專題3-6 雙曲線的離心率與常用二級結論【12類題型】（解析版）-A4

1/63第頁專題3-6雙曲線的離心率與常用二級結論（12類題型匯總）總覽題型解讀總覽題型解讀TOC\o"1-3"\n\h\z\u模塊一：求離心率與其它值【題型1】結合余弦定理解焦點三角形【題型2】雙焦點三角形模型：導邊【題型3】構造齊次化方程【題型4】用2次余弦定理求離心率【題型5】利用幾何性質(zhì)求離心率【題型6】與向量結合【題型7】求離心率范圍模塊二：雙曲線中常考模型【題型8】點差法（弦中點模型）【題型9】點差法（第三定義）【題型10】漸近線的垂線模型【題型11】雙曲線焦點三角形內(nèi)切圓【題型12】焦點弦長與焦半徑公式題型匯編知識梳理與?？碱}型題型匯編知識梳理與?？碱}型模塊一：求離心率與其它值【題型1】結合余弦定理解焦點三角形（浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知和是雙曲線：的左、右焦點，是上一點，當時，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知結合雙曲線的定義及性質(zhì)，利用余弦定理，總綜合可得，進而即可求解．【詳解】不妨設，在△中，由余弦定理知，，因為，則，兩式聯(lián)立得，因為，，整理得，化簡得，所以離心率．故選：．

已知，為雙曲線的左、右焦點，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，若，則雙曲線離心率的值為A． B． C．2 D．3【答案】A【解答】解：設雙曲線的一條漸近線方程為，點到漸近線的距離，，在中，運用余弦定理，可得，，，，．【題型2】雙焦點三角形模型：導邊已知雙曲線方程為，，兩焦點分別為，，直線經(jīng)過與雙曲線交于兩點，其中且，則此雙曲線離心率為.【答案】【分析】連接，設利用雙曲線的定義得到利用直角和直角構造的關系，即可求出答案【詳解】連接，設則，由雙曲線的定義可得在直角中，，即，化簡可得，在直角中，，即，將代入上式可得整理可得，所以、分別是雙曲線的左、右焦點，過點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點，若是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．【解答】解：因為為等邊三角形，不妨設，為雙曲線上一點，，為雙曲線上一點，則，，，由，則，在△中應用余弦定理得：，得，則，解得．已知分別為雙曲線的左?右焦點，過左焦點的直線交雙曲線左支于兩點，且，則該雙曲線的離心率.【答案】【詳解】設，則，因為,所以，即，由勾股可得即離心率.（廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線E的左、右兩支分別交于A，B兩點，若，則的面積為．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義以及焦點三角形即可根據(jù)勾股定理求解，由直角三角形的面積公式即可得解.【詳解】如圖，因為，所以．設，，得，由，得所以，則，由，得，又，所以，，，故的面形.已知，為雙曲線的左、右焦點，斜率為的直線過分別交雙曲線左、右支于、點，，則雙曲線的離心率為______________.【解答】解：設，由雙曲線定義得：，，所以，作，△中，，可得，△中，勾股定理得：①，△中，勾股定理得：，可得②，由①②可得，整理可得，即已知雙曲線的左?右焦點分別為，，過點且傾斜角為的直線與雙曲線的左?右支分別交于點，，且，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：過作于點，設，因為直線的傾斜角為，所以在直角三角形中，，，由雙曲線的定義可得，所以，同理可得，所以，即，所以，因此，在直角三角形中，，所以，所以，則.故選：A.已知點、分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點，若，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【答案】A【解答】解：，設，，，則，，根據(jù)雙曲線的定義，得，即，解得，，即，，，△中，，在三角形中，，，，可得，因此，該雙曲線的離心率．【題型3】構造齊次化方程雙曲線，的左、右焦點分別為，，是雙曲線上一點，軸，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．2【解答】解：因為點在雙曲線上，且軸，所以點的橫坐標為，代入雙曲線的方程可得，則，，所以，所以，所以，所以，所以，所以（舍去），或已知雙曲線的兩條漸近線分別為，點，分別為雙曲線的左、右焦點，以原點O為圓心且過兩焦點的圓與交于點P(P在第一象限)，點Q為線段的中點，且，則雙曲線的離心率為( )A． B． C． D．