北京市第十八中學(xué)2024-2025學(xué)年 九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年北京十八中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個。1．（2分）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0，下列變形正確的是（）A．（x﹣2）2＝8 B．（x﹣2）2＝0 C．（x﹣2）2＝6 D．（x﹣2）2＝43．（2分）如圖，一塊含30°角的直角三角板ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到△A'B'C，當(dāng)B，C，A'在一條直線上時，三角板ABC的旋轉(zhuǎn)角度為（）A．150° B．120° C．60° D．30°4．（2分）拋物線y＝﹣（x+1）2+2的對稱軸是（）A．直線x＝1 B．直線x＝﹣1 C．直線x＝0 D．直線y＝15．（2分）如圖，點A、B、C都在⊙O上，若∠AOB＝72°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．18° B．30° C．36° D．72°6．（2分）如圖，AB是半圓O的直徑，點C，D在半圓O上．若∠ABC＝50°，則∠BDC的度數(shù)為（）A．120° B．130° C．140° D．150°7．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點為（1，0），則下列說法中不正確的是（）A．a(chǎn)＜0，c＜0 B．4a+b＝0 C．方程ax2+bx+c＝0的實數(shù)為x1＝1，x2＝3 D．不等式ax2+bx+c＜0的解集為1＜x＜38．（2分）如圖，點A，B在⊙O上，且點A，O，B不在同一條直線上，點P是⊙O上一個動點（點P不與點A，B重合），在點P運動的過程中，有如下四個結(jié)論：①恰好存在一點P，使得∠PAB＝90°；②若直線OP垂直于AB，則∠OAP＝∠OBP；③∠APB的大小始終不變．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點P（1，﹣2）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為．10．（2分）將y＝x2﹣2x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，則y＝．11．（2分）寫出一個二次函數(shù)，其圖象滿足：①開口向下；②與y軸交于點（0，2），這個二次函數(shù)的解析式可以是．12．（2分）⊙O的直徑為15cm，若圓心O與直線l的距離為7.5cm，則l與⊙O的位置關(guān)系是（填“相交”、“相切”或“相離”）．13．（2分）若點（0，a），（3，b）都在二次函數(shù)y＝（x﹣1）2的圖象上，則a與b的大小關(guān)系是：ab（填“＞”，“＜”或“＝”）．14．（2分）某公司8月份銷售額為200萬元，10月份銷售額為320萬元，求銷售額平均每月的增長率，設(shè)銷售額平均每月的增長率為x，則可列方程為．15．（2分）數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們想測出一個殘損輪子的半徑，小聰?shù)慕鉀Q方案如下：在輪子圓弧上任取兩點A，B，連接AB，再作出AB的垂直平分線，交AB于點C，交于點D，測出AB，CD的長度，即可計算得出輪子的半徑．現(xiàn)測出AB＝4cm，CD＝1cm，則輪子的半徑為cm．16．（2分）弧三角形，又叫萊洛三角形，是機械學(xué)家萊洛首先進(jìn)行研究的．弧三角形是這樣畫的：先畫正三角形，然后分別以三個頂點為圓心，其邊長為半徑畫弧得到的三角形．在大片的麥田或農(nóng)田中，由農(nóng)作物倒伏形成的幾何圖案被稱為“麥田怪圈”．圖1中的麥田怪圈主要由圓和弧三角形構(gòu)成，某研究小組根據(jù)照片嘗試在操場上繪制類似的圖形．如圖2，成員甲先借助繩子繞行一周畫出⊙O，再將⊙O三等分，得到A，B，C三點．接著，成員乙分別以A，B，C為圓心畫出圖中的弧三角形．研究小組在A，B，C，O四點中的某一點放置了監(jiān)測儀器，若將射線OB繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)，與⊙O交于點P，與弧三角形交于點Q，射線OB的旋轉(zhuǎn)角記為自變量x（單位：°，0≤x＜360），（如圖2）．P、Q到監(jiān)測儀器的距離分別記為y1和y2（單位：m），繪制出兩個函數(shù)的圖象（如圖3）．結(jié)合以上信息判斷，①⊙O的半徑為6m；②圖3中a的值為270；③當(dāng)x＝60時，y1取得最大值12；④監(jiān)測儀器放置在點A處．其中說法中錯誤的是.（填寫序號即可）三、解答題（本題共68分，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．18．（5分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一個根，求代數(shù)式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）的值．19．（5分）已知：A，B是直線l上的兩點．求作：△ABC，使得點C在直線l上方，且∠ACB＝150°．作法：①分別以A，B為圓心，AB長為半徑畫弧，在直線l下方交于點O；②以點O為圓心，OA長為半徑畫圓；③在劣弧上任取一點C（不與A，B重合），連接AC，BC．△ABC就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：在優(yōu)弧上任取一點M（不與A，B重合），連接AM，BM，OA，OB．∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等邊三角形．∴∠AOB＝60°．∵A，B，M在⊙O上，∴（）（填推理的依據(jù)）．∴∠AMB＝30°．∵四邊形ACBM內(nèi)接于⊙O．∴∠AMB+∠ACB＝180°（）（填推理的依據(jù)）．∴∠ACB＝150°20．（5分）已知一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表所示：x……﹣3﹣2﹣101……y……03430……（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）在直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖象；（3）結(jié)合圖象，直接寫出當(dāng)y＞0時，x的取值范圍．21．（5分）如圖，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝4，⊙O為△ABC的外接圓，求⊙O的半徑．22．（5分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）請選擇一個符合條件的m的值，并求此時方程的根．23．（6分）2023年第19屆杭州亞運會的舉辦帶熱了吉祥物“宸宸、琮琮和蓮蓮”的銷售．某網(wǎng)店經(jīng)營亞運會吉祥物玩偶禮盒裝，每盒進(jìn)價為30元．當(dāng)?shù)匚飪r部門規(guī)定，該禮盒銷售單價最高不能超過50元/盒．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該禮盒每周的銷量y（件）與銷售單價x（元）之間近似滿足函數(shù)關(guān)系：y＝﹣2x+180（30≤x≤50）．（1）設(shè)該網(wǎng)店每周銷售該禮盒所獲利潤為w（元），則w與x的函數(shù)關(guān)系式為；（2）求當(dāng)銷售單價為多少元時，該網(wǎng)店每周銷售該禮盒所獲利潤最大？最大利潤是多少元？24．（6分）如圖，⊙O的半徑OC與弦AB互相垂直，垂足為D，連接AC，OB．（1）求證：2∠A+∠B＝90°；（2）延長BO交⊙O于點E，過點E作⊙O的切線交BA的延長線于點F．若AC∥BE，EF＝4，求∠B的度數(shù)及AC的長．25．（6分）數(shù)學(xué)活動課上，老師提出一個探究問題：制作一個體積為10dm3，底面為正方形的長方體包裝盒（如圖1），當(dāng)?shù)酌孢呴L為多少時，需要的材料最?。ǖ酌孢呴L不超過3dm，且不考慮接縫）．某小組經(jīng)討論得出：材料最省，就是盡可能使得長方體的表面積最?。旅媸撬麄兊奶骄窟^程，請補充完整：（1）設(shè)長方體包裝盒的底面邊長為xdm，表面積為ydm2．可以用含x的代數(shù)式表示長方體的高為，根據(jù)長方體的表面積公式：長方體表面積＝2×底面積+側(cè)面積．得到y(tǒng)與x的關(guān)系式：（0＜x≤3）；（2）列出y與x的幾組對應(yīng)值：（說明：表格中相關(guān)數(shù)值精確到十分位）x/dm…0.511.522.53y/dm2…80.542.031.228.531.3（3）在圖2的平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出以補全后的表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，畫出該函數(shù)的圖象；（4）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：長方體包裝盒的底面邊長約為dm時，需要的材料最省．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點（1，m），（3，n）在拋物線y＝ax2+bx+4（a＞0）上，設(shè)拋物線的對稱軸為x＝t．（1）當(dāng)m＝n時，直接寫出拋物線與y軸交點的坐標(biāo)及t的值；（2）若m＜n＜4，求t的取值范圍．27．（7分）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為AC延長線上一點，連接BD，將線段BD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，過點E作EF⊥AC于點F，連接AE．（1）依題意補全圖形；（2）比較AF與CD的大小，并證明；（3）連接BE，G為BE的中點，連接CG，用等式表示線段CD，CG，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中．⊙O的半徑為1，對于直線l和線段AB，給出如下定義：若將線段AB關(guān)于直線l對稱，可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分別為A，B的對應(yīng)點），則稱線段AB是⊙O的關(guān)于直線l對稱的“關(guān)聯(lián)線段”．例如：在圖1中，線段AB是⊙O的關(guān)于直線l對稱的“關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖2，點A1，B1，A2，B2，A3，B3的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．①在線段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙O的關(guān)于直線y＝x+2對稱的“關(guān)聯(lián)線段”是；②若線段A1B1，A2B2，A3B3中，存在⊙O的關(guān)于直線y＝﹣x+m對稱的“關(guān)聯(lián)線段”，則m＝；（2）已知直線y＝﹣x+b（b＞0）交x軸于點C，在△ABC中，AC＝3，AB＝1．若線段AB是⊙O的關(guān)于直線y＝﹣x+b（b＞0）對稱的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出b的最大值和最小值，以及相應(yīng)的BC長．

