題型九已知線面角求其他量

題型四求兩平行平面的距離題型十求兩平面的夾角（二面角）

題型五求兩條異面直線的距離題型十一已知面面角求其他量

題型六求異面直線所成的角題型十二立體幾何中的探索性問題

（-）求線線角

==解題策略

知識點1：點到線面距離

1、點到直線的距離

已知直線/的單位方向向量為「，A是直線/上的定點，尸是直線/外一點.設(shè)通=￡,則向量正在直線/

222

上的投影向量而=（＞「）「，在用AAP。中，由勾股定理得：PQ=^API-\AQ\=y/a-Ca-u）

2、點到平面的距離

如圖，已知平面1的法向量為3，A是平面戊內(nèi)的定點，P是平面1外一點.過點P作平面1的垂線/,交

平面a于點。，則）是直線/的方向向量，且點P到平面a的距離就是加在直線/上的投影向量gA的長

__?riAPn|AP-n\

度.PQ=|AP=|二|—―1=---

\n\In\\n\

知識點2：用向量法求空間角

1、用向量運算求兩條直線所成角

已知〃，b為兩異面直線，A,C與B,。分別是。，b上的任意兩點,a,b所成的角為則

①cos<m麗”

\AC\\BD\

|ACBD

②cos0=|cos<AC,BD>|=

\AC\-\BD'

2、用向量運算求直線與平面所成角

設(shè)直線/的方向向量為平面1的法向量為。，直線與平面所成的角為［與「的角為。，則有

/a-u

①COS0="

|a||〃|

②sine=|cosd=f^2.（注意此公式中最后的形式是：sin。）

\a\-\u\

3、用向量運算求平面與平面的夾角

如圖，若。于A,PB工戶于B,平面交/于E,則為二面角。一/一，的平面角,

ZAEB+ZAPB=180°.

E-

若%分別為面e，￡的法向量

①cos<修，％〉=J三

-1*1引

②cos6?根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角;

若二面角為銳二面角（取正），貝1"05夕=|（：05<4，叼〉|；

若二面角為頓二面角（取負），貝1」（：05。=一|（：05<%,〃2〉1；

解題策略

1.兩條平行直線a,b之間的距離

如圖1,兩條平行直線a,b之間的距離可以看成直線6上一點A到直線。的距離,則d=、（顯F—嚕出,

其中AGb,BGa,。是直線。的方向向量.

2.異面直線a,b之間的距離

如圖2,設(shè)AGq,BGb,與兩條直線的方向向量都垂直的向量為"，則異面直線a,方之間的距離為向

量A&在n方向上投影向量的模，即d=%川.

3.直線到平面的距離、兩平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化為點到平面的距離

如圖3,直線/到平面a的距離可轉(zhuǎn)化為直線/上一點A到平面a的距離，即直線/到平面a的距離d

_\Ab-n\

~\n\

如圖4,與平面a平行的平面￡到平面a的距離等于平面￡上一點A到平面a的距離，即d=哈1

AA

4.向量法求點到直線的距離的兩種思路

(1)直接套用點到直線的距離公式求解的步驟:建立空間直角坐標系T直線的方向向量a一所求點到直線

上一點的向量屋'及其在直線的方向向量a上的投影向量的長度一代入公式.

注意平行直線之間的距離與點到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化.

(2)將求點到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為求向量模的問題，即利用待定系數(shù)法求出垂足的坐標，然后求出向

量的模.

5.向量法求點到平面的距離的一般步驟

(1)建立空間直角坐標系.

(2)求出該平面的一個法向量.

(3)找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量.

(4)求出法向量與斜線段對應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對值，再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離.

注：線面距、面面距實質(zhì)上都是求點面距，求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平

行.

6.直線到平面的距離、兩個平行平面之間的距離

(1)當(dāng)直線與平面平行時，要求直線到平面的距離，需要在直線上任取一點，求出該點到平面的距離即

可.

(2)當(dāng)平面與平面平行時，要求兩個平面之間的距離，需在一個平面內(nèi)找到一點，求出該點到另一個平

面的距離即可.

