數學學案：學習導航對數函數指數函數與對數函數的關系

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精3.2。2對數函數-3.2.3指數函數與對數函數的關系自主整理1。對數函數的定義：函數y=logax(a>0，且a≠1,x〉0)稱為對數函數，它的定義域為(0，+∞)，值域為R。2。對數函數的圖象與性質:a〉10<a<1圖象性質定義域：（0,+∞）值域：R過點（1,0)，即當x=1時,y=0x∈（0,1)時,y〈0x∈(1,+∞）時,y>0x∈(0，1)時,y>0x∈(1,+∞）時,y<0在(0，+∞）上是增函數在（0,+∞)上是減函數3。指數函數與對數函數的關系:名稱指數函數對數函數一般形式y(tǒng)=ax(a>0，a≠1）y=logax(a>0,a≠1)定義域(-∞，+∞)（0，+∞）值域(0，+∞)（—∞，+∞）函數值變化情況當a〉1時,當0〈a〈1時，當a>1時,當0〈a〈1時,單調性當a〉1時，ax是增函數;當0〈a〈1時,ax是減函數當a〉1時，logax是增函數；當0<a<1時,logax是減函數圖象y=ax的圖象與y=logax的圖象關于直線y=x對稱4.反函數當一個函數是一一映射時，可以把這個函數的因變量作為一個新的函數的自變量,而把這個函數的自變量作為新的函數的因變量,我們稱這兩個函數互為反函數.一般地,如果函數y=f（x）存在反函數，那么它的反函數記作y=f-1（x),反函數也是函數,它具有函數的一切特性.反函數是相對于原函數而言的,函數與它的反函數互為反函數。指數函數y=ax（a＞0，且a≠1)和對數函數y=logax（a＞0，且a≠1）互為反函數，它們的定義域與值域相互對換,單調性相同，圖象關于直線y=x對稱。高手筆記1.解對數不等式的關鍵是善于把真數視為一個整體，用對數函數的單調性構造不等式，但一定要注意真數大于零這一隱含條件。2.求函數定義域時，常見的限制條件有：分母不為零，開偶次方時被開方數非負，對數的真數大于零,底數大于零且不等于1等。3?？疾閷岛瘮蹬c其他函數組成的復合函數時，要注意利用復合函數的單調性法則和函數單調性的定義?？疾閷岛瘮档闹涤騿栴}時,要注意只有當對數的真數取到所有的正數時,對數值才可能取到所有的實數。4.利用對數函數的圖象的平移和對稱可以認識與對數函數有關的一些函數的圖象和性質,這些圖象的變換規(guī)律與指數函數的有關圖象變換規(guī)律是類似的。5。作出函數y=logax的圖象，再將所得圖象沿y軸對稱到y(tǒng)軸左側，所得兩部分組合在一起就是函數y=loga|x｜的圖象。作出函數y=logax的圖象，再將所得圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，與原x軸上方的部分一起，就是y=｜logax｜的圖象。名師解惑1.比較兩個對數的大小,一般可采用哪些方法？剖析：兩數（式）大小的比較主要是找出適當的函數，把要比較的兩數作為此函數的函數值，然后利用函數的單調性等來比較兩數的大小。一般采用的方法有：(1）直接法：由函數的單調性直接作答；（2）作差法:把兩數作差變形,然后判斷其大于、等于、小于零來確定；(3）作商法：若兩數同號，把兩數作商變形，判斷其大于、等于、小于1來確定；（4）轉化法：把要比較的兩數適當地轉化成兩個新數大小的比較；（5)媒介法：選取適當的“媒介”數，分別與要比較的兩數比較大小,從而間接地求得兩數的大小。2。對數函數的圖象特征和對數函數的性質之間有哪些對應關系？剖析：對數函數的圖象特征和對數函數的性質之間有以下對應關系：（1）圖象都位于y軸右側,且以y軸為漸近線→函數定義域為（0，+∞)。（2）圖象向上、向下無限延展→函數值域為R.（3)圖象恒過定點(1，0）→1的對數是零,即loga1=0.（4)當a＞1時，圖象由左向右逐漸上升→當a＞1時，y=logax在（0，+∞)上是增函數；當0＜a＜1時,圖象由左向右逐漸下降→當0＜a＜1時，y=logax在（0，+∞）上是減函數。（5）當a＞1時,在直線x=1的右側，圖象位于x軸上方；在直線x=1與y軸之間,圖象位于x軸下方→當a＞1時,x＞1，則y=logax＞0；0＜x＜1，則y=logax＜0。