專題14直角三角形中的分類討論模型

專題14直角三角形中的分類討論模型模型1、直角三角形中的分類討論模型【知識儲備】凡是涉及直角三角形問題，優(yōu)先考慮直角頂點（或斜邊）分類討論，再利用直角三角形的性質(zhì)或勾股定理解題即可。1）無圖需分類討論：①已知邊長度無法確定是直角邊還是斜邊時要分類討論；②已知無法確定是哪個角是直角時要分類討論（常見與折疊、旋轉(zhuǎn)中出現(xiàn)的直角三角形）。2）“兩定一動”直角三角形存在性問題：（常見于與坐標(biāo)系綜合出題，后續(xù)會專題進(jìn)行講解）即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構(gòu)成方法：兩線一圓具體圖解：①當(dāng)時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）②當(dāng)時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）。③當(dāng)時，以為直徑作圓，點在該圓上（，除外）。例1．（2023秋·重慶·八年級統(tǒng)考期末）已知三角形的兩邊分別為6和8，當(dāng)?shù)谌厼闀r，此三角形是直角三角形．【答案】10或【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理分情況求解即可．【詳解】解：當(dāng)6和8都為直角邊長時，則第三邊長為=10；當(dāng)6為直角邊長，8為斜邊長時，則第三邊長為，∴當(dāng)?shù)谌厼?0或時，此三角形是直角三角形，故答案為：10或．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理及其逆定理，確定直角邊和斜邊是解答的關(guān)鍵．例2．（2023秋·浙江八年級課時練習(xí)）如圖，在中，于點D，平分．若，F(xiàn)為線段上的任意一點，則當(dāng)為直角三角形時，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)平分，可得，再由，可得，，再分兩種情況：當(dāng)時；當(dāng)時，即可求解．【詳解】解：∵平分，，∴，∵，∴，，當(dāng)時，如圖，∴；當(dāng)時，如圖，∴，∴；綜上所述，的度數(shù)為或．故選：D【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，有關(guān)角平分線的計算，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在的小正方形網(wǎng)格中，點A，B為格點，另取一格點C，使為直角三角形，則點C的個數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點，以及直角三角形的定義即可求解．【詳解】解：如圖所示，共有6個格點使為直角三角形，，故選：B．【點睛】本題主要考查了直角三角形的定義，根據(jù)題意、畫出符合實際條件的圖形以及掌握數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．．例4．（2023·河南新鄉(xiāng)·八年級?？计谥校┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系中有點、，連接AB，以AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形，則點C的坐標(biāo)是．【答案】或/或【分析】據(jù)題意作出圖形，①當(dāng)時，過點作軸于點，證明；②當(dāng)時，過點作軸于點，證明，根據(jù)點的坐標(biāo)即可求得的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，、，以AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形，則,①當(dāng)時，過點作軸于點，在與中②當(dāng)時，過點作軸于點，同理可得，綜上，點C的坐標(biāo)是或故答案為：或【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，分類討論是解題關(guān)鍵．例5．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，點M是射線CO上的一個動點，∠AOC＝60°，則當(dāng)△ABM為直角三角形時，AM的長為．【答案】4或4或4【分析】分三種情況討論：①當(dāng)M在AB下方且∠AMB=90°時，②當(dāng)M在AB上方且∠AMB=90°時，③當(dāng)∠ABM=90°時，分別根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)或勾股定理，進(jìn)行計算求解即可．【詳解】如圖1，當(dāng)∠AMB=90°時，∵O是AB的中點，AB=8，∴OM=OB=4，又∵∠AOC=∠BOM=60°，∴△BOM是等邊三角形，∴BM=BO=4，∴Rt△ABM中，AM==；如圖2，當(dāng)∠AMB=90°時，∵O是AB的中點，AB=8，∴OM=OA=4，又∵∠AOC=60°，∴△AOM是等邊三角形，∴AM=AO=4；如圖3，當(dāng)∠ABM=90°時，∵∠BOM=∠AOC=60°，∴∠BMO=30°，∴MO=2BO=2×4=8，∴Rt△BOM中，BM==，∴Rt△ABM中，AM==．綜上所述，當(dāng)△ABM為直角三角形時，AM的長為或或4．故答案為或或4．例6.（2023·河南·三模）如圖，長方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=8，AB=CD=17．點E為射線DC上的一個動點，△ADE與△AD′E關(guān)于直線AE對稱，當(dāng)△AD′B為直角三角形時，DE的長為．【答案】或【分析】分兩種情況：點E在DC線段上，點E為DC延長線上的一點，進(jìn)一步分析探討得出答案即可．【詳解】如圖1，∵折疊，∴△AD′E≌△ADE，∴∠AD′E=∠D=90°，∵∠AD′B=90°，∴B、D′、E三點共線，又∵∠AD′B=∠C=90°，∠ABD′=∠BEC=90°，AD′=BC，∴ABD′≌△BEC（AAS），∴BE=AB=17，∵BD′==15，∴DE=D′E=17﹣15=2；如圖2，∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°，∴∠CBE=∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，∠D″=∠BCE，AD″=BC，∠CBE=∠BAD″，∴△ABD″≌△BEC（ASA），∴BE=AB=17，∴DE=D″E=17+15=32．綜上所知，DE=2或32．故答案為2或32．【點睛】本題考查翻折的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握翻折的性質(zhì)，分類探討的思想方法是解決問題的關(guān)鍵．例7.（2023秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點D是邊上的點，將沿折疊得到，線段與邊交于點F．若為直角，則的長是．【答案】/【分析】過點A作于點G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而得到，進(jìn)而得到，再由折疊的性質(zhì)可得，從而得到，進(jìn)而得到，即可求解．【詳解】解：如圖，過點A作于點G，∵，，∴，∴，∴，∵將沿折疊得到，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，圖形的折疊問題，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．例8．（2023秋·廣西百色·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，AB＝20cm，BC＝16cm，點D為線段AB的中點，動點P以2cm/s的速度從B點出發(fā)在射線BC上運動，同時點Q以αcm/s（α＞0且α≠2）的速度從C點出發(fā)在線段CA上運動，設(shè)運動時間為秒．(1)若AB＝AC，P在線段BC上，求當(dāng)α為何值時，能夠使△BPD和△CQP全等？(2)若∠B＝60°，求出發(fā)幾秒后，△BDP為直角三角形？(3)若∠B＝60°，求出發(fā)幾秒后，△BDP為等邊三角形？【答案】(1)2.5（cm/s）(2)出發(fā)2.5S或10S時，△BPD為直角三角形(3)當(dāng)時，△BPD為等邊三角形【分析】（1）分當(dāng)△BPD≌△CQP，即BP=CQ時，當(dāng)△BPD≌△CPQ，即BP=CP，BD=CQ時，兩種情況討論求解即可；（2）分當(dāng)∠BPD=90°時，當(dāng)∠BDP=90°時，兩種情況討論求解即可．（3）當(dāng)BD=BP時，又∠B=，即，即可求解．【詳解】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，

