數(shù)學(xué)學(xué)案：學(xué)習(xí)導(dǎo)航對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.2。2對數(shù)函數(shù)-3.2.3指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系自主整理1。對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1,x〉0)稱為對數(shù)函數(shù)，它的定義域為(0，+∞)，值域為R。2。對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì):a〉10<a<1圖象性質(zhì)定義域：（0,+∞）值域：R過點（1,0)，即當(dāng)x=1時,y=0x∈（0,1)時,y〈0x∈(1,+∞）時,y>0x∈(0，1)時,y>0x∈(1,+∞）時,y<0在(0，+∞）上是增函數(shù)在（0,+∞)上是減函數(shù)3。指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系:名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一般形式y(tǒng)=ax(a>0，a≠1）y=logax(a>0,a≠1)定義域(-∞，+∞)（0，+∞）值域(0，+∞)（—∞，+∞）函數(shù)值變化情況當(dāng)a〉1時,當(dāng)0〈a〈1時，當(dāng)a>1時,當(dāng)0〈a〈1時,單調(diào)性當(dāng)a〉1時，ax是增函數(shù);當(dāng)0〈a〈1時,ax是減函數(shù)當(dāng)a〉1時，logax是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時,logax是減函數(shù)圖象y=ax的圖象與y=logax的圖象關(guān)于直線y=x對稱4.反函數(shù)當(dāng)一個函數(shù)是一一映射時，可以把這個函數(shù)的因變量作為一個新的函數(shù)的自變量,而把這個函數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的因變量,我們稱這兩個函數(shù)互為反函數(shù).一般地,如果函數(shù)y=f（x）存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)記作y=f-1（x),反函數(shù)也是函數(shù),它具有函數(shù)的一切特性.反函數(shù)是相對于原函數(shù)而言的,函數(shù)與它的反函數(shù)互為反函數(shù)。指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，且a≠1)和對數(shù)函數(shù)y=logax（a＞0，且a≠1）互為反函數(shù)，它們的定義域與值域相互對換,單調(diào)性相同，圖象關(guān)于直線y=x對稱。高手筆記1.解對數(shù)不等式的關(guān)鍵是善于把真數(shù)視為一個整體，用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造不等式，但一定要注意真數(shù)大于零這一隱含條件。2.求函數(shù)定義域時，常見的限制條件有：分母不為零，開偶次方時被開方數(shù)非負(fù)，對數(shù)的真數(shù)大于零,底數(shù)大于零且不等于1等。3?？疾閷?shù)函數(shù)與其他函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)時，要注意利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則和函數(shù)單調(diào)性的定義?？疾閷?shù)函數(shù)的值域問題時,要注意只有當(dāng)對數(shù)的真數(shù)取到所有的正數(shù)時,對數(shù)值才可能取到所有的實數(shù)。4.利用對數(shù)函數(shù)的圖象的平移和對稱可以認(rèn)識與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)的圖象和性質(zhì),這些圖象的變換規(guī)律與指數(shù)函數(shù)的有關(guān)圖象變換規(guī)律是類似的。5。作出函數(shù)y=logax的圖象，再將所得圖象沿y軸對稱到y(tǒng)軸左側(cè)，所得兩部分組合在一起就是函數(shù)y=loga|x｜的圖象。作出函數(shù)y=logax的圖象，再將所得圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，與原x軸上方的部分一起，就是y=｜logax｜的圖象。名師解惑1.比較兩個對數(shù)的大小,一般可采用哪些方法？剖析：兩數(shù)（式）大小的比較主要是找出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，把要比較的兩數(shù)作為此函數(shù)的函數(shù)值，然后利用函數(shù)的單調(diào)性等來比較兩數(shù)的大小。一般采用的方法有：(1）直接法：由函數(shù)的單調(diào)性直接作答；（2）作差法:把兩數(shù)作差變形,然后判斷其大于、等于、小于零來確定；(3）作商法：若兩數(shù)同號，把兩數(shù)作商變形，判斷其大于、等于、小于1來確定；（4）轉(zhuǎn)化法：把要比較的兩數(shù)適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化成兩個新數(shù)大小的比較；（5)媒介法：選取適當(dāng)?shù)摹懊浇椤睌?shù)，分別與要比較的兩數(shù)比較大小,從而間接地求得兩數(shù)的大小。2。對數(shù)函數(shù)的圖象特征和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)之間有哪些對應(yīng)關(guān)系？剖析：對數(shù)函數(shù)的圖象特征和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)之間有以下對應(yīng)關(guān)系：（1）圖象都位于y軸右側(cè),且以y軸為漸近線→函數(shù)定義域為（0，+∞)。