福建省三明市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

準(zhǔn)考證號(hào)____________姓名____________（在此卷上答題無效）三明市2023-2024學(xué)年第一學(xué)期普通高中期末質(zhì)量檢測(cè)高一數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁．滿分150分．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)．考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答．在試題卷上作答，答案無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解一元二次不等式，再根據(jù)交集定義求交集.【詳解】由可得：或，即，因，故.故選：C.2.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意.故選：A.3.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)解析式判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間即可.【詳解】由題設(shè)，的定義域?yàn)榍覇握{(diào)遞增，又，，∴零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：C.4.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，若的終邊與圓心在原點(diǎn)的單位圓交于點(diǎn)，且為第二象限角，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由三角函數(shù)定義、平方關(guān)系以及角的范圍即可求解.【詳解】由題意，所以.故選：D.5.函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值是（）A.3 B. C.3或 D.5或【答案】D【解析】【分析】對(duì)于求解與分段函數(shù)有關(guān)的方程時(shí)，應(yīng)分段考慮再合并.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：；即實(shí)數(shù)的取值是5或.故選：D.6.函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，依次判斷函數(shù)的定義域，奇偶性，排除A,B項(xiàng)，對(duì)于C,D項(xiàng)，則可以借助于單位圓正弦線或者正弦函數(shù)的圖象判斷函數(shù)值的范圍即得.【詳解】由，函數(shù)的定義域?yàn)椋@然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由可知函數(shù)是偶函數(shù)，故排除A,B兩項(xiàng)；因當(dāng)時(shí)，，如圖，則，即，故排除D項(xiàng)，則C項(xiàng)正確.故選：C.7.2023年8月24日，日本政府無視國(guó)內(nèi)外反對(duì)呼聲，違背應(yīng)履行的國(guó)際義務(wù)，單方面強(qiáng)行啟動(dòng)福島核污染水排海．福島核污染水中的放射性元素“鍶90”的半衰期為30年，即“鍶90”含量每經(jīng)過30年衰減為原來的一半．若“鍶90”的剩余量不高于原有的8%，則至少經(jīng)過（參考數(shù)據(jù)：）（）A.110年 B.115年C.112年 D.120年【答案】A【解析】【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即可求解.【詳解】設(shè)至少經(jīng)過年（是正整數(shù)），“鍶90”的剩余量不高于原有的8%，原有“鍶90”含量為1，則，解得即，若“鍶90”的剩余量不高于原有的8%，則至少經(jīng)過110年.故選：A.8.“函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”的充要條件是“對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意，都有”．若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則函數(shù)與在內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.196 B.198 C.199 D.200【答案】B【解析】【分析】由題意首先得，進(jìn)一步，通過數(shù)形結(jié)合找規(guī)律即可得解.詳解】由題意，在中，不妨令，得，所以，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，所以所以，如圖所示：由于與都是奇函數(shù)，先考慮時(shí)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖可知時(shí)，與的交點(diǎn)分布在這49個(gè)區(qū)間內(nèi)，且每個(gè)區(qū)間內(nèi)都有2個(gè)交點(diǎn)，同理時(shí)，與的交點(diǎn)分布在這50個(gè)區(qū)間內(nèi)，且每個(gè)區(qū)間內(nèi)都有2個(gè)交點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)與在內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在由求參數(shù)時(shí)，可先通過令特殊的值代入表達(dá)式得到關(guān)于的方程組，進(jìn)一步解之并檢驗(yàn)，由此即可順利得解.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.若則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)和作差法逐項(xiàng)分析.【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋裕蔅錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：因?yàn)椋?，兩邊同乘，得到，故C對(duì)；選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以，故，D對(duì)；故選：CD10.下列說法正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)取值范圍為C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)镈.與表示同一個(gè)函數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A，掌握帶量詞的命題的否定規(guī)定易得；對(duì)于B，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時(shí)，需要考慮其為0的情況，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法即得參數(shù)范圍；對(duì)于C，湊項(xiàng)運(yùn)用基本不等式求解即得；對(duì)于D，同一函數(shù)應(yīng)從相同的定義域和對(duì)應(yīng)法則兩方面考慮.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，帶量詞的命題的否定，包括否定量詞和否定結(jié)論，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立包括兩種情況：①時(shí)，不等式為顯然恒成立；②時(shí)，恒成立等價(jià)于解之得：，綜上可得：數(shù)的取值范圍為，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即函數(shù)的值域?yàn)?，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，兩函數(shù)定義域都是R，但與的對(duì)應(yīng)法則不同，故兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.11.函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.圖象關(guān)于軸對(duì)稱 B.在上單調(diào)遞減C.的值域?yàn)?D.若，則的取值范圍為【答案】AD【解析】【分析】利用偶函數(shù)的定義可判斷A；根據(jù)定義域可判斷B；根據(jù)的范圍求出的值域可判斷C；根據(jù)的單調(diào)性可得，且，解不等式求出的范圍可判斷D.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以為偶函?shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以在上不具備單調(diào)性，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，若，則，且，解得，則的取值范圍為，故D正確.故選：AD.12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.是周期函數(shù)B.函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增C若，則D.不等式的解集為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式先考慮其定義域，奇偶性和周期性，然后研究函數(shù)的其他性質(zhì)只需考慮軸右側(cè)即可，對(duì)于C項(xiàng)，是通過舉反例說明其不成立的，而對(duì)于D項(xiàng)，則必須研究其一個(gè)周期上的圖像單調(diào)性，極值才能利用抽象函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解.