第35講空間幾何體內(nèi)切球問(wèn)題

第35講空間幾何體內(nèi)切球問(wèn)題【題型目錄】題型一：空間幾何體內(nèi)切球問(wèn)題（，其中為幾何體的體積，為其表面積）【典型例題】題型一：空間幾何體內(nèi)切球問(wèn)題（，其中為幾何體的體積，為其表面積）【例1】我們知道，在中，，若為內(nèi)切圓的圓心，則由得到，內(nèi)切圓的半徑.將此結(jié)論類(lèi)比到空間，得到：在三棱錐中，，，則三棱錐內(nèi)切球的半徑___________.【答案】【分析】三棱錐可分割為以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)的四個(gè)小三棱錐，且棱錐的高為球半徑，利用體積相等求解即可.【詳解】設(shè)三棱錐內(nèi)切球的圓心為，半徑為，則（為內(nèi)切球的球心），因?yàn)榍蚺c棱錐各個(gè)面相切，所以到各個(gè)面的距離為，故,所以.故答案為：.【例2】正方體的內(nèi)切球和外接球的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題可設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，然后求出內(nèi)切球的體積，最后求出外接球的體積，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，因?yàn)檎襟w的內(nèi)切球的直徑即正方體的棱長(zhǎng)，所以內(nèi)切球的半徑，體積，因?yàn)檎襟w的外接球的直徑即正方體的體對(duì)角線，所以外接球的半徑，體積，則內(nèi)切球和外接球的體積之比為，故選：A.【例3】與棱長(zhǎng)為2的正四面體的所有棱都相切的球的直徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把正四面體補(bǔ)成正方體，轉(zhuǎn)化為正方體的內(nèi)切球求解即可.【詳解】如圖，棱長(zhǎng)為2的正四面體的6條棱為正方體的面對(duì)角線，因?yàn)榍蚺c正四面體的所有棱都相切，所以球與正方體的所有面都相切，所以所求的球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，所以，則內(nèi)切球的直徑為，故選:B.【例4】如圖為一個(gè)圓錐形的金屬配件，重75.06克，其軸截面是一個(gè)等邊三角形，現(xiàn)將其打磨成一個(gè)體積最大的球形配件，則該球形配件的重量約為_(kāi)_____克.【答案】33.36【分析】分別求出圓錐的體積和內(nèi)切球的體積，然后利用體積比，計(jì)算得到該內(nèi)切球的重量.【詳解】設(shè)圓錐形的體積為：，底面半徑為；內(nèi)切球的體積為：，，，.故答案為：33.36【例5】記一正三棱柱的內(nèi)切球體積為，外接球體積為，則____________．【答案】【分析】分析正三棱柱有內(nèi)切球的條件是：正三棱柱高的一半等于其底面正三角形的內(nèi)切圓半徑，由此得到，再根據(jù)外接球得到計(jì)算得答案.【詳解】如圖所示,設(shè)正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面正三角形邊長(zhǎng)為，因?yàn)檎庵袃?nèi)切球，可得內(nèi)切球半徑，所以，記正三棱柱上下底面中心連線的中點(diǎn)為，其外接球球心即為點(diǎn)，則外接球半徑為點(diǎn)到任一頂點(diǎn)的距離，所以所以.故答案為：.【例6】2022年2月，女足亞洲杯決賽在印度打響，中國(guó)女足在落后兩球的不利局面下，連入三球，以的比分擊敗韓國(guó)隊(duì)第9次捧起亞洲版冠軍獎(jiǎng)杯.同年10月，在澳大利亞舉行的女籃世界杯上，中國(guó)姑娘們表現(xiàn)神勇，在半決賽中一舉擊潰東道主澳大利亞隊(duì)獲得銀牌，追平了28年前的歷史最佳戰(zhàn)績(jī).已知一個(gè)足球的直徑約為20cm，一個(gè)籃球的直徑約為22cm，現(xiàn)將3個(gè)足球放在地面上彼此相切，再將一個(gè)籃球放在它們的上方，此時(shí)這個(gè)模型的最高點(diǎn)離地面的距離是______cm.【答案】##【分析】先將4個(gè)球的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正三棱錐的問(wèn)題，求出高，再轉(zhuǎn)化為最高點(diǎn)離地面的距離．【詳解】解：四個(gè)球心構(gòu)成底面是邊長(zhǎng)為20的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為21的正三棱錐，設(shè)點(diǎn)為A，B，C，D，設(shè)等邊三角形BCD的中心為O，連接OA，OD，則平面BCD，易知，在中，所以模型的最高點(diǎn)距地面的距離為+10+11=+21(cm)故答案為：【例7】六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個(gè)面都是正三角形的八面體），如圖所示．若此正八面體的棱長(zhǎng)為2，則它的內(nèi)切球的表面積為_(kāi)_________．【答案】##【分析】根據(jù)正八面體的特征可知內(nèi)切球的球心為，進(jìn)而根據(jù)等體積法即可求解半徑.【詳解】設(shè)正八面體內(nèi)切球半徑R，給正八面體標(biāo)出字母如圖所示，連接AC和BD交于點(diǎn)O，因?yàn)?，，所以，，又AC和BD交于點(diǎn)O，平面ABCD，所以平面ABCD，所以O(shè)為正八面體的中心，所以O(shè)到八個(gè)面的距離相等，距離即為內(nèi)切球半徑，設(shè)內(nèi)切球與平面EBC切于點(diǎn)H，所以平面EBC，所以O(shè)H即為正八面體內(nèi)切球半徑，所以，因?yàn)檎嗣骟w的棱長(zhǎng)為2，所以，，，所以，，因?yàn)椋?，所以，即，所以正八面體內(nèi)切球的表面積為：．