7.利用法向量求直線AB與平面a所成的角。的步驟

⑴求平面a的法向量”.

(2)利用公式sin6=|cos〈牯，加尸誕包確定仇注意直線與平面所成角的取值范圍為「。，y.

\AB\\n\

8.利用法向量求兩平面夾角的步驟

(1)求兩平面的法向量.

(2)求兩法向量的夾角的余弦值，從而確定夾角的大小，注意兩平面夾角的取值范圍為［0,與.

9.兩異面直線所成的角的求法

(1)平移法：通過平移其中一條(也可兩條同時平移)，使它們轉(zhuǎn)化為兩條相交直線，然后通過解三角形求

解.

(2)取定基底法：在一些不適合建立坐標系的題型中，我們經(jīng)常采用取定基底的方法，這是小技巧.在

fi-h

利用公式cos〈a,b)=而祈求向量力的夾角時，關(guān)鍵是求出。力及⑷與回，一般是把方用一個基底表

示出來，再求有關(guān)的量.

(3)用坐標法求異面直線的夾角的方法

①建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系；

②找到兩條異面直線的方向向量的坐標形式；

③利用向量的夾角公式計算兩直線的方向向量的夾角；

④結(jié)合異面直線所成角的范圍得到異面直線所成的角.

10.求直線與平面所成的角的思路與步驟

思路一：找直線在平面內(nèi)的射影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識可求得夾角(或夾角的某

一三角函數(shù)值).

思路二：用向量法求直線與平面所成的角可利用向量夾角公式或法向量.

11.利用法向量求直線與平面所成的角的基本步驟：

(1)建立空間直角坐標系；

(2)求直線的方向向量AS；

(3)求平面的法向量〃；

(4)計算：設(shè)直線與平面所成的角為仇則sin0=也坐1

\n\\AB\

12.平面與平面夾角的向量求法

(1)若AB,分別是二面角a—/-萬的兩個半平面內(nèi)與棱/垂直的異面直線，則平面a與平面尸的夾角

就是向量屈與B的夾角或其補角(如圖①).

（2）利用坐標法求平面與平面夾角的步驟

設(shè)"1，"2分別是平面a,P的法向量，則向量"1與"2的夾角（或其補角）就是兩個平面夾角的大小，如

圖②.

利用坐標法的解題步驟如下：

①建系：依據(jù)幾何條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系.

②求法向量：在建立的坐標系下求兩個平面的法向量“1,"2.

③計算：設(shè)平面a與平面”的夾角為8則cos6=^富.

13.立體幾何中的探索性問題

立體幾何中的探索性問題，在命題中多以解答題的一步出現(xiàn)，試題有一定的難度.

這類題型常以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表述.解答這類問題，一般要先對

結(jié)論作出肯定的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進行推理論證，若導(dǎo)致合理的結(jié)論，則存

在性也隨之解決；若導(dǎo)致矛盾，則否定了存在性.

14.利用向量解決存在性問題的方法策略

首先，假定題中的數(shù)學(xué)對象存在；其次，構(gòu)建空間直角坐標系；再次，利用空間向量法把存在性問題

轉(zhuǎn)化為求參數(shù)是否有解問題；最后，解方程，下結(jié)論.利用上述思維策略，可使此類存在性難題變?yōu)槌Ｒ?guī)

問題.

S'考點精析___________________________________________________

題型一求點到直線的距離

（一）求點線距

1.（2024.河南新鄉(xiāng).高二統(tǒng)考期末）已知空間三點4（2,1,0）,3（2,1,0,1）,則點C到直線A3的距離

為.

2.（2024?高二課時練習(xí)）矩形A8C。中，ZBCA=3Q°,AC=20,平面ABC。，且上4=5,則產(chǎn)到

BC的距離為.