【答案】B法一：利用對稱性和互余關系導角【簡證】設于H，作PH⊥x軸于H，易知如右圖，易知∠POH=∠GOQ，則∠1=∠2而，，則，故，即同除a2可得解得法二：設點由題可設，，則（廣東湛江·高二統(tǒng)考期末）是橢圓上的一點，為左頂點，為右焦點，軸，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】軸得，在直角中由正切的定義可得的齊次式，從而得出的方程，求得結論．【詳解】解：軸，，而由得，即，解得舍或.雙曲線，的左、右焦點分別為，，是雙曲線上一點，軸，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．2【答案】D【解答】解：因為點在雙曲線上，且軸，所以點的橫坐標為，代入雙曲線的方程可得，則，，所以，所以，所以，所以，所以，所以（舍去），或（江蘇南京·高二統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，為雙曲線右支上一點，連接交軸于點．若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由長度關系可得，知，在中，利用可構造齊次方程求得雙曲線離心率.【詳解】設，為等邊三角形，，，又，，，，，，，解得：（舍）或，雙曲線的離心率為.已知點為雙曲線右支上一點，分別為的左，右焦點，直線與的一條漸近線垂直，垂足為，若，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】取的中點，連接,由條件可知，是的中點，又，,根據(jù)雙曲線的定義可知，，直線的方程是：，即，原點到直線的距離，中，，整理為：，即，解得：，或（舍）故選：C【題型4】用2次余弦定理求離心率已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，若，且雙曲線的離心率為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由雙曲線的定義結合已知條件求得，從而再得，由余弦定理求得，由誘導公式得，設，則，再由余弦定理求得，從而利用余弦定理求解即可.【詳解】因為雙曲線的離心率為，所以，因為，所以，由雙曲線的定義可得，所以，在中，由余弦定理得，在中，，設，則，由得，解得，所以，所以.故選：D.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別相交于兩點，直線與雙曲線的另一交點為，若為等腰三角形，且的面積是的面積的2倍，則雙曲線C的離心率為.【答案】或【分析】由雙曲線的定義和等腰三角形的定義，結合三角形的余弦定理和離心率公式，計算可得所求值．【詳解】設，，由雙曲線的定義可得，，由的面積是的面積的2倍，可得，又為等腰三角形，可得，或，當，即，可得，，，，在中，，在中，，化為，即；當，即，可得，，，，在中，，在中，，化為，即．故答案為：或．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作直線交雙曲線的右支于，兩點，其中點在第一象限，且．若，則雙曲線的離心率為A． B．2 C． D．4【答案】D【解答】解：設，因為，則，由雙曲線的定義可得，，因為，所以，，，，因為，所以，由余弦定理可得，即，解得．故選：．【題型5】利用幾何性質(zhì)求離心率求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.已知雙曲線的左焦點為，過的直線與圓相切，切點為，交雙曲線的右支于點，且，則的離心率為．【答案】【分析】如圖，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)、定義與相似三角形求出的三邊長，利用利用勾股定理計算可得，結合離心率的概念即可求解.【詳解】不妨設點在軸上方，如圖，連接，由題意得，，，則，又，所以．設的右焦點為，過作，垂足為，則，．連接，則由雙曲線的定義知，．在中，由勾股定理，得，即，化簡得，故．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，直線與交于，兩點，且，則（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】不妨設點在第一象限，連接、，根據(jù)對稱性可得四邊形為矩形，從而得到，即可表示出點坐標，代入方程，求出，即可得解.【詳解】依題意可得，關于原點對稱，不妨設點在第一象限，連接、，又，則四邊形為矩形，所以，則，所以，即，即，又，解得，所以.已知雙曲線的左，右兩個焦點分別為，，A為其左頂點，以線段為直徑的圓與C的漸近線在第一象限的交點為，且，則的離心率（

