平行四邊形的性質(zhì)與判定壓軸題八種模型全攻略（解析版）

專題05平行四邊形的性質(zhì)與判定壓軸題八種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用平行四邊形的性質(zhì)求解】 1【考點(diǎn)二利用平行四邊形的性質(zhì)證明】 3【考點(diǎn)三判斷能否構(gòu)成平行四邊形】 7【考點(diǎn)四添一個(gè)條件成為平行四邊形】 10【考點(diǎn)五證明四邊形是平行四邊形】 12【考點(diǎn)六平行四邊形中的折疊問(wèn)題】 16【考點(diǎn)七利用平行四邊形的性質(zhì)無(wú)刻度作圖】 18【考點(diǎn)八利用平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合】 22【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 27【典型例題】【考點(diǎn)一利用平行四邊形的性質(zhì)求解】例題：（2024上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，平分，交于點(diǎn)F，平分，交于點(diǎn)E，，，則長(zhǎng)為.【答案】3【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對(duì)等邊；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，得出是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得，，；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得；根據(jù)從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線可得；推得，根據(jù)等角對(duì)等邊可得，，即可列出等式，求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，∴，∵平分，∴，則，∴，同理可證：，∵，即，解得：；故答案為：3．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，則的周長(zhǎng)為.【答案】22【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)以及三角形周長(zhǎng)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住平行四邊形的對(duì)角線互相平分．根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分求出的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴的周長(zhǎng)．故答案為：22．2．（2023上·山東淄博·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且，過(guò)點(diǎn)O作，交AD于點(diǎn)M．如果△CDM的周長(zhǎng)為8，那么的周長(zhǎng)是．【答案】16【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)及周長(zhǎng)的計(jì)算，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，證得AM=MC是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，垂直平分，所以，因此的周長(zhǎng)，可得平行四邊形的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵是平行四邊形，∴，∵，∴．∴的周長(zhǎng)，∴平行四邊形的周長(zhǎng)是．故答案為16．【考點(diǎn)二利用平行四邊形的性質(zhì)證明】例題：（2023下·廣東廣州·八年級(jí)校考期中）平行四邊形中，分別平分和交于點(diǎn)交于點(diǎn)G．(1)求證：；(2)判斷和的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型；（1）證明，即可推出即；（2）證明，再利用平行四邊形的性質(zhì)，即可解決問(wèn)題；【詳解】（1）證明：如圖，∵在平行四邊形中，，，分別平分和，，，即，，；（2）解：結(jié)論：線段與是相等關(guān)系，即，∵在平行四邊形中，，，又平分，，，同理可得，，又∵在平行四邊形中，，．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·福建廈門(mén)·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四邊形是平行四邊形，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使得，連接交于點(diǎn)F．證明：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的證明．由平行四邊形的性質(zhì)可得，，從而，，又，通過(guò)“”證得．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，，∴，∴在和中，，∴．2．（2023下·廣東佛山·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．

(1)求證：；(2)求證：是的平分線．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)四邊形是平行四邊形，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F得，則，根據(jù)點(diǎn)E為的中點(diǎn)得，利用即可證明；（2）根據(jù)四邊形是平行四邊形得，可得，根據(jù)，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，得，則，等量代換得，即可得．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，∴，∴，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴；（2）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴是的平分線．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)．3．（2023上·北京海淀·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，的對(duì)角線交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)且分別與交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)記四邊形的面積為，平行四邊形的面積為，用等式表示和的關(guān)系．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，由此可利用證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而可證明．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，對(duì)角線交于點(diǎn)，∴，∴，∴（2）解：∵，∴，∴，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知平行四邊形對(duì)邊平行，對(duì)角線互相平分是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三判斷能否構(gòu)成平行四邊形】例題：（2023下·北京海淀·八年級(jí)北京市十一學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，下列條件中不能判定四邊形是平行四邊形的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由平行四邊形的判定定理對(duì)邊對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、∵，，∴四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵，，∴四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵，，∴四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、由，，不能判定四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定定理，熟記平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·江西贛州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在中，點(diǎn)，分別在，上．下列條件中，不能得出四邊形一定為平行四邊形的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】A、∵四邊形為平行四邊形，∴，即．又，∴四邊形為平行四邊形．（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形）該選項(xiàng)不符合題意．B、無(wú)法證明四邊形為平行四邊形，該選項(xiàng)符合題意．C、∵四邊形為平行四邊形，∴，即．又，∴四邊形為平行四邊形．（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形為平行四邊形）該選項(xiàng)不符合題意．D、∵四邊形為平行四邊形，∴，．又，，，∴．∵，，∴．∴四邊形為平行四邊形．（兩組對(duì)角分別相等的四邊形為平行四邊形）該選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，牢記平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·安徽合肥·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，，，、是線段上的兩點(diǎn)，則以下條件不能判斷四邊形是平行四邊形的是（