2024-2025學(xué)年北京十八中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個。1．（2分）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后，能夠與原圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形逐一判斷即可．【解答】解：A、繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后，不能夠與原圖形重合，不是中心對稱圖形，故不符合題意；B、繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后，不能夠與原圖形重合，不是中心對稱圖形，故不符合題意；C、繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后，不能夠與原圖形重合，不是中心對稱圖形，故不符合題意；D、繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后，能夠與原圖形重合，是中心對稱圖形，故符合題意；故選：D．【點評】本題考查了中心對稱圖形的知識，熟練掌握中心對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．2．（2分）用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0，下列變形正確的是（）A．（x﹣2）2＝8 B．（x﹣2）2＝0 C．（x﹣2）2＝6 D．（x﹣2）2＝4【答案】A【分析】先將常數(shù)項移到等式右邊，再將兩邊都配上一次項系數(shù)一半的平方，最后依據(jù)完全平方公式將左邊寫成完全平方式即可得．【解答】解：∵x2﹣4x﹣4＝0，∴x2﹣4x＝4，則x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，故選：A．【點評】本題主要考查解一元二次方程﹣配方法，解題的關(guān)鍵是掌握用配方法解一元二次方程的步驟．3．（2分）如圖，一塊含30°角的直角三角板ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到△A'B'C，當(dāng)B，C，A'在一條直線上時，三角板ABC的旋轉(zhuǎn)角度為（）A．150° B．120° C．60° D．30°【答案】A【分析】直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)邊，再根據(jù)三角板的內(nèi)角的度數(shù)得出答案．【解答】解：∵將一塊含30°角的直角三角板ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到△A'B'C，∴BC與B'C是對應(yīng)邊，∴旋轉(zhuǎn)角∠BCB'＝180°﹣30°＝150°．故選：A．【點評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，正確得出對應(yīng)邊是解題關(guān)鍵．4．（2分）拋物線y＝﹣（x+1）2+2的對稱軸是（）A．直線x＝1 B．直線x＝﹣1 C．直線x＝0 D．直線y＝1【答案】B【分析】由y＝a（x﹣h）2+k的對稱軸是直線x＝h可得答案．【解答】解：拋物線y＝﹣（x+1）2﹣2的對稱軸是直線x＝﹣1，故選：B．【點評】本題考查將二次函數(shù)的性質(zhì)，解析式化為頂點式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，頂點坐標(biāo)是（h，k），對稱軸是直線x＝h．5．（2分）如圖，點A、B、C都在⊙O上，若∠AOB＝72°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．18° B．30° C．36° D．72°【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理，由∠AOB＝72°，即可推出結(jié)果．【解答】解：∵∠AOB＝72°，∴∠ACB＝36°．故選：C．【點評】本題主要考查圓周角定理，關(guān)鍵在于運用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行認(rèn)真分析．6．（2分）如圖，AB是半圓O的直徑，點C，D在半圓O上．若∠ABC＝50°，則∠BDC的度數(shù)為（）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】C【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．【解答】解：∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠A＝90°﹣50°＝40°，∴∠BDC的度數(shù)為：180°﹣40°＝140°故選：C．【點評】本題考查圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直徑所對的圓周角是直角等基本知識．7．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點為（1，0），則下列說法中不正確的是（）A．a(chǎn)＜0，c＜0 B．4a+b＝0 C．方程ax2+bx+c＝0的實數(shù)為x1＝1，x2＝3 D．