（2）圖象向上、向下無限延展→函數(shù)值域為R.（3)圖象恒過定點(1，0）→1的對數(shù)是零,即loga1=0.（4)當(dāng)a＞1時，圖象由左向右逐漸上升→當(dāng)a＞1時，y=logax在（0，+∞)上是增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時,圖象由左向右逐漸下降→當(dāng)0＜a＜1時，y=logax在（0，+∞）上是減函數(shù)。（5）當(dāng)a＞1時,在直線x=1的右側(cè)，圖象位于x軸上方；在直線x=1與y軸之間,圖象位于x軸下方→當(dāng)a＞1時,x＞1，則y=logax＞0；0＜x＜1，則y=logax＜0。當(dāng)0＜a＜1時，在直線x＝1的右側(cè)，圖象位于x軸下方；在直線x＝1與y軸之間,圖象位于x軸上方→當(dāng)0＜a＜1時，x＞1，則y=logax＜0；0＜x＜1，則y=logax＞0.3.怎樣把對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來研究?剖析：(1)對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以要利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來研究對數(shù)函數(shù)。應(yīng)該注意到：這兩種函數(shù)都要求底數(shù)a＞0，且a≠1;對數(shù)函數(shù)的定義域為（0,+∞），結(jié)合圖象看，對數(shù)函數(shù)在y軸左側(cè)沒有圖象，即負(fù)數(shù)與0沒有對數(shù)，也就是真數(shù)必須大于0。這些知識可以用來求含有對數(shù)函數(shù)的定義域。(2）通過將對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象進(jìn)行對比，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a＞1，或0＜a＜1時，對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是一致的〔即在區(qū)間(0，＋∞)上同時為增函數(shù)，或者同時為減函數(shù)〕.對數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1，0），這與性質(zhì)loga1=0a0=1是分不開的。（3）既然對數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù)，那么它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱。于是通過對a分情況（約定不同的取值范圍）,再結(jié)合函數(shù)y=log2x，y=logx的圖象來揭示對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)該是一件水到渠成的事。講練互動圖3-2-2【例題1】圖3-2-2是對數(shù)函數(shù)y=logax當(dāng)?shù)讛?shù)a的值分別取，,,時所對應(yīng)圖象，則相應(yīng)于C1，C2，C3,C4的a的值依次是(）A。，,，B。,,，C。,，,D.，,，解析：因為底數(shù)a大于1時，對數(shù)函數(shù)的圖象自左向右呈上升趨勢,且a越大,圖象就越靠近x軸;底數(shù)a大于0且小于1時，對數(shù)函數(shù)的圖象自左向右呈下降趨勢,且a越小，圖象就越靠近x軸.答案:A綠色通道由對數(shù)函數(shù)的圖象間的相對位置關(guān)系判斷底數(shù)a的相互關(guān)系，應(yīng)根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖象與底數(shù)間的變化規(guī)律來處理.在指數(shù)函數(shù)y=ax中，底數(shù)a越接近1，相應(yīng)的圖象就越接近直線y=1，對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)是一對反函數(shù)，其圖象是關(guān)于直線y=x對稱的，直線y=1關(guān)于直線y=x的對稱直線是x=1，所以我們有結(jié)論：對數(shù)函數(shù)y=logax，底數(shù)a越接近1，其圖象就越接近直線x=1。變式訓(xùn)練1。若loga2〈logb2〈0，則（）A.0<a<b〈1B.0<b<a<1C。a〉b>1解析：注意到此題兩對數(shù)值底數(shù)不同真數(shù)相同，用圖象法或用換底公式均可.方法一：由底數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)系(如圖）可知y=logax,y=logbx圖象的大致走向.再由對數(shù)函數(shù)的圖象規(guī)律：從第一象限看，自左向右底數(shù)依次增大.方法二：利用換底公式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)再進(jìn)行比較。由已知，得<0,則0〉log2a>log2b,即log21>log2a〉log2∵y=log2x為增函數(shù)，∴0<b〈a<1.方法三：取特殊值法。∵log2=-1，log2=,∴l(xiāng)og2<log2〈0.∴可取a=，b=,則0〈b〈a〈1.答案:B【例題2】比較大小:（1）log0。27與log0。29；（2）log35與log65；（3）（lgm）1.9與(lgm）2.1（m＞1)；（4）log85與lg4.分析：（1）log0.27和log0。29可看作是函數(shù)y=log0.2x,當(dāng)x=7和x=9時對應(yīng)的兩函數(shù)值，由y=log0.2x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，得log0。27＞log0。29。（2）考查函數(shù)y=logax底數(shù)a＞1的底數(shù)變化規(guī)律，函數(shù)y=log3x(x＞1)的圖象在函數(shù)y=log6x（x＞1）的上方，故log35＞log65。（3)把lgm看作指數(shù)函數(shù)的底數(shù)，要比較兩數(shù)的大小，關(guān)鍵是比較底數(shù)lgm與1的關(guān)系。