高等數(shù)學(xué)（第二版）上冊課件：不定積分

不定積分

§4.1不定積分的概念與性質(zhì)§4.2換元積分法§4.3分部積分法§4.4某些特殊類型的不定積分§4.1不定積分的概念與性質(zhì)4.1.2不定積分的性質(zhì)4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念1．原函數(shù)

.定義4.1

設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，如果存在函數(shù)，使對任意的都有或則稱為在區(qū)間上的一個原函數(shù)..

定理4.1

（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)在區(qū)間都有.上連續(xù)，在上存在可導(dǎo)函數(shù)使得對任意的

面給出一個充分條件．舉最簡單的例子來說,

,故

是自身的一個原函數(shù).但如果給其加上任意常數(shù)，由于,那么

仍然是

的原函數(shù)．由此可知，當(dāng)一個函數(shù)具有原函數(shù)時，它的原函數(shù)有無窮多個．那么，什么樣的函數(shù)具有原函數(shù)呢？下數(shù)，就能得到其所有原函數(shù).間內(nèi)一定有原函數(shù).

由上述定理可知，連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).因為初等函數(shù)在定義域區(qū)間內(nèi)連續(xù)，所以初等函數(shù)在定義域區(qū)

我們已經(jīng)知道：函數(shù)如果存在原函數(shù)，那么原函數(shù)有無窮多個，那么的其它原函數(shù)與有什么關(guān)系?事實上，很多時候我們只需要求出一個原函

設(shè)

是

的任意一個原函數(shù)，即

，則有：

由拉格朗日中值定理的推論1知，導(dǎo)數(shù)恒等于零的函數(shù)是常數(shù)，故

這表明與只相差一個常數(shù).因此,只要找

到的一個原函數(shù)，(為任意常數(shù))就可以表示的任意一個原函數(shù)．2．不定積分

定義4.2

那么在區(qū)間

上有

(為任意常數(shù))

在區(qū)間

上,函數(shù)

的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)

.其中，記號稱為積分號，

稱為被積函數(shù)，稱為

（或

）在區(qū)間上的不定積分，記作

根據(jù)定義,如果

是

在區(qū)間上的一個原函數(shù)稱為被積表達(dá)式，

稱為積分變量．

分析

原式經(jīng)過變形可化為求冪函數(shù)的原函數(shù).解

由于因此有

分析

根據(jù)斜率求原曲線，即是求函數(shù)原函數(shù)的過程.解

設(shè)所求的曲線方程為

，按題設(shè)，曲線上任一點處

例4.1.1

求的切線斜率為，即是的一個原函數(shù)．

例4.1.2

設(shè)曲線通過點，且斜率為，求該曲線方程.

由于因此有某個常數(shù)

使

，即曲線方程為.因所求曲線通過點

，故于是所求曲線方程為

函數(shù)

的原函數(shù)的圖形稱為的積分曲線.本例即是求函數(shù)

的通過點

的那條積分曲線．顯然，這條積分曲線可以由另一條積分曲線(例如

）向軸方向平移而得(如圖)．

.4.1.2不定積分的性質(zhì)

根據(jù)不定積分的定義，即可得下述性質(zhì)：性質(zhì)1或性質(zhì)2或記作微分運算(以記號

表示)與求不定積分的運算(簡稱積分運算，以記號

表示)是互逆的．當(dāng)記號

與

連在一起時，或者抵消，或者抵消后相差一個常數(shù)．

性質(zhì)3（線性性質(zhì)）其中

為任意常數(shù)證明

要證上式的右端是

的不定積分,將右端對

求導(dǎo),得性質(zhì)3可以推廣到有限個函數(shù)的情形．

不定積分的性質(zhì)以及基本積分公式是求不定積分的基礎(chǔ)，記憶常見函數(shù)的積分公式，便能熟練計算可化為幾個基本初等函數(shù)線性組合的積分．在應(yīng)用這些公式時,有時需要對被積函數(shù)作適當(dāng)變形,化成能直接套用基本積分公式的情況，一般稱這種不定積分計算方法為直接積分法.現(xiàn)將常見的一些基本積分公式列表如下：(1)

(k為常數(shù))(2)

(

為常數(shù)且

)，(3)

,(4),(5),(6),(7),(8),(9)，(10)，(11)，(12)，(13)，

例4.1.3求

分析

首先把被積函數(shù)化為和式，然后再逐項積分.