不等式ax2+bx+c＜0的解集為1＜x＜3【答案】D【分析】由開口方向和與y軸的交點位置判定選項A，由對稱軸為直線x＝2判定選項B，由圖象與x軸的交點判定選項C和選項D．【解答】解：A、∵開口向下，與y軸的交點在y軸負(fù)半軸上，∴a＜0，c＜0，故選項A正確，不符合題意；B、∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，∴﹣＝2，∴b+4a＝0，故選項B正確，不符合題意；C、∵函數(shù)圖象與x軸的一個交點為（1，0），對稱軸為直線x＝2，∴函數(shù)圖象與x軸的另一個交點為（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的實數(shù)為x1＝1，x2＝3，故選項C正確，不符合題意；D、由圖象可知，函數(shù)圖象在x軸下方部分對應(yīng)的x取值范圍為x＜1或x＞3，∴不等式ax2+bx+c＜0的解集為x＜1或x＞3，故選項D錯誤，符合題意．故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與x軸的交點和一元二次方程、一元二次不等式間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是能夠快速準(zhǔn)確的讀懂題目發(fā)現(xiàn)圖象中所蘊含的信息．8．（2分）如圖，點A，B在⊙O上，且點A，O，B不在同一條直線上，點P是⊙O上一個動點（點P不與點A，B重合），在點P運動的過程中，有如下四個結(jié)論：①恰好存在一點P，使得∠PAB＝90°；②若直線OP垂直于AB，則∠OAP＝∠OBP；③∠APB的大小始終不變．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．【解答】解：①當(dāng)點B，O，P三點在同一條直線上時，BP為⊙O的直徑，∴∠PAB＝90°，故正確，符合題意；②∵OP垂直于AB，OA＝OB，∴∠OAP＝∠OBP；故正確，符合題意；③如圖，當(dāng)點P在優(yōu)弧APB上時，∠APB＝∠AOB，當(dāng)點P在劣弧AB上時，∠AP′B＝180°﹣∠APB＝180°﹣AOB，∵∠APB與∠AP′B不一定相等，∴∠APB的大小會變化，故③錯誤，不符合題意，故選：A．【點評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點P（1，﹣2）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為（﹣1，2）．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意一點P（x，y），關(guān)于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可．【解答】解：根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，可知：點P（1，﹣2）關(guān)于原點O中心對稱的點的坐標(biāo)為（﹣1，2）．故答案為：（﹣1，2）．【點評】本題考查了關(guān)于原點對稱的點坐標(biāo)的關(guān)系，是需要熟記的基本問題，記憶方法可以結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的圖形．10．（2分）將y＝x2﹣2x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，則y＝（x﹣1）2+4．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用配方法把一般式化為頂點式即可．【解答】解：將y＝x2﹣2x+5化成y＝（x﹣1）2+4，故答案為：（x﹣1）2+4【點評】本題考查了二次函數(shù)的三種形式：一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與y軸的交點坐標(biāo)是（0，c）；頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標(biāo)，該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點坐標(biāo)為（h，k）；交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．11．（2分）寫出一個二次函數(shù)，其圖象滿足：①開口向下；②與y軸交于點（0，2），這個二次函數(shù)的解析式可以是y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出a＜0，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出c＝2，取a＝﹣1，b＝0即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c．∵拋物線開口向下，∴a＜0．∵拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0，2），∴c＝2．取a＝﹣1，b＝0時，二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+2．故答案為：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，利用二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，找出a＜0，c＝是解題的關(guān)鍵．12．（2分）⊙O的直徑為15cm，若圓心O與直線l的距離為7.5cm，則l與⊙O的位置關(guān)系是相切（填“相交”、“相切”或“相離”）．