數(shù)學(xué)學(xué)案：冪函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。3冪函數(shù)1．冪函數(shù)的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中α為常數(shù)．對(duì)冪函數(shù)概念的理解：（1）冪函數(shù)有著嚴(yán)格的形式，形如y＝x＋1，y＝2x2，y＝x2＋3，y＝（x＋3）3等都不是冪函數(shù)，因此要注意冪函數(shù)的書寫形式．(2)冪函數(shù)的定義域是使xα有意義的所有實(shí)數(shù)x的取值集合，因α的不同,定義域也各不相同．（3)要注意冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別．指數(shù)函數(shù)：形如y＝ax(a＞0,且a≠1)的函數(shù),其中x為自變量,自變量在指數(shù)位置，底數(shù)為常數(shù)且為不等于1的正數(shù)；冪函數(shù):形如y＝xα（α∈R)的函數(shù)，x為自變量,α為常數(shù)，自變量在底數(shù)位置，常數(shù)在指數(shù)位置，常數(shù)可正可負(fù)，可以為零．【例1－1】下列函數(shù)是冪函數(shù)的是(）A．y＝5xB．y＝x5C．y＝5xD．y＝（x＋1)3解析：函數(shù)y＝5x是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；函數(shù)y＝5x是正比例函數(shù)，不是冪函數(shù);函數(shù)y＝(x＋1）3的底數(shù)不是自變量x，不是冪函數(shù)；函數(shù)y＝x5是冪函數(shù)．答案：B【例1－2】已知函數(shù)是冪函數(shù),則m＝________。解析：由題意知,若f（x)為冪函數(shù)，則m2＋2m－2＝1.即m2＋2m－3＝0,解得m＝1或m＝－3。答案：1或－32．冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1）冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，,y＝x－1的圖象．作冪函數(shù)的圖象需注意以下三個(gè)方面：①定義域：分為x∈R，x≠0,x≥0，x＞0四種情形考慮；②奇偶性;③單調(diào)性：重點(diǎn)在第一象限，當(dāng)指數(shù)α＞0時(shí)，尤其要注意以(0,0)和（1，1）兩點(diǎn)為對(duì)角頂點(diǎn)的正方形內(nèi)部的變化情況．(2）一般冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)見下表冪函數(shù)y＝xα(α為常數(shù)）α＞0α＜0圖象性質(zhì)（1）圖象過點(diǎn)（0，0)和點(diǎn)（1,1）(1)圖象過點(diǎn)(1,1）(2)在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大，即在(0，＋∞）上是增函數(shù)(2)在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而減小,即在（0，＋∞）上是減函數(shù)(3)在第一象限內(nèi)，當(dāng)α＞1時(shí)，圖象下凸;當(dāng)0＜α＜1時(shí)，圖象上凸(3）在第一象限內(nèi),圖象都下凸(4）α為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)；α為偶數(shù)時(shí),冪函數(shù)為偶函數(shù)(5)冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi),必出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限內(nèi)提示:對(duì)于冪函數(shù)y＝xα（α∈R）的圖象可記住它在第一象限內(nèi)的圖象，再根據(jù)其奇偶性作出它在第二象限或第三象限內(nèi)的圖象．(3)常見冪函數(shù)的性質(zhì)．y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1圖象定義域RRR[0，＋∞）(－∞，0）∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R［0，＋∞）（－∞，0）∪(0，＋∞)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在(－∞，＋∞）上單調(diào)遞增在(－∞，0］上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增在（－∞，＋∞)上單調(diào)遞增在［0，＋∞)上單調(diào)遞增在（－∞，0）上單調(diào)遞減,在（0，＋∞）上單調(diào)遞減定點(diǎn)(1，1)，（0，0)（1，1），（0,0)(1，1)，(0,0）（1,1)，(0,0)（1，1)析規(guī)律冪函數(shù)y＝xα在第一象限的圖象特征（1)α＞1時(shí)，圖象過(0，0)，(1，1),下凸遞增，例如y＝x3；（2)0＜α＜1時(shí)，圖象過(0,0),（1,1)，上凸遞增，例如；(3）α＜0時(shí)，圖象過（1，1)，下凸遞減,且以兩條坐標(biāo)軸為漸近線，例如y＝x－1?！纠?－1】給定一組函數(shù)解析式：①；②;③;④;⑤；⑥；⑦和一組函數(shù)圖象．請(qǐng)把圖象對(duì)應(yīng)的解析式號(hào)碼填在下圖中的括號(hào)內(nèi)．解析:觀察前3個(gè)圖象,由于在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而減小，所以冪指數(shù)α應(yīng)小于零．