2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽市皇姑區(qū)虹橋中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽市皇姑區(qū)虹橋中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）的相反數(shù)是（）A．﹣ B． C．﹣ D．2．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（m﹣3，m+1）在x軸上（）A．（﹣4，0） B．（0，﹣2） C．（﹣2，0） D．（0，﹣4）3．（3分）△ABC中，∠A，∠B，b，c，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a(chǎn)2＝c2﹣b2 D．a(chǎn)：b：c＝3：4：54．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．5．（3分）下列各組數(shù)值中，哪個(gè)是方程x+2y＝6的解（）A． B． C． D．6．（3分）如圖，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系后，正方形網(wǎng)格上B、C的坐標(biāo)分別為（0，1），（1，﹣1）（）A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（1，﹣2）7．（3分）直線y＝kx+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），則關(guān)于x的方程kx+b＝0的解是（）A．x＝2 B．x＝4 C．x＝8 D．x＝108．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣x+1的圖象是（）A． B． C． D．9．（3分）《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有甲乙二人持錢不知其數(shù)，甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而錢亦五十．問甲、乙持錢各幾何？”題意為：今有甲乙二人，若乙把其一半的錢給甲，則甲的錢數(shù)為50的錢給乙，則乙的錢數(shù)也能為50，乙的錢數(shù)為y，則列方程組為（）A． B． C． D．10．（3分）甲、乙兩車從A城出發(fā)勻速行駛至B城．在整個(gè)行駛過程中，甲、乙兩車離開A城距離y（千米）與行駛的時(shí)間t（小時(shí)）（）①A，B兩城相距300千米；②甲車的速度是60km/h；③乙車出發(fā)后2.5小時(shí)追上甲車；④當(dāng)甲、乙兩車相距50千米時(shí)，或．A．①② B．①③④ C．① D．①④二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）﹣27的立方根是，的平方根是．12．（3分）平面內(nèi)點(diǎn)A（﹣1，4）到y(tǒng)軸的距離是．13．（3分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b與y＝x+2的圖象相交于點(diǎn)P（m，4），則方程組．14．（3分）點(diǎn)P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函數(shù)y＝2x﹣b的圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，則y1，y2的大小關(guān)系是．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D是BC的中點(diǎn)，將△CDE沿DE折疊到△C′DE，連接AC′，CE的長為．三、解答題（本題共8小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（8分）計(jì)算：（1）；（2）．17．（8分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M：（1）；（2）．18．（8分）如圖，點(diǎn)A，B在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．（1）建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（7，0）（6，4）；（2）連接點(diǎn)A，B，C，作出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；（3）在y軸上找點(diǎn)P，使PA+PB最小，最小值為，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為．19．（8分）（列二元一次方程組求解）某商場購進(jìn)商品后，加價(jià)20%作為銷售價(jià)，商場搞優(yōu)惠促銷，乙兩種商品，分別抽到九折和八折，兩種商品原銷售價(jià)之和為1200元，甲，乙商品進(jìn)價(jià)分別為多少元？20．（9分）數(shù)學(xué)興趣小組利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識來解決實(shí)際問題，實(shí)踐報(bào)告如下：活動(dòng)課題風(fēng)箏離地面垂直高度探究問題背景風(fēng)箏由中國古代勞動(dòng)人民發(fā)明于東周春秋時(shí)期，距今已2000多年，相傳墨翟以木頭制成木鳥，是人類最早的風(fēng)箏起源．興趣小組在放風(fēng)箏時(shí)想測量風(fēng)箏離地面的垂直高度.測量數(shù)據(jù)抽象模型小組成員測量了相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了如圖所示的示意圖，測得水平距離BC的長為15米，牽線放風(fēng)箏的手到地面的距離為1.5米．問題產(chǎn)生經(jīng)過討論，興趣小組得出以下問題：（1）運(yùn)用所學(xué)勾股定理相關(guān)知識，根據(jù)測量所得數(shù)據(jù)，計(jì)算出風(fēng)箏離地面的垂直高度．（2）如果想要風(fēng)箏沿DA方向再上升12米，且BC長度不變，則他應(yīng)該再放出多少米線？