【答案】相切．【分析】由⊙O的直徑為15cm，求得⊙O的半徑為7.5cm，而圓心O與直線l的距離為7.5cm，則圓心O與直線l的距離等于⊙O的半徑，所以l與⊙O相切，于是得到問題的答案．【解答】解：∵⊙O的直徑為15cm，×15＝7.5（cm），∴⊙O的半徑為7.5cm，∵圓心O與直線l的距離為7.5cm，∴圓心O與直線l的距離等于⊙O的半徑，∴l(xiāng)與⊙O相切，故答案為：相切．【點評】此題重點考查直線與圓的位置關(guān)系，正確地求出⊙O的半徑長并且證明圓心O與直線l的距離等于⊙O的半徑是解題的關(guān)鍵．13．（2分）若點（0，a），（3，b）都在二次函數(shù)y＝（x﹣1）2的圖象上，則a與b的大小關(guān)系是：a＜b（填“＞”，“＜”或“＝”）．【答案】＜．【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的對稱軸為直線x＝1，然后比較兩個點離直線x＝1的遠(yuǎn)近得到a、b的大小關(guān)系．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2，∴拋物線開口向上，對稱軸是直線x＝1，∴點（3，b）離直線x＝1遠(yuǎn)，點點（0，a）離直線x＝1較近，∴a＜b，故答案為：＜．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2分）某公司8月份銷售額為200萬元，10月份銷售額為320萬元，求銷售額平均每月的增長率，設(shè)銷售額平均每月的增長率為x，則可列方程為200（1+x）2＝320．【答案】200（1+x）2＝320．【分析】設(shè)該商店銷售額平均每月的增長率為x，根據(jù)該商店今年8月份及10月份的銷售額，即可得出關(guān)于x的一元二次方程．【解答】解：設(shè)該商店銷售額平均每月的增長率為x，依題意，得：200（1+x）2＝320，故答案為：200（1+x）2＝320．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．15．（2分）數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們想測出一個殘損輪子的半徑，小聰?shù)慕鉀Q方案如下：在輪子圓弧上任取兩點A，B，連接AB，再作出AB的垂直平分線，交AB于點C，交于點D，測出AB，CD的長度，即可計算得出輪子的半徑．現(xiàn)測出AB＝4cm，CD＝1cm，則輪子的半徑為cm．【答案】．【分析】由垂徑定理，可得出BC的長；連接OB，在Rt△OBC中，可用半徑OB表示出OC的長，進(jìn)而可根據(jù)勾股定理求出得出輪子的半徑，即可得出輪子的直徑長．【解答】解：設(shè)圓心為O，連接OB．Rt△OBC中，BC＝AB＝2cm，根據(jù)勾股定理得：OC2+BC2＝OB2，即：（OB﹣1）2+22＝OB2，解得：OB＝2.5；故輪子的半徑為cm．故答案為：．【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．16．（2分）弧三角形，又叫萊洛三角形，是機械學(xué)家萊洛首先進(jìn)行研究的．弧三角形是這樣畫的：先畫正三角形，然后分別以三個頂點為圓心，其邊長為半徑畫弧得到的三角形．在大片的麥田或農(nóng)田中，由農(nóng)作物倒伏形成的幾何圖案被稱為“麥田怪圈”．圖1中的麥田怪圈主要由圓和弧三角形構(gòu)成，某研究小組根據(jù)照片嘗試在操場上繪制類似的圖形．如圖2，成員甲先借助繩子繞行一周畫出⊙O，再將⊙O三等分，得到A，B，C三點．接著，成員乙分別以A，B，C為圓心畫出圖中的弧三角形．研究小組在A，B，C，O四點中的某一點放置了監(jiān)測儀器，若將射線OB繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)，與⊙O交于點P，與弧三角形交于點Q，射線OB的旋轉(zhuǎn)角記為自變量x（單位：°，0≤x＜360），（如圖2）．P、Q到監(jiān)測儀器的距離分別記為y1和y2（單位：m），繪制出兩個函數(shù)的圖象（如圖3）．結(jié)合以上信息判斷，①⊙O的半徑為6m；②圖3中a的值為270；③當(dāng)x＝60時，y1取得最大值12；④監(jiān)測儀器放置在點A處．其中說法中錯誤的是②.（填寫序號即可）【答案】②．【分析】根據(jù)題意找出甲乙對應(yīng)的圖象，然后求得α對應(yīng)的角度為240°，以及AB＝6，∠AOB＝×360°＝120°，進(jìn)而求出圓的半徑，結(jié)合所求對每個選項逐一分析判斷即可得出結(jié)論．【解答】解：∵將射線OB繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過甲或乙的旋轉(zhuǎn)角記為自變量x，成員乙所在的位置為Q，∴根據(jù)圖3所示，實線部分圖象中距離先保持不變，再下降至0，然后再上升，可判斷實線部分為乙的圖象．（由于點Q在以A為圓心，AB為半徑的上，則AQ的距離保持不變）．∴當(dāng)Q點從點B開始逆時針運動時，檢測器應(yīng)該在A點．故選項④說法正確；∵點Q從B點運動到A點，運動的角度為個圓周，∴α＝360°×＝240°．故②選項說法不正確，此選項符合題意；由圖象3得：AB＝6，可得∠AOB＝×360°＝120°，連接OA，AB，過點O作OD⊥AB于點D，如圖2，∵OD⊥AB，∴∠BOD＝60°，BD＝AB＝3．在Rt△BOD中，sin∠BOD＝＝＝6，∴OB＝6．即⊙O的半徑為6m．故①選項說法正確；由圖2可知，當(dāng)射線OB旋轉(zhuǎn)至的中點時，此時點P在直線OA上，y1取最大值，長度為⊙O的直徑12m，此時射線OB轉(zhuǎn)過的角度為60°，即x＝60．故C選項說法正確；綜上，正確的說法有：①③④，錯誤的說法是②．故選：②．