3.（2023春?湖南常德?高二常德市一中?？计谥校┤鐖D，在棱長為1的正方體ABCD-AgGP中，點6到

直線AG的距離為（）

rV6n276

53

4.（2024?廣東佛山?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平行六面體ABCD-A4CQj中，以頂點A為端點的三條棱長

都是d且ZAAB=ZAAZ）=60o,E為eq的中點，則點E到直線AG的距離為（）

D.爭

5.（2024?浙江溫州?統(tǒng)考三模）四面體。4及7滿足/498=/30。=/。。4=90°,。4=1,03=2,6^=3,

點。在棱OC上，且OC=3OD,點G為44BC的重心，則點G到直線AD的距離為（）

A.—B.|C.@D.-

2233

（二）根據(jù)點線距求值

6.【多選】（2023春?江西宜春?高二江西省豐城中學(xué)校考開學(xué)考試）點〃在z軸上，它與經(jīng)過坐標原點且方

向向量為1=（1,-M）的直線/的距離為"，則點M的坐標是（）

A.（0,0,-3）B.（0,0,3）

C.（0,0,qD.（0,0,-73）

7.（2024.江蘇南京?統(tǒng)考二模）在梯形ABCD中，AB//CD,?D90?AB=2近,AD=DC=y/2,如

圖1.現(xiàn)將△ADC沿對角線AC折成直二面角尸-AC-3,如圖2,點M在線段上.

P

DC

M

圖1圖2

⑴求證：APLCM；

（2）若點M到直線AC的距離為攣，求瞿的值.

5BP

（三）求點線距的最值

8.（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）如圖，已知正方體48。-4860的棱長為1,。為正方形的中心,

若尸為平面內(nèi)的一個動點，則尸到直線4片的距離的最小值為（）

V-.------D.B

43

9.（2024.吉林?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖1,在等腰梯形ABCD中，AB〃CD,AB=AD=1,CD=2,DE=EC,

沿AE將VADE折成VAPE,如圖2所示，連接尸3,PC,得到四棱錐P-ABCE.

圖1圖2

⑴若平面尸AECI平面PBC=/,求證：1」IBC；

（2）若點T是PC的中點，求點T到直線EB的距離的取值范圍.

題型二求點到平面的距離

10.(2024?浙江溫州.高二校聯(lián)考期末)如圖所示，在棱長為1的正方體ABC。-中E為線段的

中點.

(1)求證：平面平面ACGA；

(2)求A到平面A用E的距離.

11.(2023春?江西鷹潭?高三貴溪市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，在三棱柱ABC-AyBXC中，C￡_L平面ABC,

ACIBC,BC=AC=Cq=4,。為4片的中點，＜2耳交2G于點E.

(2)求點E到平面B&D的距離.

12.(2024.云南楚雄?高二統(tǒng)考期中)如圖，在正三棱柱ABC-A4c中，E是線段8G上靠近點8的一個

三等分點，。是AG的中點.

⑴證明：A?！ㄆ矫鍭5]￡；

(2)若AA=AB=6,求點4到平面AgE的距離.

13.（2024?河南新鄉(xiāng).高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐P-A3CD中，底面A3CD,底面ABCD是矩形,

AB=2AZ）=4,尸。=孚,E是上4的中點，麗=2而，則點C到平面。跖的距離為（）

P

A3A/10口2A/10rV10「回

55510

14.（2024.福建龍巖.高二校聯(lián)考期中）如圖，在圓錐SO中，A5是底面圓。的直徑，SO=AB=4fAC=BC,

。為SO的中點，N為的中點，則點N到平面S3。的距離為（）

45

A.—B.-C.1D.2

33

15.（2024?重慶長壽?高二統(tǒng)考期末）如圖，已知24,平面ABCD,底面ABCD為矩形，PA=AD=2,AB=4,

M、N分別為A3、PC的中點.

（1）求證：MV〃平面PAD；

（2）求點D到平面PMC的距離.

16.（2024?福建寧德?高二校聯(lián)考期中）如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，底面

E為PC的中點，PD=DC=2.

（1）證明：RV/平面BDE；

⑵求點E到平面的距離.

17.（2024?江蘇?高二專題練習(xí)）如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是矩形，PD_L底面45CD,PD=DC=1,

M為8C的中點，且

P

⑴求8C;

⑵求點B到平面PAM的距離.

