新高考數(shù)學一輪復習考點精講練+易錯題型第09講 函數(shù)的奇偶性與周期性（解析版）

第09講函數(shù)的奇偶性與周期性【基礎知識全通關】1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關于原點對稱2．函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.【考點研習一點通】考點01：函數(shù)奇偶性的判斷【典例1】【多選題】（2021·浙江高一期末）下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0為增函數(shù)的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】根據題意，依次分析選項中函數(shù)的奇偶性與單調性，綜合即可得答案．【詳解】解：根據題意，依次分析選項：對于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0為增函數(shù)，符合題意；對于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不是偶函數(shù)，不符合題意；對于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，是偶函數(shù)，在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，故在SKIPIF1<0為增函數(shù)，符合題意；對于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，是偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0為增函數(shù)，符合題意；故選：SKIPIF1<0．【知識拓展】(1)奇、偶函數(shù)定義域的特點．由于f(x)和f(－x)須同時有意義，所以奇、偶函數(shù)的定義域關于原點對稱．這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)奇、偶函數(shù)的對應關系的特點．①奇函數(shù)有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?eq\f(f－x,fx)＝－1(f(x)≠0)；②偶函數(shù)有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?eq\f(f－x,fx)＝1(f(x)≠0)．(3)函數(shù)奇偶性的三個關注點．①若奇函數(shù)在原點處有定義，則必有f(0)＝0.有時可以用這個結論來否定一個函數(shù)為奇函數(shù)；②既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關于原點對稱的非空集合；③函數(shù)根據奇偶性可分為奇函數(shù)、偶函數(shù)、既奇又偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)．(4)奇、偶函數(shù)圖象對稱性的應用．①若一個函數(shù)的圖象關于原點對稱，則這個函數(shù)是奇函數(shù)；②若一個函數(shù)的圖象關于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)．【典例2】【多選題】（2022·浙江杭州市·杭州高級中學高一月考）已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域都是R，且SKIPIF1<0是奇函數(shù)，SKIPIF1<0是偶函數(shù)，則（）A．SKIPIF1<0是奇函數(shù) B．SKIPIF1<0是奇函數(shù)C．SKIPIF1<0是偶函數(shù) D．SKIPIF1<0是偶函數(shù)【答案】AD【解析】由奇偶性的定義逐一證明即可.【詳解】對于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是奇函數(shù)，故A正確；對于B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是偶函數(shù)，故D正確；故選：AD考點02：函數(shù)奇偶性的應用【典例3】（2021·黑龍江哈爾濱三中高三三模（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由奇函數(shù)對稱性可得SKIPIF1<0，代入已知解析式解得SKIPIF1<0.【詳解】SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B.【典例4】設f(x)為奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)=，則當x<0時，f(x)=（）A． B．C． D．【答案】D【解析】是奇函數(shù)，x≥0時，．當時，，，得．故選D．【典例5】（2021·黑龍江齊齊哈爾市·高三三模（理））已知實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，構造函數(shù)SKIPIF1<0，由函數(shù)的奇偶性單調性，計算即可得出結果.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為單調遞增的奇函數(shù)，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：4【總結提升】函數(shù)奇偶性的應用(1)求函數(shù)解析式①將所求解析式自變量的范圍轉化為已知解析式中自變量的范圍；②將轉化后的自變量代入已知解析式；③利用函數(shù)的奇偶性求出解析式．(2)求參數(shù)值在定義域關于原點對稱的前提下，根據奇函數(shù)滿足f(－x)＝－f(x)或偶函數(shù)滿足f(－x)＝f(x)列等式，根據等式兩側對應相等確定參數(shù)的值．特別要注意的是：若能夠確定奇函數(shù)的定義域中包含0，可以根據f(0)＝0列式求解，若不能確定則不可用此法．考點03：函數(shù)周期性及其應用【典例6】（2021·山東青島市·高三二模）已知定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0的圖象連續(xù)不斷，有下列四個命題：甲：SKIPIF1<0是奇函數(shù)；乙：SKIPIF1<0的圖象關于直線SKIPIF1<0對稱；丙：SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調遞減；?。汉瘮?shù)SKIPIF1<0的周期為2.如果只有一個假命題，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【解析】由函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性之間的相互關系可知，甲、乙、丁三者中必有一個錯誤，結合連續(xù)函數(shù)單調性的特征可知，丙、丁互相矛盾，進而可得結果.【詳解】由連續(xù)函數(shù)SKIPIF1<0的特征知：由于區(qū)間SKIPIF1<0的寬度為2，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調遞減與函數(shù)SKIPIF1<0的周期為2相互矛盾，即丙、丁中有一個為假命題；若甲、乙成立，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0的周期為4，即丁為假命題.由于只有一個假命題，則可得該命題是丁，故選：D.【典例7】（2021·廣德市實驗中學高三月考（文））已知對SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根據已知條件先分析出SKIPIF1<0為周期函數(shù)并求解出周期，然后根據周期性將SKIPIF1<0轉化為SKIPIF1<0進行計算即可.【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為周期函數(shù)且一個周期為SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．故選：B.