）A． B． C． D．3【答案】B【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，而以線段為直徑的圓的方程為，聯(lián)立，結合，解得或，因為在第一象限，所以，又，則，而，，所以，所以，即，則，所以雙曲線的離心率為.在平面直角坐標系中，已知雙曲線：的右焦點為，P為C上一點，以為直徑的圓與C的兩條漸近線相交于異于點O的M，N兩點.若，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結合題意可得，，即可借助點到直線的距離公式表示出，即可計算出的值，即可得離心率.【詳解】設，有，即，由題意可得、，漸近線方程為，故，又，故，則，即，解得或，則或，由，故，，即，則.故選：B.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，以為直徑的圓與的左支交于、兩點，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，求出、，利用雙曲線的定義可得出關于、的齊次等式，即可解得雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示，易知點、關于軸對稱，連接，所以，，由圓的幾何性質(zhì)可得，所以，，，由雙曲線的定義可得，因此，雙曲線的離心率為.已知點為雙曲線右支上一點，分別為的左，右焦點，直線與的一條漸近線垂直，垂足為，若，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】取的中點，連接,由條件可知，是的中點，又，,根據(jù)雙曲線的定義可知，，直線的方程是：，即，原點到直線的距離，中，，整理為：，即，解得：，或（舍）故選：C（廣東深圳·高二深圳大學附屬中學?？计谀┮阎獧E圓和雙曲線有相同的焦點，，點是和的一個交點.若點滿足是正三角形且，則.【答案】.【分析】根據(jù)已知求出，，.根據(jù)橢圓以及雙曲線的定義可推得，在中，根據(jù)余弦定理可列出關于的方程，解出，進而得到，即可求出結果.【詳解】由已知可得，橢圓和雙曲線的焦點坐標均為，，即，.設點在第一象限.因為點在橢圓上，所以有，又點在雙曲線上，所以有，所以.又是正三角形，所以，，所以有，則三點共線.則在中，有，，由余弦定理可得，，即，整理得，又，所以，則由可得，【題型6】與向量結合設，分別是雙曲線的左、右焦點，為坐標原點，過左焦點作直線與圓切于點E，與雙曲線右支交于點P，且滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由題意，再結合平面向量的性質(zhì)與雙曲線的定義可得，，再根據(jù)勾股定理列式求解決即可.【詳解】∵為圓上的點，，，∴是的中點，又是的中點，，且，又，，是圓的切線，，又，，故，離心率.過雙曲線的右焦點作圓的切線，交軸于點，切圓于點，若，則雙曲線的離心率是A． B． C．2 D．【答案】【解答】解：若，可得，且，由，，可得，，在中，由直角三角形的射影定理可得，則，即，則，（24-25高二上·江西南昌·期中）已知雙曲線的左?右作點分別為為坐標原點，傾斜角為的直線過右焦點且與雙曲線的左支交于點，若，則雙曲線的離心率為．【答案】【分析】由向量的運算將轉(zhuǎn)化為，利用幾何性質(zhì)求得點，代入雙曲線方程得的等量關系，求解離心率即可.【詳解】因為，所以，則，過作軸，垂足為，由題意知，則，故，在中，，故，又點在雙曲線C:x2則，將代入整理得，則，解得，又，得到，所以雙曲線的離心率為，【題型7】求離心率范圍解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③單調(diào)性法；④三角換元法已知橢圓與雙曲線，橢圓的短軸長與長軸長之比大于，則雙曲線離心率的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)橢圓方程和題設條件得到將雙曲線的離心率表達式整理成的形式，換元成，研究函數(shù)的單調(diào)性并求得其值域即可得到離心率的范圍.【詳解】依題意，對于橢圓方程，對于雙曲線方程，.不妨設，則，于是，由復合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，即，故雙曲線離心率的取值范圍為.故答案為：.（23-24高二上·福建漳州·期末）已知雙曲線的左焦點為，以為圓心、為半徑作圓，若圓上存在點，雙曲線的右支上存在點使得，則雙曲線的離心率的取值范圍為．