18.（2023秋?陜西西安?高二統(tǒng)考期末）在直角梯形ABCD中，AD//BC,BC=2AD=2AB=2^2,ZABC=90°,

。為8。中點，如圖（1）.把△ABD沿3D翻折，使得平面平面3cD,如圖（2）.

圖⑵

⑵若M為線段3c的中點，求點加到平面ACD的距離.

題型三求直線與平面的距離

19.（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）如圖，在長方體中，AAl=AB=2,BC=1,E、F、H分別

是AB、CO、4片的中點，則直線EC到平面AFH的距離為.

20.(2023?高二單元測試)如圖，在三棱錐尸-ABC中，P4,底面ABC,ABAC=90°,點、D、E分別為

棱Q4,PC的中點，4是線段AD的中點，N是線段的中點，PA=AC^4,AB=2.

⑴求證："N〃平面以汨；

(2)求直線MN到平面BDE的距離.

21.(2023秋?廣東廣州?高二廣州市白云中學(xué)校考期末)如圖，在正三棱柱ABC-A4G中，點。為4B的中

(1)證明：3C〃平面AG。；

(2)求直線BC到平面AQD的距離.

題型四求兩平行平面的距離

22.（2024高二課時練習(xí)）已知正方體48。。-440，的棱長為4,設(shè)〃、"、從/分別是4。1,丹昂RG，Bg,

的中點，求平面AMN與平面EFBD的距離.

23.（2024.高二課時練習(xí)）兩平行平面a,夕分別經(jīng)過坐標原點。和點4（1,2,3）,且兩平面的一個法向量

?=（-1,0,1）,則兩平面間的距離是（）

A.V2B.4C.73D.3夜

24.（2024?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，04,底

面ABC。，OA=2,M、N、R分別是Q4、BC、AZ）的中點.求：

（1）直線MN與平面OCD的距離；

（2）平面MNR與平面OCD的距離.

25.（2024.高二課時練習(xí)）直四棱柱A8CD-AgGA中，底面ABCD為正方形，邊長為2,側(cè)棱4人=3,

M、N分別為4環(huán)42的中點，E、尸分別是CQ，AG的中點.

（1）求證：平面AW〃平面EFBZ）；

（2）求平面AAW與平面EFBD的距離.

26.【多選】（2024?福建福州?高二校聯(lián)考期中）已知正方體的棱長為1，點反。分別是

A百、4G的中點，P^^AP=-AB+-AD+-AA；,則下列說法正確的是（）

A.點A到直線8E的距離是半

B.點。到平面ABCR的距離為正

4

C.平面40。與平面與CQ間的距離為氈

3

25

D.點P到直線A3的距離為弁

36

題型五求兩條異面直線的距離

27.【多選】（2024?遼寧朝陽?校聯(lián)考一模）如圖，在棱長為1正方體488-4月￡0中，M為用G的中

點，E為4G與2M的交點，/為8M與C4的交點，則下列說法正確的是()

3G

A.AG與。1B垂直

B.E/是異面直線AG與8c的公垂線段，

c.異面直線AG與與C所成的角為■!

D.異面直線AG與甌間的距離為日

28.（2024?高一課時練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形B4BC中，AC=BC^2,ZACB=90°,AP=BP=AB,

PCLAC.

Pz

c

(1)求證：PCLAB-,

(2)求異面直線PC與AB的距離；

⑶求二面角B-AP-C的大小.

29.(2024?全國?高三專題練習(xí))如圖，正四棱錐尸-ABCD的棱長均為2,點E為側(cè)棱尸。的中點.若點M,

N分別為直線A8,CE上的動點，則的最小值為.

B匕-----------

30.(2024?全國?高三專題練習(xí))如圖，多面體ABC-AS。是由長方體一分為二得到的，A\=2,AB=BC=l,

NABC=90。，點。是8片中點，則異面直線。A與8。的距離是.

31.(2024?遼寧沈陽?高二沈陽二十中校聯(lián)考期末)如圖①菱形ABCD,=60°,BEEC^1.沿著AE將

折起至！IABNE,使得/DAB'=90。，如圖②所示.