結論點睛：結論點睛：周期性常用的幾個結論如下：（1）SKIPIF1<0對SKIPIF1<0時，若SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）恒成立，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個周期；（2）SKIPIF1<0對SKIPIF1<0時，若SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）恒成立，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個周期；（3）若SKIPIF1<0為偶函數(shù)，其圖象又關于SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為一個周期的周期函數(shù)；（4）若SKIPIF1<0為奇函數(shù)，其圖象又關于SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為一個周期的周期函數(shù).【典例8】（2022·四川省石室中學高三一模（文））已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足,若，則()A． B． C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，所以，且，又由，即，進而可得，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又由，可得，，則，所以．故選C．【規(guī)律方法】1．求函數(shù)周期的方法求一般函數(shù)周期常用遞推法和換元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝計算．遞推法：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.換元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，則f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．2．判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質綜合命題．3．根據函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質得到函數(shù)的整體性質，在解決具體問題時，要注意結論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．考點04：函數(shù)性質的綜合應用【典例9】（2022·山西省高三其他（文））已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調遞增，若實數(shù)a滿足，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以，則為，因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以，解得，則a的取值范圍是，故選：C.【典例10】（2021·寧夏銀川市·賀蘭縣景博中學高三二模（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，且滿足SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0?公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，則SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】利用函數(shù)的對稱性首先求出函數(shù)SKIPIF1<0是以2為周期的函數(shù)，且SKIPIF1<0，而數(shù)列的通項公式為SKIPIF1<0，則可將所求轉化為SKIPIF1<0，再根據函數(shù)的奇偶性可得SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0，即可求得結果.【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是以2為周期的函數(shù)，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0?公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故選：B.【典例11】【多選題】（2022·山東省高三其他）已知偶函數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）．A．函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù) B．函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)C．函數(shù)為奇函數(shù) D．函數(shù)為偶函數(shù)【答案】BC【解析】對于選項,∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴．∵，∴，則，即，∴，故函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，由此可知選項A錯誤，選項B正確；對于選項,令，則．在中，將換為，得，∴，∴，則函數(shù)為奇函數(shù)，所以選項C正確．對于選項,由題意不妨取滿足條件的函數(shù)，則為奇函數(shù)，所以選項D錯誤．故選：BC.【典例12】（2021·湖南高三三模）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為D，對D內的任意SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，恒有SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為非減函數(shù)．已知SKIPIF1<0是定義域為SKIPIF1<0的非減函數(shù)，且滿足：①對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②對任意SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0的值為________．【答案】2【解析】分析所給條件，得到SKIPIF1<0的函數(shù)圖像在SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱，再由任意SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為非減函數(shù)即可求得SKIPIF1<0時，必有SKIPIF1<0，據此即可得解.【詳解】根據題意，由對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的函數(shù)圖像在SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，又因為對任意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0是定義域為SKIPIF1<0的非減函數(shù)，所以當SKIPIF1<0時，必有SKIPIF1<0，又由于SKIPIF1<0的函數(shù)圖像關于SKIPIF1<0對稱，所以SKIPIF1<0時，也有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：2.【典例13】（2022·重慶高三其他（文））定義在R上的奇函數(shù)滿足：，且當時，，若，則實數(shù)m的值為（）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】B【解析】由為奇函數(shù)知，∴，即，∴，∴是周期為3的周期函數(shù)，故，即，∴.故選：B.【規(guī)律方法】函數(shù)性質綜合應用問題的常見類型及解題策略(1)函數(shù)單調性與奇偶性的綜合．注意函數(shù)單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性．(2)周期性與奇偶性的綜合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內求解．(3)單調性、奇偶性與周期性的綜合．解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調性求解．（4）應用奇函數(shù)圖象關于原點對稱，偶函數(shù)圖象關于y軸對稱．【考點易錯】易錯01：函數(shù)奇偶性的判斷1.（2022·天津耀華中學高三月考）下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】易知和為奇函數(shù)，為偶函數(shù).令，則，即且.所以為非奇非偶函數(shù).