激光原理(第1章)

激光原理與技術(shù)山東師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院現(xiàn)代光學(xué)實(shí)驗(yàn)室第一章激光的基本原理本章概述激光的基本原理，討論的重點(diǎn)是光的相干性和光波模式的聯(lián)系，光的受激輻射以及光放大和振蕩的基本概念。1.1相干性的光子描述1.2光的受激輻射基本概念1.3光的受激輻射放大1.4光的自激振蕩1.5激光的特性1.1相干性的光子描述一、光子的基本性質(zhì)光的量子學(xué)說(光子說)認(rèn)為，光是一種以光速c運(yùn)動的光子流。光子（電磁場量子）和其它基本粒子一樣，具有能量、動量和質(zhì)量等。它的粒子屬性(能量，動量，質(zhì)量等)和波動屬性(頻率、波矢、偏振等)密切聯(lián)系，并可歸納如下：（1）光子的能量ε與光波頻率v對應(yīng)

(1.1.1)式中h＝6.626×10-34Js，稱為普朗克常數(shù)。（2）光子具有運(yùn)動質(zhì)量m，并可表示為

(1.1.2)光子的靜止質(zhì)量為零。(3)光子的動量P與單色平面光波的波矢k對應(yīng)

(1.1.3)式中n0為光子運(yùn)動方向(平面光波傳播方向)上的單位矢量。(4)光子具有兩種可能的獨(dú)立偏振狀態(tài)，對應(yīng)于光波場的兩個獨(dú)立偏振方向。(5)光子具有自旋，并且自旋量子數(shù)為整數(shù)。因此大量光子的集合，服從玻色—愛因斯坦統(tǒng)計(jì)規(guī)律。處于同一狀態(tài)的光子數(shù)目是沒有限制的，這是光子與其它服從費(fèi)米統(tǒng)計(jì)分布的粒子(電子、質(zhì)子、中子等)的重要區(qū)別。上述基本關(guān)系式(1.1.1)和(1.1.3)后來為康普頓(ArthurCompton)散射實(shí)驗(yàn)所證實(shí)(1923年)，并在現(xiàn)代量子電動力學(xué)中得到理論解釋。量子電動力學(xué)從理論上把光的電磁(波動)理論和光子(微粒)理論在電磁場的量子化描述的基礎(chǔ)上統(tǒng)一起來，從而在理論上闡明了光的波粒二象性。在這種描述中，任意電磁場可看作是一系列單色平面電磁波(它們以波矢k為標(biāo)志)的線性疊加，或一系列電磁波的本征模式(或本征狀態(tài))的疊加。但每個本征模式所具有的能量是量子化的，即可表為基元能量hv的整數(shù)倍。本征模式的動量也可表為基元動量hkl的整數(shù)倍。這種具有基元能量hvl和基元動量hkl的物質(zhì)單元就稱為屬于第l個本征模式(或狀態(tài))的光子。具有相同能量和動量的光子彼此間不可區(qū)分，因而處于同一模式(或狀態(tài))。每個模式內(nèi)的光子數(shù)目是沒有限制的。二、光波模式和光子狀態(tài)相格按照量子電動力學(xué)概念，光波的模式和光子的狀態(tài)是等效的概念。下面將對這一點(diǎn)進(jìn)行深入一步的討論。由于光的波粒二象性，我們可以用波動和粒子兩種觀點(diǎn)來描述它。在激光理論中，光波模式是一個重要概念。按照經(jīng)典電磁理論，光電磁波的運(yùn)動規(guī)律由麥克斯韋(C.Maxwell)方程決定。單色平面波是麥克斯韋方程的一種特解，它表示為

(1.1.4)式中E0為光波電場的振幅矢量，v為單色平面波的頻率，r為空間位置坐標(biāo)矢量，k為波矢。而麥克斯韋方程的通解可表為一系列單色平面波的線性疊加。在自由空間，具有任意波矢k的單色平面波都可以存在。但在一個有邊界條件限制的空間V(例如諧振腔)內(nèi)，只能存在一系列獨(dú)立的具有特定波矢k的平面單色駐波。這種能夠存在于腔內(nèi)的駐波(以某一波矢k為標(biāo)志)稱為電磁波的模式或光波模。一種模式是電磁波運(yùn)動的一種類型，不同模式以不同的k區(qū)分。同時，考慮到電磁波的兩種獨(dú)立的偏振，同一波矢k對應(yīng)著兩個具有不同偏振方向的模。下面求解空腔V內(nèi)的模式數(shù)目。設(shè)空腔為V=DxDyDz的立方體，則沿三個坐標(biāo)軸方向傳播的波分別應(yīng)滿足的駐波條件為式中m、n、q為正整數(shù)。而波矢k的三個分量應(yīng)滿足條件

(1.1.5)每一組正整數(shù)m、n、q對應(yīng)腔內(nèi)一種模式(包含兩個偏振)。如果在以kx,ky,kz為軸的直角坐標(biāo)系中，即在波矢空間中表示光波模，側(cè)每個模對應(yīng)波矢空間的一點(diǎn)(如圖1.1.1所示)。每一模式在三個坐標(biāo)鈾方向與相鄰模的間隔為

Dkx＝p/Dx，Dky＝p/Dy，Dkz＝p/Dz(1.1.6)因此，每個模式在波矢空間占有一個體積元

DkxDkyDkz=p3/(DxDyDz)=p3/V(1.1.7)在k空間內(nèi)，波矢絕對值處于|k|～|k|+d|k|區(qū)間的體積為(1/8)4p|k|2

d|k|，故在此體積內(nèi)的模式數(shù)為(1/8)4p|k|2d|k|V/p3。又因|k|＝2p/l=2pn/c；d|k|=2pdn/c，代入上式則得頻率在n～n+dn

區(qū)間內(nèi)的模式數(shù)。再考慮到對應(yīng)同一k有兩種不同的偏振，上述模式效應(yīng)乘2，于是，在體積為V的空腔內(nèi)，處在頻率n附近頻帶dn

