2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)試題專題11 極坐標(biāo)與參數(shù)方程 （解析版）

專題11極坐標(biāo)與參數(shù)方程

一、核心先導(dǎo)

二、考點再現(xiàn)

【考點1】極坐標(biāo)方程的概念

（1）、極坐標(biāo)系

如圖所示,在平面內(nèi)取一個定點。，叫做極點，自極點。引一條射線Qt,叫做極軸;再選定一個長度單位,

一個角度單位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆時針方向），這樣就建立了一個極坐標(biāo)系.

注:極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景，而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面

直角坐標(biāo)系內(nèi)的點與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)的關(guān)系，而極坐標(biāo)系則不可.但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平

面坐標(biāo)系.

（2）、極坐標(biāo)

設(shè)M是平面內(nèi)一點,極點。與點M的距離|0M|叫做點M的極徑,記為夕；以極軸Ox為始邊,射線0M為終

邊的角ZJCOM叫做點的極角，記為仇有序數(shù)對（0,，）叫做點M的極坐標(biāo),記作

一般地,不作特殊說明時，我們認(rèn)為Q20,。可取任意實數(shù).

特別地,當(dāng)點、M在極點時,它的極坐標(biāo)為（0,。）（8￡R）.和直角坐標(biāo)不同,平面內(nèi)一個點的極坐標(biāo)有無數(shù)

種表示.

如果規(guī)定夕＞0,042不，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(biāo)（.8）表示；同時，極坐標(biāo)

（",。）表示的點也是唯一確定的.

常見圓與直線的極坐標(biāo)方程

曲線圖形極坐標(biāo)方程

圓心在極點，半徑為一

p=r(0<0<2萬)

的圓

圓心為（幾0）,半徑為°(^),x

p=27-cos0(——<0<—)

22

廠的圓

圓心為（一,￡）,半徑

2p=2/*sin0(0<^?<^)

為r的圓

OX

過極點，傾斜角為。(1)9=a(ps/?)或。=乃+。(/wR)

的直線(2)0=a(p>0)和0=幾+a(p>0)

過點（4,0）,與極軸垂

pcos3=a(--<0<-)

直的直線030)?

IL

過點（〃,工），與極軸

2ps\n0=a(0<0<TT)

平行的直線O\X

【考點2］極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

（1）、互化背景:把直角坐標(biāo)系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度

單位，如圖所示:

（2）、互化公式：設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo)是），），極坐標(biāo)是（A^）（/?>0）,于是極

坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表:

點M直角坐標(biāo)（x,y）極坐標(biāo)（p,e）

222

X=PCQS0u-y

互化公式<

y=psin6tan(7=—(x^O)

在一般情況下，由tan。確定角時,可根據(jù)點M所在的象限最小正舛.

【考點3】直角的參數(shù)方程

直線參數(shù)方程中/的幾何意義的應(yīng)用：

<+?sin/'為參數(shù)），表示直線上任意一點到定點產(chǎn)（飛，為）的距離.

直線參數(shù)方程為參數(shù)）（1為參數(shù)），橢圓方程C:二十[=1,相交于兩點，直

[y=yo+/sm。crb-

線上定點P（x（），x））

將直線的參數(shù)方程帶入橢圓方程，得到關(guān)于/的一元二次方程，則：

M+U他>0

⑴|陰二小寸="產(chǎn)2）2-4格1PAi+歸卻=聞+冏=

ki-^l秘2<()

|P41P目=|他|若"為A8的中點，則|PM|二悖J

【考點4】曲線的參數(shù)方程

1.圓的參數(shù)方程

如圖所示，設(shè)圓。的半徑為r,點”從初始位置M。出發(fā)，按逆時針方向在圓。上作勻速圓周運動,

設(shè)M（x,y）,則1As，（以參數(shù)）。

y=rsinO

這就是圓心在原點。，半徑為r的圓的參數(shù)方程，其中。的幾何意義是OM。轉(zhuǎn)過的角度c

圓心為（a,b）,半徑為r的圓的普通方程是（x-a）2+（y-b）2=r2,

它的參數(shù)方程為：產(chǎn)廣小寅腦參數(shù)）。

[y=〃+rsin9

2.橢圓的參數(shù)方程

x2v2

以坐標(biāo)原點。為中心，焦點在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為r+gr=l（a>〃>0）,其參數(shù)方程為

