《隨機(jī)過程-計(jì)算與應(yīng)用》課件平穩(wěn)過程4

在無線電、通信技術(shù)等領(lǐng)域的一些問題中,通常需要分析平穩(wěn)過程的頻域結(jié)構(gòu).平穩(wěn)過程的功率譜密度為此引入平穩(wěn)過程的功率譜密度定義5.4.1設(shè)X={Xt,-∞<t<+∞}是平穩(wěn)過程,記一些預(yù)備知識(shí)能量型信號(hào)—總能量有限的信號(hào)設(shè)能量型信號(hào)x(t)在(-∞,+∞)上絕對(duì)可積，則x(t)的Fouier變換存在，或說x(t)存在頻譜，即信號(hào)通常有能量型和功率型即信號(hào)的總能量等于能譜密度在全頻域上的積分.對(duì)總能量無限的信號(hào)—功率型信號(hào)x(t)，轉(zhuǎn)為討論其平均功率：相應(yīng)的是否也有一個(gè)能計(jì)算平均功率的譜密度？為此構(gòu)造一個(gè)截尾函數(shù):定義5.4.1設(shè)X={Xt,-∞<t<+∞}是平穩(wěn)過程,記定理5.4.1

設(shè)平穩(wěn)過程X={Xt-∞<t<+∞}的相關(guān)函數(shù)RX(τ)絕對(duì)可積,則有上式表明相關(guān)函數(shù)和譜密度是一對(duì)傅里葉變換對(duì).上兩式也稱為維納-辛欽公式.由定理5.4.1知道若平穩(wěn)過程X={Xt-∞<t<+∞}的相關(guān)函數(shù)RX(τ)絕對(duì)可積,則有傅里葉變換實(shí)現(xiàn)了時(shí)域與頻域的轉(zhuǎn)換.譜密度的性質(zhì)平穩(wěn)過程的譜密度有以下性質(zhì)：（1）譜密度是非負(fù)實(shí)函數(shù).（2）實(shí)平穩(wěn)過程的譜密度是非負(fù)實(shí)偶函數(shù).事實(shí)上，對(duì)實(shí)平穩(wěn)過程,平均功率說明平均功率可以用譜密度曲線下的總面積來計(jì)算.說明譜密度的零頻率分量等于相關(guān)函數(shù)曲線下的總面積.●

線性性質(zhì)●

位移性質(zhì)●

微分性質(zhì)譜密度的計(jì)算以維納-辛欽公式為基本公式,并結(jié)合Fourier變換的性質(zhì)等進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算.Fourier變換的性質(zhì)例5.4.1設(shè)平穩(wěn)過程X={Xt,t≥0}的相關(guān)函數(shù)為試計(jì)算X的譜密度.例5.4.2設(shè)X={Xt,-∞<t<+∞}為零均值的實(shí)的正交增量過程，且滿足令驗(yàn)證Y={Yt,-∞<t<+∞}為平穩(wěn)過程，并計(jì)算Y的譜密度.例5.4.3.

設(shè)平穩(wěn)過程X的功率譜密度為計(jì)算X的平均功率.例5.4.4.

已知平穩(wěn)過程的功率譜密度為計(jì)算相關(guān)函數(shù).例5.4.6.

已知平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)求其譜密度.則以下級(jí)數(shù)收斂，平穩(wěn)序列譜密度的相應(yīng)概念和結(jié)論設(shè)平穩(wěn)序列X={Xn,n=0,±1,…}的相關(guān)函數(shù)絕對(duì)收斂，即例5.4.8

設(shè)X={Xn,n=0,±1,…}為純隨機(jī)序列,即有驗(yàn)證序列Y={Yn,n=0,±1,…}為平穩(wěn)序列，并計(jì)算其譜密度.設(shè)X={Xt,-∞<t<+∞},Y={Yt,-∞<t<+∞}是聯(lián)合平穩(wěn)的平穩(wěn)過程,則X和Y的互功率譜密度(簡(jiǎn)稱互譜密度)為其中互譜密度及其性質(zhì)互譜密度的性質(zhì)則(1)聯(lián)合平穩(wěn)的平穩(wěn)過程X={Xt,-∞<t<+∞}和Y={Yt,-∞<t<+∞}的互相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積:若X和Y是實(shí)聯(lián)合平穩(wěn)的平穩(wěn)過程,則SXY(ω)的

實(shí)部為偶函數(shù),虛部為奇函數(shù).同理證明另一個(gè).例5.4.9

設(shè)X={Xt,-∞<t<+∞},Y={Yt,-∞<t<+∞}是聯(lián)合平穩(wěn)的平穩(wěn)過程,X和Y的譜密度與互譜密度分別為SX(ω),SY(