第01講平面向量的概念線性運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算（學(xué)生版）

第01講平面向量的概念、線性運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第3題,5分平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示向量垂直的坐標(biāo)表示利用向量垂直求參數(shù)2022年新Ⅱ卷，第4題,5分平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積及向量夾角的坐標(biāo)表示2021年新Ⅱ卷，第10題,5分坐標(biāo)計(jì)算向量的模數(shù)量積的坐標(biāo)表示逆用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值二倍角的余弦公式2020年新Ⅱ卷，第3題,5分向量加法的法則向量減法的法則無(wú)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】1了解向量的實(shí)際背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的幾何表示2掌握向量的加、減運(yùn)算并理解其幾何意義3掌握向量的數(shù)乘運(yùn)算并理解其幾何意義以及兩個(gè)向量共線的含義4理解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義5會(huì)向量間的坐標(biāo)運(yùn)算【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)一般考查平面向量的基本概念、線性運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算，易理解，易得分，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)知識(shí)講解1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量平行．(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb1．平面向量加減法求解的關(guān)鍵是：對(duì)平面向量加法抓住“共起點(diǎn)”或“首尾相連”．對(duì)平面向量減法應(yīng)抓住“共起點(diǎn)，連兩終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)”，再觀察圖形對(duì)向量進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，即可快速得到結(jié)果．2．在一般向量的線性運(yùn)算中，只要把其中的向量當(dāng)作一個(gè)字母看待即可，其運(yùn)算方法類似于代數(shù)中合并同類項(xiàng)的運(yùn)算，在計(jì)算時(shí)可以進(jìn)行類比．3.向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.向量共線定理可以解決一些向量共線，點(diǎn)共線問題，也可由共線求參數(shù)；對(duì)于線段的定比分點(diǎn)問題，用向量共線定理求解則更加簡(jiǎn)潔．（1）若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.（2）P為線段AB的中點(diǎn)?eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))．4.向量的坐標(biāo)運(yùn)算兩點(diǎn)間的向量坐標(biāo)公式：，，終點(diǎn)坐標(biāo)始點(diǎn)坐標(biāo)向量的加減法，，向量的數(shù)乘運(yùn)算，則：向量的模，則的模相反向量已知，則；已知單位向量向量的平行關(guān)系，，考點(diǎn)一、平面向量基本概念的綜合考查1．（遼寧·高考真題）已知點(diǎn)則與同方向的單位向量為A． B． C． D．2．（福建·高考真題）對(duì)于向量和實(shí)數(shù)，下列命題中真命題是(

)A．若，則或 B．若，則或C．若，則或 D．若，則1．（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．平行向量不一定是共線向量C．對(duì)于任意向量，必有D．若滿足且與同向，則2．（2023·北京大興·校考三模）設(shè)，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)二、平面向量線性運(yùn)算的綜合考查1．（2020·新高考全國(guó)2卷·高考真題）在中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．2．（安徽·高考真題）若，,則（）A．（1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（3,7）3．（北京·高考真題）已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，且，那么（）A． B．C． D．4．（上海·高考真題）在平行四邊形中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．5．（福建·高考真題）設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則等于A． B． C． D．6．（四川·高考真題）如圖，正六邊形中，（

）A． B． C． D．1．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在長(zhǎng)方體中，化簡(jiǎn)（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）設(shè)是平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三、平面向量共線定理及平行向量（共線向量）坐標(biāo)運(yùn)算的綜合考查1．（寧夏·高考真題）平面向量，共線的充要條件是A．，方向相同B．，兩向量中至少有一個(gè)為零向量C．，D．存在不全為零的實(shí)數(shù)，，2．（山東·高考真題）已知向量、滿足，，，則一定共線的三點(diǎn)是A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D3．（海南·高考真題）平面向量，共線的充要條件是（

）A．，方向相同 B．，兩向量中至少有一個(gè)為零向量C．， D．存在不全為零的實(shí)數(shù)，，4．（廣東·高考真題）已知平面向量，，且，則等于（

）A．（2，4） B．（3，6） C．（5，10） D．（4，8）5．（福建·高考真題）已知向量，，且，則．6．（全國(guó)·高考真題）已知向量，，．若，則．1．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知向量，若，則實(shí)數(shù)（

）A．5 B．4 C．3 D．22．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）已知是平面四邊形，設(shè)：，：是梯形，則是的條件（

）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，向量，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2023·甘肅蘭州·蘭州五十九中校考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，．若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．5．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？家荒＃┰O(shè)向量不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．6．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）已知，為不共線的非零向量，，，，則（

）A．，，三點(diǎn)共線 B．，，三點(diǎn)共線C．，，三點(diǎn)共線 D．，，三點(diǎn)共線7．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）有關(guān)平面向量的說(shuō)法，下列錯(cuò)誤的是（

）A．若，，則 B．若與共線且模長(zhǎng)相等，則C．若且與方向相同，則 D．恒成立【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）化簡(jiǎn)所得的結(jié)果是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖正六邊形中，（

）

A． B． C． D．3．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）如圖，正六邊形中，（

）A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）給出下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則A，B，C，D是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；③若，則；④若，，則；其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、多選題5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出下面四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．若線段，則向量B．若向量，則線段C．若向量與共線，則線段D．若向量與反向共線，則三、填空題6．（2023·河南·統(tǒng)考二模）已知不共線，向量，，且，則．7．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，，若點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)．8．（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)），是兩個(gè)不共線的向量，已知，，且三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù).9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，是兩個(gè)不共線的非零向量，若向量與的方向相反，則.10．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知，則與向量平行的單位向量的坐標(biāo)為．【能力提升】一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且三點(diǎn)共線，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若、，則與共線的單位向量為（

）A． B．或C．或 D．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若都為非零向量，則“”是“與共線”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．（2023春·浙江金華·高三浙江金華第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為單位向量，則“”是“存在，使得”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)校考一模）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則與的方向相同或者相反B．若，為非零向量，且，則與共線C．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得D．若，是兩個(gè)單位向量，且．則6．（2023·河北·校聯(lián)考三模）對(duì)于平面內(nèi)個(gè)起點(diǎn)相同的單位向量，若每個(gè)向量與其相鄰向量的夾角均為，則與的位置關(guān)系為（

）A．垂直 B．反向平行 C．