一次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)壓軸題九種模型全攻略（解析版）

專題11一次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)壓軸題九種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一判別是否一次函數(shù)】 1【考點(diǎn)二根據(jù)一次函數(shù)的定義求參數(shù)的值】 2【考點(diǎn)三畫一次函數(shù)的圖象】 4【考點(diǎn)四一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)】 9【考點(diǎn)五根據(jù)一次函數(shù)經(jīng)過的象限求參數(shù)問題】 11【考點(diǎn)六根據(jù)一次函數(shù)的增減性求參數(shù)問題】 12【考點(diǎn)七一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題】 13【考點(diǎn)八兩個(gè)一次函數(shù)圖象共存問題】 15【考點(diǎn)九一次函數(shù)中的規(guī)律探究問題】 16【過關(guān)檢測】 20【典型例題】【考點(diǎn)一判別是否一次函數(shù)】例題：（2023上·廣東梅州·八年級統(tǒng)考期中）下列函數(shù)：①；②；③；④，其中一次函數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了一次函數(shù)的甄別，根據(jù)一次函數(shù)的定義，判斷即可．【詳解】一次函數(shù)的是：①；②；④，不是一次函數(shù)的是③；故選C．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·甘肅蘭州·八年級統(tǒng)考期末）下列各式①；②；③；④；⑤，是一次函數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)的定義，一般地，形如，（k為常數(shù)，）的函數(shù)叫做一次函數(shù)．根據(jù)定義分析即可．【詳解】解：①的右邊不是整式，不是一次函數(shù)；②的右邊不是整式，不是一次函數(shù)；；③是一次函數(shù)；④的自變量的次數(shù)是2，不是一次函數(shù)；⑤是一次函數(shù)．故選B．2．（2023上·四川成都·八年級?？计谥校┫铝泻瘮?shù)①；②；③；④中，是y關(guān)于x的一次函數(shù)的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)的定義．熟練掌握一次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的定義進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：①中，是一次函數(shù)，正確，故符合要求；②中，不是整式，不是一次函數(shù)，錯(cuò)誤，故不符合要求；③中，是一次函數(shù)，正確，故符合要求；④中，不是一次函數(shù)，錯(cuò)誤，故不符合要求；故選：B．【考點(diǎn)二根據(jù)一次函數(shù)的定義求參數(shù)的值】例題：（2023上·浙江·八年級期末）若函數(shù)是一次函數(shù)，則m的值為．【答案】1【分析】本題考查了一次函數(shù)的定義，一般地，形如，（k為常數(shù)，）的函數(shù)叫做一次函數(shù)．由一次函數(shù)的定義可知且，從而可求得m的值．【詳解】解：∵是一次函數(shù)，∴且，解得且，所以，故答案為：1．【變式訓(xùn)練】1．（2024·全國·八年級假期作業(yè)）已知函數(shù)是關(guān)于的一次函數(shù)，則，若該函數(shù)是正比例函數(shù)，則，．【答案】0【分析】本題考查了正比例函數(shù)的定義：一般地，形如（k是常數(shù)，）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)．一次函數(shù)的定義：一般地，形如（，k、b是常數(shù)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)．根據(jù)一次函數(shù)的定義，正比例函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：當(dāng)函數(shù)是關(guān)于x的一次函數(shù)時(shí)，，且，解得；當(dāng)函數(shù)是關(guān)于x的正比例函數(shù)時(shí)，，，且，解得，．故答案為：，，0．2．（2022上·四川成都·八年級成都嘉祥外國語學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)是關(guān)于x的一次函數(shù)，則．【答案】【分析】該題主要考查了一次函數(shù)的定義，解答的關(guān)鍵是熟悉一次函數(shù)的定義；根據(jù)函數(shù)是一次函數(shù)，得出，進(jìn)行解答即可；【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：．故答案為：．【考點(diǎn)三畫一次函數(shù)的圖象】例題：（2023上·安徽滁州·八年級?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)請?jiān)谒o的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象．(2)結(jié)合所畫圖象，分別求出在函數(shù)圖象上滿足下列條件的點(diǎn)的坐標(biāo)：①橫坐標(biāo)是；②和軸的距離是2個(gè)單位長度．【答案】(1)見解析(2)①橫坐標(biāo)是的點(diǎn)是；②和軸的距離是2個(gè)單位長度的點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】本題考查了畫一次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)解析式先求出函數(shù)與軸、軸的交點(diǎn)，即可畫出圖象；（2）①將代入解析式進(jìn)行計(jì)算求出的值即可；②由和軸的距離是2個(gè)單位長度得出或，分別代入計(jì)算，求出的值即可．【詳解】（1）解：在函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，，則過，當(dāng)時(shí)，，解得：，則過，畫出該函數(shù)圖象如圖所示：；（2）解：①當(dāng)時(shí)，，橫坐標(biāo)是的點(diǎn)是；②和軸的距離是2個(gè)單位長度，或，當(dāng)時(shí)，，解得：，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，解得：，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上所述，和軸的距離是2個(gè)單位長度的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·福建漳州·八年級福建省漳州第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，一次函數(shù)的圖像分別與軸，軸交于點(diǎn)A，B．