又點P與點Q同時出發(fā)，但速度不同，∴

∴當(dāng)BP=CP，BD=CQ時，△BPD≌△CQP，則2=162，解得．又點D是AB的中點，∴CQ=BD=10，∴4α=10，解得α=2.5（cm/s）（2）分兩種情況討論：①當(dāng)∠BPD=90°時，又∠B=60°，∴∠BDP=30°∴②當(dāng)∠BDP=90°時，又∠B=60°，∴∠BPD=30°∴，解得：∴出發(fā)2.5S或10S時，△BPD為直角三角形．（3）當(dāng)BD=BP時，又∠B=，△BPD為等邊三角形∴，解得∴當(dāng)時，△BPD為等邊三角形【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．例9．（2023秋·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期末）在中，，，點在上（不與點B，C重合）．(1)如圖1，點E在上（不與點A，B重合），且．若，求證：；(2)若是直角三角形，求的長．【答案】(1)見解析(2)6或【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)得，再利用證明；（2）分兩種情況，①若，②若，過點作于，由勾股定理可求出答案．【詳解】（1）證明：∵AB=AC=10，，，，，在和中，∴；（2）解：①若，，，，，；②若，過點作于，由①可知，設(shè)，，，，解得，，．綜上所述，的長為6或．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．例10．（2023秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，，C為y軸上的一個動點，連接，把線段分別繞著點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)求證：．(2)當(dāng)時，求的面積．(3)在點C的運動過程中，是否存在為直角三角形，若存在，求出點D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