BEC

圖①圖②

(1)求異面直線AB'與8所成的角的余弦值;

(2)求異面直線AB'與8之間的距離.

題型六求異面直線所成的角

（一）求線線角

32.（2024?四川宜賓?高二四川省宜賓市第四中學(xué)校?？计谀┤鐖D，在棱長為1的正方體ABCD-4月

中，E,F,G分別為DD-BD,8月的中點，則G片與尸G所成的角的余弦值為.

33.（2023秋?貴州銅仁?高二統(tǒng)考期末）已知正四棱柱ABCD-ABGA中，AB=2,AAi=4,點E,b分

別是和84的中點，M是線段的中點，則直線AM和CE所成角的余弦值為（）

「V17y/187

617

34.（2024.河南周口.高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在正四棱錐尸-ABCD中，PA^AB=2,M為棱PC的中點，

則異面直線AC,所成角的余弦值為（）

A.立B.gC.@D.逅

2356

35.（2024.高二單元測試）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，抬，平面ABCD,底面ABCD是菱形，AB=2,

ZBAD=6Q°.

（1）求證：班＞1平面PAC；

（2）若Q4=AB,求尸B與AC所成角的余弦值.

36.（2023?江蘇?統(tǒng)考二模）如圖，在三棱臺A2C-$4G中，BA±BC,平面44班，平面ABC,二面角

用一BC-A的大小為45。，AB=2,BC=A4=M=L

⑴求證：A41_L平面ABC；

（2）求異面直線與8。所成角的余弦值.

（二）求線線角的最值或范圍

37.（2024?浙江寧波.高一效實中學(xué)校考期中）在正方體A8CD-AgGA中，M為棱8的中點，N為直

線CG上的異于點C的動點，則異面直線AB與"N所成的角的最小值為。，則sin6=（）

ATioRVio「3Mn2M

105105

38.（2023?高三課時練習(xí)）已知平面ABC。，四邊形A3CD是矩形，四=4）為定長，當(dāng)A3的長度變

化時，異面直線PC與AD所成角的取值范圍是.

39.（2023春?高二單元測試）三棱錐O-ABC中，。4,。氏。。兩兩垂直且相等，點「,。分別是線段36和。4

上移動，且滿足8尸AQ<^AO,則PQ和所成角余弦值的取值范圍是（）

40.（2024.江蘇連云港.高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，已知平面ABCD,且四邊

形ABCD為直角梯形，ZABC=ZBAD=^,PA=AD=6A?=3C=1.點。是線段3P上的動點，當(dāng)直線

CQ與DP所成的角最小時，則線段BQ的長為

Be——生

41.（2023春?浙江?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知四棱臺的底面ABCD是直角梯形，XBAD=90",AD//BC,

AD=AB=2BC=20^=2^,OR，平面ABC。，E是側(cè)棱8耳所在直線上的動點，AE與所成角的

余弦值的最大值為（）

題型七已知線線角求其他量

42.（2024?湖南岳陽?高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐尸-ABC中，PAL底面ABC,/54C=90。，點D,

E,N分別為棱R4,PC,BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4,AB=2.

（2）已知點H在棱m上，且直線NH與直線班所成角的余弦值為"，求線段AH的長.

9

43.（2024?廣東.統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面R4T>_L平面ABC。，PA=PD,

AD=2CD=2BC=2,CD±BC,BC//AD,E,尸分別為A。，PC的中點.

⑴證明：PE±CD；

（2）若B尸與C。所成的角為60。，求平面8EF和平面A8E夾角的余弦值.

44.（2024?重慶沙坪壩?高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐尸-ABC中，PA=PB,AB=BC=2,

ZAPB=ZABC=9O°,平面，平面ABC,點E是線段R1上的動點.

2

⑵若點。在線段BC上，BQJ,且異面直線EQ與總成30。角，求平面EBC和平面A3C夾角的余弦值.

