2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.3.2-6.3.4練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊

PAGE第六章6.36.3.26.3.36.3.4A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．給出下面幾種說法：①相等向量的坐標(biāo)相同；②平面上一個向量對應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo)；③一個坐標(biāo)對應(yīng)于唯一的一個向量；④平面上一個點(diǎn)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)、該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量一一對應(yīng)．其中正確說法的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】由向量坐標(biāo)的定義不難看出一個坐標(biāo)可對應(yīng)多數(shù)個相等的向量，故③錯誤．2．設(shè)i，j是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝4i＋2j，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3i＋4j，則2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))的坐標(biāo)是()A．(1，－2) B．(7,6)C．(5,0) D．(11,8)【答案】D【解析】因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))＝(4,2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3,4)，所以2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．3．(2024年重慶月考)若向量a＝(1，－2)，b＝(3，－1)，則與a＋b共線的向量是()A．(－1,1) B．(－3，－4)C．(－4,3) D．(2，－3)【答案】C【解析】向量a＝(1，－2)，b＝(3，－1)，則a＋b＝(4，－3)，所以與a＋b共線的向量是λ(4，－3)，其中λ∈R.當(dāng)λ＝－1時(shí)，共線向量是(－4,3)．故選C．4．(2024年寧波月考)已知A(－1,2)，B(2，－1)，若點(diǎn)C滿意eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，則點(diǎn)C坐標(biāo)為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2))) B．(－3,3)C．(3，－3) D．(－4,5)D【解析】設(shè)C(x，y)，由A(－1,2)，B(2，－1)，得eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x＋1，y－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－3)．又eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝－3，,y－2＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝5.))∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(－4,5)．故選D．5．已知A(－3,0)，B(0,2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC＝45°，設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))(λ∈R)，則λ的值為()A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,5) D．eq\f(2,3)【答案】C【解析】如圖所示，因?yàn)椤螦OC＝45°，所以設(shè)C(x，－x)，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x，－x)．又因?yàn)锳(－3,0)，B(0,2)，所以λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3λ，2－2λ)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3λ，,－x＝2－2λ))?λ＝eq\f(2,5).6．(2024年道里區(qū)校級期中)我國古代人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)覺并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，被后人稱作“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用作第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會徽．如圖，大正方形ABCD是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，E為BF的中點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝()A．eq\f(4,5)a＋eq\f(2,5)b B．eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)bC．eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)b D．eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b【答案】A【解析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)AB＝1，BE＝x，則AE＝2x.∴x2＋4x2＝1，解得x＝eq\f(\r(5),5).設(shè)∠BAE＝θ，則sinθ＝eq\f(\r(5),5)，cosθ＝eq\f(2\r(5),5).∴xE＝eq\f(2\r(5),5)cosθ＝eq\f(4,5)，yE＝eq\f(2\r(5),5)sinθ＝eq\f(2,5).設(shè)eq\o(AE,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(2,5)))＝m(1,0)＋n(0,1)．∴m＝eq\f(4,5)，n＝eq\f(2,5).∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)a＋eq\f(2,5)b.故選A．7．(2024年蘇州期末)已知A(2，－3)，B(8,3)，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為________．【答案】(6,1)【解析】設(shè)C(x，y)，∵A(2，－3)，B(8,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，∴(x－2，y＋3)＝2(8－x,3－y)＝(16－2x,6－2y)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝16－2x，,y＋3＝6－2y，))解得x＝6，y＝1.∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,1)．8．(2024年廣州模擬)已知向量a＝(3，－2)，b＝(m,1)．若向量(a－2b)∥b，則m＝________.【答案】－eq\f(3,2)【解析】∵向量a＝(3，－2)，b＝(m,1)，∴a－2b＝(3－2m，－4)．∵(a－2b)∥b，∴－4m＝3－2m.∴m＝－eq\f(3,2).9．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°.(1)求向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標(biāo)；(2)若B(eq\r(3)，－1)，求eq\o(BA,\s\up6(→))的坐標(biāo)．解：(1)設(shè)點(diǎn)A(x，y)，則x＝4eq\r(3)cos60°＝2eq\r(3)，y＝4eq\r(3)sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，6)．(2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，6)－(eq\r(3)，－1)＝(eq\r(3)，7)．