）

A． B．C． D．，【答案】C【分析】連接、、交于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得，，再根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，只要證明得到即可，然后根據(jù)各選項(xiàng)的條件分析判斷結(jié)合平行四邊形的判定即可得解．【詳解】解：連接，，

，，四邊形是平行四邊形，連接交于，，，，，四邊形是平行四邊形，故A不符合題意；，，，，，，，四邊形是平行四邊形，故B不符合題意；，故無(wú)法判定四邊形是平行四邊形，故C符合題意；，，，以下的證明與B相同，故D選項(xiàng)不符合題意；故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四添一個(gè)條件成為平行四邊形】例題：（2023下·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：，使四邊形AECF是平行四邊形．

【答案】或或．【分析】用反推法，假如四邊形是平行四邊形，會(huì)推出什么結(jié)果，這結(jié)果就是要添加的條件．【詳解】解：使四邊形是平行四邊形．就要使，，就要使，而在平行四邊形中已有，，再加一個(gè)或可用證，或用證．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，本題是開(kāi)放題，答案不唯一，可以針對(duì)各種特殊的平行四邊形的判定方法，給出條件，本題主要是通過(guò)給出證明的條件來(lái)得到，，根據(jù)四邊形中一組對(duì)邊平行且相等就可證明為是平行四邊形．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在中，A、C分別為邊、上的點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谀壳皥D形中添加一個(gè)條件，使四邊形是平行四邊形．

【答案】【分析】在中可得,即，添加，滿足一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．【詳解】解：添加條件，四邊形是平行四邊形，，即，，四邊形是平行四邊形．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．2．（2023下·廣東東莞·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)在邊上以每秒的速度從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在邊上，以每秒的速度從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)秒時(shí)，直線在四邊形內(nèi)部能截出一個(gè)平行四邊形．

【答案】2或3【分析】根據(jù)平行四邊形的判定可知，分兩種情況：①和②，據(jù)此建立方程，解方程即可得．【詳解】解：設(shè)當(dāng)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，直線在四邊形內(nèi)部能截出一個(gè)平行四邊形，則，，，，，由題意，分以下兩種情況：①當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，則，解得；②當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，則，解得；綜上，當(dāng)2秒或3秒時(shí)，直線在四邊形內(nèi)部能截出一個(gè)平行四邊形，故答案為：2或3．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)五證明四邊形是平行四邊形】例題：（2023上·山東東營(yíng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，垂足分別為，．求證：四邊形是平行四邊形．

【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，然后證明出，得到，然后證明出，即可證明四邊形是平行四邊形．熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵四邊形是平行四邊形∴，∵，∴∴∴∵，∴∴∴四邊形是平行四邊形．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·天津·八年級(jí)校考期中）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上，且．

(1)求證：；(2)求證：四邊形是平行四邊形．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2)證明過(guò)程見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可得，根據(jù)全等三角形的判定方法“邊角邊”即可求證；（2）由（1）可知，可得，，運(yùn)用平角的計(jì)算可得，根據(jù)平行四邊形的判定即可求證．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，∴，，∴，在中，，∴．（2）證明：由（1）可知，，∴，，∵，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·江西宜春·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，將的邊延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，是邊的中點(diǎn)，連接．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而利用已知得出，，進(jìn)而得出答案；（2）首先過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，再利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，是邊的中點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形（2）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

