高等數(shù)學（第二版）上冊課件：函數(shù)的極限

函數(shù)的極限

1.3.1自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限

1.3.2自變量趨向有限值時函數(shù)的極限1.3.3函數(shù)極限的性質(zhì)1.3.1自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限是指無限增大，它包含兩方面：的變化趨勢觀察當和時函數(shù)和當時，無限接近于常數(shù)0當

時，也無限接近于常數(shù)0定義1.4

如果當無限增大時，函數(shù)無限趨近于某某個確定的常數(shù)A，則稱當時函數(shù)的極限為A，記作或?qū)σ话愫瘮?shù)而言，自變量無限大時，函數(shù)值無限接近一個常數(shù)的情形與數(shù)列極限類似.所不同的是，自變量的變化可以是連續(xù)的.有時，當和時，函數(shù)無限趨近的常數(shù)不同.例如反正切函數(shù).,故有下列定義定義1.5如果當時，函數(shù)趨近于某個確定的常數(shù)A，則稱當時函數(shù)的極限為A.記作考查的圖像，問

是否存在？當時，是否有極限？為什么？定理1.3

例1.3.1判斷下列極限是否存在解（1）因為，所以由定理1.3知不存在.

（2）因為所以和時函數(shù)有極限，不但有描述性的定義，也有精確的定義.定義1.4’設(shè)函數(shù)當大于某一正數(shù)時有定義,A為一常數(shù)，若，,當

時時，都有不等式成立，則稱常數(shù)A

為函數(shù)當時的極限，記作

定義1.5’若，當時，都有不等式成立，則稱常數(shù)A為函數(shù)當時的極限，記為或利用精確定義，可以證明函數(shù)的極限.*例1.3.2

證明證明要使只要即可.所以，，

從而證得當

時，都有

1.3.2

時函數(shù)的極限

例1.3.3

考察當時，函數(shù)的變化趨勢在數(shù)軸上表示從的左、右兩側(cè)無限趨近于，但.解當時，從1的左邊和右邊無限趨近于1時，的值無限接近于常數(shù)4或者由定義1.6可知,例1.3.4中，上述定義1.6中,是從左右兩側(cè)趨近于，但在有些問題中，只需考慮從一側(cè)趨近于時函數(shù)的變化趨勢，為給出以下定義.定義1.6設(shè)函數(shù)在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果當時，函數(shù)無限接近于某個確定的常數(shù)，則稱當時函數(shù)的極限為，記作定義1.7如果當是從左側(cè)（右側(cè)）趨近于時，函數(shù)

無限接近于某個確定的常數(shù)，則稱當從左側(cè)（右側(cè)）趨近于時

函數(shù)的極限為，

也稱為點的左極限（右極限），記作

或者

（

或者）由極限的定義1.6可知，當時，函數(shù)無限接近于某個確定的常數(shù)包括和，故有下面定理定理1.4

例1.3.4

設(shè)

討論當時，的極限是否存在.解是函數(shù)定義域中的分段點，且（思考:當，的極限是否存在？）當或函數(shù)的極限也有精確定義，按照精確定義可以證明函數(shù)的極限.定義1.6’設(shè)函數(shù)在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義，若，使得當（即），時都有不等式成立，則稱常數(shù)A為函數(shù)

或者當時的極限，記為的幾何意義：對于任意的正數(shù)，存在正數(shù)，當點的橫坐標

落入的去心領(lǐng)域之內(nèi)時，縱坐標的值必定落入?yún)^(qū)間之內(nèi)，此時，曲線必然介于兩條平行線與之間.*例1.3.5

證明證明對于任給的正數(shù)，要使只要，所以，取，

當

時，都有不等式成立，故

定義1.7’若，當

時，總有則稱A為當時的右極限，記作或（若，當時，總有，則稱A為當時的左極限，記作或1.3.3函數(shù)極限的性質(zhì)與數(shù)列極限性質(zhì)類似，函數(shù)極限也具有相似的性質(zhì)（其證明過程與數(shù)列極限相應定理的證明過程相似)，今后使用的極限符號“l(fā)im”表示任何一種極限過程．

函數(shù)的極限具有下面幾個性質(zhì)：定理1.5（唯一性）若極限存在，則其極限是唯一的.定理1.6若極限

存在，則是該極限過程使（或）時，則稱是（或）時的有界變量.中的有界變量.定義1.8在（或）的過程中，若,

如*證明僅就

的情形證明，其他情形類似可證．當

時，

則

，取

，可知，當

時，

有界.注：定理1.6的逆命題不成立.如若

，由極限定義，對

，

是有界變量，但不存在.定理1.7（保號性）

若極限，且（或）則存在

的某一去心鄰域，當屬于該鄰域內(nèi)時，

有

或（

）.若極限，且（或），則當時，有（或)*證明僅就

的情形證明，其他情形類似可證．設(shè)

，因為

，所以對于正數(shù)

，

總存在正數(shù)δ，當

時，使不等式成立.所以有