內(nèi)的模式數(shù)為

P=(8pn

2/c3)Vdn

(1.1.8)現(xiàn)在再從粒子的觀點(diǎn)闡明光子狀態(tài)的概念，并且證明，光子態(tài)和光波橫是等效的概念。在經(jīng)典力學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)完全由其坐標(biāo)(x,y,z)和動量(Px,Py,Pz)確定。我們可以用廣義笛卡兒(Cartesian)坐標(biāo)(x,y,z,Px,Py,Pz

)所支撐的六維空間來描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)。這種六維空間稱為相空間，相空間內(nèi)的一點(diǎn)表示質(zhì)點(diǎn)的一個運(yùn)動狀態(tài)。當(dāng)宏觀質(zhì)點(diǎn)沿某一方向(例如：x軸)運(yùn)動時，它的狀態(tài)變化對應(yīng)于二維相空間(x,Px)的一條連續(xù)曲線，如圖1.1.2所示。但是，光子的運(yùn)動狀態(tài)和經(jīng)典宏觀質(zhì)點(diǎn)有著本質(zhì)的區(qū)別，它受量子力學(xué)測不準(zhǔn)關(guān)系的制約。測不準(zhǔn)關(guān)系表明：微觀粒子的坐標(biāo)和動量不能同時準(zhǔn)確測定，位置測得越準(zhǔn)確，動量就越測不準(zhǔn)。對于一維運(yùn)動情況．測不準(zhǔn)關(guān)系表示為

Dx·DPx

≈

h(1.1.9)上式意味著處于二維相空間面積元Dx·DPx

≈

h之內(nèi)的粒子運(yùn)動狀態(tài)在物理上是不可區(qū)分的，因而它們應(yīng)屬于同一種狀態(tài)。在三維運(yùn)動情況下，測不準(zhǔn)關(guān)系為

DxDyDzDPxDPyDPz

≈h3故在六維相空間中，一個光子態(tài)對應(yīng)(或占有)的相空間體積元為

DxDyDzDPxDPyDPz

≈h3(1.1.10)上述相空間體積元稱為相格。相格是相空間中用任何實(shí)驗(yàn)所能分辨的最小尺度。光子的某一運(yùn)動狀態(tài)只能定域在一個相格中，但不能確定它在相格內(nèi)部的對應(yīng)位置。于是我們看到，微觀粒子和宏觀質(zhì)點(diǎn)不同，它的運(yùn)動狀態(tài)在相空間中不是對應(yīng)一點(diǎn)而是對應(yīng)一個相格。這表明微觀粒子運(yùn)動的不連續(xù)性。僅當(dāng)所考慮的運(yùn)動物體的能量和動量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于由普朗克常數(shù)h所標(biāo)志的量hv和?k，以致量子化效應(yīng)可以忽略不計(jì)時，量子力學(xué)運(yùn)動才過渡到經(jīng)典力學(xué)運(yùn)動。從式(1.1.10)還可得出，一個相格所占有的坐標(biāo)空間體積（或稱相格空間體積)為

DxDyDz≈h3/(PxDPyDPz)（1.1.11）現(xiàn)在證明，光波模等效于光子態(tài)。為此將光波模的波矢空間體積元表示式(1.1.7)改寫為在相空間中的形式?？紤]到一個光波模是由兩列沿相反方向傳播的行波組成的駐波。因此一個光波模在相空間的Px,Py和Pz軸方向所占的線度為

DPx=2?·Dkx,DPy=2?·Dky,DPz=2?·Dkz(1.1.12)于是，式(1.1.7)在相空間中可改寫為

DPxDPyDPz

DxDyDz≈h3(1.1.13)可見，一個光波模在相空間也占有一個相格。因此，一個光波模等效于一個光子態(tài)。一個光波模或一個光子態(tài)在坐標(biāo)空間都占有由式(1.1.11)表示的空間體積。三、光子的相干性為了把光子態(tài)和光子的相干性聯(lián)系起來，下面對光源的相干性進(jìn)行討論。在一般情況下，光的相干性理解為：在不同的空間點(diǎn)上、在不同的時刻的光波場的某些特性（例如光波場的相位）的相關(guān)性。在相干性的經(jīng)典理論中引入光場的相干函數(shù)作為相干性的度量。但是，作為相干性的一種粗略描述，常常使用相干體積的概念。如果在空間體積Vc內(nèi)各點(diǎn)的光波場都具有明顯的相干性，則Vc稱為相干體積。Vc又可表示為垂直于光傳播方向的截面上的相干面積Ac和沿傳播方向的相干長度Lc的乘積

Vc=AcLc(1.1.14)式(1.1.14)也可表示為另一形式；

Vc=Actc

c(1.1.15)式中c為光速，tc＝Lc/c

是光沿傳播方向通過相干長度Lc所需的時間，稱為相干時間。普通光源發(fā)光，是大量獨(dú)立振子(例如發(fā)光原子)的自發(fā)輻射。每個振子發(fā)出的光波是由持續(xù)一段時間Δt或在空間占有長度cDt的波列所組成．如圖l.1.3圖所示。不同振子發(fā)出的光波的相位是隨機(jī)變化的。對于原子譜線來說，Dt

即為原子的激發(fā)態(tài)壽命(Dt

≈10-8秒)。對波列進(jìn)行頗譜分析，就得到它的頻帶寬度

Dv

≈1/DtDv是光源單色性的量度。物理光學(xué)中闡明，光波的相干長度就是光波的波列長度

Lc＝cDt

＝c/Dv(1.1.16)于是，相干時間tc與光源頻帶寬度Dv的關(guān)系為

tc

＝Dt

＝1/Dv(1.1.17)上式說明，光源單色性越好，則相干時間越長。物理光學(xué)中曾經(jīng)證明：在圖1.1.4中，由線度為Dx的光源A照明的S1和S2兩點(diǎn)的光波場具有明顯空間相干性的條件為