【答案】(1)見解析(2)8(3)在點C的運動過程中，存在為直角三角形，此時點D的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，進(jìn)而利用證明即可；（2）先求出，如圖所示，過點F作軸于H，證明，得到，進(jìn)而求出；如圖所示，過點C作軸，過點A作，過點D作，垂足分別為M、N，同理可得，求出，則，即可得到；（3）如圖31所示，當(dāng)點C在x軸上方時，過點C作軸，過點A作，過點D作，垂足分別為M、N，設(shè)點C的坐標(biāo)為，同理可證，可得到；如圖32所示，當(dāng)點C在x軸下方時，過點D作軸，同理可得，可得到，綜上所述，當(dāng)點C的坐標(biāo)為時，點D的坐標(biāo)為，同理可得，當(dāng)點C的坐標(biāo)為時，點F的坐標(biāo)為，利用勾股定理得到，，，再分當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，三種情況利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，即，∴；

（2）解：∵，，，∴，如圖所示，過點F作軸于H，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴；如圖所示，過點C作軸，過點A作，過點D作，垂足分別為M、N，同理可得，∴，∴，∴，∴；

（3）解：如圖31所示，當(dāng)點C在x軸上方時，過點C作軸，過點A作，過點D作，垂足分別為M、N，設(shè)點C的坐標(biāo)為，同理可證，∴，∴；

如圖32所示，當(dāng)點C在x軸下方時，過點D作軸，同理可得，∴，∴，∴，綜上所述，當(dāng)點C的坐標(biāo)為時，點D的坐標(biāo)為，同理可得，當(dāng)點C的坐標(biāo)為時，點F的坐標(biāo)為，∴，∵，∴，，，當(dāng)時，則由勾股定理得，∴，解得，∴；當(dāng)時，則由勾股定理得，∴，解得，∴；當(dāng)時，則由勾股定理得，∴，∴，解得或，∴或；綜上所述，在點C的運動過程中，存在為直角三角形，此時點D的坐標(biāo)為或或或．

【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等等，通過證明三角形全等從而確定點D和點F兩點坐標(biāo)與點C坐標(biāo)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例11．（2023秋·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期末）【模型構(gòu)建】如圖，將含有的三角板的直角頂點放在直線l上，過兩個銳角頂點分別向直線l作垂線，這樣就得到了兩個全等的直角三角形．由于三個直角的頂點都在同一條直線上，因此我們將其稱為“一線三直角”，這模型在數(shù)學(xué)解題中被廣泛使用．【模型應(yīng)用】(1)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，①則_________；②C，D是正比例函數(shù)圖像上的兩個動點，連接AD，BC，若，則AD的最小值是_______；(2)如圖2，一次函數(shù)的圖像與y軸，x軸分別交于A，B兩點．將直線繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線l，求直線l對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；【模型拓展】(3)如圖3，點A在x軸負(fù)半軸上，，過點A作軸交直線于點B，P是直線上的動點，Q是y軸上的動點，若是以其中一個動點為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)．

【答案】(1)①；②(2)(3)或或或【分析】（1）①先根據(jù)函數(shù)解析式確定，進(jìn)而得到，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解答；②根據(jù)點到直線的距離垂線段最短，可得當(dāng)時，AD有最小值，然后判定可得，最后根據(jù)勾股定理求解即可；（2）先證可得，進(jìn)而得到，最后根據(jù)待定系數(shù)法即可解答；（3）分，點P在x軸上方或下方和點P在x軸上方或下方，四種情況，分別運用全等三角形的判定與性質(zhì)和二元一次方程組解答即可【詳解】（1）解：①∵與x軸，y軸交于A，B兩點，∴，∴，又∵，∴為等腰直角三角形，∴；故答案為；②∵A是定點，∴如圖：當(dāng)時，有最小值；

