2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.2.2.1函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值學(xué)案含解析新人教B版選擇性必修第三冊(cè)

PAGE6.2.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值新版課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求1.借助函數(shù)的圖象,了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件2.能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、微小值以及給定閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大值、最小值3.體會(huì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最大(小)值的關(guān)系1.借助教材實(shí)例了解函數(shù)的極值及相關(guān)的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)極值.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.能利用導(dǎo)數(shù)求給定區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最值.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4.體會(huì)導(dǎo)數(shù)在求極值、最值中的應(yīng)用.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)第1課時(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值必備學(xué)問·素養(yǎng)奠基1.極值點(diǎn)與極值1.一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,設(shè)x0∈D,假如對(duì)于x0旁邊的隨意不同于x0的x,都有(1)f(x)<f(x0),則稱x0為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn),且f(x)在x0處取極大值;(2)f(x)>f(x0),則稱x0為函數(shù)f(x)的一個(gè)微小值點(diǎn),且f(x)在x0處取微小值.(1)函數(shù)的微小值點(diǎn)是點(diǎn)嗎?提示:函數(shù)的微小值點(diǎn)不是點(diǎn),它是函數(shù)微小值對(duì)應(yīng)的自變量的值.(2)函數(shù)的微小值唯一嗎?提示:不肯定,有的函數(shù)無微小值,有的函數(shù)有唯一一個(gè)微小值,有的函數(shù)有多個(gè)微小值.(3)函數(shù)的極大值肯定大于它的微小值嗎?提示:不肯定.2.極值點(diǎn)、極值的定義(1)微小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).(2)微小值、極大值統(tǒng)稱為極值.極值點(diǎn)的分布有什么規(guī)律嗎?提示:有規(guī)律.假如函數(shù)y=f(x)既有極大值又有微小值,那么①函數(shù)y=f(x)在極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0;②極大值點(diǎn)與微小值點(diǎn)交替出現(xiàn),相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間肯定有一個(gè)微小值點(diǎn),相鄰兩個(gè)微小值點(diǎn)之間肯定有一個(gè)極大值點(diǎn).3.求函數(shù)y=f(x)極值的方法(1)一般地,假如x0是y=f(x)的極值點(diǎn),且f(x)在x0處可導(dǎo),則必有f′(x0)=0,若f′(x0)=0存在,則“f′(x0)=0”是“x0是y=f(x)的極值點(diǎn)”的必要條件(2)一般地,設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)且f′(x0)=0①假如對(duì)于x0左側(cè)旁邊的隨意x,都有f′(x)>0;對(duì)于x0右側(cè)旁邊的隨意x,都有f′(x)<0,那么此時(shí)x0是f(x)的極大值點(diǎn);②假如對(duì)于x0左側(cè)旁邊的隨意x,都有f′(x)<0;對(duì)于x0右側(cè)旁邊的隨意x,都有f′(x)>0,那么此時(shí)x0是f(x)的微小值點(diǎn);③假如f′(x)在x0的左側(cè)旁邊與右側(cè)旁邊均為正號(hào)(或均為負(fù)號(hào)),則x0肯定不是y=f(x)的極值點(diǎn).1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)肯定是函數(shù)的極值點(diǎn). ()(2)函數(shù)的微小值肯定小于它的極大值. ()(3)函數(shù)在定義域內(nèi)有一個(gè)極大值和一個(gè)微小值. ()(4)若f(x)在(a,b)內(nèi)有極值,那么f(x)在(a,b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù). ()提示:(1)×.導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)不肯定是函數(shù)的極值點(diǎn).(2)×.有的函數(shù)的某個(gè)微小值大于它的某個(gè)極大值.(3)×.有的函數(shù)只有一個(gè)極大值或微小值;有的函數(shù)有一個(gè)極大值和一個(gè)微小值;有的函數(shù)有多個(gè)微小值和極大值;也有的函數(shù)無極值.(4)√.若f(x)在(a,b)內(nèi)有極值,那么f(x)極值點(diǎn)的兩側(cè)旁邊其單調(diào)性肯定相反,所以它在(a,b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).2.