a"lr

/=：COSq°為參數(shù)），其中參數(shù)。稱為離心角；焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

y=bsin（/）

￡+[=1（4>/7>0）,其參數(shù)方程為1="85"（0為參數(shù)）,其中參數(shù)0仍為離心角，通常規(guī)定參數(shù)0的

cTb~[y=asin°

范圍為夕￡[0,2萬）。

【名師提醒】：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)。的幾何意義為橢圓上任一點的離心角，要把它和這一點的

旋轉(zhuǎn)角a區(qū)分開來，除了在四個頂點處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外（即在0到2乃的范圍內(nèi)），在其他

任何一點，兩個角的數(shù)值都不相等。但當(dāng)時，相應(yīng)地也有在其他象限為類似。

3.雙曲線的參數(shù)方程（了解）

X2V2

以坐標(biāo)原點。為中心，焦點在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)議程為=1（〃〉0力>0）,其參數(shù)方程為

a~b~

x=asec（p斗公蛇、,?_、口n3%

,,（夕為參數(shù)），其中夕￡[0r,2萬）且夕=一—.

y=btan（p22

22

焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是5-二=1（〃>0,。>（））,其參數(shù)方程為

alr

X=bCQ\.（p、，,.“.L

,（。為參數(shù)4V，其中。￡（0,24）6且0工乃.

y=acsc（p

以上參數(shù)0都是雙曲線上任意一點的離心角。

4.拋物線的參數(shù)方程

以坐標(biāo)原點為頂點，開口向右的拋物線y=2px（p>0）的參數(shù)方程為*=2〃1。為參數(shù)）.

三、考點解密

題型一:函數(shù)平移問題與極坐標(biāo)、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化

例1.（江西省2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期11月階段聯(lián)考檢測數(shù)學(xué)試題（理））在直角坐標(biāo)系中，曲

線。：『+）?=i經(jīng)過伸縮變換卜：3"后得至〔J曲線,以原點。為極點中軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，

直線/的極坐標(biāo)方程為：psin夕+?=一2夜.

（1）寫出曲線C2的參數(shù)方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

⑵已知點尸為曲線上一動點，求點尸到直線/距離的最小值，并求出取最小值時點P的直角坐標(biāo).

，r-r-

【答案】⑴X=3COS?,為.參…數(shù)），x+V5y+4&=0

y=sina、

3731

⑵最小值2應(yīng)-6,此時點。的坐標(biāo)為「子,一]

【分析】（1）根據(jù)伸縮變換的公式，結(jié)合兩角和的正弦公式、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化公式進行求

解，

（2）根據(jù)參數(shù)方程，利用點到直線距離公式，結(jié)合輔助角公式進行求解

fx=cosa.fy=3x

【詳解】（1）由題意，曲線G的參數(shù)方程為.（。為參數(shù)），經(jīng)過伸縮變換,,

[y=snia,[y=y

（=3cosct

"’（a為參數(shù)），

｛y=sina、

由psin（8+V）=-2應(yīng)得：p（4sin0+gcos0=一2夜，

化為宜角坐標(biāo)方.程為x+x/5y+4&=0

(2)設(shè)P(3cosa,sina),a￡[0,2兀)，

點P到直線/的距:離為|3cosa+Gsina+4\/I|~"sin[a+3卜4。

a=--------------------------=------------------------

22

當(dāng)sin（a+f]=7時，即°+乙=九，得a==時，

k37326

點P到直線/的距離d取到最小值2夜-百，

此時,

x，=2x

【變式訓(xùn)練1?1】、（2023?全國?高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線。】：/+），2=1經(jīng)過伸縮變換「

!>1=>'

后得到曲線。2,以原點。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為:

X?sin（夕+?=-2\/2.