(1)請直接寫出兩點(diǎn)坐標(biāo)：A：__________，B：__________；(2)在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象（不用列表，直接描點(diǎn)、連線）；(3)點(diǎn)是一次函數(shù)上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，勾股定理．（1）根據(jù)題目即可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)（1）中A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可畫出函數(shù)圖象；（3）先利用勾股定理求出，當(dāng)與一次函數(shù)垂直時(shí)，有最小值，再根據(jù)等面積法，即可求出的最短距離．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：；（2）解：由（1）得：A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴函數(shù)圖象如圖所示：（3）解：如圖所示，當(dāng)與一次函數(shù)垂直時(shí)，有最小值，此時(shí)，，，，，，故答案為：．2．（2023上·寧夏銀川·八年級銀川唐徠回民中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)回答下列問題：(1)畫出函數(shù)的圖象；當(dāng)_________時(shí)，．(2)設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，求出的面積．(3)直線上是否存在一點(diǎn)（與不重合），使的面積等于8？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)圖象見解析，(2)4(3)存在，點(diǎn)C的坐標(biāo)為或【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)的性質(zhì)，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)并畫出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，描點(diǎn)、連線，即可畫出一次函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)圖象，即可得出當(dāng)時(shí)，；（2）由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)可得出，的長，再利用三角形的面積計(jì)算公式，即可求出的面積；（3）設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a，根據(jù)題意可得：，得出，再分別求出C點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得：，描點(diǎn)、連線，畫出函數(shù)圖象，如圖所示．由圖象可知：當(dāng)時(shí)，．故答案為：；（2）解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴，，的面積為；（3）存在點(diǎn)，使的面積等于8，理由如下：設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a，根據(jù)題意可得：，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為：或．【考點(diǎn)四一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)】例題：（2023上·廣東深圳·八年級校考期中）下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（

）A．圖象經(jīng)過點(diǎn)B．點(diǎn)，在該函數(shù)圖象上，若，則C．將函數(shù)圖象向下平移2個(gè)單位長度后，經(jīng)過點(diǎn)D．圖象不經(jīng)過第四象限【答案】C【分析】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可判斷A，根據(jù)一次函數(shù)的增減性可判斷B，根據(jù)一次函數(shù)圖象的平移可判斷C，根據(jù)一次函數(shù)系數(shù)與經(jīng)過的象限的關(guān)系可判斷D，熟記一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，，故圖象經(jīng)過點(diǎn)，故本選項(xiàng)正確，不合題意；B、函數(shù)中，，隨的增大而增大，∵，，故本選項(xiàng)正確，不合題意；C、根據(jù)平移的規(guī)律，函數(shù)的圖象向下平移2個(gè)單位長度得解析式為，所以當(dāng)時(shí)，，則圖象經(jīng)過點(diǎn)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D、，，，函數(shù)經(jīng)過第一，二，三象限，不經(jīng)過第四象限，故本選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：C．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·廣西南寧·八年級?？茧A段練習(xí)）對于一次函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．圖象不經(jīng)過第三象限 B．當(dāng)時(shí)，C．圖象由直線向上平移2個(gè)單位長度得到 D．圖象與x軸交于點(diǎn)【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵一次函數(shù)解析式為，∴圖象經(jīng)過第一、二、三象限，故A不符合題意；當(dāng)時(shí)，，故B不符合題意；直線向上平移2個(gè)單位得到的新解析式為，故C符合題意；對于，令，則，∴圖象與x軸交于點(diǎn)，故D不符合題意．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2023上·安徽六安·八年級?？茧A段練習(xí)）一次函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．若兩點(diǎn)A()，B()在該函數(shù)圖象上，且，則B．函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限C．函數(shù)的圖象向下平移4個(gè)單位長度得到的圖象D．函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是【答案】D【分析】分別根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象平移的法則進(jìn)行解答即可．