故選D.2.【多選題】（2021·全國高一課時練習）設f(x)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(-∞，0)內單調遞增，f(-2)=0，則下列區(qū)間中使得xf(x)<0的有（）A．(-1，1) B．(0，2)C．(-2，0) D．(2，4)【答案】CD【解析】由偶函數(shù)的性質以及f(-2)=f（2）=0畫出函數(shù)f(x)的草圖，由xf(x)<0?SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，結合圖象得出解集.【詳解】根據題意，偶函數(shù)f(x)在(-∞，0)上單調遞增，又f(-2)=0，則函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調遞減，且f(-2)=f（2）=0，函數(shù)f(x)的草圖如圖又由xf(x)<0?SKIPIF1<0或SKIPIF1<0由圖可得-2<x<0或x>2即不等式的解集為(-2，0)∪(2，+∞).故選：CD易錯02：函數(shù)奇偶性的應用3.（2022·廣東高考模擬（文））已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(1+x)=f(1?x)，且f(1)=a，則f(2)+f(3)+f(4)=（）A．0 B．?a C．a D．3a【答案】B【解析】因為函數(shù)f(x)滿足f(1+x)=f(1?x)，所以f(x)關于直線x=1對稱，所以f(2)=f(0)，f(3)=f(?1)又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0，又由f(1+x)=f(1?x)可得f(x+1)=f(1?x)=?f(x?1)，所以f(x+2)=?f(x)，故f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，因此，函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(4)=f(0)，又f(1)=a因此f(2)+f(3)+f(4)=f(0)+f(?1)+f(0)=?f(1)=?a.故選B4.（2022·山東高考模擬（文））已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當時，，則（）A．2022 B．0 C．1 D．-1【答案】B【解析】由得：的周期為又為奇函數(shù)，，，即：本題正確選項：易錯03：函數(shù)周期性及其應用5.（2022·山西省高三其他（文））已知函數(shù)，，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，由的解析式可知，在上是奇函數(shù)且單調遞增，為偶函數(shù)，當時，有，任取，則，由不等式的性質可得，即，所以，函數(shù)在上遞增再由，得，得即，解得．故選：B．6.（2022·梅州市梅縣區(qū)松口中學高三月考（理））設是定義域為的偶函數(shù)，且在單調遞減，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是R的偶函數(shù)，．，又在(0，+∞)單調遞減，∴，，故選C．易錯04：函數(shù)性質的綜合應用7.（2022·江西省高三其他（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0是定義域為SKIPIF1<0的偶函數(shù)，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，則不等式SKIPIF1<0的解集為____．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0是定義域為SKIPIF1<0的偶函數(shù)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0可轉化為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，兩邊平方解得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0．【鞏固提升】1．（2021·安徽高三三模（文））若把定義域為SKIPIF1<0的函數(shù)SKIPIF1<0的圖象沿x軸左右平移后，可以得到關于原點對稱的圖象，也可以得到關于SKIPIF1<0軸對稱的圖象，則關于函數(shù)SKIPIF1<0的性質敘述一定正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0是周期函數(shù) D．SKIPIF1<0存在單調遞增區(qū)間【答案】C【解析】通過舉例說明選項ABD錯誤；對于選項C可以證明判斷得解.【詳解】定義域為R的函數(shù)SKIPIF1<0的圖象沿SKIPIF1<0軸左右平移后，可以得到關于原點對稱的圖象，也可以得到關于SKIPIF1<0軸對稱的圖象，∴SKIPIF1<0的圖象既有對稱中心又有對稱軸，但SKIPIF1<0不一定具有奇偶性，例如SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為奇函數(shù)，故選項A錯誤；由SKIPIF1<0，可得函數(shù)SKIPIF1<0圖象關于SKIPIF1<0對稱，故選項B錯誤；由SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0不存在單調遞增區(qū)間，故選項D錯誤；由已知設SKIPIF1<0圖象的一條對稱抽為直線SKIPIF1<0，一個對稱中心為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的一個周期SKIPIF1<0，故選項C正確.故選：C2．（2021·海南?？谑小じ呷渌M）已知函數(shù)SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】化簡“SKIPIF1<0”和“函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)”，再利用充分必要條件的定義判斷得解.【詳解】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以“SKIPIF1<0”是“函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)”的充分必要條件.故選：C3.（2021·陜西高三三模（理））已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則f(101)+f(105)的值為（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】根據函數(shù)為奇函數(shù)可求得函數(shù)的解析式，再由SKIPIF1<0求得函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，由此可計算得選項．【詳解】解：根據題意，函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，則f(0)=0，又由x∈[0，1]時，SKIPIF1<0，則有f(0)=1+a=0，解可得：a=﹣1，則有SKIPIF1<0，又由f(﹣x)=f(2+x)，即f(x+2)=﹣f(x)，則有f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x)，即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，則SKIPIF1<0，故有f(101)+f(105)=3，故選：A．4．（2021·廣東高三其他模擬）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間SKIPIF1<0上單調遞增的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】利用函數(shù)奇偶性的定義和函數(shù)的解析式判斷.【詳解】A.函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯誤；B.SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，故錯誤；C.因為SKIPIF1<0，所以函數(shù)是奇函數(shù)，且在SKIPIF1<0上單調遞增，正確；D.因為SKIPIF1<0，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故錯誤；故選：C．5．