廣東省深圳市深圳盟校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

廣東省深圳市深圳盟校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線(xiàn)內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：選擇性必修第一冊(cè)第一章和第二章.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)得解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C2.直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線(xiàn)方程直接寫(xiě)出其方向向量即可得答案.【詳解】由，得，所以直線(xiàn)斜率為，又當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，所以直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，故選：C.3.若直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，則直線(xiàn)所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直線(xiàn)方向向量的夾角余弦的絕對(duì)值即可得解.【詳解】設(shè)直線(xiàn)所成角為，所以，所以.故選：B4.已知圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，可求的值.【詳解】由，得，故圓心為，又因?yàn)閳A關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故圓心在直線(xiàn)上，則.故選：A5.已知點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段AB相交，則該直線(xiàn)斜率的取值范圍是（）A. B. C. D.[1,4]【答案】D【解析】【分析】記為點(diǎn)，求出的斜率，結(jié)合圖象可得結(jié)論．【詳解】記為點(diǎn)，則直線(xiàn)PA的斜率，直線(xiàn)PB的斜率，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與線(xiàn)段AB相交，結(jié)合圖象，可得直線(xiàn)的斜率的取值范圍是[1,4].故選：D．6.已知直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則直線(xiàn)與平面的關(guān)系是（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線(xiàn)方向向量與平面法向量垂直得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，則或.故選：D7.如圖，在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得各點(diǎn)的坐標(biāo)，以及直線(xiàn)的方向向量，利用向量法直接求解即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，如下所示：易知，，;取，，則，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為．故選：B.8.已知，是圓上兩點(diǎn)，且，若直線(xiàn)上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)，確定點(diǎn)軌跡，再由點(diǎn)軌跡與直線(xiàn)有公共點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可知:圓的圓心為，半徑，設(shè)中點(diǎn)為，則，且，可得，又因?yàn)?，可知為等腰直角三角形，則，可得，故點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，因?yàn)橹本€(xiàn)上存在點(diǎn)使得，即直線(xiàn)與圓有交點(diǎn)，即圓心到直線(xiàn)的距離，解得或.故選：A二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距是軸上的截距的3倍，則直線(xiàn)的方程為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)直線(xiàn)在坐標(biāo)軸上的截距為0與不為0討論求解即可.【詳解】當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，將點(diǎn)代入可得，所以，即;當(dāng)截距不等于0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，將點(diǎn)代入可得，解得，所以直線(xiàn)的方程為，即，所以直線(xiàn)的方程為或.故選：BD10.下列圓中與圓相切的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】判斷圓心距是否等于兩圓的半徑之和或差的絕對(duì)值．【詳解】由題知，圓的圓心為，半徑為4.A選項(xiàng)，的圓心為，半徑為2，故，由于，所以圓與內(nèi)切，A正確；B選項(xiàng)，的圓心為，半徑為1，故，由于，故圓與外切，B正確；C選項(xiàng)，的圓心為，半徑為4，故，由于，故圓與不相切，C錯(cuò)誤;D選項(xiàng)，的圓心為，半徑為1，故，由于，故圓與不相切，D錯(cuò)誤.故選：AB．11.如圖，四棱錐中，底面，底面為正方形，且，分別為的中點(diǎn)，則（）A.B.與所成角的余弦值是C.點(diǎn)到平面的距離為D.過(guò)點(diǎn)的平面截四棱錐的截面面積為【答案】AC【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用判斷A，根據(jù)向量的夾角公式判斷異面直線(xiàn)所成角判斷B，利用向量法求點(diǎn)到平面距離判斷C，利用向量法確定截面為四邊形對(duì)角線(xiàn)垂直，求面積判斷D.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，故A正確；，則與所成角的余弦值為，故B錯(cuò)誤；，設(shè)平面的法向量為，則令，可得，則點(diǎn)到平面距離為，故C正確；設(shè)過(guò)點(diǎn)的平面與線(xiàn)段的交點(diǎn)為，則，因?yàn)楣裁?，則共面，故存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得，即，所以解得，所以，則，因?yàn)?，所以，所以過(guò)點(diǎn)的平面截四棱錐的截面面積為，故D錯(cuò)誤．故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用坐標(biāo)的方法，確定D選項(xiàng)中的截面與線(xiàn)段的交點(diǎn)為的坐標(biāo)，再由此確定確定垂直，是解決四邊形面積的關(guān)鍵所在.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，利用空間兩點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：.13.若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則與之間的距離為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，先求出的值，再利用平行線(xiàn)間的距離公式，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)平行，所以直線(xiàn)斜率存在，且，得到，此時(shí)，即，滿(mǎn)足，所以與之間的距離，故答案為：.14.空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問(wèn)題：已知平面的方程為，直線(xiàn)是兩平面與的交線(xiàn)，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】由平面方程求得其一個(gè)法向量，再確定直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，（可根據(jù)直線(xiàn)上兩點(diǎn)，也可根據(jù)直線(xiàn)與兩個(gè)平面的法向量垂直求解），由法向量與方向向量的夾角可得線(xiàn)面角．