函數(shù)y=1+3x-x3有 ()A.微小值-2,極大值2 B.微小值-2,極大值3C.微小值-1,極大值1 D.微小值-1,極大值3【解析】選D.y′=3-3x2=3(1+x)(1-x).令y′=0得x1=-1,x2=1.當(dāng)x<-1時(shí),y′<0,函數(shù)y=1+3x-x3是減函數(shù);當(dāng)-1<x<1時(shí),y′>0,函數(shù)y=1+3x-x3是增函數(shù);當(dāng)x>1時(shí),y′<0,函數(shù)y=1+3x-x3是減函數(shù).所以當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)y=1+3x-x3有微小值-1;當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)y=1+3x-x3有極大值3.3.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=4x3-4x,且f(x)的圖象過點(diǎn)(1,-6),當(dāng)函數(shù)f(x)取得極大值-5時(shí),x的值應(yīng)為 ()A.1 B.0 C.-5 【解析】選B.設(shè)f(x)=x4-2x2+c,又f(x)的圖象過點(diǎn)(1,-6),所以c=-5.故f(x)=x4-2x2-5.又當(dāng)f′(x)=0時(shí),x=0或1或-1,所以當(dāng)函數(shù)f(x)取得極大值-5,即f(x)=-5時(shí),x=0.關(guān)鍵實(shí)力·素養(yǎng)形成類型一求函數(shù)的極值(點(diǎn))【典例】1.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且函數(shù)y=(1-x)f′(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中肯定成立的是 ()A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和微小值f(1)B.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和微小值f(1)C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和微小值f(-2)D.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和微小值f(2)2.設(shè)函數(shù)f(x)=xex,則 ()A.x=1為f(x)的極大值點(diǎn)B.x=1為f(x)的微小值點(diǎn)C.x=-1為f(x)的極大值點(diǎn)D.x=-1為f(x)的微小值點(diǎn)【思維·引】1.結(jié)合圖象推斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào),找出函數(shù)的極值點(diǎn)及極值.2.求導(dǎo),利用極值的定義求解.【解析】1.選D.由函數(shù)的圖象可知,f′(-2)=0,f′(2)=0,并且當(dāng)x<-2時(shí),f′(x)>0;當(dāng)-2<x<1時(shí),f′(x)<0,則函數(shù)f(x)有極大值f(-2).又當(dāng)1<x<2時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x>2時(shí),f′(x)>0,則函數(shù)f(x)有微小值f(2).2.選D.因?yàn)閒(x)=xex,所以f′(x)=ex+xex=ex(1+x).當(dāng)f′(x)≥0,即ex(1+x)≥0時(shí),解得x≥-1,所以當(dāng)x≥-1時(shí),函數(shù)f(x)為增函數(shù).同理可得,當(dāng)x<-1時(shí),函數(shù)f(x)為減函數(shù).所以當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)f(x)取得微小值.【內(nèi)化·悟】函數(shù)的極值點(diǎn)滿意的條件是什么?提示:(1)導(dǎo)數(shù)為0.(2)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào).【類題·通】函數(shù)極值和極值點(diǎn)的求解步驟(1)確定函數(shù)的定義域.(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用方程f′(x)=0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小開區(qū)間,并列成表格.(4)由f′(x)在方程f′(x)=0的根左右的符號(hào),來推斷f(x)在這個(gè)根處取極值的狀況.提示:當(dāng)實(shí)數(shù)根較多時(shí),要充分利用表格,使極值點(diǎn)的確定一目了然.【習(xí)練·破】(2024·平頂山高二檢測(cè))函數(shù)f(x)=-x2-2lnx+5x的極大值是 ()A.6-ln2 B.6-ln4C.QUOTE+ln4 D.QUOTE【解析】選B.函數(shù)定義域?yàn)?0,+∞),且f′(x)=-2x-QUOTE+5=QUOTE=QUOTE,令f′(x)=QUOTE=0,則x1=QUOTE,x2=2.當(dāng)x∈QUOTE時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈QUOTE時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f′(x)<0.所以函數(shù)f(x)=-x2-2lnx+5x的極大值為f(2)=6-2ln2=6-ln4.類型二與參數(shù)相關(guān)的極值問題【典例】1.若函數(shù)f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)內(nèi)有微小值,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.

