高三數(shù)學(xué)：浙江鎮(zhèn)海2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（原卷板+解析版）

鎮(zhèn)海中學(xué)2023學(xué)年第一學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)試題說(shuō)明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時(shí)間120分鐘，本次考試不得使用計(jì)算器，請(qǐng)考生將所有題目都做在答題卷上．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1，，則（）A. B.C. D.2.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.3.設(shè)函數(shù)（，），則函數(shù)的單調(diào)性（）A.與有關(guān)，且與有關(guān) B.與無(wú)關(guān)，且與有關(guān)C.與有關(guān)，且與無(wú)關(guān) D.與無(wú)關(guān)，且與無(wú)關(guān)4.已知等差數(shù)列，則是成立的（）條件A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要5.已知直線a，m，n，l，且m，n為異面直線，平面，平面．若l滿足，，則下列說(shuō)法中正確的是（）A. B.C.若，則 D.6.已知是單位向量，且它們的夾角是.若，且，則（）A.2 B. C.2或 D.3或7.函數(shù)在上的圖象大致為（）A. B.C. D.8.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為（）A.12 B.24 C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的有（）A. B. C. D.10.已知，的定義域?yàn)镽，且（），，若為奇函數(shù)，則（）A.關(guān)于對(duì)稱 B.為奇函數(shù)C. D.為偶函數(shù)11.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線：，，為曲線上動(dòng)點(diǎn)，則（）A.曲線關(guān)于y軸對(duì)稱 B.曲線的圖象具有3條對(duì)稱軸C. D.的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，角的對(duì)邊分別為，已知．則角______.13.鎮(zhèn)海中學(xué)舉辦大觀紅樓知識(shí)競(jìng)賽，該比賽為擂臺(tái)賽，挑戰(zhàn)者向守擂者提出挑戰(zhàn)，兩人輪流答題，直至一方答不出或答錯(cuò)，則另一方自動(dòng)獲勝，挑戰(zhàn)者先答題，守擂者和挑戰(zhàn)者每次答對(duì)問(wèn)題的概率都是，每次答題互相獨(dú)立，則挑戰(zhàn)者最終獲勝的概率為_(kāi)_____.14.在四面體中，，若，則四面體體積最大值是__________，它的外接球表面積的最小值為_(kāi)_________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，向量，且．（1）求；（2）若的外接圓半徑為2，且，求的面積．16.已知為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)的乘積，且，，數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列為遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；17.某款游戲預(yù)推出一項(xiàng)皮膚抽卡活動(dòng)，玩家每次抽卡需要花費(fèi)10元，現(xiàn)有以下兩種方案．方案一：沒(méi)有保底機(jī)制，每次抽卡抽中新皮膚的概率為；方案二：每次抽卡抽中新皮膚的概率為，若連續(xù)99次未抽中，則第100次必中新皮膚．已知，玩家按照一、二兩種方案進(jìn)行抽卡，首次抽中新皮膚時(shí)的累計(jì)花費(fèi)為X，Y（元）．（1）求X，Y的分布列；（2）求；（3）若，根據(jù)花費(fèi)的均值從游戲策劃角度選擇收益較高的方案．（參考數(shù)據(jù)：．）18.已知橢圓C：（，）左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為（）的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），的周長(zhǎng)為8．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，將平面xOy沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面）與y軸負(fù)半軸和x軸所確定的半平面（平面）互相垂直．①若，求三棱錐的體積，②若，異面直線和所成角的余弦值；③是否存在（），使得折疊后的周長(zhǎng)為與折疊前的周長(zhǎng)之比為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19.在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度．考察如圖所示的光滑曲線C：上的曲線段，其弧長(zhǎng)為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從A沿曲線段運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫曲線C在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線C在點(diǎn)A處的曲率．（其中y＇，y＇＇分別表示在點(diǎn)A處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）（1）求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；（2）求橢圓在處曲率；（3）定義為曲線的“柯西曲率”．已知在曲線上存在兩點(diǎn)和，且P，Q處的“柯西曲率”相同，求的取值范答案解析鎮(zhèn)海中學(xué)2023學(xué)年第一學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)試題說(shuō)明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時(shí)間120分鐘，本次考試不得使用計(jì)算器，請(qǐng)考生將所有題目都做在答題卷上．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求解一元二次不等式，得集合A，再求交集.【詳解】由，可得，所以，則.故選：C2.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行求解.【詳解】由已知，可知為增函數(shù)，且，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，函數(shù)在有零點(diǎn)，且零點(diǎn)是唯一的.故選：B3.設(shè)函數(shù)（，），則函數(shù)的單調(diào)性（）A.與有關(guān)，且與有關(guān) B.與無(wú)關(guān)，且與有關(guān)C.與有關(guān)，且與無(wú)關(guān) D.與無(wú)關(guān)，且與無(wú)關(guān)【答案】D【解析】【分析】通過(guò)對(duì)進(jìn)行討論，再用復(fù)合函數(shù)的求單調(diào)性的方法，可知該函數(shù)的單調(diào)性與是否有關(guān).【詳解】函數(shù)（，），當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.則且，，的單調(diào)性都為單調(diào)遞減.