【點評】本題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案，動點問題的函數(shù)的圖象，圓周角與圓心角的度數(shù)，弦心距，解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值，等邊三角形．本題是閱讀型題目，準(zhǔn)確理解題干中的定義并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共68分，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，∴（x﹣2）2＝5，∴x＝2±，∴x1＝2+，x2＝2﹣．【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．18．（5分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一個根，求代數(shù)式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）的值．【答案】5．【分析】將x＝a代入方程，得到a2﹣2a＝1，然后整體代入即可．【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一個實數(shù)根，∴a2﹣2a＝1，∴原式＝a2﹣4a+4+a2﹣1＝2a2﹣4a+3＝2（a2﹣2a）+3＝2×1+3＝5．【點評】本題主要考查了一元二次方程的解的含義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的解的含義，將解代入原方程，從而求得代數(shù)式的解．19．（5分）已知：A，B是直線l上的兩點．求作：△ABC，使得點C在直線l上方，且∠ACB＝150°．作法：①分別以A，B為圓心，AB長為半徑畫弧，在直線l下方交于點O；②以點O為圓心，OA長為半徑畫圓；③在劣弧上任取一點C（不與A，B重合），連接AC，BC．△ABC就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：在優(yōu)弧上任取一點M（不與A，B重合），連接AM，BM，OA，OB．∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等邊三角形．∴∠AOB＝60°．∵A，B，M在⊙O上，∴（同弧所對圓周角等于該弧所對圓心角的一半）（填推理的依據(jù)）．∴∠AMB＝30°．∵四邊形ACBM內(nèi)接于⊙O．∴∠AMB+∠ACB＝180°（圓的內(nèi)接四邊形對角互補）（填推理的依據(jù)）．∴∠ACB＝150°【答案】（1）見解析；（2）同弧所對圓周角等于該弧所對圓心角的一半；圓的內(nèi)接四邊形對角互補．【分析】（1）按照題目所給作法作出相應(yīng)圖形即可；（2）根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得∠AOB＝60°，再根據(jù)圓周角定理可得∠AMB＝30°，最后再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可證得∠ACB＝150°．【解答】解：如圖即為所求．（2）證明：如圖，在優(yōu)弧上任取一點M（不與A，B重合），連接AM，BM，OA，OB．∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等邊三角形．∴∠AOB＝60°．∵A，B，M在⊙O上，∴（同弧所對圓周角等于該弧所對圓心角的一半）．∴∠AMB＝30°．∵四邊形ACBM內(nèi)接于⊙O，∴∠AMB+∠ACB＝180°（圓的內(nèi)接四邊形對角互補）．∴∠ACB＝150°．故答案為：同弧所對圓周角等于該弧所對圓心角的一半；圓的內(nèi)接四邊形對角互補．【點評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．20．（5分）已知一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表所示：x……﹣3﹣2﹣101……y……03430……（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）在直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖象；（3）結(jié)合圖象，直接寫出當(dāng)y＞0時，x的取值范圍．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）見解答；（3）﹣3＜x＜1．【分析】（1）設(shè)交點式y(tǒng)＝a（x+3）（x﹣1），然后把（0，3）代入求出a，則可得到拋物線解析式；（2）利用描點法畫出函數(shù)圖象；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，寫出拋物線在x軸上所對應(yīng)的自變量的范圍即可．【解答】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點（﹣3，0），（1，0），（0，3），∴設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），把（0，3）代入得3＝a（0+3）（0﹣1），解得a＝﹣1，∴拋物線解析式為y＝﹣（x+3）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如圖，（3）當(dāng)y＞0時，x的取值范圍為﹣3＜x＜1．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：拋物線與x軸的交點的橫坐標(biāo)就是方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的兩個實數(shù)解．