（1）寫出曲線C2的參數(shù)方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

⑵在曲線C?上求一點P，使點。到直線/的距離最小并求出最小值.

x=2cosa,

【答案】（1）（a為參數(shù)）；x+y+4=0：

y-sma,

Q）最小值吟畫小竽/

【分析】（1）根據(jù)伸縮變換的公式，結(jié)合兩角和的正弦公式、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化公式進行求

解,

（2）根據(jù)參數(shù)方程，利用點到直線距離公式，結(jié)合輔助角公式進行求解

（I）

x=cosa,（〃為參數(shù)），經(jīng)過伸縮變換。Y，='JX后'曲線G的參教方程為

由題意，曲線G的參數(shù)方程為

y=sina,

*=28sa，（Q為參數(shù)）,

y=sina,

由psinR+；）=-2應(yīng)得:sinO+'^cosO=-2V2,

化為直角出標(biāo)方程為x+V+4=0,

Y=7mt

所以，曲線的參數(shù)方程為一二’（a為參數(shù)），直線，的直角坐標(biāo)方程為x+y+4=0.

y=sincr,

(2)

設(shè)P(2cosa,sina),

12cosa+sina+4||75sin(a+e)+4]

點P到直線/的距離為人

V2

/甘t+i>2\/5y/5、

(央'I',sin9?=—,cos(p=—)?

當(dāng)sin(a+9)=-l時，即a+0=2E-g,ZeZ時、點P到直線〃勺距離d取到最小值生巨二叵

22

71

此時，cosa-cos2kn----(p=-sin^>=-----,kEZ,

<2J5

sina=sinf-ssL*,kwZ,

所以，點”的坐標(biāo)為

題型二:直線的參數(shù)方程的應(yīng)用

例2.(2022?四川?宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校模擬預(yù)測(理))在平面直角坐標(biāo)X。)?中，曲線C的參數(shù)方程

2?

X~~,--2

為(f為參數(shù)，ztR),以原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

26r

⑴求曲線C的普通方程和極坐標(biāo)方程;

(2)在平面直角坐標(biāo)文Qy中，若過點尸(-3,0)且傾斜角為丁的直線/與曲線C交于AB兩點，求證:

O

|PA|,|48|,|P8|成等差數(shù)列.

【答案】(l)/+(y-G),=3,yw(0,2x/f|,p=2x/3sin<9(p^O)

(2)證明見解析

/T=廠+?

【分析】(I)利用消參法求曲線C的普通方程，并注意y的取值范圍，再利用X=QCOS。未曲線。的極

y="sin0

坐標(biāo)方程；(2)先求直線/的參數(shù)方程，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義運算求解.

2囚

x=-——「

【詳解】(1)由《J二得，=￡,代入丁=竺整理得/+),2一26》=0,即/+()，-6丫=3,

2x/3)'1+r、/

y=--7

1+r

Vl+/2>1,則。<幣/l,0<y<2^,

故曲線C的普通方程為=3,ye（0,26],

又?:夕？+y\y=psin。，則，一2>/Jpsine=0,

整理得夕=2石sin夕

曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=26311。（〃=0）

一3+烏

（2）由題意可得：直線/的參數(shù)方程為2C為參數(shù)），

尸5

代入％2+）尸一2G.y=0,整理得/_46+9=0，

△=48-36=12>0,。+5=9，

則|P41+1PB|=鼠+tB\=4萬JAB\=\tA-tB\=J（U+5）2-4%B=273,

即|PA|十|PB|=2|/網(wǎng)，

???IPA|,II尸B|成等差數(shù)列

9

【變式訓(xùn)練2.1】、（2022?河南?一模（理））在直角坐標(biāo)系xqy中，直線/的參數(shù)方程為〈L（，為

0t

x=sina+百cosa

參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為廠r（〃為參數(shù)）.

y=y/3sina73cosa

（I）求直線/與曲線C的普通方程，并說明C是什么曲線？

⑵女M,N是直線/與曲線C的公共點，點/>的坐標(biāo)為（1,0）,求的值.