【詳解】A、因?yàn)橐淮魏瘮?shù)中，因此函數(shù)值隨x的增大而減小，故A選項(xiàng)正確；B、因?yàn)橐淮魏瘮?shù)中，，因此此函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限，故B選項(xiàng)正確；C、由“上加下減”的原則可知，函數(shù)的圖象向下平移4個(gè)單位長度得的圖象，故C選項(xiàng)正確；D、令，則，因此函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)及一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知一次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五根據(jù)一次函數(shù)經(jīng)過的象限求參數(shù)問題】例題：（2023上·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第象限．【答案】四/4【分析】本題考查一次函數(shù)解析式及其性質(zhì)，根據(jù)一次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到即可得出該函數(shù)的圖象經(jīng)過哪幾個(gè)象限，不經(jīng)過哪個(gè)象限．【詳解】解：∵一次函數(shù)，，∴一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，故答案為：四．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·內(nèi)蒙古包頭·八年級?？计谥校┮淮魏瘮?shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，則m的取值范圍是．【答案】/【分析】本題主要考查一次函數(shù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置與k、b的關(guān)系．解答本題注意理解：直線所在的位置與k、b的符號(hào)有直接的關(guān)系．時(shí)，直線必經(jīng)過一、三象限．時(shí)，直線必經(jīng)過二、四象限．時(shí)，直線與y軸正半軸相交．時(shí)，直線過原點(diǎn)；時(shí)，直線與y軸負(fù)半軸相交．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，∴，解得：，故答案為：．2．（2024上·陜西西安·八年級西安市第二十六中學(xué)校聯(lián)考期末）已知直線經(jīng)過第二、四象限，則直線不經(jīng)過第象限．【答案】三【分析】本題考查正比例函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)，先利用正比例函數(shù)的性質(zhì)得到，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．熟練掌握相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵直線經(jīng)過第二、四象限，∴，∴，又∵，∴直線經(jīng)過第一、二、四象限，即直線不經(jīng)過第三象限．故答案為：三．【考點(diǎn)六根據(jù)一次函數(shù)的增減性求參數(shù)問題】例題：（2024上·陜西西安·八年級統(tǒng)考期末）在一次函數(shù)中，隨的增大而減小，則m的值可以是．（寫出一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)隨的增大而減小，則，據(jù)此寫出的值即可，答案不唯一．解題的關(guān)鍵是掌握：一次函數(shù)中，若，則隨的增大而增大；若，則隨的增大而減小，反過來也成立．【詳解】解：∵在一次函數(shù)中，隨的增大而減小，∴，不妨設(shè)，∴的值可以是．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·江蘇徐州·八年級?？茧A段練習(xí)）一次函數(shù)中，若y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是．【答案】/【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．在一次函數(shù)中，函數(shù)值y隨x的增大而減??；函數(shù)值y隨x的增大而增大．當(dāng)時(shí)，直線中y的值隨x的增大而增大．通過解不等式來求m的取值范圍．【詳解】解：∵直線中y的值隨x的增大而減小，，解得，．故答案為：．2．（2024上·江蘇·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y）若一次函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而增大，且函數(shù)的圖像不經(jīng)過第二象限，則k的取值范圍是【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握當(dāng)k大于零時(shí)，函數(shù)值隨x的增大而增大；圖像與y軸的交點(diǎn)不高于原點(diǎn)，列式計(jì)算即可．【詳解】∵一次函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而增大，且函數(shù)的圖像不經(jīng)過第二象限，∴，解得，故答案為：．【考點(diǎn)七一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題】例題：（2023上·陜西咸陽·八年級校考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)是．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟記“一次函數(shù)與軸有交點(diǎn)時(shí)函數(shù)值y為0”【詳解】解：當(dāng)與軸有交點(diǎn)時(shí)，，有，解得：．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·海南?？凇ぞ拍昙壓Ｄ现袑W(xué)校考階段練習(xí)）一次函數(shù)與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式為，求出當(dāng)時(shí)，的值，得出與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；求出當(dāng)時(shí)，的值，得出與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)解析式為，∴當(dāng)時(shí)，則，解得：，當(dāng)時(shí)，則，∴一次函數(shù)與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，明白坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·福建福州·八年級福建省福州格致中學(xué)?？计谥校┲本€與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是；與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是；與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為．【答案】【分析】分別令，，求出直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是；與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，即可求解．