10．如圖，已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4λ－4,4λ)．連接OC，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2,6)．由eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4).所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3,3)．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)．B級——實(shí)力提升練11．已知向量a＝(1＋λ，2)，b＝(3,4)，若a∥b，則實(shí)數(shù)λ＝()A．－eq\f(11,3) B．－eq\f(5,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,3)【答案】C【解析】a∥b，∴4(1＋λ)＝6，即λ＝eq\f(1,2).12．已知a＝(eq\r(3)，1)，若將向量－2a繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到向量b，則b的坐標(biāo)為()A．(0,4) B．(2eq\r(3)，－2)C．(－2eq\r(3)，2) D．(2，－2eq\r(3))【答案】B【解析】∵a＝(eq\r(3)，1)，∴－2a＝(－2eq\r(3)，－2)．易知向量－2a與x軸正半軸的夾角α＝150°(如圖)．向量－2a繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到向量b，在第四象限，與x軸正半軸的夾角β＝30°，∴b＝(2eq\r(3)，－2)．故選B．13．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d為()A．(2,6) B．(－2,6)C．(2，－6) D．(－2，－6)【答案】D【解析】由題意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，則d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)．14．向量a＝(sinθ，cosθ)，b＝(1,2)，則|a|＝________；若向量a，b不能作為一組基底，則tanθ＝________.【答案】1eq\f(1,2)【解析】∵a＝(sinθ，cosθ)，∴|a|＝eq\r(sin2θ＋cos2θ)＝1.∵向量a，b不能作為一組基底，∴a∥b，則2sinθ－cosθ＝0，得tanθ＝eq\f(1,2).15．設(shè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)eq\f(π,2)得向量eq\o(OB,\s\up6(→))，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝(7,9)，則向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝________.【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,5)，\f(23,5)))【解析】設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝(m，n)，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－n，m)，所以2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2m－n,2n＋m)＝(7,9)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－n＝7，,m＋2n＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(23,5)，,n＝\f(11,5).))因此，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,5)，\f(23,5))).16．已知點(diǎn)A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)及eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)．(1)λ為何值時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上？(2)四邊形ABCP能成為平行四邊形嗎？若能，求出相應(yīng)的λ的值；若不能，請說明理由．解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－2，y－3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(5,7)．∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，∴(x－2，y－3)＝(3,1)＋λ(5,7)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5λ＋5，,y＝7λ＋4，))∴P(5λ＋5,7λ＋4)．(1)當(dāng)點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上時(shí)，由5λ＋5＝7λ＋4得λ＝eq\f(1,2).(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(2－5λ，6－7λ)．若四邊形ABCP為平行四邊形，需eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－5λ＝3，,6－7λ＝1.))方程組無解，故四邊形ABCP不能成為平行四邊形．17．已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，試用a，b表示c.解：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，向量eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．因?yàn)閨a|＝2，所以a＝(2,0)．設(shè)b＝(x1，y1)，所以x1＝|b|·cos150°＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝－eq\f(\r(3),2)，y1＝|b|sin150°＝1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).所以b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))).同理可得c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2))).設(shè)c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))＝λ1(2,0)＋λ2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2λ1－\f(\r(3),2)λ2，\f(1,2)λ2)).所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ1－\f(\r(3),2)λ2＝－\f(3,2)，,\f(1,2)λ2＝－\f(3\r(3),2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－3，,λ2＝－3\r(3).))所以c＝－3a－3eq\r(3)b.C級——探究創(chuàng)新練18．設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2,4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－a,2)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(b,0)，a＞0，b＞0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若A，B，C三點(diǎn)共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為________．【答案】eq\f(3,2)＋eq\r(2)【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2－a，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(b＋2，－4)．由A，B，C三點(diǎn)共線，得2