【答案】（1）見解析

⑵|則-|叫=±應(yīng)

【分析】（1）消去參數(shù)即可得到宜.線/與曲線。的普通方程即可說明曲線C.

（2）將直線參數(shù)方程代入圓的普通方程即可得到乙與G，根據(jù)參數(shù)的幾何意義討論求得尸N|的值.

*+\

2

【詳解】（1）由題意可得：直線/的參數(shù)方程為《消去參數(shù)J

>/2

得：y=x-i.

x=Vasina+V3cosflf

曲線C的參數(shù)方程為＜r.消去參數(shù)。

-73sina-\J3cosa

得：f+),2=6

曲線C表示以原點為圓心，以后為半徑的圓.

x&i

(2)由(1)知：將直線的參數(shù)方程〈2代入./+),2=6

尸g

2

得：/+"-5=0

可知乙+4=-&，…4=巧，故：與I2異號.不妨設(shè)加=乙＜。,PN=t2＞0

易知同＞同，故歸"|-|叫=?、龋?。

|網(wǎng)-沖|=用一同=一6+0=&

同理PN=t、<0,PM=r2>0

易知同＞以，故|P"HPN|421一同V。

隰|一沖1=同制r+『-夜

綜上：\PM\-\PN\=±>/2

題型三:圓或橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用

x=2cosa

例3.(2022?青海?模擬預(yù)測(理))在平面直角坐標(biāo)系工0)，中，曲線。的參數(shù)方程為〈(a為參

y=sina

數(shù))，以坐標(biāo)原點。為極點，工軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程是

夕cose+2>/5/7sin?+9=0.

(1)求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程;

⑵若尸是曲線。上的動點，求點P到直線/距離的最大值，并求此時點尸的坐標(biāo).

【答案】⑴工+)3=1,K+2G)，+9=0

4

(2)713,

【分析】(1)結(jié)合8s?a+si112a=1消元即可得出曲線。的普通方程;由x=『8say=psin。即可得出直

線1的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點P（2cosa,sina）,結(jié)合點線距離公式，討論最大值即可

X=2COS<Z22

【詳解】⑴由〈.（。為參數(shù)），得二r+），2=1,故曲線。的普通方程為土r+,，2=1.

y=sina44

由°cos0+2G/?sin0+9=O,得工+2&），+9=0,故直線/的直角坐標(biāo)方程為x+2x/5y+9=O.

（2）設(shè)點尸（2cosa,sina）,

則點P到直線I的距離,_|2ssa+2氐ina+9|_4sin（a+力+9.

-J1+12"歷

/X

故當(dāng)sina+g=1時，點P到直線/的距離取得最大值Ji5.

此時，點P的坐標(biāo)為,￥）.

x=2+2應(yīng)cosa,

【變式訓(xùn)練3?1】、（2022?四川?模報預(yù)測（理））在直角坐標(biāo)系他y中，曲線C的參數(shù)方程為廣

y=-2+2V2sina

（a為參數(shù)），以坐標(biāo)原點。為極點，x軸的非負(fù)半箱為極軸建立極坐標(biāo)系，點M的極坐標(biāo)為（2,g）,直

Z\

線【的極坐標(biāo)方程為apcose+J+1=0.

（1）求點M的直角坐標(biāo)和直線/的直角坐標(biāo)方程；

（2）若N為曲線C上的動點，求MN的中點P到直線/的距離的最小值及此時點P的極坐標(biāo).

【答案】⑴點M的直角坐標(biāo)為（。，-2）,直線/的直角坐標(biāo)方程為x-y+l=0；

⑵MN的中點P到宜線/的距離的最小值為近，此時點P的極坐標(biāo)為［g）.