故答案為：【例8】已知一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)5，且它的內(nèi)切球的表面積為，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫(huà)出圓臺(tái)內(nèi)切球的軸截面圖，由題意結(jié)合圖象求出圓臺(tái)上下底面的半徑與高，再由圓臺(tái)的體積公式即可求解【詳解】圓臺(tái)內(nèi)切球的軸截面如圖所示，由題意易知為等腰梯形，且，取的中點(diǎn)，連接，則易知球心為的中點(diǎn)，因?yàn)閳A臺(tái)的內(nèi)切球的表面積為，所以圓臺(tái)的內(nèi)切球的半徑為，即，過(guò)點(diǎn)作，交與，連接，設(shè)，則由圓的切線性質(zhì)可知，所以，過(guò)點(diǎn)作，交與，則,由得，解得，由，解得，所以圓臺(tái)的體積為，故選：C【例9】在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，且，則四棱錐的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)幾何體內(nèi)切圓半徑公式（為幾何體的體積，為幾何體的表面積），由兩兩垂直，四棱錐可補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，可得外接圓的半徑公式，可得答案.【詳解】設(shè)四棱錐的外接球與內(nèi)切球的半徑分別為.因?yàn)?，四棱錐的表面積，所以，因?yàn)閮蓛纱怪保睦忮F可補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，所以，所以四棱錐的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為.故選：B.【題型專(zhuān)練】1．已知正三棱錐中，側(cè)面與底面所成角的正切值為，，這個(gè)三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正三棱錐底面邊長(zhǎng)為6，且側(cè)面與底面所成角的正切值為，求出三棱錐的高和側(cè)高，利用勾股定理求出外接球半徑，再利用等體積法求出內(nèi)切圓半徑即可.【詳解】因?yàn)槿忮F為正三棱錐，底面邊長(zhǎng)為6，且側(cè)面與底面所成角的正切值為，所以可得正三棱錐的高，側(cè)面的高；設(shè)正三棱錐底面中心為，其外接球的半徑為，內(nèi)切球半徑為，則有，也即，解得：，正三棱錐的體積，也即，解得：，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】?jī)?nèi)切球的球心到各面的距離是相等的，球心和各面可以組成四個(gè)等高的三棱錐，那么內(nèi)切球的半徑乘以正三棱錐的表面積就等于體積，通常用等體積法求解內(nèi)切球的半徑.2．在封閉的直三棱柱內(nèi)，有一體積為的球，若，當(dāng)球的體積取得最大值時(shí)，球的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為_(kāi)__________．【答案】【分析】由題知的內(nèi)切圓半徑為，進(jìn)而得球的體積最大時(shí)，再將其轉(zhuǎn)化為球中內(nèi)接正方體的，求正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以為直角三角形，所以的?nèi)切圓半徑為因?yàn)橐骨虻捏w積最大，則球與直三棱柱的若干面相切，設(shè)球的半徑為，所以，又，所以，所以，，所以，該球的內(nèi)接正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)為，所以，該球的內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)為，所以，該球的內(nèi)接正方體的面對(duì)角線的長(zhǎng)為，即球的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為.故答案為：3．在四棱錐中，平面平面，為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，底面為矩形.若四棱錐存在一個(gè)內(nèi)切球（內(nèi)切球定義：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球），則內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)內(nèi)切球在等邊三角形內(nèi)的“正投影”求得內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而求得內(nèi)切球的表面積.【詳解】由于平面平面，為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，底面為矩形，所以四棱錐的內(nèi)切球在等邊三角形的“正投影”是等邊三角形的內(nèi)切圓，設(shè)等邊三角形的內(nèi)切圓半徑為，則，解得，所以內(nèi)切球的半徑為，其表面積為.故選：D4．在中，，，現(xiàn)以為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)360°得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出旋轉(zhuǎn)體的軸截面，利用幾何關(guān)系求出內(nèi)切球的半徑，即可求出內(nèi)切球的體積.【詳解】如圖所示，旋轉(zhuǎn)體的軸截面是邊長(zhǎng)為3的菱形，設(shè)為內(nèi)切球的球心，因?yàn)?，所以，所以，，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，所以，所以，故內(nèi)切球的體積，故選：A5．正三棱錐P﹣ABC的三條棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為（）A．1：3 B．1： C． D．【答案】D【分析】設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為，用補(bǔ)形法求得外接球的