45.（2024?高二課時練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD,底面ABCD為矩形，

尸D=DC=3,AD=4,航是線段叢的中點，N是線段PC上一點（不與P,C兩點重合），且麗=幾無.若

直線MN與所成角的余弦值是白叵，則2=（）

46.【多選】（2023?全國?高三專題練習(xí)）在三棱錐A-BCD中，平面AftDL平面BCD,BDLCD,BD=CD=2,

△ABD為等邊三角形，E是棱AC的中點，E是棱AD上一點，若異面直線DE與BF所成角的余弦值為

巫，則AF的值可能為（）

28

47.（2024.全國?高三專題練習(xí)）如圖，在四棱柱ABCD-4BC0中，底面ABCD,且底面ABCD為

菱形，&4=3,AB=2,ZABC=120°,P為BC的中點，M在網(wǎng)上，。在平面A3CD內(nèi)運動（不與尸重

合），且尸。工平面A4.CC,異面直線PQ與耳〃所成角的余弦值為。，則tan/AQW的最大值為

題型八求直線與平面所成的角

（-）求線面角

48.（2023?陜西商洛?統(tǒng)考二模）在四棱錐尸-ABCD中，抬，底面ABCD,底面A3CD是邊長為1的正方形，

AP=2,則直線PB與平面PCD所成角的正弦值為（）

A.還B.-C.—D.昱

5533

49.（2024?江蘇宿遷?高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，尸平面ABC。，ZBAD=9O°,

PA^AB=BC=^AD=1,BC//AD,已知。是棱PZ）上靠近點P的四等分點，則CQ與平面所成角的

正弦值為（）.

D

AA/5R2逐r2V29n1

55296

50.(2024?福建寧德?高二校聯(lián)考期中)在正四棱柱ABC。-AAGA中，AB=2,M=4,E在線段C4上,

且CE=；CC「

(1)求證：AC，平面。BE；

(2)求直線B{E與平面DBE所成角的正弦值.

51.(2024?江蘇淮安?高二金湖中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖所示，在直四棱柱A8C。-A4GR中，AD//BC,

⑴證明：AC±BtD.

(2)求直線B,C,與平面ACDt所成角的正弦值.

52.(2024.河南新鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末)如圖，正三棱錐P—ABC的所有側(cè)面都是直角三角形，過點P作尸

平面ABC,垂足為。，過點。作平面垂足為E,連接尸￡■并延長交A2于點尸.

p

⑴證明：歹起AB的中點.

(2)求直線DE與平面BCE夾角的正弦值.

53.(2024?浙江?高二校聯(lián)考階段練習(xí))在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為正方形，API平面CDP,

AP=DP.

(1)求證：平面"CDJ：平面ADP；

(2)若。是DP中點，求直線BP與平面BCQ所成角的正弦值.

54.(2024.廣東梅州.大埔縣虎山中學(xué)?？寄M預(yù)測)如圖①,在RtAABC中,B為直角，AB=BC=6,EF//BC,

7T

AE=2,沿所將折起，使=得到如圖②的幾何體，點。在線段AC上.

圖①圖②

(1)求證：平面AEF_L平面ABC；

(2)若AE//平面BDF,求直線AF與平面2。/所成角的正弦值.

55.(2024.福建龍巖?高二校聯(lián)考期中)如圖，在三棱柱ABC-A4G中，側(cè)面8月C。為菱形，且AC=A4.

(1)證明：AB1B{C.

jr

⑵若AC1A/ZCBB^-,AB=BC,點M在直線44」，求直線AB與平面M/G所成角的正弦值的

最大值.

(二)求線面角最值或范圍

56.(2023春?四川成都?高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末)如圖，在四棱錐。-ABCD中，底面ABC。

是矩形，若3QD=QA=2,CD=1,QC=#.

(1)證明：平面QADJL平面A3CD；

(2)若E尸分別是。C,QD的中點，動點P在線段跖上移動，設(shè)。為直線的與平面ABCD所成角，求sin。

的取值范圍.

57.(2023春?江蘇徐州?高二統(tǒng)考期中)如圖，圓臺的下底面圓。的直徑為A3,圓臺的上底面圓C的直徑

為尸Q,C是弧4B上一點，且尸4=AC=PC=BC=2,尸8=20.