問題解決……該報(bào)告還沒有完成，請你幫助興趣小組解決以上問題．21．（10分）如圖，一次函數(shù)y1＝2x﹣2的圖象與y軸交于點(diǎn)A，一次函數(shù)y2的圖象與y軸交于點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)C為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2．（1）求一次函數(shù)y2的函數(shù)解析式；（2）求△ABC的面積；（3）問：在坐標(biāo)軸上，是否存在一點(diǎn)P，使得S△ACP＝2S△ABC？若存在，請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在22．（12分）我們定義一種三角形：若一個(gè)三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱這個(gè)三角形為勾股高三角形，兩邊交點(diǎn)為勾股頂點(diǎn)．【特例感知】（1）如圖1，已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點(diǎn)，AD＝1，試求線段CD的長度．【深入探究】（2）如圖2，已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點(diǎn)且CA＞CB，并給予證明；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，等腰△ABC為勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，過點(diǎn)D向BC邊引平行線與AC邊交于點(diǎn)E．若，試求線段DE的長度．23．（12分）定義：若一個(gè)一次函數(shù)的圖象上存在橫、縱坐標(biāo)之和為零的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“平衡點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（﹣1，1）是函數(shù)y＝x+2的圖象的“平衡點(diǎn)”．（1）函數(shù)y＝﹣x+3，是否存在“平衡點(diǎn)”，若存在求出“平衡點(diǎn)”坐標(biāo)，說明理由；（2）設(shè)函數(shù)y＝x﹣4與y＝2x+b的圖象的“平衡點(diǎn)”分別為點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A作AC⊥y軸，垂足為C．當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)；（3）將一次函數(shù)y＝kx﹣4（x＜0）的圖象關(guān)于y軸對稱，若對稱后的圖象存在“平衡點(diǎn)”則k的取值范圍為．

2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽市皇姑區(qū)虹橋中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）的相反數(shù)是（）A．﹣ B． C．﹣ D．【解答】解：∵+（﹣，∴的相反數(shù)是﹣．故選：A．2．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（m﹣3，m+1）在x軸上（）A．（﹣4，0） B．（0，﹣2） C．（﹣2，0） D．（0，﹣4）【解答】解：∵點(diǎn)M（m﹣3，m+1）在平面直角坐標(biāo)系的x軸上，∴m+8＝0，解得m＝﹣1，∴m﹣5＝﹣1﹣3＝﹣3，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣4，0）．故選：A．3．（3分）△ABC中，∠A，∠B，b，c，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a(chǎn)2＝c2﹣b2 D．a(chǎn)：b：c＝3：4：5【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，∴△ABC為直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；B、設(shè)∠A＝3x°，∠C＝5x°，6x+4x+5x＝180，解得：x＝15，則8x°＝75°，所以△ABC不是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；C、∵a2＝c2﹣b5，∴a2+b2＝c5，∴△ABC為直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；D、∵a：b：c＝3：4：4，設(shè)a＝3x，b＝4x，∵（7x）2+（4x）7＝（5x）2，∴能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：B．4．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：（A）原式＝3，故A錯(cuò)誤．（B）原式＝12，故B錯(cuò)誤．（C）原式＝4，故C錯(cuò)誤．故選：D．5．（3分）下列各組數(shù)值中，哪個(gè)是方程x+2y＝6的解（）A． B． C． D．【解答】解：∵將代入原方程，∴A選項(xiàng)不符合題意；∵將代入原方程，∴B選項(xiàng)不符合題意；將代入原方程，∴C選項(xiàng)符合題意；∵將代入原方程，∴D選項(xiàng)不符合題意．綜上所述，C選項(xiàng)符合題意．故選：C．6．（3分）如圖，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系后，正方形網(wǎng)格上B、C的坐標(biāo)分別為（0，1），（1，﹣1）（）A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（1，﹣2）【解答】解：如圖所示：點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（﹣1，2）．故選：A．7．（3分）直線y＝kx+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），則關(guān)于x的方程kx+b＝0的解是（）A．