∵,∴，∵，∴，在和中，∴，∴在中，由勾股定理得：，∴，∴的最小值為．故答案為．（2）解：如圖，過點B作交直線l于點C，過點C作軸．∴．

∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．當(dāng)時，，∴．當(dāng)時，，∴．∴．設(shè)直線l對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，將和代入，得

解得∴．（3）解：①當(dāng),,P在x軸的上方，如圖1：過P作軸，交于M，交y軸于N，∵，∴，又∵，∴，∴；∵直線l：，∴設(shè)，∴，∴，∴，∴,即，①②聯(lián)立解得：，∴；

②當(dāng),,P在x軸的下方，如圖2：同①易證：，∴；∵直線l：，∴設(shè)，∴，∴，∴,∴,即，①②聯(lián)立解得：，∴;

③當(dāng),,P在x軸的上方，如圖3：易證，∴；∵直線l：，∴設(shè)，∴，∴，∵，∴，①②聯(lián)立解得：，∴；

④當(dāng),,P在x軸的下方，如圖：易證，∴；∵直線l：，∴設(shè)，∴，∴，∵，∴，①②聯(lián)立解得：，∴．

綜上，點P的坐標(biāo)為或或或．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何的綜合、等腰直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，綜合應(yīng)用所學(xué)知識成為解答本題的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．（2023秋·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期中）在直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，已知點，在坐標(biāo)軸上確定點，使得為直角三角形，則符合條件的點的個數(shù)共有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】分兩種情況：①當(dāng)為斜邊時，過分別作軸和軸的垂線，垂足即為點，符合條件的點有2個；②當(dāng)為斜邊時，過作的垂線，與軸和軸的交點即為點，即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖所示：①當(dāng)為斜邊時，過分別作軸和軸的垂線，垂足即為點，符合條件的點有2個；②當(dāng)為斜邊時，過作的垂線，與軸和軸的交點即為點，符合條件的點有2個；符合條件的點的個數(shù)共有4個，故選：．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、直角三角形的判定；作出圖形，分情況討論是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東廣州·八年級校考期末）如圖，點M是直線y=2x+3上的動點，過點M作MN垂直于x軸于點N，y軸上是否存在點P，使得△MNP為等腰直角三角形，則符合條件的點P有（提示：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】根據(jù)等腰直角三角形的定義,由題意,應(yīng)分兩類情況討論：當(dāng)MN為直角邊時和當(dāng)MN為斜邊時點Ｐ的位置的求法．【詳解】當(dāng)M運動到(－1，1)時，ON=1，MN=1，∵M(jìn)N⊥x軸，所以由ON=MN可知，(0，0)和(0，1)就是符合條件的P點；又當(dāng)M運動到第三象限時，要MN=MP，且PM⊥MN，設(shè)點M(x，2x+3)，則有－x=－(2x+3)，解得x=－3，所以點P坐標(biāo)為(0，－3)．如若MN為斜邊時，則∠ONP=45°，所以O(shè)N=OP，設(shè)點M(x，2x+3)，則有－x=－(2x+3)，化簡得－2x=－2x－3，這方程無解，所以這時不存在符合條件的P點；又當(dāng)點M′在第二象限，M′N′為斜邊時，這時N′P=M′P，∠M′N′P=45°，設(shè)點M′(x，2x+3)，則OP=ON′，而OP=M′N′，∴有－x=(2x+3)，解得x=－，這時點P的坐標(biāo)為(0，－)．因此，符合條件的點P坐標(biāo)是(0，0)，(0，－)，(0，－3)，(0，1)．故答案選C,【點睛】本題主要采用分類討論法,來求得符合條件的點P坐標(biāo)．題中沒有明確說明哪個邊是直角邊,哪條邊是斜邊,所以分情況說明,在證明時,注意點M的坐標(biāo)表示方法以及坐標(biāo)與線段長之間的轉(zhuǎn)換.3．（2023秋·廣東佛山·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，．點E為射線上的一個動點，與關(guān)于直線對稱，當(dāng)為直角三角形時，則的長為（