【詳解】解：令，，令，，解得：，∴直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是；與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，∴與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為．故答案為：；；【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知一次函數(shù)函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．另外要記住一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積計(jì)算公式．【考點(diǎn)八兩個(gè)一次函數(shù)圖象共存問題】例題：（2023上·陜西西安·八年級統(tǒng)考期末）直線與直線在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是圖中（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了根據(jù)一次函數(shù)解析式判斷其經(jīng)過的象限，對于一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，圖象必過一、三象限；當(dāng)時(shí)，圖象必過二、四象限；當(dāng)時(shí)，圖象必過一、二象限；當(dāng)時(shí)，圖象必過三、四象限；熟記相關(guān)結(jié)論即可求解．【詳解】解：若，則，此時(shí)直線經(jīng)過一、二、四象限；直線經(jīng)過一、三象限；無此種情況的選項(xiàng)；若，則，此時(shí)直線經(jīng)過一、三、四象限；直線經(jīng)過二、四象限；選項(xiàng)B符合題意；故選：B【變式訓(xùn)練】1．（2024上·重慶沙坪壩·八年級重慶一中?？计谀┮淮魏瘮?shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖像可能為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】本題考查一次函數(shù)的圖像，根據(jù)函數(shù)圖像所在象限可判斷出，的取值范圍．一次函數(shù)圖像的性質(zhì)：當(dāng)，時(shí)，圖像經(jīng)過一、二、三象限；當(dāng)，時(shí)，圖像經(jīng)過一、三、四象限；當(dāng)，時(shí)，圖像經(jīng)過二、三、四象限；當(dāng)，時(shí)，圖像經(jīng)過一、二、四象限．通過分類討論，的正負(fù)情況解題是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A．由圖像知：中的，，中的，，故此選項(xiàng)不符合題意；B．由圖像知：中的，，中的，，故此選項(xiàng)符合題意；C．由圖像知：中的，，中的，，故此選項(xiàng)不符合題意；D．由圖像知：中的，，中的，，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．2．（2023上·遼寧鐵嶺·八年級統(tǒng)考期末）下列圖形中，表示一次函數(shù)與正比例函數(shù)（m、n為常數(shù)，且）的圖象的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；根據(jù)一次函數(shù)圖象的升降及直線與y軸交點(diǎn)的位置即可確定m、n的符號(hào)，從而確定的符號(hào)，再與正比例函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)比較．【詳解】解：A、由一次函數(shù)圖象知，，則，由正比例函數(shù)圖象知，，故正確；B、由一次函數(shù)圖象知，，則，由正比例函數(shù)圖象知，，矛盾，故不正確；C、由一次函數(shù)圖象知，，則，由正比例函數(shù)圖象知，，矛盾，故不正確；D、由一次函數(shù)圖象知，，則，由正比例函數(shù)圖象知，，矛盾，故不正確；故選：A．【考點(diǎn)九一次函數(shù)中的規(guī)律探究問題】例題：（2024上·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，…都在x軸上，點(diǎn)，，…都在直線上，，，，，…都是等腰直角三角形，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．由得到點(diǎn)B1的坐標(biāo)，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再一次類推得到點(diǎn)Bn的坐標(biāo)．【詳解】解：∵，點(diǎn)在直線上，∴，∴，即，∴或（舍去），∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵是等腰直角三角形，∴，，∵為等腰直角三角形，∴，∴，同理可得，，，…，．故答案為：，．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·四川成都·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，，……，都是等腰直角三角形，點(diǎn)B，，，，…，都在x軸上，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A，，，，…，都在直線l：上，點(diǎn)C在y軸上，軸，軸，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用，規(guī)律型問題等知識(shí)．分別求出，，，，……，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，根據(jù)題意得：點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∵是等腰直角三角形，∴可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理點(diǎn)的坐標(biāo)為，……點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：；2．（2022上·貴州貴陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，以為邊作正方形，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，以為邊作正方形，按此規(guī)律進(jìn)行，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】先根據(jù)一次函數(shù)方程式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出、的坐標(biāo)，以此類推總結(jié)規(guī)律便可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：直線，點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)作x軸的垂線交直線于點(diǎn)，可知點(diǎn)的坐標(biāo)為；∴以為邊作正方形，則，∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，根據(jù)這種方法可求得的坐標(biāo)為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，以此類推便可求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，做題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，是各地的中考熱點(diǎn)，學(xué)生在平常要多加訓(xùn)練，屬于中檔題．