【詳解】因可知函數(shù)定義域?yàn)镽，由可知函數(shù)為偶函數(shù)，且，故有一個(gè)為，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，由奇偶性知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因，，，則，但是，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，先求不等式在一個(gè)周期內(nèi)的解集，取區(qū)間，由不等式可得：，即：也即：(*),由B項(xiàng)知函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，因，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，同理函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，如圖.結(jié)合圖象，由（*）可得：，則在整個(gè)定義域上有，解得：，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查由三角函數(shù)與絕對(duì)值函數(shù)復(fù)合的函數(shù)的性質(zhì),屬于較難題.解決此類題的關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)式特點(diǎn)，從函數(shù)的定義域、奇偶性，周期性入手探究，在具有奇偶性，周期性前提下，使單調(diào)性判斷只需在小范圍上考查即可，同時(shí)，常常還需要根據(jù)性質(zhì)作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行推理計(jì)算.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)即可求出函數(shù)的解析式，然后將代入即可求解.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，則，所以，則，故答案為：.14.函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【解析】【分析】解指數(shù)不等式結(jié)合分式有意義的條件即可得解.【詳解】由題意，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.15.中國(guó)折扇有著深厚的文化底蘊(yùn)，這類折扇上的扇環(huán)部分的作品構(gòu)思奇巧，顯出清新雅致的特點(diǎn)．已知某扇形的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線的長(zhǎng)為50cm，內(nèi)弧線的長(zhǎng)為15cm，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段的長(zhǎng)均為14cm，則該扇環(huán)的面積為______．【答案】455【解析】【分析】由扇環(huán)補(bǔ)形成兩個(gè)扇形，設(shè)出扇形半徑和圓心角，通過扇形相關(guān)公式列出方程組，求解即得扇環(huán)面積.【詳解】如圖，作出包含扇環(huán)的兩個(gè)扇形和,依題意，的長(zhǎng)為50cm,的長(zhǎng)為15cm,cm,不妨設(shè)扇形的半徑為，則扇形的半徑為，設(shè)圓心角,則，解得：，于是扇環(huán)的面積為.故答案為：455.16.已知函數(shù)，若方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由題意對(duì)分類討論，并通過數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】題分析：令，已知函數(shù)，依題意與圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，與圖象有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象如圖所示，兩個(gè)函數(shù)圖象始終有2個(gè)交點(diǎn)，所以，符合題意．當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象如圖所示，因?yàn)?，，所以，，解得，所以，．綜上所述，的取值范圍為．故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在討論當(dāng)時(shí)，通過畫圖得出，由此即可順利得解.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知（1）求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果；（2）利用即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由誘導(dǎo)公式得：，所以．【小問2詳解】由（1）得，由，得．所以．18.集合，或，且．（1）求，的值；（2）若集合，且“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由是方程的根得，再結(jié)合已知條件解一元二次不等式得.（2）由充分不必要條件得集合的包含關(guān)系，進(jìn)一步分類討論列不等式組求解即可.【小問1詳解】因?yàn)椋颍允欠匠痰母?，所以．由可得或，所以或，又因?yàn)?，或，所以，．【小?詳解】因?yàn)榛?，，所以，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集，當(dāng)時(shí)滿足題意，此時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)或，則，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．19.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：00200（1）根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)求函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；單調(diào)遞增區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，不難看出值和周期特征，易得值，代入一組對(duì)應(yīng)值與，易求出，再整體處理，計(jì)算得到遞增區(qū)間；（2）先根據(jù)三角伸縮平移變換并化簡(jiǎn)得到，將方程有根問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象在給定區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題解決.【小問1詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以．由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問2詳解】將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到，再將圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則如圖，當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)，的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，故可得：．20.某地區(qū)不同身高未成年男性體重平均值如下表：身高8090100110120130140150160170體重10121517202731455067根據(jù)表中數(shù)據(jù)及散點(diǎn)圖，為了能近似地反映該地區(qū)未成年男性平均體重與身高的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型提供選擇：①，②，③（1）你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型是哪個(gè)（說明理由）？并利用，，這三組數(shù)據(jù)求出此函數(shù)模型的解析式；（2）若某男性體重超過同一地區(qū)相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么該地區(qū)一名身高為164cm，體重為62kg的未成年男性的體重是否正常？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）選擇模型①，理由見解析，（2）正?！窘馕觥俊痉治觥浚?）根據(jù)散點(diǎn)圖和表中的數(shù)據(jù)特征確定應(yīng)選擇模型①，代入三組值，解一個(gè)三元方程組即得函數(shù)模型的解析式；（2）依題意，根據(jù)該男性的身高代入解析式算出對(duì)應(yīng)的體重平均值，結(jié)合其實(shí)際體重與平均體重的比值進(jìn)行判斷即可.【小問1詳解】選擇模型①，因?yàn)轶w重隨著身高的增大而增大，并且增長(zhǎng)的速度越來越快，屬于指數(shù)爆炸性增長(zhǎng)模型．把，，這三組數(shù)據(jù)分別代入，可得（Ⅰ）消去，可得：（Ⅱ）將兩式相除可得：，將其代入（Ⅰ）式，可得：解得：，故．【小問2詳解】由（1）得，所以，當(dāng)時(shí)，由可得：，所以，所以，因，故該未成年男性的體重正常．21.已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由偶函數(shù)定義得恒等式，化簡(jiǎn)變形即可求解.（2）首先通過換元法得，進(jìn)一步，由此即可得解.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所?【小問2詳解】由（1）可知，令，因?yàn)椋瑒t，所以，存在，使得成立，則，所以，則，又因?yàn)?，則，所以，所以的取值范圍為．22.已知函數(shù)，．（1）若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，若，，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）