當0＜a＜1時，在直線x＝1的右側，圖象位于x軸下方；在直線x＝1與y軸之間,圖象位于x軸上方→當0＜a＜1時，x＞1，則y=logax＜0；0＜x＜1，則y=logax＞0.3.怎樣把對數函數與指數函數聯(lián)系起來研究?剖析：(1)對數函數的反函數是指數函數，所以要利用指數函數的性質來研究對數函數。應該注意到：這兩種函數都要求底數a＞0，且a≠1;對數函數的定義域為（0,+∞），結合圖象看，對數函數在y軸左側沒有圖象，即負數與0沒有對數，也就是真數必須大于0。這些知識可以用來求含有對數函數的定義域。(2）通過將對數函數與指數函數的圖象進行對比，可以發(fā)現：當a＞1，或0＜a＜1時，對數函數與指數函數的單調性是一致的〔即在區(qū)間(0，＋∞)上同時為增函數，或者同時為減函數〕.對數函數的圖象都經過點(1，0），這與性質loga1=0a0=1是分不開的。（3）既然對數函數y=logax與指數函數y=ax互為反函數，那么它們的圖象關于直線y＝x對稱。于是通過對a分情況（約定不同的取值范圍）,再結合函數y=log2x，y=logx的圖象來揭示對數函數的性質，應該是一件水到渠成的事。講練互動圖3-2-2【例題1】圖3-2-2是對數函數y=logax當底數a的值分別取，,,時所對應圖象，則相應于C1，C2，C3,C4的a的值依次是(）A。，,，B。,,，C。,，,D.，,，解析：因為底數a大于1時，對數函數的圖象自左向右呈上升趨勢,且a越大,圖象就越靠近x軸;底數a大于0且小于1時，對數函數的圖象自左向右呈下降趨勢,且a越小，圖象就越靠近x軸.答案:A綠色通道由對數函數的圖象間的相對位置關系判斷底數a的相互關系，應根據對數函數圖象與底數間的變化規(guī)律來處理.在指數函數y=ax中，底數a越接近1，相應的圖象就越接近直線y=1，對數函數與指數函數是一對反函數，其圖象是關于直線y=x對稱的，直線y=1關于直線y=x的對稱直線是x=1，所以我們有結論：對數函數y=logax，底數a越接近1，其圖象就越接近直線x=1。變式訓練1。若loga2〈logb2〈0，則（）A.0<a<b〈1B.0<b<a<1C。a〉b>1解析：注意到此題兩對數值底數不同真數相同，用圖象法或用換底公式均可.方法一：由底數與對數函數的圖象關系(如圖）可知y=logax,y=logbx圖象的大致走向.再由對數函數的圖象規(guī)律：從第一象限看，自左向右底數依次增大.方法二：利用換底公式轉化成同底的對數再進行比較。由已知，得<0,則0〉log2a>log2b,即log21>log2a〉log2∵y=log2x為增函數，∴0<b〈a<1.方法三：取特殊值法。∵log2=-1，log2=,∴l(xiāng)og2<log2〈0.∴可取a=，b=,則0〈b〈a〈1.答案:B【例題2】比較大小:（1）log0。27與log0。29；（2）log35與log65；（3）（lgm）1.9與(lgm）2.1（m＞1)；（4）log85與lg4.分析：（1）log0.27和log0。29可看作是函數y=log0.2x,當x=7和x=9時對應的兩函數值，由y=log0.2x在（0，+∞）上單調遞減，得log0。27＞log0。29。（2）考查函數y=logax底數a＞1的底數變化規(guī)律，函數y=log3x(x＞1)的圖象在函數y=log6x（x＞1）的上方，故log35＞log65。（3)把lgm看作指數函數的底數，要比較兩數的大小，關鍵是比較底數lgm與1的關系。若lgm＞1即m＞10，則（lgm）x在R上單調遞增，故（lgm）1。9＜（lgm）2。1;若0＜lgm＜1即1＜m＜10,則（lgm）x在R上單調遞減，故（lgm）1。9＞（lgm)2。1；若lgm=1即m=10，則（lgm）1.9＝（lgm）2。1。（4）因為底數8、10均大于1，且10＞8，所以log85＞lg5＞lg4，即log85＞lg4。解:（1）log0。27＞log0。29.（2)log35＞log65。（3）當m＞10時，（lgm）1。9＜（lgm）2。1;當m=10時,（lgm）1。9=(lgm）2.1;當1＜m＜10時,(lgm）1.9＞(lgm）2.1。（4)log85＞lg4。綠色通道本題比較大小代表了幾個典型的題型.