(1)求證：PQ-LAC；

(2)若點M是線段&Q上一動點，求直線AP與平面BCM所成角的取值范圍.

58.(2023?江蘇淮安?江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)?？寄M預(yù)測)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面/平面

ABCD,PA=PD,底面ABCD是邊長為2的正方形，點E在棱PC上，CE=2PE.

(1)證明：平面BOE_L平面ABC。；

(2)當(dāng)直線。石與平面尸2。所成角最大時，求四棱錐P-ABCD的體積.

題型九已知線面角求其他量

59.(2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？级?已知四棱錐尸-ABCD的底面為平行四邊形，AD=2,

OC=4,ZBAD=60°,PD_L平面ABCD,直線PD與平面？AC所成角為30。，則PD=()

A.2A/2B.9C.正D.不

57

60.(2024.上海閔行?上海市七寶中學(xué)校考二模)已知正方體ABCD-4耳￡。，點E為AA中點，直線用G

交平面CDE于點。

(1)證明：點尸為BG的中點;

⑵若點〃為棱的上一點，且直線MF與平面儂所成角的正弦值為吟求魯?shù)闹?

61.(2024?上海寶山.高二統(tǒng)考期末)已知E、歹分別是正方體ABC。-44GR的棱BC、。的中點，求:

(1)4。與EF所成角的大小;

(2)二面角C-QB]-C]的大??；

(3)點加在棱CO上，若與平面瓦GCB所成角的正弦值為晅，請判斷點”的位置，并說明理由.

19

62.(2024.福建寧德?高二校聯(lián)考期中)如圖，四棱錐尸-ABCD中，四邊形ABCO為梯形，其中AB//CD,

ZBCD=60°,AB=2BC=2CD=4fAD±PB.

(1)證明：平面平面ABCD；

⑵若PB=PD,且Bl與平面ABCD所成角的正弦值為與，點E在線段尸C上滿足PE=2EC,求二面角

C一班)—E的余弦值.

63.(2024?廣西?高二校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，在正三棱柱ABCi-ABC中，。為AB的中點，

qE=2^c(o<A<i),AA=6AB=2B

(2)若直線BG與平面所成角為三，求2的值;

64.(2024?湖北?高二校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，在三棱錐A-3CD中，NBCO=90。,AB=AC=的中

點為G.

A

(1)證明：直線AG，平面BCD；

(2)若BD=2,3C=1,當(dāng)直線A3與平面AC。所成的角最大時，求三棱錐A-BCD的體積.

65.(2024新疆烏魯木齊?高一烏魯木齊市第70中?？计谥?如圖，在四棱錐中，底面ABC。是邊

長為2的菱形，加，平面ABC。，ZABC=60°,E為BC的中點，F(xiàn)為邊PC上的一個點.

⑴求證:平面AERL平面PAD-,

(2)若H為尸。上的動點，即與平面外。所成角的正切值的最大值為且，求平面B42與平面PC。夾角的

2

余弦值.

66.(2024?廣東深圳?深圳中學(xué)?？寄M預(yù)測)如圖，AD〃3C且">=23C,ADLCD,EG〃A。且EG=AD,

CD〃bG且C￡>=2FG.DG_L平面ABCD,DA=DC=DG=2.

(1)求平面EBC與平面BCF的夾角的正弦值；

(2)若點尸在線段OG上，且直線3P與平面ADGE所成的角為60。，求線段DP的長.

題型十求兩平面的夾角(二面角)

（一）求面面角

67.（2024?吉林四平?四平市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱錐尸-ABC中，P4,底面

ABC.PC=2AC=2AB=4,。為尸C中點，且3￡>_LAC.

⑴求8C的長；

（2）求銳二面角A-BD-C的余弦值.

68.（2024?江蘇徐州?高二統(tǒng)考期中）如圖，在正四棱錐尸-ABCD中，AB=2,正四棱錐尸-ABCD的體積

Q

為點M為PC的中點，點N為BD的中點.