DxLx/R≤l(1.1.18)式中l(wèi)為光源波長。距離光源R處的相干面積Ac可表示為

l

＝Lx2＝(Rl/Dx)2(1.1.19)如果用Dq表示兩縫間距對光源的張角，則(1.1.18)式可寫為

(Dx)2≤(l/Dq)2(1.1.20)上式的物理意義是：如果要求傳播方向(或波矢k)限于張角Dq之內(nèi)的光波是相干的，則光源的面積必須小于(l/Dq)2。因此，(l/Dq)2就是光源的相干面積，或者說，只有從面積小于(l/Dq)2的光源面上發(fā)出的光波才能保證張角在Dq之內(nèi)的雙縫具有相干性(見圖1.1.4)根據(jù)相干體積定義，可得光源的相干體積為此式可同樣理解為：如要求傳播方向限于Dq之內(nèi)并具有頻帶寬度Dv的光波相干，則光源應(yīng)局限在空間體積Vcs之內(nèi)?，F(xiàn)在再從光子觀點(diǎn)分析圖1.1.4。由面積為(Dx

)2的光源發(fā)出動量P限于立體角Dq內(nèi)的光子，因此光子具有動量測不準(zhǔn)量，在Dq很小的情況下其各分量為

DPx＝DPy≈|P|Dq

＝hnDq

/c(1.1.22)因?yàn)镈q很小，故有

Pz≈|P|

DPz≈D|P|

=hDn

/c(1.1.23)如果具有上述動量測不準(zhǔn)量的光子處于同一相格之內(nèi)，即處于一個光子態(tài)，則光子占有的相格空間體積(即光子的坐標(biāo)測不準(zhǔn)量)可根據(jù)(1.1.11)、(1.1.22)、(1.1.23)以及(1.1.21)式求得

(1.124)上式表明，相格的空間體積和相干體積相等。如果光子屬于同一光子態(tài)，則他們因該包含在相干體積之內(nèi)。也就是說屬于同一光子態(tài)的光子是相干的。綜上所述可得下述關(guān)于相干性的重要結(jié)論：

1．相格空間體積以及一個光波?；蚬庾討B(tài)占有的空間體積都等于相干體積。

2．屬于同一狀態(tài)的光子或同一模式的光波是相干的。不同狀態(tài)的光子或不同模式的光波是不相干的。四、光子簡并度具有相干性的光波場的強(qiáng)度（相干光強(qiáng)）在相干光的技術(shù)應(yīng)用中，也是一個重要的參量。一個好的相干光源應(yīng)具有盡可能高的相干光強(qiáng)、足夠大的相干面積和足夠長的相干時間。對普通光源來說增大相干面積、相干時間和增大相干光強(qiáng)是矛盾的。由(1.1.17)和(1.1.19)式可知，為了增大相干面積和相干時間，可以采用光學(xué)濾波來減小Dn，縮小光源線度或加光闌以減小Dx以及遠(yuǎn)離光源等辦法。但這一切都將導(dǎo)致相干光強(qiáng)的減少。這正是普通光源給相干光學(xué)技術(shù)的發(fā)展帶來的限制。例如光全息技術(shù)，它的原理早在1948年就被提出，但在激光出現(xiàn)之前一直沒有實(shí)際應(yīng)用，其原因就在于此。而激光器卻是一種把光強(qiáng)和相干性兩者統(tǒng)一起來的強(qiáng)相干光源。在后面將對此加以說明。相干光強(qiáng)是描述光的相干性的參量之一。從相干性的光子描述出發(fā)，相干光強(qiáng)決定于具有相干性的光子的數(shù)目或同態(tài)光子的數(shù)目。這種處于同一光子態(tài)的光子數(shù)稱為光子簡并度n。顯然，光子簡并度具有以下幾種相同的含義，同態(tài)光子數(shù)、同一模式內(nèi)的光子數(shù)、處于相干體積內(nèi)的光子數(shù)、處于同一相格內(nèi)的光子數(shù)。1.2光的受激輻射基本概念光與物質(zhì)的共振相互作用，特別是這種相互作用中的受激輻射過程是激光器的物理基礎(chǔ)。我們將在第四章和第八章中較詳細(xì)地討論這種相互作用的理論處理方法。本節(jié)先給出基本物理概念。受激輻射概念是愛因斯坦首先提出的(1917年)。在普朗克(Max.Planck)于1900年用輻射量子化假設(shè)成功地解釋了黑體輻射分布規(guī)律，以及波爾(NieleBohr)在1913年提出原子中電子運(yùn)動狀態(tài)量子化假設(shè)的基礎(chǔ)上，愛因斯坦從光量子概念出發(fā)，重新推導(dǎo)了黑體輻射的普朗克公式，并在推導(dǎo)中提出了兩個極為重要的概念：受激輻射和自發(fā)輻射。四十年后，受激輻射概念在激光技術(shù)中得到了應(yīng)用。一、黑體輻射的普朗克公式我們知道，處于某一溫度T的物體能夠發(fā)出和吸收電磁輻射。如果某一物體能夠完全吸收任伺波長的電磁輻射，則稱此物體為絕對黑體，簡稱黑體。如因1.2.1所示的空腔輻射體就是一個比較理想的絕對黑體，因?yàn)閺耐饨缟淙胄】椎娜魏尾ㄩL的電磁輻射都將在腔內(nèi)來回反射而不再逸出腔外。物體除吸收電磁輻射外，還會發(fā)出電磁輻射，這種電磁輻射稱為熱輻射或溫度輻射。1.1節(jié)中提到的普通光源就可以是一種熱輻射光源。如圖1.2.1所示的黑體處于某一溫度T的熱平衡情況下，則它所吸收的輻射能量應(yīng)等于發(fā)出的輻射能量，即黑體與輻射場之間應(yīng)處于能量(熱)平衡狀態(tài)。顯然，這種平衡必然導(dǎo)致空腔內(nèi)存在完全確定的輻射場。這種輻射場稱為黑體輻射或平衡輻射。黑體輻射是黑體溫度T和輻射場頻率n的函數(shù)。并用單色能量密度rn描述。rn定義為：單位體積內(nèi)，頻率處于n附近的單位頻率間隔中的電磁輻射能量，其綱量為J·m-3

·s.