2.函數(shù)f(x)=x3+mx2+x+1在R上無極值點(diǎn),則m的取值范圍是________.

【思維·引】1.求出微小值點(diǎn),令其在(0,1)內(nèi),求b的范圍.2.f′(x)≥0恒成立.【解析】1.f′(x)=3x2-6b.當(dāng)b≤0時(shí),f′(x)≥0恒成立,函數(shù)f(x)無極值.當(dāng)b>0時(shí),令3x2-6b=0得x=±QUOTE.由函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)有微小值,可得0<QUOTE<1,解得0<b<QUOTE.答案:QUOTE2.因?yàn)閒′(x)=3x2+2mx+1,f(x)=x3+mx2+x+1在R上無極值點(diǎn),所以f′(x)≥0對(duì)x∈R恒成立,所以Δ=(2m)2-4×3×1≤0?-QUOTE≤m≤QUOTE.答案:[-QUOTE,QUOTE]【內(nèi)化·悟】解決與參數(shù)相關(guān)的極值問題的范圍的關(guān)鍵是什么?提示:依據(jù)極值條件列不等式(組).【類題·通】已知函數(shù)的極值狀況求參數(shù)時(shí)的留意問題(1)待定系數(shù)法:常依據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩條件列出方程組,用待定系數(shù)法求解.(2)驗(yàn)證:因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值為0不肯定此點(diǎn)就是極值點(diǎn),故利用上述方程組解出的解必需驗(yàn)證.【習(xí)練·破】1.設(shè)a∈R,若函數(shù)y=x+alnx在區(qū)間QUOTE上有極值點(diǎn),則a的取值范圍為()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE∪(e,+∞)D.(-∞,-e)∪QUOTE【解析】選B.函數(shù)y=f(x)=x+alnx在區(qū)間QUOTE上有極值點(diǎn)?y′=0在區(qū)間QUOTE上有零點(diǎn).f′(x)=1+QUOTE=QUOTE(x>0).所以f′QUOTE·f′(e)<0,所以QUOTE(e+a)<0,解得-e<a<-QUOTE.所以a的取值范圍為QUOTE.2.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和微小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.

【解析】由題意知f′(x)=3x2+2ax+a+6=0有兩個(gè)不等實(shí)根,所以Δ=4a2-12(a+6)>0,解得a<-3或a>6.答案:(-∞,-3)∪(6,+∞)【加練·固】已知函數(shù)f(x)=2x3+3(a+2)x2+3ax的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1,x2,且x1x2=2,則a=________.