）A．2或18 B．3或18 C．3或2 D．2或8【答案】A【分析】分兩種情況：①當(dāng)E點在線段DC上時，②當(dāng)E點在線段DC的延長線上時，利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出答案即可．【詳解】解：分兩種情況討論：①當(dāng)E點在線段DC上時，∵△AD'E≌△ADE，∴∠AD'E＝∠D＝90°，∵∠AD'B＝90°，∴∠AD'B+∠AD'E＝180°，∴B、D'、E三點共線，∵，AD'＝AD，∴BE＝AB＝10，∵，∴DE＝D'E＝10﹣8＝2；②當(dāng)E點在線段DC的延長線上，且ED″經(jīng)過點B時，滿足條件，如下圖，∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，∴∠CBE＝∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，∵，∴△ABD″≌△BEC（ASA），∴BE＝AB＝10，∵，∴DE＝D″E＝BD''+BE＝8+10＝18．綜上所知，DE＝2或18．故選：A．【點睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握翻折的性質(zhì)，分類探討的思想方法是解決問題的關(guān)鍵，有一定難度．4．（2023秋·重慶·八年級課堂例題）已知點A和點，以點A和點為兩個頂點作等腰直角三角形，一共可以作出個．【答案】6【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，分點是直角邊和斜邊兩種情況作出圖形即可得解．【詳解】解：如圖，以點和點為兩個頂點作等腰直角三角形，