【答案】【分析】結合圖形，利用幾何關系，根據(jù)臨界值列式求解.【詳解】如圖，若圓上存在點，雙曲線的右支上存在點使得，當與圓相切時，，此時，則，則，因為，所以，解得：所以雙曲線離心率的取值范圍是.已知是雙曲線的左右焦點，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．【答案】【分析】表示出，建立關于的齊次式，即可求出離心率的范圍.【詳解】，是雙曲線的左右焦點，以圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，則焦點到漸近線的距離：，所以，，，可得，即：，可得，所以，所以，又，所以雙曲線的離心率的取值范圍是：已知雙曲線（其中），若，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先將雙曲線方程化為標準方程，再根據(jù)離心率的定義，用表示出離心率，進而可得其取值范圍.【詳解】由雙曲線（其中），得，則雙曲線離心率，因為，所以，則，所以，所以，即雙曲線離心率的取值范圍為.已知雙曲線的左右頂點分別為，點是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點，直線的傾斜角分別為，則；當取最小值時，的面積為．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，斜率公式，以及基本不等式，即可分別求解.【詳解】設，則，可得，又因為分別為雙曲線的左右頂點，可得，所以；又由，所以，當且僅當時，等號成立，所以，解得，所以，所以，所以的面積為.模塊二：雙曲線中?？寄Ｐ汀绢}型8】點差法（弦中點模型）中點弦模型（圓錐曲線中的垂徑定理） 橢圓垂徑定理（中點弦模型）：已知A,B是橢圓上任意2點，且弦不平行軸，M為線段AB中點，則有證明（點差法）：設，，則，，，∵A，B在橢圓上，代入A，B坐標得① ②兩式相減得：，整理得∴【思考】在雙曲線中是否有類似的性質(zhì)？（2）∵A，B在雙曲線上，代入A，B坐標得 ① ②兩式相減得：，整理得可以看到，這一等式建立了二次曲線弦的斜率與弦的中點坐標之間關系式．也就是說，已知弦的中點，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中點坐標．同時也不難得出這樣的經(jīng)驗，當題目問題涉及到弦的斜率與弦的中點時，就可以考慮“點差法”．諸如求中點弦的方程，弦中點的軌跡，垂直平分線等等，這些都是較為常見題型．注：拋物線中同樣存在類似性質(zhì)：已知雙曲線，過點且被平分的弦所在的直線斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用點差法求出斜率即可.【詳解】設，因為點在雙曲線上，所以，兩式相減得到，因為過點且被平分，所以，代入上式可得已知雙曲線，，是上的兩點，是的中點，為坐標原點，直線的斜率為，則直線的斜率為．【答案】【分析】設，，坐標，根據(jù)直線的斜率為，求得，將，代入雙曲線方程得出，，利用點差法求直線斜率.【詳解】設，，，因為，是上的兩點，是的中點，為坐標原點，且直線的斜率為，所以①，②，③，，，所以②-③得，即，整理得，即，所以.已知雙曲線，斜率為的直線與的左右兩支分別交于兩點，點的坐標為，直線交于另一點，直線交于另一點.若直線的斜率為，則的離心率為.【答案】【分析】設，線段AB的中點，代入雙曲線的方程中可得，兩式相減得，可得①，設，線段CD的中點，同理得②，由，得三點共線，從而求得，由此可求得雙曲線的離心率.【簡析】取AB，CD的中點M，N，易知，即，故M、O、N三點共線，而△PAB與△PCD相似，故P、M、N三點也共線，則，故【詳解】設，線段AB的中點，則，兩式相減得，所以①，設，線段CD的中點，同理得②，因為，所以，則三點共線，所以，將①②代入得：，即，所以，即，所以斜率為1的直線與雙曲線（）交于兩點，點是曲線上的一點，滿足，和的重心分別為，的外心為，記直線，，的斜率為，，，若，則雙曲線的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)直線與雙曲線的性質(zhì)，得出二級結論斜率之積為定值，取的中點，得到，再由，，結合所以，求得，利用，即可求解.【詳解】若直線與雙曲線有兩個交點，設的中點為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，又由在直線上，可得，所以，所以，即直線與雙曲線相交線的中點與原點的連線的斜率與直線的斜率之積為定值，如圖所示，取的中點，因為的重心在中線上，的重心在中線上，所以，，可得，即，又由，可得，可得因為，且的外心為點，則為線段的中點，可得，因為，所以，所以，所以，所以.故答案為：.