【解析】f′(x)=6x2+6(a+2)x+3a.因?yàn)閤1,x2是f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),所以f′(x1)=f′(x2)=0,即x1,x2是6x2+6(a+2)x+3a=0的兩個(gè)根,從而x1x2=QUOTE=2,解得a=4.答案:4類型三函數(shù)極值的綜合問題角度1已知極值點(diǎn)求參數(shù)的值【典例】已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1時(shí)取得極值,且f(1)=-1.(1)試求常數(shù)a,b,c的值.(2)試推斷x=±1是函數(shù)的微小值點(diǎn)還是極大值點(diǎn),并說明理由.【思維·引】(1)x=±1是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),結(jié)合f(1)=-1列方程組,求a,b,c的值.(2)求導(dǎo),確定極大值點(diǎn)還是微小值點(diǎn).【解析】(1)f′(x)=3ax2+2bx+c,由f′(-1)=f′(1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0.又f(1)=-1,即a+b+c=-1.解得a=QUOTE,b=0,c=-QUOTE.(2)f(x)=QUOTEx3-QUOTEx,所以f′(x)=QUOTEx2-QUOTE=QUOTE(x-1)(x+1);當(dāng)x<-1或x>1時(shí),f′(x)>0;當(dāng)-1<x<1時(shí),f′(x)<0.所以函數(shù)f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上為增函數(shù),在(-1,1)上為減函數(shù).所以當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)取得極大值f(-1)=1,x=-1是極大值點(diǎn);當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得微小值f(1)=-1,x=1是微小值點(diǎn).角度2求含參數(shù)的函數(shù)極值【典例】已知函數(shù)f(x)=x-alnx(a∈R).(1)當(dāng)a=2時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程.(2)求函數(shù)f(x)的極值.【思維·引】(1)求導(dǎo),點(diǎn)斜式求切線方程.(2)求導(dǎo),對(duì)a探討推斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)求極值.【解析】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=1-QUOTE.(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x-2lnx,f′(x)=1-QUOTE(x>0),則f(1)=1,f′(1)=-1,故y=f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程為y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f′(x)=1-QUOTE=QUOTE,x>0可知:①當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)為(0,+∞)上的增函數(shù),函數(shù)f(x)無極值;②當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)=0,解得x=a.當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),f′(x)>0.故f(x)在x=a處取得微小值,且微小值為f(a)=a-alna,無極大值.綜上,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)無極值;當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)在x=a處取得微小值a-alna,無極大值.【類題·通】1.三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有極值的充要條件三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有極值?導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3ax2+2bx+c=0的判別式Δ=4b2-12ac>0.2.三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)單調(diào)性與極值(設(shè)x1<x2)(1)當(dāng)Δ≤0時(shí),①若a>0,則f(x)在R上是增函數(shù);②若a<0,則f(x)在R上是減函數(shù).(2)當(dāng)Δ>0時(shí),①若a>0,則f(x)的增區(qū)間為(-∞,x1)和(x2,+∞),減區(qū)間為(x1,x2),f(x1)為極大值,f(x2)為微小值;②若a<0,則f(x)的減區(qū)間為(-∞,x1)和(x2,+∞),增區(qū)間為(x1,x2),f(x1)為微小值,f(x2)為極大值.(如圖所示)Δ>0Δ≤0a>0a<0【習(xí)練·破】(2024·平谷高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=QUOTE,其中a∈R.(1)當(dāng)a=0時(shí),求f(x)在(1,f(1))處的切線方程;(2)求證:f(x)的極大值恒大于0.【解析】(1)f′(x)=QUOTE=QUOTE,當(dāng)a=0時(shí),f′(1)=QUOTE,f(1)=QUOTE,則f(x)在(1,f(1))處的切線方程為y=QUOTEx.(2)令f′(x)=0,解得x=2或x=-a,①當(dāng)a=-2時(shí),f′(x)≤0恒成立,此時(shí)函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)無極值;②當(dāng)a>-2時(shí),令f′(x)>0,解得-a<x<2,令f′(x)<0,解得x<-a或x>2,所以函數(shù)f(x)在(-a,2)上單調(diào)遞增,在(-∞,-a),(2,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)極大值=f(2)=QUOTE>0;③當(dāng)a<-2時(shí),令f′(x)>0,解得2<x<-a,令f′(x)<0,解得x<2或x>-a,所以函數(shù)f(x)在(2,-a)上單調(diào)遞增,在(-∞,2),(-a,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)極大值=f(-a)=QUOTE>0,綜上,函數(shù)f(x)的極大值恒大于0.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有微小值點(diǎn)()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【解析】選A.微小值點(diǎn)應(yīng)有先減后增的特點(diǎn)