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2024上·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）下列各點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．求得當(dāng)時(shí)，x的值，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：觀察四個(gè)選項(xiàng)，四個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是3，當(dāng)時(shí)，，解得，∴點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，故A選項(xiàng)符合題意；故選：A．2．（2023上·江蘇淮安·八年級淮安市浦東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)（1）（2）

（3）

（4）

（5）中一次函數(shù)有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】本題考查的是一次函數(shù)的定義，解決本題的關(guān)鍵是明確一次函數(shù)的定義，一般地，形如(，k，b是常數(shù))的函數(shù)，叫做一次函數(shù)．利用一次函數(shù)的定義分析得出即可．【詳解】解：（1）是一次函數(shù)，符合題意；（2）是一次函數(shù)，符合題意；（3）中不是整式，不是一次函數(shù)，不符合題意；（4）是一次函數(shù)，符合題意；（5）的自變量的次數(shù)是2，不是一次函數(shù)，不符合題意；故是一次函數(shù)的有3個(gè)．故選：B．3．（2024上·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期末）一次函數(shù)中，若隨的增大而減小，則的值可能是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，隨的增大而減小，則，由此得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：一次函數(shù)中，若隨的增大而減小，，，故選：．4．（2023上·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了正比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象；分和，分別根據(jù)正比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系判斷即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)過二、四象限，函數(shù)過一、二、三象限，選項(xiàng)B中函數(shù)圖象符合；當(dāng)時(shí)，函數(shù)過一、三象限，函數(shù)過一、三、四象限，均不符合；故選：B．5．（2023上·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）關(guān)于一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，下列說法中不正確的是（

）A．y隨x的增大而增大B．當(dāng)時(shí)，該圖像與函數(shù)的圖像是兩條平行線C．若圖像不經(jīng)過第四象限，則D．不論m取何值，圖像都經(jīng)過第一、三象限【答案】C【分析】本題考查了一次函數(shù)的增減性以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．兩條直線的平行問題：若直線與直線平行，那么．根據(jù)一次函數(shù)的增減性判斷A；根據(jù)兩條直線平行時(shí)，k值相同而b值不相同判斷B；根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系判斷C、D．【詳解】解：A、一次函數(shù)中，∵，∴y隨x的增大而增大，故本選項(xiàng)說法正確；B、當(dāng)時(shí)，，一次函數(shù)與的圖象是兩條平行線，故本選項(xiàng)說法正確；C、若圖象不經(jīng)過第四象限，則經(jīng)過第一、三象限或第一、二、三象限，，即，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤；D、一次函數(shù)中，∵，∴不論m取何值，圖象都經(jīng)過第一、三象限，故本選項(xiàng)說法正確．故選：C．二、填空題6．（2024上·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第象限．【答案】四【分析】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：一次函數(shù)中，∵，∴時(shí)函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、三象限，時(shí)函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限，不經(jīng)過第四象限．故答案為：四．7．（2023上·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）對于任意實(shí)數(shù)m，一次函數(shù)的圖像必過定點(diǎn)．【答案】【分析】本題考查了函數(shù)恒過定點(diǎn)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．把函數(shù)化為，令m的系數(shù)等于0，即可求得對應(yīng)的值．【詳解】解：∵一次函數(shù)‘∴可化為令，則，故，∴函數(shù)的圖象必過定點(diǎn)．故答案為：．8．（2024上·江蘇揚(yáng)州·八年級校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則．【答案】2024【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，牢記“直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式”是解題的關(guān)鍵．利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可得出，再將其代入中，即可求出結(jié)論．【詳解】解：點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，，．故答案為：20249．（2023上·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限，且點(diǎn)，在該圖象上，則有（填“＞”“＜”或“＝”）．【答案】＞【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及一次函數(shù)的性質(zhì)．