已知雙曲線，過點且被平分的弦所在的直線斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用點差法求出斜率即可.【詳解】設，因為點在雙曲線上，所以，兩式相減得到，因為過點且被平分，所以，代入上式可得已知直線l與雙曲線交于A、B兩點，且弦AB的中點為，則直線l的方程為．【答案】【分析】設出A，B兩點的坐標，代入雙曲線方程，然后利用點差法得到直線l的斜率即可求解直線方程．【詳解】設Ax1,則，，又，，兩式相減，得，即，整理得，直線l的斜率為，直線l的方程為，化簡得，經(jīng)檢驗滿足題意.已知A，B為雙曲線C：上的兩點，且A，B關于直線：對稱，則線段中點的坐標為.【答案】【分析】根據(jù)題意可知，利用點差法求得，聯(lián)立方程即可得結果.【詳解】由題意可知：直線：的斜率為，可知直線的斜率，設，則線段中點的坐標，可得，，因為A，B為雙曲線C：上的兩點，則，兩式相減整理得，即，解得，即直線，聯(lián)立方程，解得，可知線段中點的坐標為.不與軸重合的直線經(jīng)過點，雙曲線：上存在兩點A，B關于對稱，AB中點M的橫坐標為，若，則的值為.【答案】【分析】由點差法得，結合得，代入斜率公式化簡并利用可求得.【詳解】設，則，兩式相減得，即，即，所以，因為是AB垂直平分線，有，所以，即，化簡得，故，則.（24-25高二上·河南南陽·期中）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且經(jīng)過點．(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線相交于，兩點，若線段的中點坐標為，求直線的方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)漸近線方程及雙曲線所過的點列方程求參數(shù)，即可得方程；（2）設Ax1,y【詳解】（1）由題意，知，解得，故雙曲線的方程為．（2）設Ax則，兩式相減，得，整理得．因為線段的中點坐標為，所以，所以直線的斜率，故直線的方程為，即．經(jīng)檢驗，直線與雙曲線相交，所以直線的方程為.【題型9】點差法（第三定義）第三定義 點差法是不是只能解決同時與中點和斜率有關的問題呢?其實不然．其實點差法的內(nèi)核還是“設而不求、整體代換”的思想，建立的是曲線上兩點橫縱坐標和差之間的聯(lián)系，這其實也是第三定義的體現(xiàn).第三定義：平面內(nèi)與兩個定點，的斜率乘積等于常數(shù)的點的軌跡叫做橢圓或雙曲線(不含兩個頂點)．其中兩定點分別為橢圓或雙曲線的頂點．當常數(shù)大于－1小于0時為橢圓，此時；當常數(shù)大于0時為雙曲線，此時．【第三定義推廣】：平面內(nèi)與兩個關于原點對稱的點，的斜率乘積等于常數(shù)的點的軌跡叫做橢圓或雙曲線．當常數(shù)大于－1小于0時為橢圓，此時；當常數(shù)大于0時為雙曲線，此時．【證明】是橢圓上的一組對稱點，P為橢圓上任意點，則有 證明（點差法）：設，，，，，∵P，A在橢圓上，代入坐標得① ②兩式相減得：，整理得∴法二：通過橢圓的垂徑定理轉(zhuǎn)換 中點弦和第三定義本質(zhì)上是一樣的【思考1】在雙曲線中是否有類似的性質(zhì)？