【分析1（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式進行求解；（2）先設(shè)N（2+2挺cosa,-2+2夜sina）,進而

表達(dá)出MN的中點P的坐標(biāo)尸（l+&cosa,-2+VIsina）,用點到直線距禽和三角函數(shù)的有界性求出最小值

及點P的極坐標(biāo).

（1）

由x=2cos與=0,y=2sin^=-2,所以點M的直角坐標(biāo)為（0,-2）,

&pcos（0+：）+l=0彳七簡得：/cos。一夕sin0+l=0,gpx-y+1=0,

（2）

設(shè)N(2+2>/2cosa,-2+2\/2sina),則尸(l+&cosa,-2+4sina)

所以MN的中點。到直線/的距離

1+cosa+2->/2sina+12cos（a++4

gV2

當(dāng)cos［a+：］=-l,即a=￥+2tar,AeZ時，t/niin=75,

I4J4

此時cosa=—孝,sina=亭，所以P（0,—l）,

由p=C77=l,0=q,可知P點的極坐標(biāo)為

所以MN的中點P到直線/的距離的最小值為夜，此時點尸極坐標(biāo)為］

題型四:極坐標(biāo)方程的應(yīng)用

例九（2022?全國?安陽市第二中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為

x=2+t,

a為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)

y=2①瓜

方程為2='+2&os。.

P

（1）求直線/的極坐標(biāo)方程以及曲線C的參數(shù)方程;

1I

（2）若直線/與曲線C交于M,N兩點，求由『+西的值?

【答案】⑴。43R），卜二石：2管。通為參數(shù)）

3y=2sin6

⑵5

【分析】（I）以直角坐標(biāo)方程為橋梁分別求得極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程.

（2）將極坐標(biāo)方程聯(lián)立即可得到|。叫與|例可得扁？+加.

x=2+h

【詳解】(1)由已知、消去參數(shù)f得,y-5/3A,

3=273+73/

將了=24!！。，X=/9COS。，代入上式化簡整理得：

故直線/的極坐標(biāo)方程為。（peR）

由p=q+2Gcose得：p2=l+275pcos^

所以一2G工+丁=1,故(x-S)+y2=4

x=百+2cos6

曲線C的參數(shù)方程為（（為參數(shù)）

y=2sin。

（2）將直線/的極坐標(biāo)方程代入曲線C的極坐標(biāo)方程得：p2-V3p-i=0

解得：夕=6了,不妨設(shè)|OM|=G；五,\0N上行丁

1144

」10例『|ON『IO+2V2TIO-2V2T

【變式訓(xùn)練4-1】、（2022?四川資陽?一模（理））下圖所示形如花瓣的曲線G稱為四葉玫瑰線,并在極坐

標(biāo)系中，其極坐標(biāo)方程為夕=2COS26.

（1）若射線/：夕=g與G相交于異于極點。的點尸，G與極軸的交點為Q,求歸。；

6

2兀

（2）若A,8為G上的兩點，且乙的用二彳，求.AOB面積S的最大值.

【答案】⑴J5-2。

⑵氈

4

【分析】（1）根據(jù)已知得到P、。兩點的極坐標(biāo)，代入距離公式即可；

⑵設(shè)小幺,。）（0"?乃），川外,暮+夕），根據(jù)極坐標(biāo)方程求出外、PB，將三角形面積表示為6的三

角函數(shù)，根據(jù)三角恒等變換求三角函數(shù)的最大值.

【詳解】（1）將。=g代入方程7=2cos2，，

得，/=2cosg=l,則尸的極坐標(biāo)為

又G與極軸的交點為。的極坐標(biāo)為（2,0）.

則|PQ|=『+22-2x1x2x837=7^^.