為了從理論上解釋實(shí)驗(yàn)所得的黑體輻射rn隨(T,n)的分布規(guī)律，人們從經(jīng)典物理學(xué)出發(fā)所作的一切努力都?xì)w于失敗。后來，普朗克提出了與經(jīng)典概念完全不相容的輻射能量量子化假設(shè)，并在此基礎(chǔ)上成功地得到了與實(shí)驗(yàn)相符的黑體輻射普朗克公式。這一公式可表述為：在溫度T的熱平衡情況下，黑體輻射分配到腔內(nèi)每個模式上的平均能量為

(1.2.1)為了求得腔內(nèi)模式數(shù)目，可利用式(1.1.8)。顯然，腔內(nèi)單位體積中頻率處于n附近單位頻率間隔內(nèi)光波模式數(shù)nn為：

于是，黑體輻射普朗克公式為

(1.2.2)式中K為玻爾茲曼常數(shù)，其數(shù)值為

K＝1.38062×10-23J/K二、受激輻射和自發(fā)輻射概念

(1.2.2)式表示的黑體輻射，實(shí)質(zhì)上是輻射場rn和構(gòu)成黑體的物質(zhì)原子相互作用的結(jié)果。為簡化問題，我們只考慮原子的兩個能級E2和E1并有

E2－E1=hv(1.2.3)單位體積內(nèi)處于兩能級的原子數(shù)分別用n2和n1，表示，如圖(1.2.2)所示。愛因斯坦從輻射與原子相互作用的量子論觀點(diǎn)出發(fā)提出，相互作用應(yīng)包含原子的自發(fā)輻射躍遷、受激輻射躍遷和受激吸收躍遷三種過程。1、自發(fā)輻射原子在沒有外界干預(yù)的情況下,電子會由處于激發(fā)態(tài)的高能級E2自動躍遷到低能級E1,這種躍遷稱為自發(fā)躍遷.由自發(fā)躍遷而引起的光輻射稱為自發(fā)輻射。.發(fā)光前.。發(fā)光后自發(fā)輻射1、自發(fā)輻射[圖1.2.3(a)]

處于高能級E2的一個原子自發(fā)地向E1躍遷，并發(fā)射一個能量為hv的光子。這種過程稱為自發(fā)躍遷。由原子自發(fā)躍遷發(fā)出的光波稱為自發(fā)輻射。自發(fā)躍遷過程用自發(fā)躍遷幾率A21描述。A21定義為單位時間內(nèi)n2個高能態(tài)原子中發(fā)生自發(fā)躍遷的原子數(shù)與n2的比值：

（1.2.4）式中(dn21)sp表示由于自發(fā)躍遷引起的由E2向E1躍遷的原子數(shù)。應(yīng)該指出，自發(fā)躍遷是一種只與原子本身性質(zhì)有關(guān)而與輻射場rn無關(guān)的自發(fā)過程。因此A21只決定于原子本身的性質(zhì)。由(1.2.4)式容易證明，A21就是原子在能級E2的平均壽命ts的倒數(shù)，因?yàn)樵趩挝粫r間內(nèi)能級E2所減少的粒子數(shù)為

將(1.2.4)式代入則得

由此式可得

式中

A21=1/ts

(1.2.5)A21也稱為自發(fā)躍遷愛因斯坦系數(shù)。2、受激吸收原子吸收外來光子能量hn,并從低能級E1躍遷到高能級E2,且E2-E1=hn,這個過程稱為受激吸收。

吸收后。.吸收前.受激吸收2．受激吸收[圖1.2.3(b)]

如果黑體物質(zhì)原子和輻射場相互作用只包含上述自發(fā)躍遷過程，是不能維持由(1.2.2)式所表示的腔內(nèi)輻射場的穩(wěn)定值的。因此，愛因斯坦認(rèn)為必然還存在一種原子在輻射場作用下的受激躍遷過程，從而第一次從理論上預(yù)測了受激輻射的存在。處于低能態(tài)E1的一個原子在頻率為v的輻射場作用(激勵)下，吸收一個能量為hv的光子，并向E2能態(tài)躍遷，這種過程稱為受激吸收躍遷，并用受激躍遷幾率W12描述：（1.2.6）式中，(dn12)st表示由于受激躍遷引起的由E1向E2躍遷的原子數(shù)。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，受激躍遷和自發(fā)躍遷是本質(zhì)不同的物理過程，反映在躍遷幾率上就是A21只與原子本身性質(zhì)有關(guān)；而W12不僅與原子性質(zhì)有關(guān)還與輻射場的rn

成正比。我們可將這種關(guān)系唯象地表示為

W12=B12rn

(1.2.7)式中，比例系數(shù)B12稱為受激吸收躍遷愛因斯坦系數(shù)，它只與原子性質(zhì)有關(guān)。3、受激輻射原子中處于高能級E2的電子,會在外來光子(其頻率恰好滿足hn=E2-E1)的誘發(fā)下向低能級E1躍遷,并發(fā)出與外來光子一樣特征的光子,這叫受激輻射。..。發(fā)光前發(fā)光后3、受激輻射[圖1.2.3(c)]受激吸收躍遷的反過程就是受激輻射躍遷。處于能級E2的原子在頻率為v的輻射場作用下，躍遷至低能級E1并輻射一個能量為hv的光子。受激輻射躍遷發(fā)出的光波稱為受激輻射。受激輻射躍遷幾率為

（1.2.8）

W21=B21rn

（1.2.9）式中B21為受激輻射躍遷愛因斯坦系數(shù)。由原子受激輻射躍遷發(fā)出的光子稱為受激輻射光子。三、A12、B21、B12的相互關(guān)系現(xiàn)在根據(jù)上述相互作用物理模型分析空腔黑體的熱平衡過程，從而導(dǎo)出愛因斯坦三系數(shù)之間的關(guān)系。如前所述，正是由于腔內(nèi)黑體輻射場rn與物質(zhì)原子相互作用的結(jié)果應(yīng)該維持黑體處于溫度為T的熱平衡狀態(tài)。這種熱平衡狀態(tài)的標(biāo)志是：（1）腔內(nèi)存在著由式(1.2.2)式表示的熱平衡黑體輻射。（2）腔內(nèi)物質(zhì)原子數(shù)按能級分布應(yīng)服從熱平衡狀態(tài)下的玻耳茲曼(Ludwing