設，，，，，① ②兩式相減得：，整理得∴法二：構造中位線設，∵P，B在雙曲線上，代入雙曲線方程得① ②兩式相減得：，整理得∴同理可得，當焦點在y軸上時，橢圓有：；雙曲線有：已知為雙曲線的右頂點，為雙曲線右支上一點，若點關于雙曲線中心的對稱點為，設直線、的傾斜角分別為、，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設出坐標，根據(jù)題意得，代入斜率公式，由點在雙曲線上，消元整理得到的關系，進一步求得雙曲線的離心率.【詳解】設，則，因為，即，由，所以，因為，所以，即，得，所以，即，又，所以，即，所以，故雙曲線的離心率為．故選：D.已知點A，B，C都在雙曲線：上，且點A，B關于原點對稱，.過A作垂直于x軸的直線分別交，于點M，N.若，則雙曲線的離心率是（）A. B. C.2 D.【答案】B【簡析】設，則，，因為，故，由二級結論可知，而，，所以已知雙曲線的右焦點為，左?右頂點分別為、，點在上運動（與、枃不重合），直線交直線于點，若恒成立，則的離心率為.【答案】【分析】推導出，設直線的方程為，其中，求出點的坐標，分析可知，可得出關于、的齊次等式，即可得出雙曲線的離心率的值.【法一】如圖所示，由對稱點以及斜率之積為-1想到第三定義，即，而，即注意到M，N，A2三點共線，故，記交x軸于點E，則，故則有【法二】設點，其中，則，易知點、，則，設直線的方程為，其中，則，故，將代入可得，即點，，因為，則，則，整理可得，即，即，可得，故雙曲線的離心率為.已知雙曲線的左?右頂點分別為，拋物線與雙曲線交于兩點，記直線，的斜率分別為，則為.【答案】【分析】利用對稱性可得，再設結合雙曲線的標準方程計算．【詳解】由題意，，由于雙曲線與都關于軸對稱，因此它們的交點關于軸對稱，所以，設，則，，已知，是橢圓的左右頂點，是雙曲線在第一象限上的一點，直線，分別交橢圓于另外的點，．若直線過橢圓的右焦點，且，則橢圓的離心率為．【答案】【分析】由直線斜率公式結合點在曲線上可得，從而求得，進而結合正切的定義即可求解．【詳解】由題意可知，，設，可得直線的斜率分別為，，因為點在雙曲線上，則，整理得，所以，設點，可得直線，的斜率，，因為點在橢圓上，則，整理得，所以，即，則，所以直線與關于軸對稱，又因為橢圓也關于軸對稱，且，過焦點，則軸，又，則，所以，整理得，即，解得，或（舍去），所以橢圓的離心率為．故答案為：．已知、是橢圓與雙曲線的公共頂點，是雙曲線上一點，，交橢圓于，.若過橢圓的焦點，且，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】設出點P，M的坐標，借助雙曲線、橢圓的方程及斜率坐標公式可得軸，再利用和角的正切公式求出a，b的關系作答.【詳解】如圖，設，點共線，點共線，所在直線的斜率分別為，點在雙曲線上，即，有，因此，點在橢圓上，即，有，直線的斜率，有，即，于是，即直線與關于軸對稱，又橢圓也關于軸對稱，且過焦點，則軸，令，由得，顯然，，，解得，所以雙曲線的離心率.

