數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究曲線與方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一曲線與方程的概念問題曲線與方程的定義表明：曲線C的方程是F（x，y）＝0的充分必要條件是曲線C上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x，y）＝0的解，并且以方程F(x,y)＝0的實(shí)數(shù)解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上，這是識別曲線和方程關(guān)系的基本依據(jù)．判斷點(diǎn)與曲線關(guān)系的方法（1)從點(diǎn)的坐標(biāo)角度若點(diǎn)M(x0，y0)在方程f（x，y)＝0所表示的曲線C上，則f（x0，y0）＝0；或若f(x0，y0）≠0，則點(diǎn)M(x0，y0）不在方程f（x，y)＝0表示的曲線C上．（2)從方程的解的角度若f（x0，y0）＝0，則點(diǎn)M（x0，y0)在方程f（x，y)＝0所表示的曲線C上;或若點(diǎn)M(x0，y0）不在方程f（x,y)＝0表示的曲線C上，則f(x0，y0）≠0.【典型例題1】如果曲線C上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x，y）＝0的解，那么以下說法正確的是()A．以方程F（x，y）＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上B．以方程F(x，y）＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)有些不在曲線C上C．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不是方程F(x,y)＝0的解D．坐標(biāo)不滿足方程F(x，y）＝0的點(diǎn)都不在曲線C上解析：由題意可知，曲線C上的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合是方程F（x,y)＝0的解構(gòu)成的集合的子集,它包含兩種情形：①真子集；②相等．據(jù)以上可知，選項(xiàng)A，B，C都是不正確的，只有選項(xiàng)D是正確的．答案：D探究二曲線方程的求法解決求曲線方程問題通常按以下三大步驟進(jìn)行：(1）建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系：曲線方程的實(shí)質(zhì)即為曲線上的任一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系式，首先要建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系(坐標(biāo)系的建立，直接影響曲線方程的繁簡）．（2)利用題目條件，建立等量關(guān)系:根據(jù)曲線上的點(diǎn)適合的條件列出等式，是求方程的重要一環(huán),常用到一些基本公式,如兩點(diǎn)間的距離公式等，仔細(xì)審題，用已知條件和曲線的特征，抓住與曲線上的任意點(diǎn)M有關(guān)的相關(guān)關(guān)系結(jié)合基本公式列出等式進(jìn)行化簡．（3）挖掘題目隱含條件，避免“少解"與“多解”：在求曲線方程時(shí)，由于忽視了題目中的隱含條件，出現(xiàn)不符合題意的點(diǎn),或在方程進(jìn)行不等價(jià)變形的過程中容易丟掉、增加解，因此在求曲線方程后應(yīng)根據(jù)條件將多余的點(diǎn)剔除，將遺漏的點(diǎn)補(bǔ)上．【典型例題2】已知平面上兩個(gè)定點(diǎn)A，B之間的距離為2a，點(diǎn)M到A,B兩點(diǎn)的距離之比為2∶1，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程思路分析：因?yàn)橐阎獥l件中未給定坐標(biāo)系,所以需“恰當(dāng)"建立坐標(biāo)系．考慮到對稱性,由|AB|＝2a，選A，B兩點(diǎn)所在的直線為x軸，AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則A（－a，0),B(a，0），然后求解解：如圖所示,以兩定點(diǎn)A，B所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系．由|AB|＝2a，可設(shè)A(－a,0)，B(a，0），M(x，y）因?yàn)閨MA|∶|MB｜＝2∶1，所以eq\r（(x＋a）2＋y2）∶eq\r(（x－a)2＋y2）＝2∶1，所以eq\r(（x＋a)2＋y2)＝2eq\r((x－a)2＋y2）.化簡，得eq\b\lc\（\rc\）(eq\a\vs4\al\co1(x－eq\f（5，3）a））2＋y2＝eq\f(16，9)a2，所以所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為eq\b\lc\（\rc\)（eq\a\vs4\al\co1（x－eq\f(5,3）a)）2＋y2＝eq\f（16，9）a2.【典型例題3】長為3的線段AB的端點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)C（x，y）滿足eq\o(AC，\s\up6(→))＝2eq\o（CB,\s\up6（→）)，求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程．