Boltzman)分布

(1.2.10)式中，f2和f1分別為能級E1和E2的統(tǒng)計(jì)權(quán)重。（3）在熱平衡狀態(tài)下，n2(或nl)應(yīng)保持不變，于是有（1.2.11）或（1.2.12）聯(lián)立式(1.2.2)、式(1.2.10)和式(1.2.12)可得（1.2.13）上式當(dāng)T→∞時也應(yīng)成立，所以有（1.2.14）將上式代入式(1.2.13)可得（1.2.15）式(1.2.14)和式(1.2.15)就是愛因斯坦系數(shù)的基本關(guān)系。當(dāng)統(tǒng)計(jì)權(quán)重f2=f1時有或上述愛因斯坦系數(shù)關(guān)系式雖然是在熱平衡情況下推導(dǎo)的，但用量子電動力學(xué)可以證明其普適性。四、受激輻射的相干性

最后要強(qiáng)調(diào)指出的是受激輻射與自發(fā)輻射的極為重要的區(qū)別——相干性。如前所述，自發(fā)輻射是原子在不受外界輻射場控制情況下的自發(fā)過程。因此，大量原子的自發(fā)輻射場的相位是無規(guī)則分布的，因而是不相干的。此外，自發(fā)輻射場的傳播方向和偏振方向也是無規(guī)則分布的，或者如式(1.2.1)和(1.2.2)所表述的那樣，自發(fā)輻射平均地分配到腔內(nèi)所有模式上。受激輻射是在外界輻射場的控制下的發(fā)光過程，因而容易設(shè)想各原子的受激輻射的相位不再是無規(guī)則分布，而應(yīng)具有和外界輻射場相同的相位。在量子電動力學(xué)的基礎(chǔ)上可以證明：受激輻射光子與入射(激勵)光子屬于同一光子態(tài)；或者說，受激輻射場與入射輻射場具有相同的頻率、相位、波矢(傳播方向)和偏振，因而，受激輻射場與入射輻射場屬于同一模式。圖1.2.4示意地表示這一特點(diǎn)。特別是，大量原子在同一輻射場激發(fā)下產(chǎn)生的受激輻射處于同一光波?；蛲还庾討B(tài)，因而是相干的。受激輻射的這一重要特性就是現(xiàn)代量子電子學(xué)(包括激光與微波激勵)的出發(fā)點(diǎn)。以后將說明，激光就是一種受激輻射相干光。受激輻射的這一特性在上述愛因斯坦理論中是得不到證明的，因?yàn)槟抢锸褂玫氖俏ㄏ蠓椒ǎ瑳]有涉及原子發(fā)光的具體物理過程。嚴(yán)格的證明只有依靠量子電動力學(xué)。但是，原子發(fā)光的經(jīng)典電子論模型可以幫助我們得到一個定性的粗略理解。按經(jīng)典電子論模型，原子的自發(fā)躍遷是原子中電子的自發(fā)阻尼振蕩，沒有任何外加光電場來同步各個原子的自發(fā)阻尼振蕩，因而電子振蕩發(fā)出的自發(fā)輻射是相位無關(guān)的。而受激輻射對應(yīng)于電子在外加光電場作用下作強(qiáng)迫振蕩時的輻射，電子強(qiáng)迫振蕩的頻率、相位、振動方向顯然應(yīng)與外加光電場一致。因而強(qiáng)迫振動電子發(fā)出的受激輻射應(yīng)與外加光輻射場具有相同的頻率、相位、傳播方向和偏振狀態(tài)。1.3光的受激輻射放大一、光放大概念的產(chǎn)生在激光出現(xiàn)之前，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展對強(qiáng)相干光源提出了迫切的要求，例如，光全息技術(shù)和相干光學(xué)計(jì)量技術(shù)要求在盡可能大的相干體積或相干長度內(nèi)有盡量強(qiáng)的相干光。但是，正如1.1中所指出的，對普通熱光源來說上述要求是矛盾的。又如，相干電磁波源（各種無線電振蕩器、微波電子管等）曾大大推動了無線電技術(shù)的發(fā)展，而無線電技術(shù)的發(fā)展又要求進(jìn)一步縮短相干電磁波的波長，即要求強(qiáng)相干光源。但是普通熱光源的自發(fā)輻射光實(shí)質(zhì)上是一種光頻“噪聲”，所以在激光出現(xiàn)以前，無線電技術(shù)很難向光頻波段發(fā)展。為進(jìn)一步說明普通光源的相干性限制。我們來分析黑體輻射源的光子簡并度n，它可由式(1.2.1)求出：

(1.3.1)按上式可計(jì)算與波長及溫度的關(guān)系。例如，在室溫T＝300K的情況下，對l＝30cm的微波輻射，≈103，這時可以認(rèn)為黑體基本上是相干光源；對l

＝60mm的遠(yuǎn)紅外輻執(zhí),≈1，而對l＝0.6mm的可見光,≈10-35，即在一個光波模內(nèi)的光子數(shù)是10-35個，黑體是完全非相干光源。即使提高黑體溫度也不可能對其相干性有根本的改善。例如在l＝lmm處得到≈1，要求黑體溫度高達(dá)50,000K。可見，普通光源在紅外和可見光波段實(shí)際上是非相干光源。為了理解構(gòu)成激光器的基本思想我們進(jìn)一步分折(1.3.1)式，它可改寫為

