數(shù)學(xué)學(xué)案：例題與探究數(shù)軸上的基本公式平面直角坐標(biāo)系中的基本公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1已知數(shù)軸上的兩點(diǎn)A(x1)、B（x2），求線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo).思路分析：結(jié)合中點(diǎn)公式和數(shù)軸上的基本公式求解。解：設(shè)AB中點(diǎn)為O′（x），∵O′（x）是AB的中點(diǎn)，∴AO′=O′B。又∵A（x1）、B(x2)，∴AO′=x-x1，O′B=x2—x.由x-x1=x2—x得x=，∴中點(diǎn)坐標(biāo)為O′（）。綠色通道：這個(gè)結(jié)果可以作為結(jié)論在以后的解題中使用,即已知數(shù)軸上的兩點(diǎn)A（x1)、B（x2），則線段AB中點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（）.變式訓(xùn)練1已知數(shù)軸上的兩點(diǎn)A（x1)、B（x2),C是線段AB的中點(diǎn)，D是線段AC的中點(diǎn),求點(diǎn)C的坐標(biāo)。解：根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，由題意知C（），則D(），即D().例2根據(jù)下列條件，在數(shù)軸上分別畫(huà)出點(diǎn)P(x)并說(shuō)明式子表示的意義。（1)d（x，2)＜1；(2)｜x—2｜＞1；(3)|x—2|=1。思路分析：結(jié)合數(shù)軸，找出符合條件的點(diǎn)P（x）即可。解：如圖:圖2—1—（1，2）—2B（1)、A（2)、C（3）、D(4）。(1)d（x，2）＜1表示到點(diǎn)A(2)的距離小于1的點(diǎn)的集合，∴d(x,2)＜1表示線段BC（不包括端點(diǎn))。(2）｜x—2｜＞1表示到點(diǎn)A（2)的距離大于1的點(diǎn)的集合,∴|x-2|＞1表示射線BO和射線CD(不包括頂點(diǎn)）。(3)|x-2|=1表示到點(diǎn)A(2)的距離等于1的點(diǎn)的集合,∴｜x—2｜=1表示點(diǎn)B（1)和點(diǎn)C（3).綠色通道:題目給出的是一些不等式,但是卻可以表示一些點(diǎn)、線段或射線等幾何圖形,從而體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.變式訓(xùn)練2|x—2｜+|x—3|的最小值是_________________.思路解析：｜x-2|表示數(shù)軸上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)A(2)的距離，|x-3｜表示數(shù)軸上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)B（3）的距離,那么｜x-2｜+｜x—3|表示數(shù)軸上的任意一點(diǎn)C(x)到點(diǎn)A（2）的距離與到點(diǎn)B（3)的距離之和，即｜AC｜+｜CB|≤｜AB｜=1。答案:1例3已知A（-2，3）、B（2，-4)兩點(diǎn)，求d(A，B).思路分析:直接代入兩點(diǎn)間距離公式即可。解：∵x1=—2，x2=2，∴Δx=x2-x1=2-（-2)=4.又∵y1=3，y2=-4，∴Δy=y2—y1=（—4)—3=-7?！遜(A，B）=∴d（A,B）=。答:d(A，B）=.黑色陷阱：套用錯(cuò)誤公式d(A,B）=.變式訓(xùn)練3已知點(diǎn)A（1，4)、B(4,0)，在x軸上的點(diǎn)M與B的距離等于點(diǎn)A、B之間的距離，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。解：∵點(diǎn)M在x軸上，∴設(shè)M(a，0），則｜a—4|==5。解得a=-1或a=9?！郙(—1，0）或M(9，0)。例4用坐標(biāo)法證明定理：如果四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，則對(duì)任一點(diǎn)M，等式AM2+CM2=BM2+DM2成立.思路分析:用坐標(biāo)法證明幾何問(wèn)題時(shí),選取合適的坐標(biāo)系是一個(gè)很重要的問(wèn)題,選取好的坐標(biāo)系將給解題帶來(lái)很大的方便。本題中既可以選取長(zhǎng)方形的一個(gè)頂點(diǎn)作為坐標(biāo)系的原點(diǎn)（如證法一）,也可以利用長(zhǎng)方形的對(duì)稱性選取長(zhǎng)方形的中心作為坐標(biāo)系的原點(diǎn)（如證法二）。證法一:建立如圖2-1—(1，2）-3所示的坐標(biāo)系，設(shè)長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)為a、寬為b，圖2-1—(1，2）-3則A（0，b）、B(0,0)、C(a，0）、D(a,b)，設(shè)M（x,y)，∴AM2+CM2=［（y-b)2+（x—0）2］+[（y-0)2+（x—a)2]=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2.又∵BM2+DM2=[（y-0)2+（x-0）2］+[(y—b)2+（x-a)2］=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2,∴AM2+CM2=BM2+DM2。證法二：建立如圖2—1-（1，2)-4所示坐標(biāo)系,圖2—1-（1，2)-4設(shè)A(a，b）、B（—a,b)、C（-a，-b)、D（a，—b）、M(x，y），則|MA|2+｜MC｜2=（x—a）2+(y—b）2+(x+a）2+（y+b)2=2(x2+y2+a2+b2），|MB｜2+｜MD｜2=(x+a）2+（y—b）2+(x—a）2+(y+b)2=2（x2+y2+a2+b2）,∴AM2+CM2=BM2+DM2。綠色通道：建立坐標(biāo)系時(shí)，應(yīng)當(dāng)依據(jù)圖形的形狀特征合理選擇.不同的坐標(biāo)選擇，整理過(guò)程的復(fù)雜程度不同，應(yīng)該合理選擇，以求簡(jiǎn)化解題過(guò)程。變式訓(xùn)練4已知點(diǎn)A(1，1)、B（5，3）、C(0,3)，求證:△ABC為直角三角形。證明：∵AB=，AC=,BC=顯然有AB2+AC2=BC2?！唷鰽BC為直角三角形。變式訓(xùn)練5如圖2-1—（1,2）-5所示平面直角坐標(biāo)系中,在等腰梯形ABCO中，底AB=2,腰AO=4,∠AOC=60°，試求:圖2-1—(1,2）—5（1）A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);(2)梯形ABCO的面積S.解:（1）如圖2-1-（1，2)—5,過(guò)點(diǎn)A、B作AE⊥x軸,BF⊥x軸，∵AO=4，∠AOC=60°，∴｜AE|=|BF|=｜AO｜sin60°=，|OE｜=|FC|=｜AO｜c(diǎn)os60°=2.∴A(2，)、B(4，)、C（6，0）。(2）∵|AB｜=2，|OC|=6，|AE|=，∴S=(2+6）×=。問(wèn)題探究問(wèn)題在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，