（1）求證：MN〃平面R4D；

（2）求二面角尸-3M-N的余弦值.

69.（2024.北京.北京四中?？寄M預(yù)測）如圖，正三棱柱ABC-AB。中，區(qū)下分別是棱44,產(chǎn)片上的點,

⑴證明：平面CEF，平面ACGA；

(2)若AC=AE=2,求二面角E-CF-G的余弦值.

70.(2024.安徽蚌埠?高二統(tǒng)考期末)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,

NADC=NBCD=9",AD=2BC=2CD=?PA=?PD=4,二面角P—AD—B的大小為120。，E是上4中

(1)求證：8E〃平面PCD；

(2)求二面角￡-3￡>-A的余弦值.

71.(2024.四川瀘州.高二瀘縣五中校考期末)如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CZ)上，且滿足

AD=DE=42,CE=—,將VADE沿AE向上翻折，使點。到點P的位置，構(gòu)成四棱錐尸-ABCE.

2

(1)若點尸在線段AP上，且E尸〃平面P3C,試確定點下的位置；

(2)若尸2=①°,求銳二面角P—EC—A的大小.

10

72.(2024.江蘇連云港.高二統(tǒng)考期中)如圖，在四棱錐P-ABCD中，P4,平面ABCD,PB與底面所成

的角為45。，底面A8CD為直角梯形，ZABC=ZBAD=90°,AD=2,PA=BC=1.

(1)求直線PC與平面尸3。所成角的正弦值；

(2)求平面1^45與平面尸。所成的銳二面角的余弦值.

(-)求面面角的最值或范圍

73.(2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第六中學(xué)校校考三模)已知直三棱柱ABC-A與G中，側(cè)面M耳B為正方

形，AB=BC,E，尸分別為AC和CG的中點，。為棱4片上的動點.3尸，A片.

C

(1)證明：BF.LDE；

(2)求平面BBgC與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此時點D的位置.

74.(2023秋?云南昆明?高二統(tǒng)考期末)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，/ADC=丁,

PD=DC=2BC=4,點E是線段AD的中點，點E在線段AP上且滿足而=4而，ED_L面A8CD

(1)當(dāng)2時，證明：PC7/平面跳E；

(2)當(dāng)A為何值時，平面BFE與平面PBD所成的二面角的正弦值最??？

75.(2023春?江蘇南通?高二江蘇省通州高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))在四棱錐S-ABCD中，四邊形A3CD為正

方形，AB=2,DS=1,平面AS。，平面ABC。，SD1AD,點E為DC上的動點，平面3SE與平面AS。

所成的二面角為陽為銳角)，則當(dāng)。取最小值時，DE=

C

E

D

S

題型十一已知面面角求其他量

76.（2024?高二單元測試）如圖，四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD為正三角形，AD=2,

AB=3,平面上位），平面ABC。，E為棱PB上一點（不與尸,2重合），平面ADE交棱尸C于點尸.

（1）求證：AD//EF；

（2）若二面角E-AC-8的余弦值為主質(zhì)，求點8到平面AEC的距離.

20

77.（2024?河南新鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末）如圖，在直四棱柱ABCD-A耳GR中,

AB//CD,AB±AD,AAi=AB=2AD=2CD=4,E為棱441的中點，點M在線段CE上，且比B.

（1）證明：B￡，CE.

⑵若二面角耳-M的余弦值為羋，求2的值.

78.（2024?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱ABC。-4402中，48=2,然=4.點兒,打（2,3分

另I」在棱AVBBi.CG,叫上，AA,=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

⑴證明：22c2〃4。2；

(2)點尸在棱8月上，當(dāng)二面角尸-4G-。2為150。時，求生尸.

79.(2024?湖南郴州?高二?？计谀?正三棱柱ABC-A耳G中，BC=CQ=2,。為BC的中點，點E在人其

(1)證明：3。/平面44。；

(2)若二面角A-DE-G大小為30°,求以A，瓦nG為頂點的四面體體積.

80.(2024.全國?高二假期作業(yè))如圖1,在平行四邊形A8CZ)中，NA=60。,A