高等數(shù)學(xué)（第二版）上冊課件：不定積分

不定積分

§4.1不定積分的概念與性質(zhì)§4.2換元積分法§4.3分部積分法§4.4某些特殊類型的不定積分§4.1不定積分的概念與性質(zhì)4.1.2不定積分的性質(zhì)4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念1．原函數(shù)

.定義4.1

設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，如果存在函數(shù)，使對任意的都有或則稱為在區(qū)間上的一個原函數(shù)..

定理4.1

（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)在區(qū)間都有.上連續(xù)，在上存在可導(dǎo)函數(shù)使得對任意的

面給出一個充分條件．舉最簡單的例子來說,

,故

是自身的一個原函數(shù).但如果給其加上任意常數(shù)，由于,那么

仍然是

的原函數(shù)．由此可知，當一個函數(shù)具有原函數(shù)時，它的原函數(shù)有無窮多個．那么，什么樣的函數(shù)具有原函數(shù)呢？下數(shù)，就能得到其所有原函數(shù).間內(nèi)一定有原函數(shù).

由上述定理可知，連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).因為初等函數(shù)在定義域區(qū)間內(nèi)連續(xù)，所以初等函數(shù)在定義域區(qū)

我們已經(jīng)知道：函數(shù)如果存在原函數(shù)，那么原函數(shù)有無窮多個，那么的其它原函數(shù)與有什么關(guān)系?事實上，很多時候我們只需要求出一個原函

設(shè)

是

的任意一個原函數(shù)，即

，則有：

由拉格朗日中值定理的推論1知，導(dǎo)數(shù)恒等于零的函數(shù)是常數(shù)，故

這表明與只相差一個常數(shù).因此,只要找

到的一個原函數(shù)，(為任意常數(shù))就可以表示的任意一個原函數(shù)．2．不定積分

定義4.2

那么在區(qū)間

上有

(為任意常數(shù))

在區(qū)間

上,函數(shù)

的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)

.其中，記號稱為積分號，

稱為被積函數(shù)，稱為

（或

）在區(qū)間上的不定積分，記作

根據(jù)定義,如果

是

在區(qū)間上的一個原函數(shù)稱為被積表達式，

稱為積分變量．

分析

原式經(jīng)過變形可化為求冪函數(shù)的原函數(shù).解

由于因此有

分析

根據(jù)斜率求原曲線，即是求函數(shù)原函數(shù)的過程.解

設(shè)所求的曲線方程為

，按題設(shè)，曲線上任一點處

例4.1.1

求的切線斜率為，即是的一個原函數(shù)．

例4.1.2

設(shè)曲線通過點，且斜率為，求該曲線方程.

由于因此有某個常數(shù)

使

，即曲線方程為.因所求曲線通過點

，故于是所求曲線方程為

函數(shù)

的原函數(shù)的圖形稱為的積分曲線.本例即是求函數(shù)

的通過點

的那條積分曲線．顯然，這條積分曲線可以由另一條積分曲線(例如

）向軸方向平移而得(如圖)．

.4.1.2不定積分的性質(zhì)

根據(jù)不定積分的定義，即可得下述性質(zhì)：性質(zhì)1或性質(zhì)2或記作微分運算(以記號

表示)與求不定積分的運算(簡稱積分運算，以記號

表示)是互逆的．當記號

與

連在一起時，或者抵消，或者抵消后相差一個常數(shù)．

性質(zhì)3（線性性質(zhì)）其中

為任意常數(shù)證明

要證上式的右端是

的不定積分,將右端對

求導(dǎo),得性質(zhì)3可以推廣到有限個函數(shù)的情形．

不定積分的性質(zhì)以及基本積分公式是求不定積分的基礎(chǔ)，記憶常見函數(shù)的積分公式，便能熟練計算可化為幾個基本初等函數(shù)線性組合的積分．在應(yīng)用這些公式時,有時需要對被積函數(shù)作適當變形,化成能直接套用基本積分公式的情況，一般稱這種不定積分計算方法為直接積分法.現(xiàn)將常見的一些基本積分公式列表如下：(1)

(k為常數(shù))(2)

(

為常數(shù)且

)，(3)

,(4),(5),(6),(7),(8),(9)，(10)，(11)，(12)，(13)，

例4.1.3求

分析

首先把被積函數(shù)化為和式，然后再逐項積分.

