高等數(shù)學（第二版）下冊課件：二重積分的應用

二重積分的應用7.3.1空間曲面的面積7.3.3轉(zhuǎn)動慣量7.3.2質(zhì)心預備知識：微元法的思想和步驟；二重積分計算方法定積分應用的元素法也可推廣到二重積分,使用該方法需滿足以下條件：1.所要計算的某個量對于閉區(qū)域具有可加性(即:當閉區(qū)域分成許多小閉區(qū)域時,所求量相應地分成許多部分量,且2.在內(nèi)任取一個直徑充分小的小閉區(qū)域時,相應的部分量可近似地表示為,其中,稱為所求量的元素,并記作3.所求量可表示成積分形式7.3.1空間曲面的面積圖7-17設曲面S由方程給出，

為曲面S在

面上的投影區(qū)域，函數(shù).在

上具有連續(xù)偏導數(shù)

和,計算曲面的面積A.圖7-17如圖7-17，在閉區(qū)域上任取一直徑很小的閉區(qū)域(它的面積也記作)，在內(nèi)取一點，對應著曲面S上一點，曲面S在點M處的切平面設為T，以小區(qū)域的邊界為準線作母線平行于z軸的柱面,該柱面在曲面S上截下一小片曲面,在切平面T上截下一小片平面,由于的直徑很小,那一小片平面面積近似地等于那一小片曲面面積.曲面在點處的法線向量(指向朝上的那個)為它與z軸正向所成夾角的方向余弦為而所以這就是曲面的面積元素,故分析合理確定被積函數(shù)，結(jié)合對稱性可解.解上半球面方程為例7.3.1求半徑為R的球的表面積.所以7.3.2質(zhì)心

平面薄片對x軸和對y軸的力矩分別為設有一平面薄片，占有

面上的閉區(qū)域,在點

處的面密度為

，假定

在

上連續(xù).

在閉區(qū)域D上任取一點

及包含點

的一直徑很小的閉區(qū)域(其面積也記為),則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為

現(xiàn)在要求該薄片的質(zhì)心坐標.特別地，如果平面薄片是均勻的，即面密度是常數(shù)，則平面薄片的質(zhì)心(稱為形心)為于是設平面薄片的質(zhì)心坐標為，平面薄片的質(zhì)量為M，則有之間的均勻薄片的質(zhì)心.例7.3.2求位于兩圓和，再計算薄片的質(zhì)量M，代入公式即可.根據(jù)公式，計算平面薄片對x軸和y軸的力矩和解分析因為閉區(qū)域D對稱于y軸，所以質(zhì)心必位于y軸上，于是因為所以所求形心是7.3.3轉(zhuǎn)動慣量

設有一平面薄片,占有xOy面上的閉區(qū)域D,在點P(x,y)處片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸的轉(zhuǎn)動慣量.在閉區(qū)域D上任取一點P(x,y),及包含點P(x,y)的一直徑很（其面積也記為小的閉區(qū)域），則平面薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸的轉(zhuǎn)動慣量的元素分別為整片平面薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為的面密度為,假定

在D上連續(xù).現(xiàn)在要求該薄解分析合理設置坐標系，以薄片的直徑為軸，計算薄片對軸的轉(zhuǎn)動慣量.薄片所占閉區(qū)域D可表示為例7.3.3求半徑為

的均勻半圓薄片(面密度為常量)