2025屆廣東省華附、省實、深中、廣雅四校高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆廣東省華附、省實、深中、廣雅四校高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知f(x)，g(x)都是偶函數(shù)，且在[0,+∞)上單調(diào)遞增，設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|，若a>0，則（）A．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)B．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)C．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)D．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)2．函數(shù)的大致圖象為（）A． B．C． D．3．設(shè)集合，，則（）．A． B．C． D．4．若函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A． B． C． D．5．設(shè)復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，則（）A． B． C． D．6．某學(xué)校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是（）A．56 B．60 C．140 D．1207．復(fù)數(shù)的虛部是()A． B． C． D．8．若函數(shù)在處有極值，則在區(qū)間上的最大值為（）A． B．2 C．1 D．39．已知雙曲線的焦距是虛軸長的2倍，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．10．已知集合，，則集合的真子集的個數(shù)是（）A．8 B．7 C．4 D．311．復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．若，則的虛部是A．3 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平行四邊形中，，為邊上一點（不與重合），將平行四邊形沿折起，使五點均在一個球面上，當(dāng)四棱錐體積最大時，球的表面積為________.14．3張獎券分別標(biāo)有特等獎、一等獎和二等獎．甲、乙兩人同時各抽取1張獎券,兩人都未抽得特等獎的概率是__________．15．在的展開式中的系數(shù)為，則_______．16．已知變量x，y滿足約束條件x-y≤0x+2y≤34x-y≥-6，則三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為是橢圓的一個焦點，點，直線的斜率為1．（1）求橢圓的方程；（1）若過點的直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，是否存在直線使得？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由．18．（12分）已知矩陣，求矩陣的特征值及其相應(yīng)的特征向量．19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD平面PAD，，，，，E是PD的中點．證明：；設(shè)，點M在線段PC上且異面直線BM與CE所成角的余弦值為，求二面角的余弦值．20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)為曲線上位于第一，二象限的兩個動點，且，射線交曲線分別于，求面積的最小值，并求此時四邊形的面積.21．（12分）已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：．22．（10分）已知數(shù)列中，a1=1，其前n項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，若數(shù)列為遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】試題分析：由題意得，F(xiàn)(x)=2g(1-x),f(x)≥g(1-x)∴F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)≥g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)<g(1+a)，∵a>0，∴(a+1)2-(a-1)∴若f(a)>g(1+a)：F(-a)=2g(1+a)，F(xiàn)(a)=2g(1-a)，∴F(-a)>F(a)，若g(1-a)≤f(a)≤g(1+a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(xiàn)(a)=2g(1-a)，∴F(-a)≥F(a)，若f(a)<g(1-a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(xiàn)(a)=2f(a)，∴F(-a)=F(a)，綜上可知F(-a)≥F(a)，同理可知F(1+a)≥F(1-a)，故選A.考點：1.函數(shù)的性質(zhì)；2.分類討論的數(shù)學(xué)思想.【思路點睛】本題在在解題過程中抓住偶函數(shù)的性質(zhì)，避免了由于單調(diào)性不同導(dǎo)致1-a與1+a大小不明確的討論，從而使解題過程得以優(yōu)化，另外，不要忘記定義域，如果要研究奇函數(shù)或者偶函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性等問題，通常先在原點一側(cè)的區(qū)間(對奇(偶)函數(shù)而言)或某一周期內(nèi)(對周期函數(shù)而言)考慮，然后推廣到整個定義域上.2、A【解析】

利用特殊點的坐標(biāo)代入，排除掉C，D；再由判斷A選項正確.【詳解】，排除掉C，D；，，，.故選：A．【點睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題，代入特殊點，采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法，屬于中檔題.3、D【解析】

根據(jù)題意，求出集合A，進而求出集合和，分析選項即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，則故選：D【點睛】此題考查集合的交并集運算，屬于簡單題目,4、A【解析】

由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗證,通過排除法求得結(jié)果.【詳解】對于選項B,為奇函數(shù)可判斷B錯誤;對于選項C,當(dāng)時,,可判斷C錯誤;對于選項D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無增區(qū)間,故D錯誤;故選:A.【點睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問題,通過函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.5、B【解析】

易得，分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知，，所以.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運算，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道容易題.6、C【解析】

試題分析：由題意得，自習(xí)時間不少于小時的頻率為，故自習(xí)時間不少于小時的頻率為，故選C.考點：頻率分布直方圖及其應(yīng)用．7、C【解析】因為，所以的虛部是，故選C.8、B【解析】

根據(jù)極值點處的導(dǎo)數(shù)為零先求出的值，然后再按照求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上最值的求法計算即可.【詳解】解：由已知得，，，經(jīng)檢驗滿足題意.，.由得；由得或.所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增.則，，由于，所以在區(qū)間上的最大值為2.故選：B.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)極值的性質(zhì)以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值問題的基本思路，屬于中檔題．9、A【解析】