其中題（1)是直接利用對數函數的單調性;題（2）是對數函數底數變化規(guī)律的應用；題（3)是指數函數單調性及對數函數性質的綜合運用；題（4）是中間量的運用.當兩個對數的底數和真數都不相同時，需要找出中間量來“搭橋”,再利用對數函數的增減性.常用的中間量有0、1、2等可通過估算加以選擇。變式訓練2。比較下列各組數中兩個值的大?。海?）log23。4，log28。5;（2）log0.31。8；log0.3（3）loga5.1,loga5.9(a>0且a≠1）;(4）log67，log76。分析：對于底數相同的兩個對數值比較大小，可由對數的單調性確定，利用對數函數的增減性比較兩個對數的大小.當不能直接進行比較時，可在兩個對數中間插入一個已知數（如1或0等)，間接比較兩個數的大小.解：（1)考查對數函數y=log2x，因為它的底數2>1，所以它在（0,+∞）上是增函數，于是log23.4〈log28.5。(2）考查對數函數y=log0.3x，因為它的底數滿足0<0。3〈1，所以它在(0,+∞)上是減函數，于是log0。31。8>log0.3（3)對數函數的增減性決定于對數的底數是大于1還是小于1,而已知條件中并未明確指出底數a與1哪個大，因此需要對底數a進行討論：當a〉1時,函數y=logax在(0,+∞）上是增函數,于是loga5.1〈loga5。9；當0〈a〈1時,函數y=logax在（0，+∞)上是減函數，于是loga5。1〉loga5。9。（4)∵log67>log66=1,log76〈log77=1，∴l(xiāng)og67〉log76.【例題3】已知函數y=lg（—x）,求其定義域,并判斷其奇偶性、單調性。分析:注意到+x=，即有l(wèi)g（—x）=-lg(+x），從而f（—x）=lg（+x）=—lg（-x）=—f(x），可知其為奇函數.又因為奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相同，所以我們只需研究（0,+∞）上的單調性.解：由題意-x＞0，解得x∈R,即定義域為R.又f(-x）=lg［-（—x）］=lg(+x）=lg=lg(—x）-1=-lg(-x）=-f(x）,∴y=lg（-x）是奇函數.任取x1、x2∈（0，+∞）,且x1＜x2，則＞，即有—x1＞—x2＞0，∴l(xiāng)g（—x1)＞lg（-x2），即f（x1)＞f(x2)成立。∴f（x)在（0，+∞)上為減函數。又f（x）是定義在R上的奇函數，故f（x）在(-∞，0)上也為減函數。綠色通道研究函數的性質一定得先考慮定義域.在研究函數單調性時，注意奇偶性對函數單調性的影響，即偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調性，奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調性.變式訓練3.（2006廣東高考,1）函數f（x）=+lg（3x+1）的定義域是（)A。（，+∞）B.(,1)C。（，）D。（—∞,)解析:由答案：B【例題4】(1)解不等式：log3(4-x）>2+log3x;(2）解方程:—3lgx+4=0.分析：對于(1）,將對數不等式轉化為解代數不等式組,對于（2）用換元法將其轉化為一元二次方程.解：(1)原不等式可化為log3（4—x）〉log3（9x）,其等價于解得0<x〈.∴原不等式的解集為｛x｜0〈x〈}.（2）設=t,則t≥0.原方程化為-t2+t+2=0.解得t=2,或t=-1(舍去）。由=2,得lgx=2.故x=100.經檢驗x=100是原方程的解。黑色陷阱（1）形如f（logax）=0，f(logax)〉0的對數方程或不等式,往往令t=logax進行換元轉化。（2)解對數方程和不等式時要注意防止定義域的擴大，處理辦法為：第一，若不是同解變形,最后一定要驗根；第二，解的過程中要加以限制條件，使定義域保持不變，即進行同解變形,最后通過解混合不等式組得到原不等式的解.變式訓練4.（2006陜西高考,理4）設函數f（x)=loga(x+b)（a>0，a≠1）的圖象過點（2,1），其反函數的圖象過點(2,8)，則a+b等于(）A。3B.4C。5解析：因為函數f(x)的圖象經過點（2,1），所以f（2)=1，即loga(2+b）=1，