⑵不妨設(shè)43，。）（0"為，小/彳+",

\/

=2cos(26+引

則PA=2cos20,PH

所以，的面積s=必聞singl=(?以聞

=—x4cos2^cosf20+—=x/3cos20---cos2^+—sin20

4I3J22

=-^^-cos22/7+—sin2/ycos2/?3

+COK4/?)+—sin4〃

22

=^2sin40-l-cos4,卜去

2sin4^---1

I6J

所以,當(dāng)4嶗點，即?點時，5皿=卒

所以，人。8面積S最大值為氈.

4

四、分層訓(xùn)練

A組基礎(chǔ)鞏固

1.（2007?全國?高考真題（理））設(shè)曲線C的方程是），=丁-犬，將C沿1軸、），軸正向分別平行移動八s

單位長度后得曲線G.

⑴寫出曲線C1的方程；

（2）證明:曲線C與G關(guān)于點4仁，小對稱；

\/乙）

（3）如果曲線。與C1有且僅有一個公共點，證明：$=匚-/且

4

【答案】⑴y=（XT），—（x—，）+s；

（2）證明見解析;

（3）證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)圖象平移有x變?yōu)?-人變?yōu)閥-s代入曲線。即得G的方程；

（2）在曲線c上任取以為,凹），應(yīng)用中點公式求對稱點。（々，乃）之間橫縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，代入曲線c即

可判斷對稱性，同理證C1上點的對稱點在C上.

（3）將問題化為3a2-3小+（---5）=0有且僅有一個根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可記結(jié)論.

[A=0

【詳解】（1）由題設(shè)，將。沿工軸、y軸正向分別平行移動/、$單位長度，

所以x變?yōu)閤T,丁變?yōu)閥一5,代入了=/一%得：y-5=（x-r）J-（x-r）,

所以y=（xT）'-（xT）+s.

（2）在曲線C上任取8（芭,y）,若。（孫必）是8關(guān)于的對稱點，

所以y：）’2=5,可得％=1-.，y=s-M，

乙乙乙乙

3

代入曲線C得：5-y2=（r-A：2）-i/-A：2）,

3

整理得:y2=（x2-t）-（x2-t）+s,故。（馬,為）在G上,

同理，可證G上任意?點關(guān)于八佶5]的對稱點在曲線。

27

所以曲線c與G關(guān)于點人心怖]對稱.

（3）由曲線C與G有且僅有?個公共點，

y=x3-x

所以〈，、3,、有且僅有一組解，

J=_（XT）+S

消去九整理得：3a2——$）=0有且僅有一個根，

若1=0,則s=0,兩圖象重合，不合題意；

所以LC4□小、八，可得”4,3、，故S=—T且C0.

A=9z-12/（/-/-5）=0[3/=4/（/--r-5）4

r

t=2cosCL

2.（2022?四川?間中中學(xué)高三階段練習(xí)（文））在直角坐標(biāo)系X。），中，曲線G的參數(shù)方程為‘一，（a

y=2+2sina

為參數(shù)），用足C1上的動點，尸點滿足OP-2。3/點的軟跡為曲線C2.

（1）求G的參數(shù)方程；

（2）在以。為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與G的異于極點的交點為A,與G的異

于極點的交點為9,求|A8|.

x=4cosa

【答案】（1）,（a為參數(shù)）.

y=4+4sina

(2)2^

【分析】（1）設(shè)P*,y）,可知弓），代入G的參數(shù)方程即可求得G的參數(shù)方程;

乙乙

（2）先求出C1和G的極坐標(biāo)方程，再根據(jù)極徑的幾何含義即可求得|AB|.

(1)

設(shè)P（x,y）,由OP=20M可知加或4），

—=2cosa(,

2x=4cosa

???有

2=2+2sina，則1產(chǎn)4一+4.澗a

2

x=4cosa

故G的參數(shù)方程為尸4+4sin/為參數(shù)).

（2）

曲線G的普通方程為：x2+（y-2）2=4,

由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式得曲線C的極坐標(biāo)方程為：2=4sin6,

同理，曲線G的極坐標(biāo)方程為：。=8sin0,

射線。=g與C的交點A的極徑為A=4sin?,

JJ

射線。與G的交點8的極徑為d=8sin9，

JJ

所以|4即=|Q「R=2G.