若lgm＞1即m＞10，則（lgm）x在R上單調(diào)遞增，故（lgm）1。9＜（lgm）2。1;若0＜lgm＜1即1＜m＜10,則（lgm）x在R上單調(diào)遞減，故（lgm）1。9＞（lgm)2。1；若lgm=1即m=10，則（lgm）1.9＝（lgm）2。1。（4）因為底數(shù)8、10均大于1，且10＞8，所以log85＞lg5＞lg4，即log85＞lg4。解:（1）log0。27＞log0。29.（2)log35＞log65。（3）當(dāng)m＞10時，（lgm）1。9＜（lgm）2。1;當(dāng)m=10時,（lgm）1。9=(lgm）2.1;當(dāng)1＜m＜10時,(lgm）1.9＞(lgm）2.1。（4)log85＞lg4。綠色通道本題比較大小代表了幾個典型的題型.其中題（1)是直接利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;題（2）是對數(shù)函數(shù)底數(shù)變化規(guī)律的應(yīng)用；題（3)是指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合運用；題（4）是中間量的運用.當(dāng)兩個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)都不相同時，需要找出中間量來“搭橋”,再利用對數(shù)函數(shù)的增減性.常用的中間量有0、1、2等可通過估算加以選擇。變式訓(xùn)練2。比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。海?）log23。4，log28。5;（2）log0.31。8；log0.3（3）loga5.1,loga5.9(a>0且a≠1）;(4）log67，log76。分析：對于底數(shù)相同的兩個對數(shù)值比較大小，可由對數(shù)的單調(diào)性確定，利用對數(shù)函數(shù)的增減性比較兩個對數(shù)的大小.當(dāng)不能直接進(jìn)行比較時，可在兩個對數(shù)中間插入一個已知數(shù)（如1或0等)，間接比較兩個數(shù)的大小.解：（1)考查對數(shù)函數(shù)y=log2x，因為它的底數(shù)2>1，所以它在（0,+∞）上是增函數(shù)，于是log23.4〈log28.5。(2）考查對數(shù)函數(shù)y=log0.3x，因為它的底數(shù)滿足0<0。3〈1，所以它在(0,+∞)上是減函數(shù)，于是log0。31。8>log0.3（3)對數(shù)函數(shù)的增減性決定于對數(shù)的底數(shù)是大于1還是小于1,而已知條件中并未明確指出底數(shù)a與1哪個大，因此需要對底數(shù)a進(jìn)行討論：當(dāng)a〉1時,函數(shù)y=logax在(0,+∞）上是增函數(shù),于是loga5.1〈loga5。9；當(dāng)0〈a〈1時,函數(shù)y=logax在（0，+∞)上是減函數(shù)，于是loga5。1〉loga5。9。（4)∵log67>log66=1,log76〈log77=1，∴l(xiāng)og67〉log76.【例題3】已知函數(shù)y=lg（—x）,求其定義域,并判斷其奇偶性、單調(diào)性。分析:注意到+x=，即有l(wèi)g（—x）=-lg(+x），從而f（—x）=lg（+x）=—lg（-x）=—f(x），可知其為奇函數(shù).又因為奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，所以我們只需研究（0,+∞）上的單調(diào)性.解：由題意-x＞0，解得x∈R,即定義域為R.又f(-x）=lg［-（—x）］=lg(+x）=lg=lg(—x）-1=-lg(-x）=-f(x）,∴y=lg（-x）是奇函數(shù).任取x1、x2∈（0，+∞）,且x1＜x2，則＞，即有—x1＞—x2＞0，∴l(xiāng)g（—x1)＞lg（-x2），即f（x1)＞f(x2)成立。∴f（x)在（0，+∞)上為減函數(shù)。又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故f（x）在(-∞，0)上也為減函數(shù)。綠色通道研究函數(shù)的性質(zhì)一定得先考慮定義域.在研究函數(shù)單調(diào)性時，注意奇偶性對函數(shù)單調(diào)性的影響，即偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性，奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性.變式訓(xùn)練3.（2006廣東高考,1）函數(shù)f（x）=+lg（3x+1）的定義域是（)A。（，+∞）B.(,1)C。（，）D。（—∞,)解析:由答案：B【例題4】(1)解不等式：log3(4-x）>2+log3x;(2）解方程:—3lgx+4=0.分析：對于(1）,將對數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為解代數(shù)不等式組,對于（2）用換元法將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程.解：(1)原不等式可化為log3（4—x）〉log3（9x）,其等價于解得0<x〈.∴原不等式的解集為｛x｜0〈x〈}.（2）設(shè)=t,則t≥0.原方程化為-t2+t+2=0.解得t=2,或t=-1(舍去）。由=2,得lgx=2.故x=100.經(jīng)檢驗x=100是原方程的解。黑色陷阱（1）形如f（logax）=0，f(logax)〉0的對數(shù)方程或不等式,往往令t=logax進(jìn)行換元轉(zhuǎn)化。（2)解對數(shù)方程和不等式時要注意防止定義域的擴(kuò)大，處理辦法為：第一，若不是同解變形,最后一定要驗根；第二，解的過程中要加以限制條件，使定義域保持不變，即進(jìn)行同解變形,最后通過解混合不等式組得到原不等式的解.變式訓(xùn)練4.（2006陜西高考,理4）設(shè)函數(shù)f（x)=loga(x+b)（a>0，a≠1）的圖象過點（2,1），其反函數(shù)的圖象過點(2,8)，則a+b等于(）A。3B.4C。5解析：因為函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點（2,1），所以f（2)=1，即loga(2+b）=1，