解

例4.1.4

求下列函數(shù)的不定積分.(1)

(2)

分析

(1)式可以拆為幾個函數(shù)的積分和；

(2)式經(jīng)過變形可拆為兩個已知函數(shù)的積分.

解

(1)

(2)

例4.1.5

求下列函數(shù)的不定積分.解

(1)

(2)(1)(2)

本節(jié)我們主要從原函數(shù)的角度出發(fā)，給出了不定積分的概念和性質(zhì)，并且探討了利用基本積分表計算簡單函數(shù)的積分。那么，對于形式上更為復(fù)雜的函數(shù)，我們應(yīng)該如何求他的積分呢？一般來說都有哪些求積分的方法呢？

小

結(jié)§4.2換元積分法4.2.2第二類換元法4.2.1第一類換元法（湊微分法）4.2.1

第一類換元法（湊微分法）例4.2.1

求分析無法直接利用積分公式，因此可以將作為整體，湊出積分變量，再進(jìn)行計算.解令，則由此可見,計算的關(guān)鍵步驟是把它變成,然后通過變量代換就可化為易計算的積分.

而如果又是另一個變量的函數(shù)是一般地，如果的一個原函數(shù)，則且可微，那么根據(jù)復(fù)合函數(shù)的微分法，有由此得

于是有如下定理：定理4.2

則有換元公式注：如果積分不能直接利用利用基本積分公式計算，而其被積表達(dá)式能表示為可導(dǎo)，是具有原函數(shù)

設(shè)的形式，較易計算，那么可令且代入后有這樣就得到了的原函數(shù).這種積分稱為第一類換元法.由于在積分過程中，先要從被積表達(dá)式中湊出一個積分因子因此第一類換元法也稱為湊微分法.解

分析

被積函數(shù)

是

與構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，因此作變量代換.例4.2.2

求

例4.2.3

求解

被積函數(shù)可看成

與構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，雖沒有這個因子，但我們可以湊出這個因子：如果令便有

，把它化為

一般地，對于積分總可以作變量代換

例4.2.4

求解

令,則在方法比較熟悉后，不定積分的換元法就可以刪繁就簡，略去設(shè)中間變量和換元的步驟，而直接湊成基本積分公式的形式．，即分析

可將

作為

例4.2.5

求分析

將作為，將其湊成微分部分.解：

例4.2.6

求

分析

湊微分，利用積分公式

計算.解

類似的方法可以計算

如下：解類似地可得

例

4.2.7

求和

分析

將正切函數(shù)轉(zhuǎn)化成正余弦，再湊微分.解類似地可得

例4.2.8

求

和

分析

此題可以轉(zhuǎn)化為正余弦，也可直接變形湊微分計算，采用第二種方法較為簡單.

例4.2.9

求分析

含有

的函數(shù)求積分，通常利用求解.解

例4.2.10

求分析

原式變形，利用

求解.解解類似地可得

例4.2.11

求下列不定積分.(1)(2)(1)分析

通常三角函數(shù)平方的積分需要先降次再積分.(2)分析

正割的4次方，充分利用湊出微分求解.解

目前為止，我們已經(jīng)掌握所有三角函數(shù)以及三角函數(shù)平方的積分了.(1)

(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)

湊微分是利用第一類換元法求解積分的主要技巧，熟記常見湊微分的形式往往會提高解題速度和能力。一般地，有如下幾種常見的湊微分形式：4.2.2第二類換元法

第一類換元法是通過變量代換

，將積分化為積分．第二類換元法是通過變量代換，將積分化為積分

上述公式的成立是需要一定條件的，首先等式右邊的不定積分要存在，即被積函數(shù)在求出后一個積分后,再以反函數(shù)代回去,這樣換元積分公式可表示為:的有原函數(shù)；其次,的反函數(shù)要存在.我們有下面的定理．定理4.3