(1.3.2)上式在物理上是容易理解的，因?yàn)槭芗ぽ椛洚a(chǎn)生相干光子，而自發(fā)輻射產(chǎn)生非相干光子。這個關(guān)系對腔內(nèi)每一特定光子態(tài)或光波模均成立。這個關(guān)系對腔內(nèi)每一特定光子態(tài)或光波模均成立。從(1.3.2)式出發(fā)，如果能創(chuàng)造一種情況，使腔內(nèi)某一特定模式(或少數(shù)幾個模式)的rn大大增加，而其它所有模式的rn很小，就能在這一特定(或少數(shù)幾個)模式內(nèi)形成很高的光子簡并度。也就是說，使相干的受激輻射光子集中在某一特定(或幾個)模式內(nèi)，而不是均勻分配在所有模式內(nèi)。這種情況可用下述方法實(shí)現(xiàn)：如圖l.3.1所示，將一個充滿物質(zhì)原子的長方體空腔(黑體)去掉側(cè)壁，只保留兩個端面.如果端面壁。如果端面壁對光有很高的反射系數(shù)，則沿垂直端面的腔軸方向傳播的光(相當(dāng)于少數(shù)幾個模式)在腔內(nèi)多次反射而不逸出腔外，而所有其它方向的光則很容易逸出腔外。此外，如果沿腔軸傳播的光在每次通過腔內(nèi)物質(zhì)時不是被光子吸收(受激吸收)，而是由于原子的受激輻射而得到放大。那么腔內(nèi)軸向模式的rn就能不斷增強(qiáng)，從而在軸向模內(nèi)獲得極高的光子簡并度。這就是構(gòu)成激光器的基本思想?？梢钥闯?，上述思想包含兩個重要部分：第一是光波模式的選擇，它由兩塊平行平面反射鏡完成，這實(shí)際上就是光學(xué)技術(shù)中熟知的法布里—珀羅(Fabry—Perot)干涉儀，在激光技術(shù)中稱為光諧振腔。第二是受激輻射放大，激光的英文縮寫名稱LASER(LightAmplificationbyStimulatedEmissionofRadiation)正反映了這一物理本質(zhì)。順便指出，激光器的上述基本思想，對于產(chǎn)生相干電磁波的傳統(tǒng)電子器件(如微波電子管)來說也是一種技術(shù)思想的突破。在傳統(tǒng)的微波電子器件中，使用尺寸可與波長相比擬的封閉諧振腔選擇模式，利用自由電子和電磁波相互作用對單模電磁場進(jìn)行放大。但是在力圖縮短微波器件波長（例如小于1毫米）的過程中，繼續(xù)沿用傳統(tǒng)方法就遇到了極大的困難。首先是封閉諧振腔的尺寸必須小到不能實(shí)現(xiàn)的程度，其次是使用普通自由電子束對光波進(jìn)行有效的放大也是極其困難的。激光器正是在這兩方面突破了傳統(tǒng)方法，即用開式諧振腔代替封閉諧振腔，用原子中束縛電子的受激輻射光放大代替自由電子對電磁波的放大，從而為獲得光波段的相干電磁波源開辟了極其廣闊的道路。二、實(shí)現(xiàn)光放大的條件——集居數(shù)反轉(zhuǎn)下面討論在由大量原于(或分子)組成的物質(zhì)中實(shí)現(xiàn)光的受激輻射放大的條件。在物質(zhì)處于熱平衡狀態(tài)時，各能級上的原子數(shù)(或稱集居數(shù))服從玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)分布：為簡化起見，式中已令f2＝f1。因E2＞E1，所以n2＜n1，即在熱平衡狀態(tài)下，高能級集居數(shù)恒小于低能級集居數(shù)，如圖1.3.2所示。當(dāng)頻率v＝(E2－E1)/h的光通過物質(zhì)時，受激吸收光子數(shù)n1W12恒大于受激輻射光子數(shù)n2W21。因此，處于熱平衡狀態(tài)下的物質(zhì)只能吸收光子。但是，在一定的條件下物質(zhì)的光吸收可以轉(zhuǎn)化為自己的對立面——光放大。顯然，這個條件就是n2>n1，稱為集居數(shù)反轉(zhuǎn)(也可稱為粒子數(shù)反轉(zhuǎn))。一般來說，當(dāng)物質(zhì)處于熱平衡狀態(tài)(即它與外界處于能量平衡狀態(tài))時，集居數(shù)反轉(zhuǎn)是不可能的，只有當(dāng)外界向物質(zhì)供給能量(稱為激勵或泵浦過程)，從而使物質(zhì)處于非熱平衡狀態(tài)時，集居數(shù)反轉(zhuǎn)才可能實(shí)現(xiàn)。激勵(或泵浦)過程是光放大的必要條件。典型激光器的具體激勵過程在第九章中介紹。三、光放大物質(zhì)的增益系數(shù)與增益曲線處于集居數(shù)反轉(zhuǎn)狀態(tài)的物質(zhì)稱為激活物質(zhì)(或激光介質(zhì))。一段激活物質(zhì)就是一個光放大器。放大作用的大小通常用放大(或增益)系數(shù)

g來描述。如圖1.3.3所示，設(shè)在光傳播方向上z處的光強(qiáng)I(z)(光強(qiáng)I正比于光的單色能量密度r)．則增益系數(shù)定義為

（1.3.3）所以g表示光通過單位長度激活物質(zhì)后光強(qiáng)增長的百分?jǐn)?shù)。顯然，dI(z)正比于單位體積激活物質(zhì)的凈受激發(fā)射光子數(shù)假設(shè)f2＝f1由上式可寫為（1.3.4）所以（1.3.5）如果(n2－n1)不隨z而變化，則增益系數(shù)g為一常數(shù)g0，(1.3.3)式為線性微分方程。積分得：（1.3.6）式中，I0為z＝0處的初始光強(qiáng)。這就是如圖1.3.3所示的線性增益或小信號增益情況。但是，實(shí)際上光強(qiáng)I

的增加正是由于高能級原子向低能級受激躍遷的結(jié)果，或者說光放大正是以單位體積內(nèi)集居數(shù)差值n2(z)－n1(z)的減小為代價的。并且，光強(qiáng)I