一共可作出6個．故答案為：6【點睛】本題考查了等腰直角三角形，作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更形象直觀．5．（2022·浙江·諸暨市八年級期中）如圖∠MAN＝60°，若△ABC的頂點B在射線AM上，且AB＝6，動點C從點A出發(fā)，以每秒1個單位沿射線AN運動，當(dāng)運動時間t是_______秒時，△ABC是直角三角形．【答案】3或12【分析】分∠ACB＝90°和∠ABC＝90°兩種情況，據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AC，再求出答案即可．【詳解】解：如圖：當(dāng)△ABC是以∠ACB＝90°的直角三角形時，∵∠MAN＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC=，∴運動時間t=秒，當(dāng)△ABC是以∠ABC＝90°的直角三角形時，∵∠MAN＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC=，∴運動時間t=秒，當(dāng)運動時間t是3或12秒時，△ABC是直角三角形．故答案為：3或12【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和含30°角的直角三角形的性質(zhì)，能熟記含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．6．（2022·上海普陀·八年級期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，點D為邊BC上一點，將△ACD沿直線AD翻折得到△AED，點C的對應(yīng)點為點E，聯(lián)結(jié)BE，如果△BDE是以BD為直角邊的等腰直角三角形，那么BC的長等于______．【答案】12或【分析】根據(jù)題意可知，需要分兩種情況，，，畫出對應(yīng)的圖形，再根據(jù)折疊的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：①當(dāng)時，如圖，此時，四邊形是正方形，則，又是等腰直角三角形，則，所以；②當(dāng)時，如圖，設(shè)，則，，由折疊可知，，由題意可知，，，，即是等腰直角三角形，，，，，解得，．故答案為：12或．【點睛】本題考查了翻折變換、勾股定理、解直角三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想解決問題．7．（2022·河南南陽·二模）如圖，在的紙片中，，，．點在邊上，以為折痕將折疊得到，與邊交于點．若為直角三角形，則的長是_______．【答案】7或【分析】由勾股定理可以求出BC的長，由折疊可知對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，當(dāng)△DEB′為直角三角形時，可以分為兩種情況進(jìn)行考慮，分別利用勾股定理可求出BD的長．【詳解】解：在中，，（1）當(dāng)時，如圖1，過點作，交的延長線于點，由折疊得：，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：（舍去），，因此，．（2）當(dāng)時，如圖2，此時點與點重合，由折疊得：，則，設(shè)，則，，在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案為：7或．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，分類討論思想的應(yīng)用注意分類的原則是不遺漏、不重復(fù)．8．（2022·江西萍鄉(xiāng)·二模）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC＝60°，則當(dāng)△PAB為直角三角形時，AP的長為____．【答案】或或1【分析】利用分類討論，當(dāng)∠ABP=90°時，如圖2，由對頂角的性質(zhì)可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的長，利用勾股定理可得AP的長；當(dāng)∠APB=90°時，分兩種情況討論，情況一：如圖1，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出PO=BO，易得△BOP為等邊三角形，利用勾股定理可得AP的長；情況二：如圖3，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得結(jié)論．【詳解】當(dāng)∠ABP=90°時（如圖2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OB=2，∴BP=，在直角三角形ABP中，AP=；當(dāng)∠APB=90°時，分兩種情況，情況一，（如圖1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP為等邊三角形，∴BP=OB=1，∵AB=BC=2，∴AP=；情況二，如圖3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP為等邊三角形，∴AP=AO=1，故答案為：或或1．．【點睛】本題主要考查了勾股定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．9．（2022·廣東·九年級課時練習(xí)）如圖，點E是矩形ABCD的邊AB的中點，點P是邊AD上的動點，沿直線PE將△APE對折，點A落在點F處.已知AB=6，AD=4，連結(jié)CF、CE，當(dāng)△CEF恰為直角三角形時，AP的長度等于___________.【答案】或1【分析】分∠CFE=90°和∠CEF=90°兩種情況根據(jù)矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)求解．【詳解】解：①如圖，當(dāng)∠CFE=90°時，∵四邊形ABCD是矩形，點E是矩形ABCD的邊AB的中點，AB=6，AD=4，∴∠PAE=∠PFE=∠EBC=90°，AE=EF=BE=3，∴∠PFE+∠CFE=180°，∴P、F、C三點一線，∴△EFC≌△EBC，∴FC=BC=4，EC==5，∠FEC=∠BEC，∴∠PEF+∠FEC=90°，設(shè)AP=x，則PC=x+4，∴,解得x=；②如圖，當(dāng)∠CEF=90°∴∠CEB+2∠PEA=90°，∴∠CEB+∠PEA=90°∠PEA，延長PE、CB，二線交于點G，∵AE=BE，∠PAE=∠GBE=90°，∠AEP=∠BEG，∴△PAE≌△GBE，∴PA=BG，∠AEP=∠BEG，∴∠G=90°∠GEB=90°∠PEA，∠CEB+∠PEA=90°∠PEA，∴∠G=∠CEB+∠PEA=∠CEB+∠GEB=∠CEG，∴CE=CBC+BG=BC+AP，∴5=4+AP，解得PA=1，故答案為：或1．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．（2023·山東·八年級課時練習(xí)）如圖，在中，，，，．是邊上的一個動點，點與點關(guān)于直線對稱，當(dāng)為直角三角形時，的長為________．【答案】7或17【分析】分當(dāng)E在線段AD上時，當(dāng)E在線段BD上時分別求解即可．【詳解】解：當(dāng)E在線段AD上時，連接CE，作A關(guān)于CE的對稱點F，連接AF，EF，CF，∵∠AEF=90°，∴∠AEC=∠FEC==135°，∴∠CED=45°，∴CD=ED=5，∴AE=ADED=125=7；當(dāng)E在線段BD上時，連接CE，作A關(guān)于CE的對稱點F，連接EF，CF，AF，∵∠AEF=90°，∴∠CEF=∠CEA=45°，∴ED=CD=5，∴AE=AD+DE=17，故答案為：7或17．【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是注意運用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．，則，，，設(shè)經(jīng)過秒后的面積等于，則，，，當(dāng)點在線段上運動時，，根據(jù)題意：，，，當(dāng)點在的延長線上運動時，，根據(jù)題意：，，（舍，故經(jīng)過2秒或4秒或秒后，的面積等于．故答案為：2秒或4秒或秒．【點睛】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要對分類討論．11.（2023·廣東廣州·八年級階段練習(xí)）在中，若過頂點的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為的關(guān)于點的二分割線．例如：如圖，在中，，，若過頂點的一條直線交于點，且，則直線是的關(guān)于點的二分割線．如圖，已知，同時滿足：①為最小角；②存在關(guān)于點的二分割線，則的度數(shù)為______．【答案】或或【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于點B的二分割線的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖2所示：，如圖3所示：，如圖所示：，故答案為：或或．【點睛】本題考查了直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，正確地理解“△ABC的關(guān)于點B的二分割線”是解題的關(guān)鍵12．（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，D是邊上的一個動點，點E與點A關(guān)于直線對稱，