思路分析：A，B分別在x軸、y軸上移動(dòng)，可設(shè)A(x0,0)，B（0，y0),又動(dòng)點(diǎn)C（x,y)滿足eq\o(AC，\s\up6（→)）＝2eq\o(CB，\s\up6（→）)，代入即可得軌跡方程．解：因?yàn)殚L為3的線段AB的端點(diǎn)A,B分別在x軸、y軸上移動(dòng)，故可設(shè)A(x0,0)，B(0,y0)．又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)C(x,y)滿足eq\o(AC，\s\up6（→）)＝2eq\o(CB,\s\up6(→）)，所以(x－x0，y)＝2（0－x，y0－y)，即（x－x0，y)＝(－2x，2y0－2y)，所以eq\b\lc\｛\rc\(eq\a\vs4\al\co1(x－x0＝－2x，,y＝2y0－2y）)eq\b\lc\{\rc\（eq\a\vs4\al\co1（x0＝3x，,y0＝eq\f(3,2)y.)）又因?yàn)椋麬B|＝3，即＝9，所以（3x）2＋eq\b\lc\(\rc\）(eq\a\vs4\al\co1(eq\f（3，2)y))2＝9。整理得動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋eq\f（y2，4)＝1。方法總結(jié)求曲線方程常見方法的注意點(diǎn)（1）定義法:若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如直線、圓等），可用定義直接探求．（2）相關(guān)點(diǎn)代入法：根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，有時(shí)也稱代入法．其基本思想是，如果所求軌跡中的動(dòng)點(diǎn)隨著另一動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)又在某一條已知的曲線C：f（x，y）＝0上運(yùn)動(dòng)，那么利用軌跡中的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)表示已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)(x1，y1）,再將它代入已知曲線C的方程f（x，y）＝0即可求得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．（3)待定系數(shù)法:根據(jù)題意正確設(shè)出曲線方程，明確待定系數(shù),尋找待定系數(shù)的方程時(shí)一定要充分挖掘題中條件,特別注意隱含條件．探究三求曲線的交點(diǎn)問題已知曲線C1和曲線C2的方程分別為F（x，y)＝0，G(x，y)＝0，則點(diǎn)P(x0,y0）是曲線C1，C2的交點(diǎn)點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0,y0）滿足方程組eq\b\lc\{\rc\（eq\a\vs4\al\co1(F（x，y)＝0，,G(x，y）＝0，）)且方程組有幾組不同的實(shí)數(shù)解,兩條曲線就有幾個(gè)不同的交點(diǎn);方程組沒有實(shí)數(shù)解，兩條曲線就沒有交點(diǎn)．【典型例題4】試討論圓x2＋（y－1）2＝4與直線y＝k(x－2)＋4(k為參數(shù)）交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．思路分析：只需把直線方程與圓方程聯(lián)立，求方程組解的個(gè)數(shù)即可．解：由eq\b\lc\｛\rc\（eq\a\vs4\al\co1（y＝k(x－2）＋4，,x2＋（y－1）2＝4，））得(1＋k2）x2＋2k(3－2k)x＋（3－2k)2－4＝0，Δ＝4k2(3－2k)2－4（1＋k2）[（3－2k）2－4]＝4(12k－5)．當(dāng)Δ＞0,即k＞eq\f（5，12）時(shí),直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；當(dāng)Δ＝0,即k＝eq\f(5，12)時(shí)，直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ＜0，即k＜eq\f(5,12）時(shí)，直線與圓沒有交點(diǎn)．探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)忽視驗(yàn)證造成增解【典型例題5】求以A(－2,0）,B(2，0)為直徑端點(diǎn)的圓內(nèi)接三角形的頂點(diǎn)C的軌跡方程．錯(cuò)解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)．△ABC為圓內(nèi)接三角形且以AB為直徑．∴AC⊥BC，則kAC·kBC＝－1?！遦AC＝eq\f(y－0,x＋2),kBC＝eq\f（y－0,x－2)，∴eq\f（y,x＋2)·eq\f(y,x－2)＝－1。化簡,有x2＋y2－4＝0。即點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－4＝0.錯(cuò)因分析：(1）在表述kAC，kBC時(shí)沒有注意斜率不存在的情況．(2)沒有驗(yàn)證以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在曲線上．正解：設(shè)C的坐標(biāo)為(x,y)．∵△ABC為圓的內(nèi)接三角形，且圓以線段AB為直徑，∴eq\o(AC，\s\up6（→））⊥eq\o(BC,\s\up6(→）)，即eq\o(AC，\s\