【題型10】漸近線的垂線模型一、焦點到漸近線的距離為b1．設雙曲線方程（焦點在x軸）、設（右）焦點，求出雙曲線的漸近線方程，求焦點到（過一三象限的）漸近線的距離2．將漸近線的方程化為一般式，利用點到直線距離公式求距離，結合雙曲線中a、b、c的關系求出結果3．根據(jù)雙曲線的對稱性（x、y軸對稱，原點中心對稱）可知，無論焦點在x軸還是y軸，無論是左焦點還是右焦點，無論到哪一條漸近線，焦點到漸近線的距離都是b（半虛軸長）【證明】

設雙曲線的方程為：則雙曲線的漸近線方程為：設右焦點為（c，0），漸近線的一般式為：根據(jù)點到直線的距離公式得：故焦點到漸近線的距離都是b（半虛軸長）二、已知雙曲線方程為的右焦點為，過點且與漸近線垂直的直線分別交兩條漸近線于兩點.情形1.如圖1.若,則圖1圖2如圖2.若，則過雙曲線的右焦點做一條漸近線的垂線，垂足為，與雙曲線的另一條漸近線交于點，若，則此雙曲線的離心率為________【答案】滿足情形1，即，故，則已知雙曲線，過的右焦點作垂直于漸近線的直線交兩漸近線于、兩點、兩點分別在一、四象限，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【簡析】滿足情形2，即，，即【詳解】解：由題意知：雙曲線的右焦點，漸近線方程為，即，如下圖所示:由點到直線距離公式可知：，又，，，即，設，由雙曲線對稱性可知，而，，由正切二倍角公式可知：，即，化簡可得：，即，由雙曲線離心率公式可知：.故選：A.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作一條漸近線的垂線交雙曲線的左支于點，已知，則雙曲線的漸近線方程為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，結合雙曲線的定義、余弦定理求出的關系即可作答.【詳解】根據(jù)題意畫出圖象如下：

由得，又，所以，雙曲線的漸近線方程為，則點到漸近線的距離，所以在中，，由余弦定理得，即，化簡得，即，解得或，因為，所以.則雙曲線的漸近線方程為．設雙曲線C：(，)的一個焦點為F，過F作一條漸近線的垂線，垂足為E．若線段EF的中點在C上，則C的離心率為．【答案】【詳解】直線EF與漸近線方程聯(lián)立得解得，，∴EF中點M的坐標為，又M點在雙曲線上，代入其標準方程，得，化簡得，∴，．故答案為：．已知分別是雙曲線的左，右焦點，過點作E的漸近線的垂線，垂足為P．點M在E的左支上，當軸時，，則E的漸近線方程為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，結合雙曲線的對稱性取漸近線，求出點坐標，再列出方程求解即得.【詳解】由雙曲線的對稱性，取漸近線，由直線垂直于直線，得直線：，由與聯(lián)立解得，即，由軸，且，得，而點M在雙曲線E的左支上，因此，即，又，整理得，解得，所以雙曲線E的漸近線方程為.故答案為：

（2024·全國·模擬預測）設為雙曲線的右焦點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，與另一條漸近線交于．若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結合題意與圖象，求得各線段的長度，再在直角三角形和直角三角形中，利用的正切值，建立關系，求解即可.【詳解】如圖，結合題設，．因為，所以，所以．設，則，所以．因為，所以，所以已知雙曲線與直線相交于，兩點，點為雙曲線上的一個動點，記直線，的斜率分別為，，若，且雙曲線的右焦點到其一條漸近線的距離為1，則雙曲線的標準方程為．【答案】【分析】設點，，，利用點差法求得直線的斜率，得到，再由點到直線的距離求得，得出、，即可求出離心率.【詳解】設點，，，則且，兩式相減，得，所以，因為，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，即，因為焦點到漸近線的距離為，所以，可得，又因為，所以，所以雙曲線為.（多選）已知點為雙曲線上的任意一點，過點作漸近線的垂線，垂足分別為，則（）A．B．C．D．的最大值為【答案】BCD【分析】對A找到反例即可；對B利用點到直線距離公式計算即可；對C，利用二倍角的余弦公式和向量數(shù)量積的定理計算即可；對D利用三角形的面積公式計算即可.【詳解】對A，當趨近于無窮遠處時，故A錯誤；對B，設點，滿足，即，又兩條漸近線方程分別為，即，故有，故B正確；對C，設漸近線的傾斜角為，則，所以，故C正確；對D，由C可知，，所以為定值，故D正確.故選：BCD.