越大，n2(z)－n1(z)減少得越多，所以實(shí)際上n2(z)－n1(z)隨z的增加而減少。因而增益系數(shù)g也隨z的增加而減小，這稱為增益飽和效應(yīng)。與此相應(yīng)，我們可將單位體積內(nèi)集居數(shù)差值表示為光強(qiáng)I的函數(shù)(詳見4.5)：（1.3.7）式中，Is為飽和光強(qiáng)。在這里，可暫時將Is理解為描述增益飽和效應(yīng)而唯象引入的參量。n20－n10為光強(qiáng)I＝0時單位體積內(nèi)的初始集居數(shù)差值。從(1.3.7)式出發(fā)，我們可將式(1.3.5)改寫為（1.3.8）或（1.3.9）式中，g0＝g(I＝0)即為小信號增益系數(shù)。如果在放大器中光強(qiáng)始終滿足條件I<<Is。則增益系數(shù)g(I)＝g0為常數(shù)且不隨z變化，這就是(1.3.6)式表示的小信號情況。反之，在條件I<<Is不能滿足時，(1.3.9)式表示的g(I)稱為大信號增益系數(shù)（或飽和增益系數(shù)）。最后指出，增益系數(shù)也是光波頻率v的函數(shù)，表示為g(v,I)。這是因?yàn)槟芗塃1和E2由于各種原因(見第四章)總有一定的寬度，所以在中心頻率v＝(E2－E1)/h附近一個小范圍(±?Dv)內(nèi)都有受激躍遷發(fā)生。g(v,I)隨頻率v的變化曲線稱為增益曲線，Dv稱為增益曲線寬度．如圖1.3.4所示。關(guān)于增益系數(shù)的詳細(xì)討論見第四章。

1.4光的自激振蕩上節(jié)所述的激光放大器在許多大功率裝置中廣泛地用來把弱的激光束逐級放大。但是在更多的場合下須要使用激光自激振蕩器，通常所說的激光器就是指激光自激振蕩器。一、自激振蕩概念在光放大的同時，總是還存在著光的損耗，我們可以引入損耗系數(shù)a

來描述。a定義為光通過單位距離后光強(qiáng)衰減的百分比，它表示為

(1.4.1)同時考慮增益和損耗，則有

(1.4.2)假設(shè)有微弱光（光強(qiáng)為I0）進(jìn)入一無限長放大器。起初，光強(qiáng)I(z)將按小信號放大規(guī)律增長。但是隨I(z)的增加，g(I)將由于飽和效應(yīng)而按(1.3.9)式減小，因而I(z)的增長將逐漸變緩。最后，當(dāng)g(I)＝a時，I(z)不再增加并達(dá)到一個穩(wěn)定的極限值Im（見圖1.4.1）。根據(jù)條件g(I)＝a可求得Im

為即（1.4.3）可見，Im只與放大器本身的參數(shù)有關(guān)而與初始光強(qiáng)I0無關(guān)，特別是，不管初始I0多么微弱。只要放大器足夠長，就總是形成確定大小的光強(qiáng)Im，這實(shí)際上就是自激振蕩的概念。這就表明，當(dāng)激光放大器的長度足夠大時，它可能成為一個自激振蕩器。實(shí)際上，并不需要真正把激活物質(zhì)的長度無限增加，而只要在具有一定長度的光放大器兩端放置如1.3節(jié)所述的光諧振腔。這樣，軸向光波模就能在反射鏡間往返傳播，就等效于增加放大器長度。光諧振腔的這種作用也稱為光的反饋。由于在腔內(nèi)總是存在頻率在v0附近的微弱的自發(fā)輻射光(相當(dāng)于初始光強(qiáng)I0)，它經(jīng)過多次受激輻射放大就有可能在軸向光波模上產(chǎn)生光的自激振蕩，這就是激光器。綜上所述，一個激光器應(yīng)包括光放大器和光諧振腔兩部分，這和1.3節(jié)所述構(gòu)成激光器的基本思想是一致的。但對光腔的作用則應(yīng)歸結(jié)為兩點(diǎn)：

1．模式選擇。保證激光器單模(或少數(shù)軸向模)振蕩，從而提高激光器的相干性。

2．提供軸向光波模的反饋。應(yīng)該指出，光腔的上述作用雖然是重要的，但并不是原則上不可缺少的。對于某些增益系數(shù)很高的激活物質(zhì)，不需要很長的放大器就可以達(dá)到(1.4.3)式所示的穩(wěn)定飽和狀態(tài)，因而往往不用光諧振腔(當(dāng)然在相干性上有所損失)。這一問題將在6.5節(jié)詳細(xì)討論。3、諧振腔的作用增益介質(zhì)(1).限定光的方向沿軸線的光在增益介質(zhì)內(nèi)來回反射，連鎖放大，輸出形成激光。其它方向的光很快逸出諧振腔。(2).選擇光振蕩的頻率（駐波條件）I0eGLr1I0eGLr1I0e2GL(3).延長增益介質(zhì)r2r1≤I0增益介質(zhì)閾值條件r1r2I0e2GL二、振蕩條件一個激光器能夠產(chǎn)生自激振蕩的條件，即任意小的初始光強(qiáng)I0都能形成確定大小的腔內(nèi)光強(qiáng)Im的條件可從(1.4.3)式求得：即

(1.4.4)這就是激光器的振蕩條件。式中g(shù)0為小信號增益系數(shù)；a為包括放大器損耗和諧振腔損耗在內(nèi)的平均損耗系數(shù)。當(dāng)g0=a時，稱為閾值振蕩情況，這時腔內(nèi)光強(qiáng)維持在初始光強(qiáng)I0的極其微弱的水平上。當(dāng)g0>a時，腔內(nèi)光強(qiáng)Im就增加，并且Im正比于(g0－a)?？梢娫鲆婧蛽p耗這對矛盾就成為激光器是否振蕩的決定因素。特別應(yīng)該指出，激光器的幾乎一切特性（例如輸出功率、單色性、方向性等）以及對激光器采取的技術(shù)措施（例如穩(wěn)頻、選模、鎖模等）都與增益和損耗特性有關(guān)。因此工作物質(zhì)的增益特性和光腔的損耗特性是掌握激光基本原理的線索。振蕩條件式(1.4.4)有時也表示為另一種形式。設(shè)工作物質(zhì)長度為l，光腔長度為L，令aL＝d稱為光腔的單程損耗因子，振蕩條件可寫為