也考查了待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)．21．（5分）如圖，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝4，⊙O為△ABC的外接圓，求⊙O的半徑．【答案】2．【分析】連接AO，BO，由圓周角定理求得∠AOB＝90°，利用勾股定理求出即可．【解答】解：連接OA，OB，∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°，在Rt△AOB中，OA2+OB2＝AB2，AB＝2，OA＝OB，∴2OA2＝42，OA2＝8，∴OA＝2（舍負(fù)），∴⊙O的半徑是2．【點評】此題主要考查了圓周角定理和勾股定理等內(nèi)容，解決問題的關(guān)鍵是由圓周角定理求得∠AOB＝90°．22．（5分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）請選擇一個符合條件的m的值，并求此時方程的根．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)△≥0，解不等式即可求解；（2）選擇一個符合條件的m的值，解方程即可求解．【解答】解：（1）根據(jù)題意，得Δ＝b2﹣4ac≥0，即（﹣2）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤1．（2）當(dāng)m＝1時，方程為x2﹣2x+1＝0，解得x1＝x2＝1．注：m值不唯一．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．23．（6分）2023年第19屆杭州亞運會的舉辦帶熱了吉祥物“宸宸、琮琮和蓮蓮”的銷售．某網(wǎng)店經(jīng)營亞運會吉祥物玩偶禮盒裝，每盒進(jìn)價為30元．當(dāng)?shù)匚飪r部門規(guī)定，該禮盒銷售單價最高不能超過50元/盒．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該禮盒每周的銷量y（件）與銷售單價x（元）之間近似滿足函數(shù)關(guān)系：y＝﹣2x+180（30≤x≤50）．（1）設(shè)該網(wǎng)店每周銷售該禮盒所獲利潤為w（元），則w與x的函數(shù)關(guān)系式為w＝﹣2x2+240x﹣5400；（2）求當(dāng)銷售單價為多少元時，該網(wǎng)店每周銷售該禮盒所獲利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）w＝﹣2x2+240x﹣5400；（2）1600．【分析】（1）依據(jù)題意，由該網(wǎng)店每周銷售該禮盒所獲利潤為w＝單個利潤×銷量，進(jìn)而列式可以得解；（2）依據(jù)題意，由（1）得解析式，配方成頂點式后，結(jié)合自變量的取值范圍進(jìn)行判斷可以得解．【解答】解：（1）該網(wǎng)店每周銷售該禮盒所獲利潤為w＝（x﹣30）（﹣2x+180），∴w＝﹣2x2+240x﹣5400．故答案為：w＝﹣2x2+240x﹣5400．（2）由題意，∵w＝﹣2x2+240x﹣5400＝﹣2（x2﹣120x+3600）+1800＝﹣2（x﹣60）2+1800，又30≤x≤50，拋物線開口向下，對稱軸是直線x＝60，∴當(dāng)x＝50時，該網(wǎng)店每周銷售該禮盒所獲利潤最大＝﹣2（50﹣60）2+1800＝1600（元）．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決問題．24．（6分）如圖，⊙O的半徑OC與弦AB互相垂直，垂足為D，連接AC，OB．（1）求證：2∠A+∠B＝90°；（2）延長BO交⊙O于點E，過點E作⊙O的切線交BA的延長線于點F．若AC∥BE，EF＝4，求∠B的度數(shù)及AC的長．【答案】（1）見解析；（2）∠B＝30°，AC＝2．【分析】（1）由圓周角定理得到∠O＝2∠A，即可得到結(jié)論；（2）解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵OC⊥AB，∴∠ODB＝90°，∴∠O+∠B＝90°∵∠O＝2∠A，∴2∠A+∠B＝90°；（2）解：如圖：∵AC∥BE，∴∠CAB＝∠B．∵2∠CAB+∠B＝90°，∴3∠B＝90°．∵∠B＝30°．∴∠CAB＝30°∵EF是⊙O的切線，∴∠FEB＝90°．∵EF＝4，∴BF＝8，在Rt△BEF中，由勾股定理，得．∴，∴，∴．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運用有關(guān)定理來分析、解答．25．（6分）數(shù)學(xué)活動課上，老師提出一個探究問題：制作一個體積為10dm3，底面為正方形的長方體包裝盒（如圖1），當(dāng)?shù)酌孢呴L為多少時，需要的材料最?。ǖ酌孢呴L不超過3dm，且不考慮接縫）．某小組經(jīng)討論得出：材料最省，就是盡可能使得長方體的表面積最?。旅媸撬麄兊奶骄窟^程，請補充完整：（1）設(shè)長方體包裝盒的底面邊長為xdm，表面積為ydm2．可以用含x的代數(shù)式表示長方體的高為，根據(jù)長方體的表面積公式：長方體表面積＝2×底面積+側(cè)面積．得到y(tǒng)與x的關(guān)系式：2x2+（0＜x≤3）；（2）列出y與x的幾組對應(yīng)值：（說明：表格中相關(guān)數(shù)值精確到十分位）x/dm…0.511.522.53y/dm2…80.542.031.228.028.531.3（3）在圖2的平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出以補全后的表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，畫出該函數(shù)的圖象；（4）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：長方體包裝盒的底面邊長約為2.2dm時，需要的材料最?。