【多選題】（2021·全國高三專題練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0是偶函數(shù)，SKIPIF1<0是奇函數(shù)，并且當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列選項正確的是（）A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù) B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù) D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0【答案】CD【解析】根據題意，分析可得SKIPIF1<0，結合函數(shù)的解析式可得當SKIPIF1<0時函數(shù)的解析式，據此分析可得答案．【詳解】解：根據題意，函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0為偶函數(shù)，則SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為增函數(shù)且SKIPIF1<0；故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，且SKIPIF1<0；故選：SKIPIF1<0．6．【多選題】（2021·淮北市樹人高級中學高一期末）對于定義在R上的函數(shù)SKIPIF1<0，下列說法正確的是（）A．若SKIPIF1<0是奇函數(shù)，則SKIPIF1<0的圖像關于點SKIPIF1<0對稱B．若對SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的圖像關于直線SKIPIF1<0對稱C．若函數(shù)SKIPIF1<0的圖像關于直線SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0為偶函數(shù)D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的圖像關于點SKIPIF1<0對稱【答案】ACD【解析】四個選項都是對函數(shù)性質的應用，在給出的四個選項中靈活的把變量x加以代換，再結合函數(shù)的對稱性、周期性和奇偶性就可以得到正確答案.【詳解】對A，SKIPIF1<0是奇函數(shù)，故圖象關于原點對稱，將SKIPIF1<0的圖象向右平移1個單位得SKIPIF1<0的圖象，故SKIPIF1<0的圖象關于點（1，0）對稱，正確；對B，若對SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是一個周期為2的周期函數(shù)，不能說明其圖象關于直線SKIPIF1<0對稱，錯誤.；對C，若函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關于直線SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0的圖象關于y軸對稱，故為偶函數(shù)，正確；對D，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圖象關于（1，1）對稱，正確.故選：ACD.7．【多選題】（2021·浙江高一期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)SKIPIF1<0有2個零點 B．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0C．不等式SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】根據函數(shù)奇偶性定義和零點定義對選項一一判斷即可．【詳解】對A，當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0有3個零點，則A錯；對B，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則B對；對C，當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0無解；則C對；對D，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，則D對．故選：BCD．8．【多選題】（2021·廣東高三二模）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．SKIPIF1<0是周期為SKIPIF1<0的周期函數(shù) B．SKIPIF1<0是周期為SKIPIF1<0的周期函數(shù)C．SKIPIF1<0為奇函數(shù) D．SKIPIF1<0為奇函數(shù)【答案】BD【解析】AB選項，利用周期函數(shù)的定義判斷；CD選項，利用周期性結合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為奇函數(shù)判斷.【詳解】因為函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都為奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故B正確A錯誤；因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0為奇函數(shù)，故D正確；因為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相差1，不是最小周期的整數(shù)倍，且SKIPIF1<0為奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0不為奇函數(shù)，故C錯誤.故選：BD.9．【多選題】（2021·湖南高三月考）函數(shù)SKIPIF1<0滿足以下條件：①SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0，且其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②SKIPIF1<0是偶函數(shù)；③SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不是單調函數(shù)；④SKIPIF1<0恰有2個零點.則函數(shù)SKIPIF1<0的解析式可以是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【解析】利用函數(shù)圖象變換畫出選項A，B，C，D對應的函數(shù)圖象，逐一分析即可求解.【詳解】解：顯然題設選項的四個函數(shù)均為偶函數(shù)，但SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，所以選項B錯誤；函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞減，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞增，但SKIPIF1<0有3個零點，選項A錯誤；函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的圖象對稱軸為SKIPIF1<0，其圖象是開口向下的拋物線，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞增，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞減，由圖得SKIPIF1<0恰有2個零點，選項C正確；函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞減，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞增，且SKIPIF1<0有2個零點，選項D正確.故選：CD.10.設函數(shù)SKIPIF1<0，則f(x)（）A．是偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調遞增 B．是奇函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調遞減C．是偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調遞增 D．是奇函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調遞減【答案】D【解析】由SKIPIF1<0得