由（1）得：四邊形是平行四邊形，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，在中，，，又是邊的中點(diǎn)，，，在中，，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等、直角三角形的性質(zhì)，熟練應(yīng)用平行四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)六平行四邊形中的折疊問(wèn)題】例題：（2023上·江蘇南通·九年級(jí)校考期末）如圖，在平行四邊形中，，將平行四邊形折疊，使點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)F、E處（點(diǎn)F、E都在所在的直線上），折痕為，則等于．【答案】/40度【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)．根據(jù)平行四邊形和折疊的性質(zhì)，得到，進(jìn)而求出的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵平行四邊形，∴，∴，∵折疊，∴，∴，∴；故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·河南鄭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)A落在E處．若，，則的度數(shù)為．

【答案】/110度【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和外角定義證明，得，由翻折可得，然后利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題．【詳解】解：設(shè)，交于點(diǎn)F，如圖，

∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，由翻折可知：，∴，，∴，∴，∴，∴，由翻折可知：，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角定義，三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．2．（2023下·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，E為邊上一點(diǎn)，將沿折疊至處，與交于點(diǎn)F，若，，則的大小為．

【答案】/30度【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得，由折疊的性質(zhì)得：，，由三角形外角性質(zhì)求出，由三角形內(nèi)角和求出，即可求得的大?。驹斀狻拷猓核倪呅问瞧叫兴倪呅?，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)七利用平行四邊形的性質(zhì)無(wú)刻度作圖】例題：（2023上·江蘇泰州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，平行四邊形中，只用無(wú)刻度的直尺按下列要求畫(huà)圖．（不寫(xiě)畫(huà)法）(1)在圖1中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，作邊上的中點(diǎn)F；(2)在圖2中，的平分線交于點(diǎn)F，在邊上的找點(diǎn)P，使得連接后，平分．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解【分析】本題主要考查利用平行四邊形性質(zhì)作圖，（1）利用平行四邊形對(duì)角線相互平分的性質(zhì)，即可確定，且點(diǎn)E為中點(diǎn)，即可求得點(diǎn)F也為中點(diǎn)；（2）利用平行四邊形對(duì)角線相互平分的性質(zhì)，可判定四邊形為平行四邊形，結(jié)合平分，則即為所求．【詳解】（1）解：連接和交于點(diǎn)O，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，如圖，（2）連接和交于點(diǎn)O，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，如圖，【變式訓(xùn)練】1．（2023下·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）例在中，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺按要求作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，題目要求畫(huà)的線畫(huà)實(shí)線，其他的線畫(huà)虛線）

(1)如圖1，E為邊上一點(diǎn)，，畫(huà)出∠D的角平分線；(2)如圖2，E為邊上一點(diǎn)，，畫(huà)出∠B的角平分線．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）連接，由得，結(jié)合平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得平分，即即為所求；（2）連接交于點(diǎn)O，連接并延長(zhǎng)交點(diǎn)F，連接，為所求．【詳解】（1）解：如圖：即為所求．

（2）解：如圖：即為所求．

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一復(fù)雜作圖、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023上·湖北黃石·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫(huà)圖（畫(huà)圖過(guò)程用虛線，畫(huà)圖結(jié)果用實(shí)線）．(1)判斷四邊形的形狀；(2)在圖1中，在上畫(huà)點(diǎn)E，使；(3)在圖2中的上畫(huà)點(diǎn)G，使．【答案】(1)平行四邊形(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，判定四邊形的形狀即可；（2）如圖1，點(diǎn)向右4個(gè)格點(diǎn)，向下3個(gè)格點(diǎn)為，連接，則是等腰直角三角形，則，與的交點(diǎn)即為所求；（3）如圖2，向右1個(gè)格點(diǎn)為，則，連接，則是等腰三角形，向上2個(gè)格點(diǎn)為，則為的中點(diǎn)，連接，則，延長(zhǎng)交于，由可知，，則，點(diǎn)即為所求．【詳解】（1）解：由題意知，，，，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：如圖1，點(diǎn)即為所求；（3）解：如圖2，點(diǎn)即為所求；【考點(diǎn)八利用平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合】例題：（2023下·廣東深圳·八年級(jí)校考期末）已知：如圖，E、F是對(duì)角線上的兩點(diǎn)．