根據(jù)雙曲線的焦距是虛軸長的2倍，可得出，結(jié)合，得出，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由雙曲線可知，焦點在軸上，則雙曲線的漸近線方程為：，由于焦距是虛軸長的2倍，可得：，∴，即：，，所以雙曲線的漸近線方程為：.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，以及雙曲線的漸近線方程.10、D【解析】

轉(zhuǎn)化條件得，利用元素個數(shù)為n的集合真子集個數(shù)為個即可得解.【詳解】由題意得，，集合的真子集的個數(shù)為個.故選：D.【點睛】本題考查了集合的化簡和運算，考查了集合真子集個數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運算以及幾何意義即可求解.【詳解】解：，則復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為：，位于第二象限.故選：B.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

因為，所以的虛部是.故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

依題意可得、、、四點共圓，即可得到，從而得到三角形為正三角形，利用余弦定理可得，且，要使四棱錐體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)面面時體積取得最大值，利用正弦定理求出的外接圓的半徑，再又可證面，則外接球的半徑，即可求出球的表面積；【詳解】解：依題意可得、、、四點共圓，所以因為，所以，，所以三角形為正三角形，則，，利用余弦定理得即，解得，則所以，當(dāng)面面時，取得最大，所以的外接圓的半徑，又面面，，且面面，面所以面，所以外接球的半徑所以故答案為：【點睛】本題考查多面體的外接球的相關(guān)計算，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.14、【解析】

利用排列組合公式進行計算,再利用古典概型公式求出不是特等獎的兩張的概率即可.【詳解】解:3張獎券分別標(biāo)有特等獎、一等獎和二等獎,甲、乙兩人同時各抽取1張獎券,則兩人同時抽取兩張共有：種排法排除特等獎外兩人選兩張共有：種排法.故兩人都未抽得特等獎的概率是：故答案為：【點睛】本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.15、2【解析】

首先求出的展開項中的系數(shù)，然后根據(jù)系數(shù)為即可求出的取值.【詳解】由題知，當(dāng)時有，解得.故答案為：.【點睛】本題主要考查了二項式展開項的系數(shù)，屬于簡單題.16、-5【解析】

畫出x，y滿足的可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x-2y經(jīng)過點A時，z最小，求解即可。【詳解】畫出x，y滿足的可行域，由x+2y=34x-y=-6解得A-1,2，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x-2y經(jīng)過點A【點睛】本題考查的是線性規(guī)劃問題，解決線性規(guī)劃問題的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合思想。需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域;二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯;三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會在可行域的端點或邊界上取得。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（1）不存在，理由見解析【解析】

（1）利用離心率和過點，列出等式，即得解（1）設(shè)的方程為，與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示中點N的坐標(biāo)，用點坐標(biāo)表示，利用韋達(dá)關(guān)系代入，得到關(guān)于k的等式，即可得解.【詳解】（1）由題意，可得解得則，故橢圓的方程為．（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，，不符合題意．當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，則，，，即．設(shè)，則，，，則，即，整理得，此方程無解，故的方程不存在．綜上所述，不存在直線使得．【點睛】本題考查了直線和橢圓綜合，考查了弦長和中點問題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較難題.18、矩陣屬于特征值的一個特征向量為，矩陣屬于特征值的一個特征向量為【解析】

先由矩陣特征值的定義列出特征多項式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程組，即可求得相應(yīng)的特征向量.【詳解】由題意，矩陣的特征多項式為，令，解得，，將代入二元一次方程組，解得，所以矩陣屬于特征值的一個特征向量為；同理，矩陣屬于特征值的一個特征向量為v【點睛】本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計算，其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計算方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）由平面平面的性質(zhì)定理得平面，.在中，由勾股定理得，平面，即可得；（2）以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法和異面直線與所成角的余弦值為，得點M的坐標(biāo)，從而求出二面角的余弦值.【詳解】（1）平面平面，平面平面=，，所以.由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，，在中，，，由正弦定理可得：，，即，平面，.（2）以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，,得，，而，設(shè)平面的法向量為，由可得：，令，則，取平面的法向量，則，故二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運用，屬于中檔題.20、（1）；（2）面積的最小值為；四邊形的面積為【解析】

（1）將曲線消去參數(shù)即可得到的普通方程，將，代入曲線的極坐標(biāo)方程即可；（2）由（1）得曲線的極坐標(biāo)方程，設(shè)，，，利用方程可得，再利用基本不等式得，即可得，根據(jù)題意知，進而可得四邊形的面積.【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）消去參數(shù)得曲線的極坐標(biāo)方程為，即，所以，曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）依題意得的極坐標(biāo)方程為設(shè)，，，則，，故，當(dāng)且僅當(dāng)（即）時取“=”，故，即面積的最小值為.此時，故所求四邊形的面積為.【點睛】本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．21、（1）（2）證明見解析【解析】

（1），①當(dāng)時，，②兩式相減即得數(shù)列的通項公式；（2）先求出，再利用裂項相消法求和證明.【詳解】（1）解：，①當(dāng)時，．當(dāng)時，，②由①