其中第1個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,第2個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，而第3個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x｜x＞0}，所以第1個(gè)圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)，第2個(gè)圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)，第3個(gè)圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)。后4個(gè)圖象都通過(0,0)和(1，1）兩點(diǎn)，故知α＞0.第4個(gè)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，第5個(gè)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，定義域都是R，所以第4個(gè)圖象對(duì)應(yīng)函數(shù),第5個(gè)圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)。由最后兩個(gè)圖象知函數(shù)定義域?yàn)椋鹸|x≥0}，而第6個(gè)圖象呈上凸?fàn)?，α?yīng)小于1，第7個(gè)圖象呈下凸?fàn)?，α?yīng)大于1，故第6個(gè)圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)，第7個(gè)圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)。答案：⑥④③②⑦①⑤【例2－2】下列六個(gè)函數(shù)：，,，,y＝x－2，y＝x2中,定義域?yàn)镽的函數(shù)有()A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)解析：冪函數(shù)y＝xn的定義域?yàn)镽，則首先有，其次p是奇數(shù)，反之亦然．于是我們只要根據(jù)指數(shù)的取值的正負(fù)情況,以及p的奇偶性來作出判斷．函數(shù)，，y＝x2的定義域?yàn)镽，而函數(shù)的定義域?yàn)椋?，＋∞），函數(shù)及y＝x－2的定義域均為（－∞，0）∪(0，＋∞），所以定義域?yàn)镽的函數(shù)有3個(gè)，應(yīng)選擇B.答案:B3．冪函數(shù)的解析式及求函數(shù)值問題冪函數(shù)的解析式y(tǒng)＝xα中僅含有一個(gè)常數(shù)α，則只需要一個(gè)條件即可確定冪函數(shù)的解析式，這樣的條件往往是已知f（m）＝n或圖象過點(diǎn)（m，n)等等．通常利用待定系數(shù)法求解，設(shè)出冪函數(shù)的解析式為f(x）＝xα,利用已知條件列方程求出常數(shù)α的值．利用待定系數(shù)法求冪函數(shù)的解析式時(shí),常常遇到解方程，比如mα＝n,這時(shí)先把n化為以m為底數(shù)的指數(shù)冪形式n＝mk，則解得α＝k.還可以直接寫出α＝logmn，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡logmn.例如，解方程6α＝eq\f(1，36)，由于eq\f（1，36)＝6－2,所以α＝－2。當(dāng)然，也可以直接寫出α＝log6eq\f(1，36)，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得α＝log66－2＝－2.【例3－1】冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn),則f(3)＝________。解析:設(shè)f（x)＝xα，則，所以.所以f（x)＝x－2。所以f(3)＝3－2＝.答案:【例3－2】已知冪函數(shù)y＝（m2－5m－5）x2m＋1在(0，＋∞）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為__________．分析：先利用冪函數(shù)的定義求m的值，再利用單調(diào)性檢驗(yàn)求出的m值是否符合題意．解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝（m2－5m－5）x2m＋1是冪函數(shù)，所以m2－5m－5＝1,解得m＝－1或m＝6.當(dāng)m＝6時(shí)，給定的函數(shù)為y＝x13，在（0，＋∞）上為增函數(shù)，不符合條件；當(dāng)m＝－1時(shí),給定的函數(shù)為y＝x－1，在（0，＋∞)上為減函數(shù)，符合條件．答案:－14．比較同指數(shù)冪的大小比較同指數(shù)冪am和bm的大小時(shí),通常構(gòu)造冪函數(shù)f(x）＝xm，再利用冪函數(shù)f(x)＝xm的單調(diào)性來比較am和bm的大?。?比較1。23與1.13的大小時(shí)，可設(shè)函數(shù)f（x)＝x3,又函數(shù)f（x）＝x3在R上是增函數(shù)，1。2＞1。1,所以f（1。2）＞f(1.1)．所以1.23＞1.13。要注意：明確所給的指數(shù)冪分別是哪個(gè)冪函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值,最后根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性來判斷am和bm的大小關(guān)系．【例4】試比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大?。海?)與；(2)與;(3)與。解：(1）∵冪函數(shù)y＝x0.5在(0，＋∞）上是單調(diào)遞增的，又,∴.（2)∵冪函數(shù)y＝x－1在（－∞，0）上是單調(diào)遞減的,又,∴.(3）∵函數(shù)為減函數(shù)，又,∴，又∵函數(shù)在（0，＋∞)上是增函數(shù)，且，∴，∴。點(diǎn)技巧選擇合適的方法比較大小比較大小的關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，若指數(shù)相同，底數(shù)不同，則可考慮冪函數(shù)；若指數(shù)不同，底數(shù)相同，則可考慮指數(shù)函數(shù)；若底數(shù)、指數(shù)均不相同,則需引入中間變量進(jìn)行比較．