(1)若，求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，垂足分別為E、F，，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接交于O，根據(jù)，得，，繼可證得，即可由平行四邊形的判定定理得出結(jié)論．（2）先由，，得出，，再證，得，從而證得四邊形是平行四邊形，即可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得．【詳解】（1）證明：連接交于O，

∵，∴，，∵，∴，即，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：∵，，∴，，∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)校考期中）如圖，中，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，連接交于O．(1)連接、，判斷四邊形的形狀并說(shuō)明理由．(2)若，，的面積為2，求的面積．(3)若，，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于G，當(dāng)時(shí)，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】(1)四邊形是平行四邊形，理由見(jiàn)解析；(2)；(3)4；【分析】（1）分別證明，，即可；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)，由的面積為2，得到，再利用三角形同底等高的性質(zhì)，得到的面積，再求出，則可知的面積為；（3）由是等腰直角三角形，得出，因?yàn)?，得出，所以與都是等腰直角三角形，從而依次求得、、的長(zhǎng)，則可求；【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形；證明：由題意，在中，，∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴的面積為．（3）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∵，，∴，∴，是等腰直角三角形，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，以及同底等高類的三角形面積，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明等腰直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）在四邊形中，，．(1)如圖①，求證：四邊形是平行四邊形；(2)如圖②，平分，交于點(diǎn)．若，，求的面積；(3)如圖③，平分，交于點(diǎn)，作交射線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，請(qǐng)?zhí)骄烤€段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)3(3)或【詳解】解：（1）證明：，．，，，四邊形是平行四邊形．（2）在中，，．平分，，，．如圖①，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．圖①，，，，．（3）如圖②、圖③，作交射線于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖②．圖②，，，．四邊形是平行四邊形，，，．在和中，，．由（2）易知．，，．又，，即；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③．圖③同理可得，，，即．綜上所述，線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為或【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在中，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．由平行四邊形的性質(zhì)得，則，再求出，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，故選：A．2．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）有下列說(shuō)法：①平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行且相等；②平行四邊形的對(duì)角線互相平分；③平行四邊形的對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)；④平行四邊形的對(duì)角線相等．其中正確的說(shuō)法有（

）A．4個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】略3．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線、分別平行于、，與的邊分別交于、、、．則圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)為（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【答案】D【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形為平行四邊形，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∵過(guò)點(diǎn)作直線、分別平行于、，∴，∴四邊形均為平行四邊形，∴加上共9個(gè)；故選D．4．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接、、，與交于點(diǎn)．添加以下條件，不能判定四邊形為平行四邊形的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，理解并掌握平行四邊形的判定定理是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，，，若，由“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”，即可判斷選項(xiàng)A；若，易得，即可證明，由“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形為平行四邊形”即可判斷選項(xiàng)B；若，證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，由“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”，即可判斷選項(xiàng)D；由不能證明四邊形為平行四邊形，即可判斷選項(xiàng)C．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，即，若，則有，∴四邊形為平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；∵，∴，若，則有，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形，故選項(xiàng)B不符合題意；∵，∴，若，則在和中，，∴，∴，又∵∴四邊形為平行四邊形，故選項(xiàng)D不符合題意；由不能證明四邊形為平行四邊形，選項(xiàng)C符合題意．故選：C．5．（2023下·浙江·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，分別是平行四邊形的邊，上的點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，若，，，則陰影部分的面積為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵在于求出各三角形之間的面積關(guān)系．根據(jù)平行四邊形的面積與三角形的面積公式可得三角形的面積，連接、兩點(diǎn)，由三角形的面積公式我們可以推出，，所以，，因此可以推出四邊形的面積就是．再根據(jù)面積差可得答案．【詳解】解：連接、兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