3.（2021?陜西漢中?高二期末（理））在平面直角坐標(biāo)系xQv中，曲線C1的方程為/+），2-4工=0,點、P為

曲線G上任意一點，記線段OP的中點Q的軌跡為曲線C?，以坐標(biāo)原點。為極點，x軸正半軸為極軸建立

極坐標(biāo)系.

⑴求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）若點M,N分別是曲線G和G上的點，且OM1ON,證明：|OM『+4|ON|2為定值.

【答案】⑴P=2cos6；

（2）證明見解析.

【分析】（1）首先得到曲線a的極坐標(biāo)方程，然后根據(jù)P,Q的位置關(guān)系可得答案；

⑵設(shè)〃（小4）?。ㄗ?）,然后可得月=4cosq,p^c",a=a土;，即可得答案.

（1）

曲線C1的方程為/+/_以=0,

x=pcos/?

根據(jù)（y=pcos夕可得曲線G的極坐標(biāo)方程為夕=4cos火

，22

x~+y=p~

設(shè)尸則”=3夕，

所以曲線g的極坐標(biāo)方程為p=2cos0,

⑵

設(shè)/（夕］，4）W（夕20），貝ijQ1-4co$q,p2-2COS6>2,

因為OM_LON,所以a二4±],

22222

所以|OM『+41ON|=p~+4居=16cos^+16cos%=16sin024-16cos2=16.

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，以坐標(biāo)原點。為極點，1軸正半軸為極軸建立極

尸2+爭

坐標(biāo)系（取相同的單位長度），勝線G的極坐標(biāo)方程為夕=4cos。，曲線G的參數(shù)方程為

y-2+冬

x'=x+2

為參數(shù)），曲線C?相交于A、H兩點，曲線G經(jīng)過伸縮變換,；后得到曲線G.

），二2），

（1）求曲線G的普通方程和線段AB的長度：

⑵沒點尸是曲線G上的一個動點，求APAB的面積的最小值.

【答案】（1）（工一2）2+），2=4,|4目=2/

⑵4-6

【分析1（I）利川極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可求出G的普通方程，求出G的普通方程，然后求出圓

心到直線的距離，再由圓心距，弦和半徑的關(guān)系可求出A8的長度，

（2）由伸縮變換可求出曲線g的方程為￡+），2=I,設(shè)點p（2cosgsine）,求出點尸到直線AB的距離，化

4

簡后利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求出其最小值，從而可?求出，.八傷的面積的最小值

（1）

由p=4cos夕，得p?=4pcos0,又"=V+），2,x=0cos。，所以“-2）2+）尸=4.

’x=2怎

由2（r為參數(shù)），消去參數(shù)得x-y=4,

,=-2+A

/2

G的圓心為（2,0）,半徑為2,則圓心到直線1-），=4的距離為

所以|=2,2?一（可=272.

（2）

X'=JC+22

曲線G經(jīng)過伸縮變換［、二2〉，后得到曲線CI，則（x+2-2『+（2），『=4,即曲線G的方程為:+產(chǎn)=1,

-----cos。----sin。-4

設(shè)點P(2cos*,sin。)，則點尸到直線AB的距離為_|2cosp-sin8-4|、55,

46二~ir

卜萬sin(a一夕)-4|_4->/5sin(a-^)(其中sina=^^,cosa=—),

V2拒55

故當(dāng)sin(a-0)=1時，/U又得最小值，且4nm=±W，

7Z

因此，當(dāng)點P到直線AB的距離最小時，一B4B的面積也最小,

所以的面積的最小值為邳Mmin=;x2五x±=^=4—6.