（1）的面積=．（2）當(dāng)為直角三角形時，則的長為

．【答案】482或14【分析】第一空作邊上的高，根據(jù)勾股定理求出的長，再由三角形的面積公式求解即可；第二空分兩種情況：①當(dāng)點D在上時；②當(dāng)點D在上時；進(jìn)行討論即可求解．【詳解】解：過點C作于點F，如圖，∵，∴，∴，∴=；故答案為48.①如圖1，當(dāng)點D在上時，∵，∴．∴45°．∴．∴．②如圖2，當(dāng)點D在上時，∵，∴．∴．∴．故答案為：48，2或14【點睛】主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是注意運用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．13．（2023春·廣東·八年級階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，點D是AB的中點，點E是邊BC上一動點，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交邊BC于點F，若△CB′F為直角三角形，則CB′的長為．【答案】2或4/4或2【分析】當(dāng)△為直角三角形時，需要分類討論，點，，分別為直角頂點時，畫出圖形求解即可．【詳解】解：在中，，，，點是的中點，，，，由折疊可知，，∴①由點運動可知點不可能是直角頂點；②如圖，當(dāng)點為直角頂點，即，，，，，，；③如圖，當(dāng)點是直角頂點時，即，連接，在△中，∴△，，故答案為：或4．【點睛】本題考查翻折變換、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．14．（2022秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期中）如圖，長方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點E是BC邊上任一點，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點B落在點B′處，當(dāng)CE的長為時，△CEB′恰好為直角三角形．【答案】1或【分析】當(dāng)△CEB′為直角三角形時，有兩種情況：①當(dāng)點B′落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示．連結(jié)AC，先利用勾股定理計算出AC＝5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AB′E＝∠B＝90°，而當(dāng)△CEB′為直角三角形時，只能得到∠EB′C＝90°，所以點A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點B′處，則EB＝EB′，AB＝AB′＝3，可計算出CB′＝2，設(shè)BE＝x，則EB′＝x，CE＝4﹣x，然后在Rt△CEB′中運用勾股定理可計算出x，可得CE的長；②當(dāng)點B′落在AD邊上時，如答圖2所示．此時ABEB′為正方形，可得BE的長，即可求CE的長．【詳解】解：當(dāng)△CEB′為直角三角形時，有兩種情況：①當(dāng)點B′落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示．連結(jié)AC，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵∠B沿AE折疊，使點B落在點B′處，∴∠AB′E＝∠B＝90°，當(dāng)△CEB′為直角三角形時，只能得到∠EB′C＝90°，∴點A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點B′處，∴EB＝EB′，AB＝AB′＝3，∴CB′＝5﹣3＝2，設(shè)BE＝x，則EB′＝x，CE＝4﹣x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2＝CE2，∴x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，∴BE＝，CE＝4﹣＝②當(dāng)點B′落在AD邊上時，如答圖2所示．此時ABEB′為正方形，∴BE＝AB＝3，∴CE＝BC﹣BE＝4﹣3＝1綜上所述：CE＝1或故答案為：1或【點睛】此題利用矩形考查直角三角形與折疊相關(guān)問題，難度較大．15．（2023春·江西鷹潭·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，已知，，．，在直線上．現(xiàn)將在直線上進(jìn)行平移，當(dāng)為直角三角形時，的長為．【答案】或或【分析】先進(jìn)行分類討論，通過平移的性質(zhì)可知，，最后通過所對直角邊是斜邊的一半和等邊三角形答性質(zhì)即可求解．【詳解】∵，，，∴，，如圖，當(dāng)在的左側(cè)，且時，