【詳解】法一：因?yàn)槠矫娴姆匠虨?，所以平面的一個(gè)法向量，又直線(xiàn):上有兩個(gè)點(diǎn)，所以直線(xiàn)的方向向量為，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.故答案為：．法二：由題知兩平面與的法向量分別為，設(shè)直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，則即，取，則，又平面的法向量，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.求滿(mǎn)足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）圓心為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)；（2）圓心在直線(xiàn)上，且與軸交于點(diǎn).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓心和圓上的點(diǎn)求圓的半徑，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)垂徑定理，圓心在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，又圓心在直線(xiàn)上可求圓心，再求半徑，得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問(wèn)1詳解】由兩點(diǎn)間的距離公式可得圓的半徑故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】因?yàn)閳A與y軸交于點(diǎn)，所以圓心在直線(xiàn)y=3上.又圓心在直線(xiàn)上，所以圓心的坐標(biāo)為，所以圓的半徑，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16.已知向量，，.（1）當(dāng)時(shí)，若向量與垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若向量與向量、共面，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可求出的值，由題意可得出，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于、、的方程組，即可解得實(shí)數(shù)的值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，解得，?由，且，得，解得.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)橄蛄颗c向量、共面，所以設(shè)，因此，即，解得，故的值為.17.已知的三個(gè)頂點(diǎn)是.（1）求BC邊上的高所在直線(xiàn)的方程;（2）若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)A，B到直線(xiàn)的距離相等，求直線(xiàn)的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系得出高所在直線(xiàn)斜率，點(diǎn)斜式得出直線(xiàn)方程；（2）由題意轉(zhuǎn)化為所求直線(xiàn)與AB平行或過(guò)AB的中點(diǎn)，分別求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以BC邊上的高所在直線(xiàn)的斜率為1，所以BC邊上高所在直線(xiàn)為，即.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A，B到直線(xiàn)的距離相等，所以直線(xiàn)與AB平行或過(guò)AB的中點(diǎn)，①當(dāng)直線(xiàn)與AB平行，所以，所以，即.②當(dāng)直線(xiàn)過(guò)AB的中點(diǎn)，所以，所以，即.綜上，直線(xiàn)的方程為或.18.已知以點(diǎn)為圓心的圓與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)N，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（M，N與不重合）（1）求證：的面積為定值;（2）設(shè)直線(xiàn)與圓交于點(diǎn)A，B，若，求實(shí)數(shù)的值；（3）在（2）的條件下，設(shè)P，Q分別是直線(xiàn)和圓上的動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）最小值為，點(diǎn)【解析】【分析】（1）求出圓與坐標(biāo)的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后計(jì)算三角形面積可得．（2）由與垂直，斜率乘積為可得；（3）求出關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，連接，線(xiàn)段與直線(xiàn)的交點(diǎn)為與圓的交點(diǎn)為，此時(shí)的長(zhǎng)度即為所示最小值．【小問(wèn)1詳解】由圓的方程，化簡(jiǎn)得，其與軸，軸的交點(diǎn)分別為:，所以為定值.【小問(wèn)2詳解】如圖①所示，因?yàn)椋?又OC的斜率，所以，解得（負(fù)數(shù)舍去），【小問(wèn)3詳解】如圖②所示，由②知:圓的方程為:，圓心，半徑.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則中點(diǎn)為，且解得，即，則，又點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最短距離為，則的最小值為，此時(shí)直線(xiàn)的方程為:，即.點(diǎn)為直線(xiàn)與直線(xiàn)交點(diǎn)，則解得即點(diǎn)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定直線(xiàn)上的點(diǎn)到定點(diǎn)與定圓上點(diǎn)的距離之和最值問(wèn)題，首先把定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為此定點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，過(guò)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與圓心的直線(xiàn)與直線(xiàn)相交的點(diǎn)，與圓相交的點(diǎn)即為取得最值的動(dòng)點(diǎn)，圓上的交點(diǎn)有兩個(gè)一個(gè)是最小值點(diǎn)，一個(gè)是最大值點(diǎn)．19.在中，，，，分別是上的點(diǎn)，滿(mǎn)足且經(jīng)過(guò)的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大??；（3）在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在，或【解析】【分析】（1）應(yīng)用線(xiàn)面垂直的判定定理證明線(xiàn)面垂直關(guān)系，再由性質(zhì)定理得到線(xiàn)線(xiàn)垂直關(guān)系，進(jìn)而再利用判定定理證明所求證的線(xiàn)面垂直關(guān)系；（2）以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.用向量法求與平面所成角的大?。唬?）假設(shè)存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為，設(shè)，分別求解兩平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樵谥?，，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面內(nèi)，所以平面；【小問(wèn)2詳解】由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋剩?/p>