22V2

戶+22

x=IV2

5.(2022,貴州貴陽?模擬預(yù)測(理))在直角坐標(biāo)系x。'，中，曲線C的參數(shù)方程為l(r>0,

)'一

/為參數(shù)).以坐標(biāo)原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為

pcos^-psin^-1=0.

(1)求C和/的直角坐標(biāo)方程;

⑵已知直線/與x軸的交點為F,且曲線C與直線/交于A,B兩點,求I必|?|尸臼的值.

【答案】⑴9=4X，x-y-1=0.

(2)8

【分析】(1)根據(jù)完全平方公式以及基本不等式，結(jié)合整體換元，利用極坐標(biāo)等量公式，可得答案；

(2)利用直線的直角坐標(biāo)系方程，求得點尸的坐標(biāo)，根據(jù)直線參數(shù)方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理,

可得答案.

2

【詳解】⑴由曲線C的參數(shù)方程為，1JJ，則/=("一半]=2/2-8+尚=4([+>2卜4%，

二十2-222-2=0,當(dāng)且僅當(dāng)二=4,即，=&時，等號成立，

2r2v

故曲線。的直角坐標(biāo)方程：丁=公，

咋x=5pcomsO且直線,的極坐標(biāo)方程為吟——肛則曲線/的直角坐標(biāo)方程…"=。.

(2)由直線/方程為％-y—1=。，則尸(i,o),

直線/的參數(shù)方程為廠2（7為參數(shù)），代入曲線C：）,2=以，

可得52一2萬一4二0,

所以也=-8,由直線參數(shù)方程的意義可知|融H物/H「1=8，

所以|叩|尸6|=8.

=￡、

6.（2022?四川?鹽亭中學(xué)模擬預(yù)測（文））在直角坐標(biāo)系xQy中，直線/的參數(shù)方程為尸2+'8‘。（［為

y=tsina

參數(shù)，0<a<7i）,以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為鄉(xiāng)9co啜s0.

sin~0

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

⑵沒直線/與曲線。相交于4,3兩點，若HH=8,求。的值.

【答案】⑴J=2x

,八、兀f57t

Q）丁或T

66

【分析】（I）根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化即可求解，

（2）根據(jù)直線的參數(shù)方程以及參數(shù)的幾何意義即可求解弦長.

(1)

2cos0

由°=品萬得psin2^=2cos^,

p'sin'O=2pcos<9,即y2=2x.

（2）

）/=2x的焦點為亶,0,直線儂過焦點，

將自線，的參數(shù)方程代入曲線C的方程得rsin2a-2rcosa-l=0,

設(shè)*%是方程的根，

2cosa\

則卡金衰

sin%

X|AB|=8,11-21=*2丫Y邛J==8,

sinex

.1＞1T7?1兀_p,57t

:sm~a=—,又0＜。＜兀，/.sina=—,「.a=一或一.

4266

x=3cos。

7.（2022?四川?鹽亭中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知在直角坐標(biāo)系X。5?中，曲線C的參數(shù)方程為

為參數(shù)），直線/經(jīng)過定點以2,1）,傾斜角為

6

（1）寫出直線/的參數(shù)方程和曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線，與曲線C相交于A,8兩點，求|川|冏的值.

x=2+S,,

【答案】（1）2（，為參數(shù)），土+二=1;

.194

【分析】（1）由直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式和同角的平方關(guān)系，即可得到所求方程；

（2）將直線的參數(shù)方程代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得關(guān)于，的一元二次方程，由韋達(dá)定理及參數(shù)的口何意義，即

可得到|期?|用的值.

(1)

解：因為直線/經(jīng)過定點P（2,l）,傾斜角為

0

x=2+rcos-

所以直線/的參數(shù)方6

（，為參數(shù)），

y=1+zsi?n—兀

r6

（f為參數(shù)）；

,1

V=1+—Z

-2

x=3cos0

因為曲線。的參數(shù)方程為今,△（8為參數(shù)），

y=2smU

cos0=—

所以

sin^=—

2

又因為cos?e+sin?夕=1,

所以曲線c的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+E