∵為直角三角形，∴，∴，∴，∴；如圖，當(dāng)在線段上，且時，

即為直角三角形，∴，∴；如圖，當(dāng)在線段上，且時，

即為直角三角形，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，故答案為：或或．【點睛】此題考查了平移和特殊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定．16．（2023春·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，動點P，Q同時從A，B兩點出發(fā)，分別在邊上勻速運動，它們的速度分別為，，當(dāng)點P到達(dá)點B時，P，Q兩點同時停止運動，設(shè)點P的運動時間為．

（1）當(dāng)時，為等腰三角形；（2）當(dāng)時，為直角三角形．【答案】2或【分析】（1）先求出，；則當(dāng)為等腰三角形，為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得到，由此建立方程進(jìn)行求解；（2）當(dāng)為直角三角形可分當(dāng)時和當(dāng)時兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）∵在中，，，，∴，，∵，，∴，∴，當(dāng)為等腰三角形時，由于，則為等邊三角形，∴，∴，解得，故答案為：；（2）當(dāng)時，則，∴，∴，解得；當(dāng)時，則，∴，則，解得；故答案為：2或．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)與判定，含30度的直角三角形的性質(zhì)，靈活運用所學(xué)知識是解題關(guān)鍵．17．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，已知，點是射線上一動點，當(dāng)為直角三角形時，．【答案】或【分析】先分類討論，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可求解．【詳解】解：依題意，為直角三角形時，當(dāng)，為直角三角形時，當(dāng)時，，故答案為：或．【點睛】本題考查了直角三角形的兩銳角互余，分類討論是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·江蘇南京·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，分別是高和角平分線，點E為邊上一個點，當(dāng)為直角三角形時，則度．【答案】42或21【分析】直接根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，由角平分線的定義得，當(dāng)為直角三角形時，存在兩種情況：分別根據(jù)三角形內(nèi)和定理和外角的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：，，，平分，當(dāng)為直角三角形時，有以下兩種情況：①當(dāng)時，如圖1，，；②當(dāng)時，如圖2，，，，綜上，的度數(shù)為或．故答案為：42或21．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，角平分線的有關(guān)計算，三角形內(nèi)和定理與外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．19．（2023春·吉林長春·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1個單位長度，存在線段，端點A，B均落在格點上，構(gòu)建如圖所示平面直角坐標(biāo)系．(1)直接寫出點A，B的坐標(biāo)：A（______，______），

B（______，______）；(2)請在網(wǎng)格中找到點C，連接，，使為等腰直角三角形，此時點C的坐標(biāo)為______；(3)如圖所示，網(wǎng)格中（包括網(wǎng)格的邊界）存在點P，點P的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)，連接，，得到銳角，且為等腰三角形，則滿足條件的點P有_____個．【答案】(1)0；1；1；(2)或或(3)4【分析】（1）根據(jù)圖中A、B點的位置，寫出點A、B的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)題意畫出圖形，寫出點C的坐標(biāo)即可；（3）畫出圖形找出符合條件的點P，得出答案即可．【詳解】（1）解：點A，B的坐標(biāo)分別為：，；故答案為：0；1；1；．（2）解：當(dāng)點B為直角頂點時，點C的坐標(biāo)為；當(dāng)點A為直角頂點時，點C的坐標(biāo)為或；故答案為：或或．（3）解：如圖所示：滿足條件的點P有4個．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了在網(wǎng)格中畫等腰三角形，坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的定義，數(shù)形結(jié)合．20．（2022·廣東中山·八年級期末）如圖，中，厘米，如果點M從點C出發(fā)，點N從點B出發(fā)，沿著三角形三邊以4厘米/秒的速度運動，當(dāng)點N第一次到達(dá)C點時，M，N兩點同時停止運動．運動時間為t（秒）．(1)當(dāng)且為直角三角形時，求t的值；(2)當(dāng)t為何值，為等邊三角形．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）根據(jù)題意可知當(dāng)時，點M在BC上，點N在AB上，根