5．與冪函數(shù)有關(guān)的簡單不等式(1)與冪函數(shù)有關(guān)的不等式往往是［f（x）］α＞[g（x）］α,通常利用冪函數(shù)y＝xα的定義域和單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為關(guān)于f（x）和g(x)的不等式組．例如，解不等式eq\r（x＋1)≤eq\r（2－x)，由于冪函數(shù)y＝eq\r(x）是[0,＋∞)上的增函數(shù)，則原不等式等價(jià)于eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋1≥0,，2－x≥0，，x＋1≤2－x，）)解得－1≤x≤eq\f(1,2），所以原不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(，,,，)）xeq\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,，)）－1≤eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(x≤\f(1，2）)）。解不等式的過程中,不能忽視冪函數(shù)的定義域,否則容易出錯(cuò)．如上例中，易忽視冪函數(shù)y＝eq\r（x)的定義域是[0，＋∞)，錯(cuò)得x≤eq\f（1，2)。(2)解與冪函數(shù)有關(guān)的不等式也可以結(jié)合冪函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．【例5－1】已知，則x的取值范圍是__________．解析：如圖，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出y＝x2和的圖象，交點(diǎn)為(0，0)和(1,1），欲使，需y＝x2的圖象在圖象的上方，數(shù)形結(jié)合可得x的取值范圍是（－∞，0）∪(1，＋∞)．答案：(－∞，0)∪（1,＋∞)【例5－2】若(a＋1)－1＜(3－2a）－1，試求a的取值范圍．分析：根據(jù)已知可以把給出的兩個(gè)值看成是冪函數(shù)y＝x－1在x1＝a＋1,x2＝3－2a時(shí)的兩個(gè)函數(shù)值，然后根據(jù)y＝x－1的單調(diào)性求出a的取值范圍．解：∵y＝x－1在區(qū)間(－∞，0）和區(qū)間(0，＋∞)上均是減函數(shù)，且（a＋1）－1＜（3－2a)－1,當(dāng)a＋1＜0＜3－2a，即a＜－1時(shí)，有(a＋1)－1＜(3－2a）－1；當(dāng)a＋1＜0，3－2a＜0時(shí)，則此不等式組無解；當(dāng)a＋1＞0,3－2a＞0時(shí)，由（a＋1）－1＜（3－2a）－1，得a＋1＞3－2a，即a滿足解得。綜上所述,a的取值范圍是(－∞，－1）∪.6．冪函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題由于高中階段僅僅討論冪指數(shù)α＝1,2，3，eq\f(1，2），－1時(shí)的冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，因此在教材中沒有討論其他冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)．由冪指數(shù)α＝1,2,3，eq\f(1,2)，－1時(shí)的情形可以看出,冪指數(shù)α的值不同,則冪函數(shù)f（x)＝xα的圖象與性質(zhì)就不同．所以討論冪函數(shù)的性質(zhì)時(shí),要從分析冪指數(shù)開始．比如，當(dāng)冪指數(shù)α∈Q時(shí),設(shè)α＝eq\f（p,q）（p，q∈Z,且p，q的最大公約數(shù)為1)，這時(shí)將冪函數(shù)的解析式化為y＝eq\r(q，xp)來討論其定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性．畫冪函數(shù)的圖象時(shí)，先根據(jù)奇偶性判斷其圖象的對(duì)稱性：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，非奇非偶函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸均不對(duì)稱．再結(jié)合以下結(jié)論畫出冪函數(shù)圖象的草圖：①函數(shù)的定義域是函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；②函數(shù)的值域是函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍;③函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)，則圖象在區(qū)間D上是“上升"的；函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù)，則圖象在區(qū)間D上是“下降”的．【例6－1】討論下列函數(shù)的定義域、值域、奇偶性，并作出函數(shù)圖象:（1)y＝x4;(2)；(3)y＝x－3.解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0,＋∞）．設(shè)y＝f(x),因?yàn)楹瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且f(－x)＝(－x）4＝x4＝f（x）,所以函數(shù)y＝x4是偶函數(shù)，因此函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，其圖象如圖①所示．（2)函數(shù)的定義域?yàn)閇0，＋∞），值域?yàn)椋?,＋∞)．函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．其圖象如圖②所示．(3）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?0）∪（0，＋∞)，值域