高等數(shù)學(xué)（第二版）下冊課件：多元函數(shù)的概念

多元函數(shù)的概念

.6.2.1平面區(qū)域6.2.2多元函數(shù)的定義6.2.3多元函數(shù)的極限6.2.4多元函數(shù)的連續(xù)性

6.2.1平面區(qū)域1.平面點集我們把建立了坐標系的平面稱為坐標平面.坐標平面上具有某種性質(zhì)的點的集合,稱為平面點集,記作：二元有序?qū)崝?shù)組的全體

表示坐標平面.例如,平面上以原點為中心、為半徑的圓內(nèi)所有點的集合是：

2．鄰域

定義

6.4

設(shè)是平面上的一個點，是某一正幾何解釋：是平面上以點為圓心，為半徑的圓的內(nèi)部點的全體．

數(shù)

，與點距離小于的點的全體稱為點的鄰域，記為，即=如果不需要強調(diào)鄰域的半徑，一般用表示點的某個鄰域，表示點的去心鄰域.去心鄰域：點的去心鄰域下面利用鄰域來描述點和點集之間的關(guān)系.設(shè)是平面上的任意點集，是平面上的任意一點.則稱

為外點；內(nèi)點：如果存在點

的某一鄰域，使得

，則外點：如果存在點的

某一鄰域，使得，稱

為

的內(nèi)點；邊界點：如果點

的任一鄰域內(nèi)既含有屬于

的點，也含有不屬于

的點,則稱

為

的邊界點；

的邊界點的全體稱為的邊界，記為；聚點：如果對于任意給定的，點的去心鄰域內(nèi)總有中的點，則稱是的聚點.例如,設(shè)平面點集

的內(nèi)點必屬于，的外點必不屬于的邊界點和聚點可能屬于，也可能不屬于.滿足的一切點都是的內(nèi)點；滿足的一切點都是的邊界點，但不屬于滿足的一切點也是的邊界點，屬于；點集以及它的邊界上的一切點都是的聚點.3.區(qū)域先來定義一些重要的平面點集.開集：如果點集的所有點都是的內(nèi)點，則稱為開集.閉集：如果點集的邊界，則稱為閉集.例如,集合是開集;而集合既非開集，也非閉集.集合是閉集；連通集：如果點集內(nèi)任意兩點，都可用折線聯(lián)結(jié)起來，且該折線上的點都屬于，則稱為連通集.開區(qū)域：連通的開集稱為開區(qū)域．閉區(qū)域：開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點集稱為閉區(qū)域.有界區(qū)域與無界區(qū)域：對于區(qū)域

，如果存在正數(shù)，使得，那么稱區(qū)域

為有界區(qū)域；否則稱為無界區(qū)域．D為有界閉區(qū)域;為無界開區(qū)域．例如,是開集，但非區(qū)域．

6.2.2多元函數(shù)的定義例6.2.1具有關(guān)系：圓柱體的體積和它的底面半徑，高之間值時，的值就隨之確定.這里,當

，

在集合內(nèi)取一定例6.2.2

溫度之間具有關(guān)系：一定量的理想氣體的壓強、體積和絕對取定一對值

時，的值就隨之確定.其中為常數(shù),當在集合內(nèi)二元函數(shù)的定義定義6.5或值域，記作.數(shù)集

稱為函數(shù)的設(shè)是平面上的一個點集,稱映射為定義在上的二元函數(shù)，通常記為：其中點集稱為該二元函數(shù)函數(shù)的定義域，稱為自變量,稱為因變量．二元函數(shù)定義域與一元函數(shù)定義域的求法類似.二元函數(shù)的定義域?qū)τ诙瘮?shù)

,使這個表達式有意義的自變量的取值范圍,就是函數(shù)的定義域.如果函數(shù)的自變量具有某種實際意義,應(yīng)根據(jù)實際意義確定其定義域.二元函數(shù)幾何意義曲面.對于二元函數(shù),,其定義域是平面

上的一個區(qū)域，點集稱為二元函數(shù)的圖形.一般的，二元函數(shù)的圖形是一個例如，函數(shù)

表示一個平面；而函數(shù)的圖形是旋轉(zhuǎn)拋物面.例6.2.3求函數(shù)的定義域.解定義域需滿足

所以是函數(shù)的定義域，且為有界閉區(qū)域.例6.2.4求函數(shù)

的定義域.分析：表達式中含有根號和分母,函數(shù)有意義當且僅當

根號里面的表達式大于0.解定義域需滿足

，所以為函數(shù)定義域，是無界開區(qū)域．6.2.3多元函數(shù)的極限定義6.6設(shè)函數(shù)

在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義,如果當點（屬于這個鄰域）以任意方式于一個確定的常數(shù)

，則稱

是函數(shù)當

時的極限,記作：趨于點對應(yīng)的函數(shù)值

無限趨近時,或也記作或例6.2.5求.分析利用重要極限解=1×2=2例6.2.6討論函數(shù)在點分析

處有無極限.當點沿軸趨于點

時，當點沿軸趨于點

時，因此，函數(shù)在點

處無極限.當點沿直線

趨于點

時,四.多元函數(shù)的連續(xù)性定義6.7

設(shè)函數(shù)

在區(qū)域

內(nèi)有定義，且

，若則稱函數(shù)

在點

處連續(xù).如果函數(shù)

在

的每一點處都連續(xù)，那么稱函數(shù)

在

上連續(xù).等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合運算而得到的．例如一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.

都是多元初等函數(shù).與一元函數(shù)類似，多元初等函數(shù)是指可用一個式子表示的函數(shù)．這個式子是由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到元函數(shù)．例6.2.7

求分析函數(shù)

是初等函數(shù)，點（1，2）在其定義解域內(nèi),極限值等于其函數(shù)值.例6.2.8

求解

分析分子分母極限都為0，首先進行分子有理化二元函數(shù)的性質(zhì)兩值之間的任何值至少一次.連續(xù)函數(shù)，在

上至少取得它的最大值和最小值各一次.性質(zhì)2（有界性定理）在有界閉區(qū)域

上的二元連續(xù)函數(shù)在

上一定有界.性質(zhì)3（介值定理）在有界閉區(qū)域

上的二元連續(xù)函數(shù)，若在

上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在

上取得介于這性質(zhì)1