【題型11】雙曲線焦點三角形內(nèi)切圓一、單個焦點三角形的內(nèi)切圓：圓心在直線上證明：不妨設點P在雙曲線C右支上的任意一點，設的內(nèi)切圓的圓心I在三邊上的投影分別為B，E，D因為由雙曲線定義，可知：又因為，所以，所以。即B恰為雙曲線的右頂點，所以點I必在直線上．根據(jù)對稱性可知，點I必在直線上二、焦點和一條焦點弦所成三角形的內(nèi)切圓:有一個焦點為切點證明：設內(nèi)切圓分別與的三邊F1A，F(xiàn)1B，AB相切于M，N，P，由切線長定理可知，，設，則有故，即，所以P，F(xiàn)2重合．已知分別為雙曲線的左?右焦點，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，記的內(nèi)切圓的半徑為的內(nèi)切圓的半徑為，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】過分別作的垂線，垂足分別為，作出圖形，結合雙曲線的定義推到出，再由三角形相似可得，最后得到，再由離心率的定義解出即可；【詳解】過分別作的垂線，垂足分別為，則，，則，又，則，，即在直線上，，則，又，則，即，，故離心率為如圖，雙曲線的左右焦點分別為，，若存在過的直線交雙曲線右支于，兩點，且，的內(nèi)切圓半徑，滿足，則雙曲線的離心率取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)內(nèi)切圓切線長性質(zhì)和雙曲線定義得到兩圓與有公共切點，且是雙曲線右頂點，從而可知軸；接著通過解三角形知識計算得到焦點弦的斜率是；最后通過漸近線與相交弦斜率關系，得到離心率范圍.【詳解】設，的內(nèi)切圓圓心分別為,如圖，設的內(nèi)切圓與軸的切點為，由雙曲線定義，根據(jù)圓的切線長性質(zhì)得，進而得點的橫坐標為，即點是雙曲線右頂點；同理可得點也是的內(nèi)切圓與軸的切點，連接，，，從而可知軸，設直線的傾斜角為，∴，，又，∴，，∴，解得，∴，∴，則離心率.故選項為：B.雙曲線的左，右焦點分別為，，右支上有一點M，滿足，的內(nèi)切圓與y軸相切，則雙曲線C的離心率為．【答案】【分析】由圓的切線性質(zhì)及雙曲線定義，可得關系式，，從而解出、，利用勾股定理可解.【詳解】內(nèi)切圓Q分別與，，，軸切于點S，T，N，P則四邊形、都為正方形，設內(nèi)切圓半徑為，由圓的切線性質(zhì)，則，則，①又因為，②且雙曲線定義得，，③由①、②、③得，所以，從而，由勾股定理，，所以，解得．已知雙曲線的左?右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的左支交于，兩點，若，則的內(nèi)切圓周長為.【答案】【詳解】如圖所示：

設內(nèi)切圓半徑為，切點分別為，由題意，則，所以，由雙曲線定義有；又因為，即，所以，因此，從而直角三角形的內(nèi)切圓半徑是，所以的內(nèi)切圓周長為.（多選題）已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，記的內(nèi)切圓的面積為，的內(nèi)切圓的面積為，則（

）A．圓和圓外切 B．圓心在直線上C． D．的取值范圍是【答案】AC【詳解】雙曲線的，漸近線方程為，兩漸近線傾斜角分別為和，設圓與軸切點為過的直線與雙曲線的右支交于兩點，可知直線的傾斜角取值范圍為，的的橫坐標為，則由雙曲線定義，所以由圓的切線長定理知，所以.的橫坐標均為，即與軸垂直.故圓和圓均與軸相切于，圓和圓兩圓外切.選項A正確；由雙曲線定義知，中，，則只能是的中線，不能成為的角平分線，則圓心一定不在直線上.選項B錯誤；在中，，，則由直角三角形的射影定理可知，即則，故.選項C正確；

由直線的傾斜角取值范圍為，可知的取值范圍為，則的取值范圍為，故，又，則令，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.值域為故的值域為.（多選）過雙曲線右焦點的直線交雙曲線右支于兩點，的內(nèi)切圓分別切直線于點，內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則（

）

A．切點與右焦點重合 B．C． D．【答案】ACD【分析】利用切線長定理及雙曲線的定義可判定A、B，利用內(nèi)切圓的性質(zhì)及雙曲線的定義可判定C，利用三角恒等變換計算可判定D.【詳解】對于A，由切線長定理可知：，則，，故①，又②，①②得，得，即，故點與點重合，正確；對于B，，B錯誤；對于C，根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，即，故C正確；對于D，令，則結合A、B選項可得：，∴．故D正確．雙曲線的左，右焦點分別為，過作垂直于軸的直線交雙曲線于兩點，的內(nèi)切圓圓心分別為，