敬鸢浮浚?）y＝2x2+；（2）28；（3）作圖見解答過程；（4）2.2．【分析】（1）根據(jù)長方體的表面積公式求解即可；（2）求出x＝2時，y的值即可；（3）利用描點法畫出函數(shù)圖象即可；（4）利用圖象法判斷即可．【解答】解：（1）由題意，y＝2x2+4x×＝2x2+；故答案為：y＝2x2+；（2）當(dāng)x＝2時，y＝8+20＝28.0；故答案為：28.0；（3）函數(shù)圖象如圖所示：（4）觀察圖象可知，當(dāng)x約為2.2dm時，需要的材料最?。蚀鸢笧椋?.2．【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了長方體的性質(zhì)，函數(shù)圖象等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用圖象法解決問題，屬于中考常考題型．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點（1，m），（3，n）在拋物線y＝ax2+bx+4（a＞0）上，設(shè)拋物線的對稱軸為x＝t．（1）當(dāng)m＝n時，直接寫出拋物線與y軸交點的坐標(biāo)及t的值；（2）若m＜n＜4，求t的取值范圍．【答案】（1）拋物線與y軸交點的坐標(biāo)為（0，4），t＝2；（2）＜t＜2．【分析】（1）當(dāng)x＝0時，求得y＝4，即可求得拋物線與y軸交點的坐標(biāo)為（0，4），二次函數(shù)的對稱性即可求得t；（2）再根據(jù)m＜n＜4，可確定出對稱軸的取值范圍．【解答】解：（1）∵當(dāng)x＝0時，y＝4，∴拋物線與y軸交點的坐標(biāo)為（0，4），∵點（1，m），（3，n）在拋物線y＝ax2+bx+4（a＞0）上，m＝n，∴點（1，m），（3，n）關(guān)于對稱軸對稱，∴拋物線的對稱軸為直線x＝＝2；∴t＝2；（2）∵m＜n＜4，∴a+b+4＜9a+3b+4＜4，解得﹣4a＜b＜﹣3a，∴3a＜﹣b＜4a，∴即＜t＜2．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解．27．（7分）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為AC延長線上一點，連接BD，將線段BD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，過點E作EF⊥AC于點F，連接AE．（1）依題意補全圖形；（2）比較AF與CD的大小，并證明；（3）連接BE，G為BE的中點，連接CG，用等式表示線段CD，CG，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）依題意補全圖形即可；（2）AF＝CD，證明見解析；（3）CD+CG＝BC，證明見解析．【分析】（1）依題意補全圖形即可；（2）證△EFD≌△DCB（AAS），得DF＝BC，再證AC＝DF，即可得出結(jié)論；（3）連接FG、DG，證△BDE是等腰直角三角形，得∠DEB＝∠DBE＝45°，DG＝EG，DG⊥BE，∠BDG＝45°，再證△EFG≌△DCG（SAS），得FG＝CG，∠EGF＝∠DGC，然后證△CFG是等腰直角三角形，得CF＝CG，即可解決問題．【解答】解：（1）依題意補全圖形如圖1；（2）AF＝CD，證明如下：∵EF⊥AC，∴∠EFD＝90°，∴∠DEF+∠EDF＝90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DE＝DB，∠BDE＝90°，即∠BDC+∠EDF＝90°，∴∠DEF＝∠BDC，∵∠ACB＝90°，∴∠DCB＝90°，在△EFD和△DCB中，，∴△EFD≌△DCB（AAS），∴DF＝BC，∵AC＝BC，∴AC＝DF，∴AC﹣CF＝DF﹣CF，即AF＝CD；（3）CD+CG＝BC，證明如下：如圖2，連接FG、DG，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DE＝DB，∠BDE＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠DEB＝∠DBE＝45°，∵G為BE的中點，∴DG＝BE＝EG，DG⊥BE，∠BDG＝∠BDE＝45°，∴∠DGE＝90°，∠DEB＝∠BDG，由（2）可知，△EFD≌△DCB，∴EF＝DC，∠DEF＝∠BDC，∴∠DEF﹣∠DEB＝∠BDC﹣∠BDG，即∠FEG＝∠CDG，在△EFG和△DCG中，，∴△EFG≌△DCG（SAS），∴FG＝CG，∠EGF＝∠DGC，∴∠EGF+∠CGE＝∠DGC+∠CGE＝∠DGE＝90°，∴△CFG是等腰直角三角形，∴CF＝CG，∵CD+CF＝DF，DF＝BC，∴CD+CG＝BC．【點評】本題是幾何變換綜合題目，考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識，本題綜合性強，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中．⊙O的半徑為1，對于直線l和線段AB，給出如下定義：若將線段AB關(guān)于直線l對稱，可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分別為A，B的對應(yīng)點），則稱線段AB是⊙O的關(guān)于直線l對稱的“關(guān)聯(lián)線段”．例如：在圖1中，線段AB是⊙O的關(guān)于