由一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限，利用一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，可得出，，利用一次函數(shù)的性質(zhì)，可得出隨的增大而減小，再結(jié)合，即可得出．【詳解】解：一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限，即一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限或一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，，，隨的增大而減小，又點(diǎn)，在一次函數(shù)的圖象上，且，．故答案為：．10．（2023上·山東東營·七年級統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)與的圖象如圖所示，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作平行于x軸交直線與點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于y軸交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于x軸交直線與點(diǎn)，，以此類推，則線段的長為．【答案】/【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)規(guī)律的探索，先根據(jù)題意求出，，，以此類推總結(jié)規(guī)律便可求出的長即可．【詳解】解：點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作平行于x軸交直線與點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于y軸交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于x軸交直線與點(diǎn)，，，，，以此類推，則線段的長為，故答案為：．三、解答題11．（2024上·安徽合肥·八年級?？计谀┮阎壤瘮?shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)．(1)求此正比例函數(shù)的解析式：(2)點(diǎn)是否在此函數(shù)圖像上？請說明理由；【答案】(1)(2)點(diǎn)不在此函數(shù)圖像上，理由見解析【分析】本題主要考查了求正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，求正比例函數(shù)值：（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）求出當(dāng)時(shí)y的值即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)此正比例函數(shù)的解析式為，把代入中得：，∴此正比例函數(shù)的解析式為；（2）解：點(diǎn)不在此函數(shù)圖像上，理由如下：在中，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)不在此函數(shù)圖像上．12．（2023上·江蘇揚(yáng)州·八年級校聯(lián)考期末）已知與成正比例，且時(shí)．(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用待定系數(shù)法建立函數(shù)解析式．（1）已知與成正比例，可設(shè)，把，代入求出k的值，從而可得函數(shù)解析式；（2）在解析式中，令求出x即可．【詳解】（1）解：因?yàn)榕c成正比例，所以可設(shè)，將代入，得，解得：，所以與之間的函數(shù)關(guān)系式為：，即；（2）解：將代入得：，解得：．13．（2024上·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是一次函數(shù)，(1)求的值；(2)該一次函數(shù)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【分析】（）根據(jù)一次函數(shù)的定義即可求解；（）分別求出當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)的值，即可求出的取值范圍；此題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解一次函數(shù)的定義及根據(jù)題意得出自變量的取值范圍是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）因?yàn)槭且淮魏瘮?shù)，所以，解得，因?yàn)?，所以；?）將代入得一次函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．14．（2023上·四川達(dá)州·八年級達(dá)州市高級中學(xué)?？计谥校┮阎淮魏瘮?shù)，求:(1)當(dāng)為何值時(shí)，y的值隨x的增加而增加；(2)當(dāng)、n為何值時(shí)，此一次函數(shù)也是正比例函數(shù)；(3)若求直線與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，y的值隨x的增加而增加(2)當(dāng)時(shí)，此一次函數(shù)也是正比例函數(shù)(3)【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)與解析式的系數(shù)的關(guān)系，圖象的畫法及性質(zhì)．（1）的值隨的增加而增加時(shí)，，求解即可；（2）一次函數(shù)為正比例函數(shù)時(shí)，，求解即可；（3）若，時(shí)，可確定一次函數(shù)解析式，再求函數(shù)圖象與軸、軸的交點(diǎn)．【詳解】（1）由題意得：，解得，

當(dāng)時(shí)，y的值隨x的增加而增加；（2）由題意得：且，解得當(dāng)時(shí)，此一次函數(shù)也是正比例函數(shù)；（3）若，，一次函數(shù)解析式為：，令，得，令，得，故函數(shù)圖象與軸、軸的交點(diǎn)為；15．（2023上·甘肅蘭州·八年級校考期中）已知一次函數(shù)．(1)求圖象與兩條坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，并在如圖的直角坐標(biāo)系中畫出它的圖象；(2)從圖象看，y隨著x的增大而增大，還是隨x的增大而減??？(3)x取何值時(shí)，．【答案】(1)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，圖象見解析；(2)y隨著x的增大而減?。?3)．【分析】本題考查的是一次函數(shù)的圖象，解答此題時(shí)要注意利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．（1）利用圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)求法，圖象與x軸相交，圖象與y軸相交，分別求出即可．根據(jù)交點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象即可；（2）直接根據(jù)函數(shù)的