g0l≥d(1.4.5)g0l稱為單程小信號增益。1.5激光的特性從前幾節(jié)所述的概念中可以預(yù)見到，激光器一定具有和普通光源很不相同的特性。第一臺紅寶石激光器從實(shí)驗(yàn)上很典型地顯示了這一點(diǎn)。圖1.5.1給出第一臺紅寶石激光器在氙燈光強(qiáng)低于振蕩閾值和高于振蕩閾值時的不同光束特性。顯然，前者是普通光，而后者是激光。這里，氙燈光強(qiáng)的量變在一定的關(guān)節(jié)點(diǎn)（閾值）上引起光束特性的質(zhì)變。圖1.5.1(a)表示光譜儀觀察到的激光譜線變窄，或光的頻帶寬度Dv的減小，這就是激光的單色性。圖1.5.1(b)表示在激光器輸出反射鏡面上放置雙縫光闌時，激光可以形成清晰的干涉圖像，而自發(fā)輻射光卻不能形成干涉，這就是激光的空間相干性。圖1.5.1(c)表示激光沿光腔軸向傳播，并具有很好的方向性，而普通光向各個方向傳播。圖1.5.1(d)表示從熒光（自發(fā)輻射）向激光轉(zhuǎn)變時，光強(qiáng)急劇增加，這就是激光的高強(qiáng)度。所有這些現(xiàn)象都可以在本章前幾節(jié)所述概念的基礎(chǔ)上得到定性的解釋。以上所述，一般通稱為激光的四性：單色性、相干性、方向性和高亮度。實(shí)際上，這四性本質(zhì)上可歸結(jié)為一性，即激光具有很高的光子簡并度。也就是說，激光可以在很大的相干體積內(nèi)有很高的相干光強(qiáng)。激光的這一特性正是由于受激輻射的本性和光腔的選模作用才得以實(shí)現(xiàn)的。以下我們將激光的相干性分為空間相干性、時間相干性和相干光強(qiáng)三方面討論。一、激光的空間相干性和方向性光束的空間相干性和它的方向性（用光束發(fā)散角描述）是緊密聯(lián)系的。對于普通光源，從(1.1.20)式可以看出，只有當(dāng)光束發(fā)散角小于某一限度，即Dq≤l/Dx時，光束才具有明顯的空間相干性。例如，一個理想的平面光波是完全空間相干光，同時它的發(fā)散角為零。對于激光器也有類似的關(guān)系。通常把光波場的空間分布分解為沿傳播方向（腔軸方向）的分布E(z)和在垂直于傳播方向的橫截面上的分布E(x,y)。因而光腔模式可以分解為縱模和橫模。它們分別代表光腔模式的縱向（腔軸方向）光場分布和橫向光場分布，用符號TEMmn標(biāo)志不同橫模的光場分布。TEM代表光波是橫電磁波，m、n分別表示在x和y方向（軸對稱情況）光場通過零值的次數(shù)。TEM00模稱為基模，其他稱為高次模。激光束的空間相干性和方向性都與激光的橫模結(jié)構(gòu)相聯(lián)系。如果激光是TEM00單橫模結(jié)構(gòu)，則如1.1所述，同一模式內(nèi)的光波場是空間相干的，而另一方面，單橫模結(jié)構(gòu)又具有最好的方向性。反之，如果激光是多橫模結(jié)構(gòu)，由于不同模式的光波場是非相干的，所以激光的空間相干性程度減小，而另一方面多橫模就意味著方向性變差（高次模發(fā)散角加大）。這表明，激光的方向性越好，它的空間相干性程度就越高。激光的高度空間相干性在物理上是容易理解的。以平行平面腔TEM00單橫模激光器為例，工作物質(zhì)內(nèi)所有激發(fā)態(tài)原于在同一TEM00模光波場激發(fā)（控制）下受激輻射，并且受激輻射光與激發(fā)光波場同相位、同頻率、同偏振和同方向。即所有原子的受激輻射都在TEM00模內(nèi)，因而激光器發(fā)出的TEM00模激光束接近于沿腔軸傳播的平面波即接近于完全空間相干光并具有很小的光束發(fā)散角。 由此可見，為了提高激光器的空間相干性，首先應(yīng)限制激光器工作在TEM00單橫模；其次，合理選擇光腔的類型以及增加腔長以利于提高光束的方向性。另外，許多實(shí)際因素，如工作物質(zhì)的不均勻姓、光腔的加工和調(diào)整誤差等都會導(dǎo)致方向性變差。激光所能達(dá)到的最小光束發(fā)散角還要受到衍射效應(yīng)的限制，它不能小于激光通過輸出孔徑時的衍射角qm。qm稱為衍射極限。設(shè)光腔輸出孔徑為2a，則衍射極限qm為

qm≈l/2a[rad](1.5.1)例如對氦氖氣體激光器,l＝0.63微米，取2a＝3毫米，則qm≈2×10-4弧度。不同類型激光器的方向性差別很大，它與工作物質(zhì)的類型和均勻性、光腔類型和腔長、激勵方式以及激光器的工作狀態(tài)有關(guān)，氣體激光器由于工作物質(zhì)有良好的均勻性。并且腔長一般較大，所以有最好的方向性，可達(dá)到qm≈10-3弧度，He-Ne激光器甚至可達(dá)3×10-4弧度，這已十分接近其衍射極限qm

。固體激光器方向性較差。一般在10-2弧度量級。其主要原因是，有許多因素造成固體材料的光學(xué)非均勻性，以及一般固體激光器使用的腔長較短和激勵的非均勻性等，半導(dǎo)體激光器的方向性最差，一般在(5~10)×10-2弧度量級。激光束的空間相干性和方向性對它的聚焦性能有重要影響?？梢宰C明，當(dāng)一束發(fā)散角為q的單色光被焦距為F的透鏡聚焦時，焦面光斑直徑D為

D＝Fq(1.5.2)在q等于衍射極限q