所以函數(shù)（，）的單調(diào)性與無(wú)關(guān).故選：D4.已知等差數(shù)列，則是成立的（）條件A充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】正面證明得到充分性成立，舉反例否定必要性即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得顯然成立，故充分性成立，設(shè)首項(xiàng)為，公差為，當(dāng)時(shí)，無(wú)論取何值，一定成立，無(wú)法推出，可得必要性不成立，即則是成立的充分不必要條件.故選:B5.已知直線a，m，n，l，且m，n為異面直線，平面，平面．若l滿足，，則下列說(shuō)法中正確的是（）A. B.C.若，則 D.【答案】C【解析】【分析】由線面平行的判定定理和線面垂直的性質(zhì)定理可判定選項(xiàng)A、C，其它易證.【詳解】若，因?yàn)槠矫?，，所以，同理，過(guò)m上一點(diǎn)做直線n的平行線，則，設(shè)由m和確定的平面為，則，而，，同上可知，故，選項(xiàng)C正確；有可能，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由上可知，且，所以，或，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；如上圖，不一定成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C6.已知是單位向量，且它們的夾角是.若，且，則（）A.2 B. C.2或 D.3或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件將兩邊平方，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.【詳解】，即，解得或.故選：D7.函數(shù)在上的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結(jié)合特殊值，即可排除選項(xiàng).【詳解】首先，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故排除D，，故排除B，當(dāng)時(shí)，，故排除A，只有C滿足條件.故選：C8.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為（）A.12 B.24 C. D.【答案】B【解析】【分析】令，不等式變形為，求出的最小值，從而得到實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】，，變形為，令，則轉(zhuǎn)化為，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，可知.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式恒成立問(wèn)題，先分離參數(shù)后，然后利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的有（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及模的運(yùn)算公式對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可求解．【詳解】設(shè)，，其中.對(duì)于選項(xiàng)A:，所以與不一定相等，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B:因?yàn)椋?，因?yàn)?，所?故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)?所有因?yàn)?，所?故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)椋?，而與不一定相等,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：BC.10.已知，的定義域?yàn)镽，且（），，若為奇函數(shù)，則（）A.關(guān)于對(duì)稱 B.為奇函數(shù)C. D.為偶函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性，對(duì)稱性定義一一判斷即可.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且，所以關(guān)于對(duì)稱，故A正確；但不能確定為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；根據(jù)題意，是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，令，得，故C正確；因?yàn)椋瑒t，結(jié)合，則，所以，即為偶函數(shù)，故D正確.故選：ACD11.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線：，，為曲線上動(dòng)點(diǎn)，則（）A.曲線關(guān)于y軸對(duì)稱 B.曲線的圖象具有3條對(duì)稱軸C. D.的最大值為【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A:將用替換代入方程計(jì)算，即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B:令，，代入整理可得，利用周期性與對(duì)稱性即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C:代入，借助三角恒等變換公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可；對(duì)于選項(xiàng)D:借助三角函數(shù)的性質(zhì)并表示出.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:將用替換代入方程，方程不變，故曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B:由，令，，代入整理可得，其中，為點(diǎn)所在終邊對(duì)應(yīng)的角度，且，因?yàn)?，故，因?yàn)榍€關(guān)于y軸對(duì)稱，故對(duì)應(yīng)的圖象關(guān)于軸（即y軸對(duì)稱）對(duì)稱，注意到關(guān)于的周期為，故曲線也關(guān)于和（即）對(duì)稱，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C:，C正確；對(duì)于選項(xiàng)D:，D錯(cuò)誤；故選：ABC．C另解：，該方程關(guān)于有解，令，則在上有根，由，則，或，解得；或綜上：．D另解：，解得．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于將曲線進(jìn)行換元，令，，代入整理得，借助三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)探討即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，角的對(duì)邊分別為，已知．則角______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理及二倍角公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】由正弦定理及二倍角公式得：，因?yàn)樵谥?，，，即，即，因?yàn)樵谥校?所以，所以.故答案為：.13.鎮(zhèn)海中學(xué)舉辦大觀紅樓知識(shí)競(jìng)賽，該比賽為擂臺(tái)賽，挑戰(zhàn)者向守擂者提出挑戰(zhàn)，兩人輪流答題，直至一方答不出或答錯(cuò)，則另一方自動(dòng)獲勝，挑戰(zhàn)者先答題，守擂者和挑戰(zhàn)者每次答對(duì)問(wèn)題的概率都是，每次答題互相獨(dú)立，則挑戰(zhàn)者最終獲勝的概率為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】設(shè)為挑戰(zhàn)者獲勝的概率，根據(jù)條件概率和獨(dú)立事件的概率公式列式求解.