設(shè)函數(shù)

連續(xù),單調(diào)、可導(dǎo)，并且，則有換元公式證明

設(shè)的原函數(shù)為，記,利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可得：即

是

的原函數(shù)，所以有：證明完畢．第二類換元法通常適用于以下幾個類型：1.被積函數(shù)含有2.被積函數(shù)含有3.被積函數(shù)含有下面逐個舉例說明．分析

為使被積函數(shù)有理化，利用三角公式解

令

，,則它是的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，具有反函數(shù)且

例4.2.12

求因而t分析

利用公式，可以去掉根號.解

令，如圖，則于是

其中

例4.2.13

求

例4.2.14

求分析

同上題，利用解令

，則

，，于是，

例4.2.15

求分析

為使被積函數(shù)有理化，利用三角恒等式解

被積函數(shù)的定義域為

，令可求得被積函數(shù)在內(nèi)的不定積分，這時,故其中

，當(dāng)

時，可令類似地可得到相同形式的結(jié)果．

例4.2.16

求

分析

同上題，利用三角恒等式解被積函數(shù)定義域為，令，此時，故原式=利用直角三角形，回代：原式=當(dāng)時，此時原式=因此，

綜上可以看出，第二類換元法一般是利用三角代換將被積函數(shù)中的無理因式化為三角函數(shù)的有理因式，從而解決根號下含有二次函數(shù)型的積分．現(xiàn)總結(jié)如下：1.若被積函數(shù)中含有時，可作代換或2.含有

時，可作代換3.含有

時，可作代換

變量回代時，利用直角三角形可以快速解出所求量,因此不失為一種切實有效的方法.

除以上三角換元之外，很多時候還需用到其他換元的方法，比如常見的有倒代換和根式換元等等.下面舉一兩個例子加以說明.例4.2.17

求解因此當(dāng)時，有綜合起來，得當(dāng)時，,有,則令例4.2.18求分析

被積函數(shù)含有根號，但根號下是一元函數(shù)，無法使用三角換元.為了消去根號，因此可考慮用根式換元.解

令，,將回代得：原式=由此題可知，當(dāng)被積函數(shù)中含有無理式或者

(a,b,c,d為實數(shù))時，我們常作代換或

在本節(jié)的例題中，有幾個積分結(jié)果是以后經(jīng)常會遇到的．所以它們通常也被當(dāng)作公式使用．這樣,常用的積分公式，除了基本積分表中的以外，再添加下面幾個(其中常數(shù)a＞0).通常這21個式子可以被當(dāng)作公式使用．(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)例4.2.19求下列不定積分．（1）（2）

(1)分析

分母是二次函數(shù)，能因式分解，將其拆開裂項，再分別積分.解

(2)分析

分母是二次函數(shù)，但不能因式分解，此時需要配方，再用積分公式.解利用公式(18)，可得思考

試求.

本節(jié)我們研究了不定積分的兩種換元法——第一類換元法與第二類換元法，通過這些技巧可以解決很大一部分函數(shù)的積分問題.但是，僅僅這些方法對于處理有些積分是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，例如

，無論用哪類換元法都是行不通的.那我們應(yīng)該怎樣解決這類積分呢？下節(jié)讓我們繼續(xù)討論.小

結(jié)§4.3分部積分法引言上一節(jié)我們提到了有很多看似簡單的函數(shù)利用換元法是無法求出積分的，諸如

等，像此類的不定積分，需要用到求不定積分的另一種基本方法――分部積分法．移項得對這個等式兩邊求不定積分，得此公式稱為分部積分公式.如果積分不易求,而積分比較容易時,用分部積分公式就可以計算了.具體推導(dǎo)過程如下：設(shè)函數(shù)及具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)．那么，兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為通常將上式變形，得到如下更易記憶的形式:

1.仔細(xì)觀察，將被積函數(shù)分成兩部分和，并變?yōu)榈男问剑?.代入公式，計算，使；3.計算，從而算出整個積分值.分部積分法可分為以下幾步完成：解(1)若選擇，，則，于是

例4.3.1

求

分析由于被積函數(shù)是是兩個函數(shù)的乘積,選其中一個為,那么另一個即為．到底誰為呢？我們不妨兩種都試一下.這樣做的結(jié)果就是新得到的部分比原積分更加難求，因此這種選擇行不通.(2)若選擇，，于是由此例可以看到，如果和選取不當(dāng)，就求不出結(jié)果．所以應(yīng)用分部積分法時，恰當(dāng)選取和是關(guān)鍵，一般以比易求出為原則.

例4.3.2求下列不定積分.(1)；(2).分析兩道例題皆是含有，若將其作為，則很難得到，因此.解：(1)

(2)

例4.3.3求下列不定積分.(1)；(2).分析兩道例題皆是含有反三角函數(shù)，若將其作為，同樣很難得到，因此只能將其作為.解（1）

(2)若被積函數(shù)是指數(shù)為正整數(shù)的冪函數(shù)(或常函數(shù))和對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并選擇冪函數(shù)為．反之，若被積函數(shù)是指數(shù)為正整數(shù)的冪函數(shù)(或常函數(shù))和指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并選擇冪函數(shù)為．．解

分析被積函數(shù)是冪函數(shù)(指數(shù)為正整數(shù))和三角函數(shù)的乘積，選擇冪函數(shù)為容易求解.例4.3.4求

例4.3.5求．解類似的方法可求

例4.3.6求．解令，則.于是

例4.3.7求.令

，解則

.

*例4.3.8求．解思考

試求.小

結(jié)

本節(jié)以分部積分法為重點，解決了一大類典型函數(shù)的積分問題，為以后的章節(jié)打下了基礎(chǔ).目前為止，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)不定積分的兩種主要方法——換元法和分部積分法，這些方法并不是孤立的，在實際運算中，往往需要結(jié)合各種技巧才能事半功倍.但同時我們注意到，有些函數(shù)的積分是不好計算的，比如有理函數(shù)和含有三角函數(shù)的有理式，我們將要在下節(jié)單獨進(jìn)行研究.

§4.4某些特殊類型的不定積分

預(yù)備知識：二次函數(shù)的因式分解；多項式除法法則；三角函數(shù)的萬能公式.4.4.1有理函數(shù)的不定積分定義4.3

有理函數(shù)（有理分式）指的是兩個多項式之比所構(gòu)成的函數(shù)，其一般式可表示為：與不可約如果n<m,稱上式為真分式，如果n≥m,稱上式為假分式，利用多項式的除法，可以將假分式化為多項式與真分式的和．因此，只要掌握真分式的積分，就可以解決假分式的積分問題．例如：設(shè)是真分式，即，則在實數(shù)范圍內(nèi)，可以將分母因式分解成為若干因式與因式的乘積．(1)如果分母含有單因式，通過待定系數(shù)法即可確定(2)如果分母含有重因式，則部分分式相應(yīng)含有項之和：通過待定系數(shù)法即可確定(3)如果分解后含有質(zhì)因式，則部分分式必然含有一項，待定系數(shù)法求出即可；*(4)如果分解后含有質(zhì)因式，部分分式呈現(xiàn)如下形式：最后(4)這種情況過于繁復(fù)，本書不在贅述.上述過程稱為將真分式化為最簡分式之和．分析上述結(jié)果，有理真分式的積分大體有下面三種形式：接下來我們繼續(xù)研究利用待定系數(shù)法求解有理函數(shù)的積分問題.例

4.4.1

計算不定積分分析被積函數(shù)分母可分解為兩個單因式乘積，因此為第一種類型，用待定系數(shù)法來處理.解令等式右邊通分，兩端分子相等兩端比較系數(shù)，得：解得：則例

4.4.2

計算不定積分分析

被積函數(shù)分母為一次函數(shù)與二重因式乘積，其中