解

例4.1.4

求下列函數(shù)的不定積分.(1)

(2)

分析

(1)式可以拆為幾個函數(shù)的積分和；

(2)式經(jīng)過變形可拆為兩個已知函數(shù)的積分.

解

(1)

(2)

例4.1.5

求下列函數(shù)的不定積分.解

(1)

(2)(1)(2)

本節(jié)我們主要從原函數(shù)的角度出發(fā)，給出了不定積分的概念和性質(zhì)，并且探討了利用基本積分表計算簡單函數(shù)的積分。那么，對于形式上更為復(fù)雜的函數(shù)，我們應(yīng)該如何求他的積分呢？一般來說都有哪些求積分的方法呢？

小

結(jié)§4.2換元積分法4.2.2第二類換元法4.2.1第一類換元法（湊微分法）4.2.1

第一類換元法（湊微分法）例4.2.1

求分析無法直接利用積分公式，因此可以將作為整體，湊出積分變量，再進行計算.解令，則由此可見,計算的關(guān)鍵步驟是把它變成,然后通過變量代換就可化為易計算的積分.

而如果又是另一個變量的函數(shù)是一般地，如果的一個原函數(shù)，則且可微，那么根據(jù)復(fù)合函數(shù)的微分法，有由此得

于是有如下定理：定理4.2

則有換元公式注：如果積分不能直接利用利用基本積分公式計算，而其被積表達式能表示為可導(dǎo)，是具有原函數(shù)

設(shè)的形式，較易計算，那么可令且代入后有這樣就得到了的原函數(shù).這種積分稱為第一類換元法.由于在積分過程中，先要從被積表達式中湊出一個積分因子因此第一類換元法也稱為湊微分法.解

分析

被積函數(shù)

是

與構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，因此作變量代換.例4.2.2

求

例4.2.3

求解

被積函數(shù)可看成

與構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，雖沒有這個因子，但我們可以湊出這個因子：如果令便有

，把它化為

一般地，對于積分總可以作變量代換

例4.2.4

求解

令,則在方法比較熟悉后，不定積分的換元法就可以刪繁就簡，略去設(shè)中間變量和換元的步驟，而直接湊成基本積分公式的形式．，即分析

可將

作為

例4.2.5

求分析

將作為，將其湊成微分部分.解：

例4.2.6

求

分析

湊微分，利用積分公式

計算.解

類似的方法可以計算

如下：解類似地可得

例

4.2.7

求和

分析

將正切函數(shù)轉(zhuǎn)化成正余弦，再湊微分.解類似地可得

例4.2.8

求

和

分析

此題可以轉(zhuǎn)化為正余弦，也可直接變形湊微分計算，采用第二種方法較為簡單.

例4.2.9

求分析

含有

的函數(shù)求積分，通常利用求解.解

例4.2.10

求分析

原式變形，利用

求解.解解類似地可得

例4.2.11

求下列不定積分.(1)(2)(1)分析

通常三角函數(shù)平方的積分需要先降次再積分.(2)分析

正割的4次方，充分利用湊出微分求解.解

目前為止，我們已經(jīng)掌握所有三角函數(shù)以及三角函數(shù)平方的積分了.(1)

(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)

湊微分是利用第一類換元法求解積分的主要技巧，熟記常見湊微分的形式往往會提高解題速度和能力。一般地，有如下幾種常見的湊微分形式：4.2.2第二類換元法

第一類換元法是通過變量代換

，將積分化為積分．第二類換元法是通過變量代換，將積分化為積分

上述公式的成立是需要一定條件的，首先等式右邊的不定積分要存在，即被積函數(shù)在求出后一個積分后,再以反函數(shù)代回去,這樣換元積分公式可表示為:的有原函數(shù)；其次,的反函數(shù)要存在.我們有下面的定理．定理4.3