【詳解】在一輪答題中，挑戰(zhàn)者獲勝的概率為，守擂者獲勝的概率為，所以在一輪中若有勝者，則挑戰(zhàn)者獲勝的概率為，所以挑戰(zhàn)者最終獲勝的概率為.故答案為：.14.在四面體中，，若，則四面體體積的最大值是__________，它的外接球表面積的最小值為_(kāi)_________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)余弦定理以及不等式可得，進(jìn)而可求解面積的最大值，進(jìn)而根據(jù)，即可求解高的最大值，進(jìn)而可求解體積，根據(jù)正弦定理求解外接圓半徑，即可根據(jù)球的性質(zhì)求解球半徑的最小值，即可由表面積公式求解.【詳解】由余弦定理可得,故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，故面積的最大值為，，由于，所以點(diǎn)在以為直徑的球上（不包括平面），故當(dāng)平面平面時(shí)，此時(shí)最大為半徑，故，由正弦定理可得：，為外接圓的半徑，設(shè)四面體外接球半徑為,則,其中分別為球心和外接圓的圓心，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小，故外接球的表面積為,故答案為：,四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，向量，且．（1）求；（2）若的外接圓半徑為2，且，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合題意表示出，利用正弦定理將角化邊，借助余弦定理化簡(jiǎn)即可;（2）結(jié)合第（1）問(wèn)及余弦的和角公式，得到，利用正弦定理化簡(jiǎn)得，求出的面積即可.【小問(wèn)1詳解】由已知，即，由正弦定理得，即，整理得，即，又，故；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，則，即，又，所以．因?yàn)榈耐饨訄A半徑，所以由正弦定理可得，所以，所以．16.已知為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)的乘積，且，，數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列為遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)，可得，兩式相除可得，兩邊取對(duì)數(shù)并構(gòu)造常數(shù)列，即可求得答案.（2）由（1）的結(jié)論，求出，再根據(jù)單調(diào)數(shù)列的意義列式求解即得.【小問(wèn)1詳解】由為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)的乘積，得，由，得，于是，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，即，整理得，因此數(shù)列是常數(shù)列，即，于是，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，由數(shù)列為遞增數(shù)列，得，即，而數(shù)列是遞減數(shù)列，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.17.某款游戲預(yù)推出一項(xiàng)皮膚抽卡活動(dòng)，玩家每次抽卡需要花費(fèi)10元，現(xiàn)有以下兩種方案．方案一：沒(méi)有保底機(jī)制，每次抽卡抽中新皮膚的概率為；方案二：每次抽卡抽中新皮膚的概率為，若連續(xù)99次未抽中，則第100次必中新皮膚．已知，玩家按照一、二兩種方案進(jìn)行抽卡，首次抽中新皮膚時(shí)的累計(jì)花費(fèi)為X，Y（元）．（1）求X，Y的分布列；（2）求；（3）若，根據(jù)花費(fèi)的均值從游戲策劃角度選擇收益較高的方案．（參考數(shù)據(jù)：．）【答案】（1），，（2）（3）選擇方案二【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件和對(duì)立事件概率公式求出，（2）結(jié)合錯(cuò)位相減法可求期望，（3）由已知條件依次求得，，根據(jù)數(shù)學(xué)期望即可給出選擇方案.【小問(wèn)1詳解】可取值，可取值，當(dāng)時(shí)，摸球次數(shù)為，沒(méi)有抽中新皮膚的概率為，故，，．小問(wèn)2詳解】令，則，故，整理得到，所以，若玩家按方案一抽卡，花費(fèi)元時(shí)抽到皮膚，則抽取次數(shù)為，而，其中，.則，因?yàn)橥婕野捶桨敢怀榭ù螖?shù)無(wú)限制，且當(dāng)時(shí)，，，所以.【小問(wèn)3詳解】，即，由（2）可得故；若玩家按方案二抽卡，則可取值，且，其中，，故，因?yàn)?，故選擇方案二．18.已知橢圓C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為（）的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），的周長(zhǎng)為8．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，將平面xOy沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面）與y軸負(fù)半軸和x軸所確定的半平面（平面）互相垂直．①若，求三棱錐的體積，②若，異面直線和所成角的余弦值；③是否存在（），使得折疊后的周長(zhǎng)為與折疊前的周長(zhǎng)之比為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）①；②；③存在，【解析】【分析】（1）由橢圓定義求得，結(jié)合離心率求得，再求出后即得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①求得點(diǎn)坐標(biāo)，確定折疊后新坐標(biāo)，然后由體積公式計(jì)算體積；②建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求異面直線所成的角；③建立解析中所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)折疊前，，折疊后A，B在新圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，，，由三角形周長(zhǎng)求得，設(shè)方程為，代入橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，，用坐標(biāo)表示變形后代入，求出值，從而可得結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】由橢圓的定義知：，，所以的周長(zhǎng)，所以，又橢圓離心率為，所以，所以，，由題意，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】①由直線l：與，由得或，所以（因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方）以及，，，②O為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后原y軸負(fù)半軸，原x軸，原y軸正半軸所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．記異面直線和所成角為，則；③設(shè)折疊前，，折疊后A，B在新圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，，，折疊前