x＝2 B．x＝4 C．x＝8 D．x＝10【解答】解：∵直線y＝kx+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），∴關(guān)于x的方程kx+b＝5的解是x＝2．故選：A．8．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣x+1的圖象是（）A． B． C． D．【解答】解：一次函數(shù)y＝﹣x+1中，令x＝0；令y＝6，∴一次函數(shù)y＝﹣x+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，7）和（1，∴一次函數(shù)y＝﹣x+1的圖象經(jīng)過一、二、四象限，故選：C．9．（3分）《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有甲乙二人持錢不知其數(shù)，甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而錢亦五十．問甲、乙持錢各幾何？”題意為：今有甲乙二人，若乙把其一半的錢給甲，則甲的錢數(shù)為50的錢給乙，則乙的錢數(shù)也能為50，乙的錢數(shù)為y，則列方程組為（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)甲的錢數(shù)為x，乙的錢數(shù)為y，依題意，得：．故選：A．10．（3分）甲、乙兩車從A城出發(fā)勻速行駛至B城．在整個(gè)行駛過程中，甲、乙兩車離開A城距離y（千米）與行駛的時(shí)間t（小時(shí)）（）①A，B兩城相距300千米；②甲車的速度是60km/h；③乙車出發(fā)后2.5小時(shí)追上甲車；④當(dāng)甲、乙兩車相距50千米時(shí)，或．A．①② B．①③④ C．① D．①④【解答】解：由圖象可得：A，B兩城相距300千米；甲車的速度為300÷5＝60（km/h），乙車的速度是300÷（4﹣2）＝100（km/h）；乙車追上甲車時(shí)，60t＝100（t﹣1），解得t＝2.6，此時(shí)乙出發(fā)2.5﹣7＝1.5（h），故③錯(cuò)誤；當(dāng)乙還沒出發(fā)時(shí)，甲行駛了50千米，此時(shí)t＝，當(dāng)甲車在乙車千米50km時(shí)，由60t﹣100（t﹣1）＝50得t＝，當(dāng)乙車在甲車千米50km時(shí)，由100（t﹣1）﹣60t＝50得t＝，乙車到終點(diǎn)了，甲車離終點(diǎn)50千米＝，∴甲、乙兩車相距50千米時(shí)，或或或，∴正確的有①，故選：C．二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）﹣27的立方根是﹣3，的平方根是±3．【解答】解：﹣3的立方為﹣27，故﹣27的立方根為﹣3，＝6，故9的平方根為±3，故答案為﹣5、±3．12．（3分）平面內(nèi)點(diǎn)A（﹣1，4）到y(tǒng)軸的距離是1．【解答】解：點(diǎn)A（﹣1，4）到y(tǒng)軸的距離是：|﹣6|＝1．故答案為：1．13．（3分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b與y＝x+2的圖象相交于點(diǎn)P（m，4），則方程組．【解答】解：∵y＝x+2的圖象經(jīng)過P（m，4），∴3＝m+2，∴m＝2，∴一次函數(shù)y＝kx+b與y＝x+3的圖象相交于點(diǎn)P（2，4），∴方程組的解是，故答案為．14．（3分）點(diǎn)P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函數(shù)y＝2x﹣b的圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，則y1，y2的大小關(guān)系是y1＜y2．【解答】解：∵一次函數(shù)y＝2x﹣b的k＝2＞2，∴y隨x的增大而增大，∵﹣3＜2，∴y6＜y2．故答案為：y1＜y3．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D是BC的中點(diǎn)，將△CDE沿DE折疊到△C′DE，連接AC′，CE的長為3或．【解答】解：當(dāng)∠AC'E＝90°時(shí)，∵將△CDE沿DE折疊到△C′DE，∴∠EC'D＝∠C＝90°，∴∠AC'E+∠EC'D＝180°，∴點(diǎn)A、C'，∵AC＝4，CD＝3，由勾股定理得AD＝4，設(shè)CE＝C'E＝x，則AE＝4﹣x，在Rt△AC'E中，由勾股定理得：（4﹣x）5＝22+x4，解得x＝，∴CE＝，當(dāng)∠AEC'＝90°時(shí)，∴∠CEC'＝90°，∴∠CED＝45°，∴CE＝CD＝3，∠EAC'不可能為90°，綜上，CE＝4或．故答案為：8或．三、解答題（本題共8小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（8分）計(jì)算：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝+﹣4＝2+5﹣4＝1；（2）原式＝+4﹣2＝3+4﹣4＝7﹣．17．（8分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M：（1）；（2）．【解答】解：（1），將①代入②得5x+7（x﹣1）＝5，解得x＝7，將x＝1代入①得y＝1﹣2＝0，∴方程組的解為；（2），①×7+②×3得13x＝78，解得x＝6，將x＝2代入①得2×6﹣6y＝6，解得y＝2，∴方程組的解為．18．（8分）如圖，點(diǎn)A，B在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．（1）建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（7，0）（6，4）；（2）連接點(diǎn)A，B，C，作出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；（3）在y軸上找點(diǎn)P，使PA+PB最小，最小值為，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，）．