，，，四邊形是平行四邊形，，的邊上的高與的邊上的高相等，，，同理：，，，，，故陰影部分的面積為．故選：B．二、填空題6．（2023上·福建泉州·八年級(jí)泉州七中?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，于點(diǎn)E，如果，則°【答案】【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，再利用直角三角形兩個(gè)銳角角互余即可求得答案．【詳解】解：∵是平行四邊形，∴，∵，∴，∴．故答案為：．7．（2023上·山東濟(jì)寧·八年級(jí)濟(jì)寧市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，．則．

【答案】【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用，用平行四邊形的性質(zhì)表示出、及的長(zhǎng)度，則即可求解，解答本題的關(guān)鍵在于表示出所需邊長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴又∵，∴在中，由勾股定理得，∴又∵由平行四邊形性質(zhì)可得，；又∵中，由勾股定理得∴．故答案為：．8．（2023上·山東威?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形中，、相交于點(diǎn)，交邊于，連接，若，，則°．【答案】40【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、垂直平分線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．由平行四邊形的性質(zhì)可得、，再由平行線的性質(zhì)可得，再說(shuō)明是的垂直平分線，即，則，進(jìn)而得到；再說(shuō)明，最后根據(jù)即可解答．【詳解】解：∵平行四邊形中，、相交于點(diǎn)，∴,∴，∵，∴是的垂直平分線，∴，∴，∴，∴，∵，，∴,∴．故答案為40．9．（2023上·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在平行四邊形中（），為折痕，四邊形沿翻折后得到四邊形，且線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)B使得，若，求的度數(shù)．

【答案】40°/40度【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，根據(jù)翻折可得，，然后由四邊形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，根據(jù)翻折可知：，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．10．（2023下·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）平行四邊形中，兩條鄰邊長(zhǎng)分別為6和8，與的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則．【答案】5或2【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、梯形的中位線定理等知識(shí)；分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題：①如圖1中，當(dāng)，時(shí)，延長(zhǎng)交于．②如圖2中，當(dāng)，時(shí)；由直角三角形的性質(zhì)，梯形的中位線定理可得出答案．解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)建梯形中位線解決問(wèn)題．【詳解】解：①如圖1中，當(dāng)，時(shí)，延長(zhǎng)交于．，，，，，，，，，，，，；②如圖2中，當(dāng)，時(shí)，同理可證，，，可得，綜上所述，的長(zhǎng)為5或2．故答案為：5或2．三、解答題11．（2023下·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

(1)求證：(2)連接，若，，求的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，從而可得，再由角平分線的定義可得，從而可得，由等腰三角形的判定與性質(zhì)可得，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，證明是等邊三角形，可得，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，從而證明是等邊三角形，可得，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，利用勾股定理求得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再利用平行四邊形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵的平分線交于點(diǎn)F，∴，∴，∴，∴．

（2）解：過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，∵60°，，∴是等邊三角形，，，∵，∴，∴，是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的定義及平行線的性質(zhì)、熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023上·吉林·八年級(jí)校考期末）如圖，在中，，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使過(guò)點(diǎn)E作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）證得，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得，再由等腰三角形的性質(zhì)得，則進(jìn)而由勾股定理得，然后利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：由（1）可知，四邊形是平行四邊形，∴，∵∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴13．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形為平行四邊形，E為的中點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺作圖：

(1)在上取點(diǎn)M，使四邊形為平行四邊形；(2)在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，使四邊形為平行四邊形．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解【分析】（1）連接，交于點(diǎn)O，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為所求，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危瑒t，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，O為的中點(diǎn)，所以，即，所以四邊形為平行四邊形；（2）連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接，則點(diǎn)F即為所求，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，則，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，且，所以，即，所以四邊形為平行四邊形．【詳解】（1）解：點(diǎn)M即為所求：

（2）解：如圖，點(diǎn)F即為所求：

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖、平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)．14．（2023下·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，點(diǎn)