設(shè)函數(shù)

連續(xù),單調(diào)、可導(dǎo)，并且，則有換元公式證明

設(shè)的原函數(shù)為，記,利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可得：即

是

的原函數(shù)，所以有：證明完畢．第二類換元法通常適用于以下幾個類型：1.被積函數(shù)含有2.被積函數(shù)含有3.被積函數(shù)含有下面逐個舉例說明．分析

為使被積函數(shù)有理化，利用三角公式解

令

，,則它是的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，具有反函數(shù)且

例4.2.12

求因而t分析

利用公式，可以去掉根號.解

令，如圖，則于是

其中

例4.2.13

求

例4.2.14

求分析

同上題，利用解令

，則

，，于是，

例4.2.15

求分析

為使被積函數(shù)有理化，利用三角恒等式解

被積函數(shù)的定義域為

，令可求得被積函數(shù)在內(nèi)的不定積分，這時,故其中

，當

時，可令類似地可得到相同形式的結(jié)果．

例4.2.16

求

分析

同上題，利用三角恒等式解被積函數(shù)定義域為，令，此時，故原式=利用直角三角形，回代：原式=當時，此時原式=因此，

綜上可以看出，第二類換元法一般是利用三角代換將被積函數(shù)中的無理因式化為三角函數(shù)的有理因式，從而解決根號下含有二次函數(shù)型的積分．現(xiàn)總結(jié)如下：1.若被積函數(shù)中含有時，可作代換或2.含有

時，可作代換3.含有

時，可作代換

變量回代時，利用直角三角形可以快速解出所求量,因此不失為一種切實有效的方法.

除以上三角換元之外，很多時候還需用到其他換元的方法，比如常見的有倒代換和根式換元等等.下面舉一兩個例子加以說明.例4.2.17

求解因此當時，有綜合起來，得當時，,有,則令例4.2.18求分析

被積函數(shù)含有根號，但根號下是一元函數(shù)，無法使用三角換元.為了消去根號，因此可考慮用根式換元.解

令，,將回代得：原式=由此題可知，當被積函數(shù)中含有無理式或者

(a,b,c,d為實數(shù))時，我們常作代換或

在本節(jié)的例題中，有幾個積分結(jié)果是以后經(jīng)常會遇到的．所以它們通常也被當作公式使用．這樣,常用的積分公式，除了基本積分表中的以外，再添加下面幾個(其中常數(shù)a＞0).通常這21個式子可以被當作公式使用．(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)例4.2.19求下列不定積分．（1）（2）

(1)分析

分母是二次函數(shù)，能因式分解，將其拆開裂項，再分別積分.解

(2)分析

分母是二次函數(shù)，但不能因式分解，此時需要配方，再用積分公式.解利用公式(18)，可得思考

試求.

本節(jié)我們研究了不定積分的兩種換元法——第一類換元法與第二類換元法，通過這些技巧可以解決很大一部分函數(shù)的積分問題.但是，僅僅這些方法對于處理有些積分是遠遠不夠的，例如

，無論用哪類換元法都是行不通的.那我們應(yīng)該怎樣解決這類積分呢？下節(jié)讓我們繼續(xù)討論.小

結(jié)§4.3分部積分法引言上一節(jié)我們提到了有很多看似簡單的函數(shù)利用換元法是無法求出積分的，諸如

等，像此類的不定積分，需要用到求不定積分的另一種基本方法――分部積分法．移項得對這個等式兩邊求不定積分，得此公式稱為分部積分公式.如果積分不易求,而積分比較容易時,用分部積分公式就可以計算了.具體推導(dǎo)過程如下：設(shè)函數(shù)及具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)．那么，兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為通常將上式變形，得到如下更易記憶的形式:

1.仔細觀察，將被積函數(shù)分成兩部分和，并變?yōu)榈男问剑?.代入公式，計算，使；3.計算，從而算出整個積分值.分部積分法可分為以下幾步完成：解(1)若選擇，，則，于是

例4.3.1

求

分析由于被積函數(shù)是是兩個函數(shù)的乘積,選其中一個為,那么另一個即為．到底誰為呢？我們不妨兩種都試一下.這樣做的結(jié)果就是新得到的部分比原積分更加難求，因此這種選擇行不通.(2)若選擇，，于是由此例可以看到，如果和選取不當，就求不出結(jié)果．所以應(yīng)用分部積分法時，恰當選取和是關(guān)鍵，一般以比易求出為原則.

例4.3.2求下列不定積分.(1)；(2).分析兩道例題皆是含有，若將其作為，則很難得到，因此.解：(1)

(2)

例4.3.3求下列不定積分.(1)；(2).分析兩道例題皆是含有反三角函數(shù)，若將其作為，同樣很難得到，因此只能將其作為.解（1）

(2)若被積函數(shù)是指數(shù)為正整數(shù)的冪函數(shù)(或常函數(shù))和對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并選擇冪函數(shù)為．反之，若被積函數(shù)是指數(shù)為正整數(shù)的冪函數(shù)(或常函數(shù))和指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并選擇冪函數(shù)為．．解

分析被積函數(shù)是冪函數(shù)(指數(shù)為正整數(shù))和三角函數(shù)的乘積，選擇冪函數(shù)為容易求解.例4.3.4求

例4.3.5求．解類似的方法可求

例4.3.6求．解令，則.于是

例4.3.7求.令

，解則

.

*例4.3.8求．解思考

試求.小

結(jié)

本節(jié)以分部積分法為重點，解決了一大類典型函數(shù)的積分問題，為以后的章節(jié)打下了基礎(chǔ).目前為止，我們已經(jīng)學(xué)習不定積分的兩種主要方法——換元法和分部積分法，這些方法并不是孤立的，在實際運算中，往往需要結(jié)合各種技巧才能事半功倍.但同時我們注意到，有些函數(shù)的積分是不好計算的，比如有理函數(shù)和含有三角函數(shù)的有理式，我們將要在下節(jié)單獨進行研究.

§4.4某些特殊類型的不定積分

預(yù)備知識：二次函數(shù)的因式分解；多項式除法法則；三角函數(shù)的萬能公式.4.4.1有理函數(shù)的不定積分定義4.3

有理函數(shù)（有理分式）指的是兩個多項式之比所構(gòu)成的函數(shù)，其一般式可表示為：與不可約如果n<m,稱上式為真分式，如果n≥m,稱上式為假分式，利用多項式的除法，可以將假分式化為多項式與真分式的和．因此，只要掌握真分式的積分，就可以解決假分式的積分問題．例如：設(shè)是真分式，即，則在實數(shù)范圍內(nèi)，可以將分母因式分解成為若干因式與因式的乘積．(1)如果分母含有單因式，通過待定系數(shù)法即可確定(2)如果分母含有重因式，則部分分式相應(yīng)含有項之和：通過待定系數(shù)法即可確定(3)如果分解后含有質(zhì)因式，則部分分式必然含有一項，待定系數(shù)法求出即可；*(4)如果分解后含有質(zhì)因式，部分分式呈現(xiàn)如下形式：最后(4)這種情況過于繁復(fù)，本書不在贅述.上述過程稱為將真分式化為最簡分式之和．分析上述結(jié)果，有理真分式的積分大體有下面三種形式：接下來我們繼續(xù)研究利用待定系數(shù)法求解有理函數(shù)的積分問題.例

4.4.1

計算不定積分分析被積函數(shù)分母可分解為兩個單因式乘積，因此為第一種類型，用待定系數(shù)法來處理.解令等式右邊通分，兩端分子相等兩端比較系數(shù)，得：解得：則例

4.4.2

計算不定積分分析

被積函數(shù)分母為一次函數(shù)與二重因式乘積，其中