【解答】解：（1）建立平面直角坐標(biāo)系以及描出點(diǎn)C如圖所示．（2）如圖，△A1B1C2即為所求．（3）取點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，連接AP，此時(shí)PA+PB＝PA'+PB＝A'B，為最小值，則點(diǎn)P即為所求．由勾股定理得，A'B＝＝，∴PA+PB的最小值為．設(shè)直線A'B的解析式為y＝kx+b，將A'（﹣2，3），2），得，解得，∴設(shè)直線A'B的解析式為，令x＝0，得y＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）．故答案為：；（0，）．19．（8分）（列二元一次方程組求解）某商場購進(jìn)商品后，加價(jià)20%作為銷售價(jià)，商場搞優(yōu)惠促銷，乙兩種商品，分別抽到九折和八折，兩種商品原銷售價(jià)之和為1200元，甲，乙商品進(jìn)價(jià)分別為多少元？【解答】解：設(shè)甲商品進(jìn)價(jià)為x元，乙商品進(jìn)價(jià)為y元，依題意得：，解得：，答：甲商品進(jìn)價(jià)為400元，乙商品進(jìn)價(jià)為600元．20．（9分）數(shù)學(xué)興趣小組利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識來解決實(shí)際問題，實(shí)踐報(bào)告如下：活動(dòng)課題風(fēng)箏離地面垂直高度探究問題背景風(fēng)箏由中國古代勞動(dòng)人民發(fā)明于東周春秋時(shí)期，距今已2000多年，相傳墨翟以木頭制成木鳥，是人類最早的風(fēng)箏起源．興趣小組在放風(fēng)箏時(shí)想測量風(fēng)箏離地面的垂直高度.測量數(shù)據(jù)抽象模型小組成員測量了相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了如圖所示的示意圖，測得水平距離BC的長為15米，牽線放風(fēng)箏的手到地面的距離為1.5米．問題產(chǎn)生經(jīng)過討論，興趣小組得出以下問題：（1）運(yùn)用所學(xué)勾股定理相關(guān)知識，根據(jù)測量所得數(shù)據(jù)，計(jì)算出風(fēng)箏離地面的垂直高度．（2）如果想要風(fēng)箏沿DA方向再上升12米，且BC長度不變，則他應(yīng)該再放出多少米線？問題解決……該報(bào)告還沒有完成，請你幫助興趣小組解決以上問題．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝17米，由勾股定理，可得AC＝，∴AD＝AC+CD＝5+1.5＝3.5（米），答：風(fēng)箏離地面的垂直高度為9.3米；（2）如圖，當(dāng)風(fēng)箏沿DA方向再上升12米， 在Rt△A′BC中，∠A'CB＝90°，由勾股定理，可得A′B＝，則應(yīng)該再放出25﹣17＝4（米），答：他應(yīng)該再放出8米長的線．21．（10分）如圖，一次函數(shù)y1＝2x﹣2的圖象與y軸交于點(diǎn)A，一次函數(shù)y2的圖象與y軸交于點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)C為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2．（1）求一次函數(shù)y2的函數(shù)解析式；（2）求△ABC的面積；（3）問：在坐標(biāo)軸上，是否存在一點(diǎn)P，使得S△ACP＝2S△ABC？若存在，請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在【解答】解：（1）把x＝2代入y1＝4x﹣2得y＝2，∴C（2，2），設(shè)y2＝kx+b（k≠3），把B（0，6），2）代入可得：，解得：，∴y8＝﹣2x+6．（2）∵一次函數(shù)y7＝2x﹣2的圖象與y軸交于點(diǎn)A，∴A（4，﹣2），∴；（3）存在，理由如下：∵S△ACP＝2S△ABC＝3×8＝16，∴S△ACP＝16，當(dāng)P在y軸上時(shí)，，即，∴|AP|＝16，∵A（0，﹣2），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，14）或（0，當(dāng)P在x軸上時(shí)，設(shè)直線y1＝7x﹣2與x軸交于點(diǎn)D，∴D（1，5），∴，∴，∴|PD|＝8，∵D（1，0），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣8，0）或（9，綜上，在坐標(biāo)軸上，使得S△ACP＝7S△ABC，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，14）或（0，3）或（9．22．（12分）我們定義一種三角形：若一個(gè)三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱這個(gè)三角形為勾股高三角形，兩邊交點(diǎn)為勾股頂點(diǎn)．【特例感知】（1）如圖1，已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點(diǎn)，AD＝1，試求線段CD的長度．【深入探究】（2）如圖2，已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點(diǎn)且CA＞CB，并給予證明；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，等腰△ABC為勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，過點(diǎn)D向BC邊引平行線與AC邊交于點(diǎn)E．若，試求線段DE的長度．【解答】解：（1）由勾股定理可得：CB2＝CD2+BD7＝CD2+4，CA6＝CD2+AD2＝CD2+1，∵△ABC為勾股高三角形，C為勾股頂點(diǎn)，∴CD2＝BC3﹣AC2，∴CD2＝（CD4+4）﹣（CD2+8），解得：CD＝；（2）AD＝CB，證明如下：∵△ABC為勾股高三角形，C為勾股頂點(diǎn)且CA＞CB，∴CD2＝CA4﹣CB2，∴CA2﹣CD2＝CB2，由勾股定理得：CA2﹣CD8＝AD2，∴CB2＝AD7，∴AD＝CB；（3）如圖3