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齊次方程

.9.3.1求解微分方程的變量分離法9.3.2變量分離微分方程的解法

9.3.1求解微分方程的變量分離法1.本節(jié)主要介紹一種特殊類型的微分方程的解法.形如

的一階微分方程，稱為一階齊次微分方程，簡稱為齊次方程，其中是已知的函數(shù)．例如：

都是齊次方程.

2．解題思路

第一步：設

，則利用變量代換，把齊次方程化為可分離變量方程．方程(9.14)的解題步驟如下：把代入方程(9.14)，有第二步：分離變量第三步：根據(jù)一階微分形式的不變性，對兩端分別積分第四步：代回變量，則得到方程(1)的通解【例9.3.1】

求微分方程

的通解．分析：經(jīng)過觀察，原式屬于齊次方程，令

可以求解.解：

方程為齊次方程，設，則原方程化為分離變量得兩端積分

得

或者

把代回，得方程的通解為

【例9.3.2】

求微分方程

的通解．分析：上同題，經(jīng)過觀察，原式屬于齊次方程，令

可以求解.解：

方程為齊次方程，設則

原方程化為

,即分離變量得

兩端積分

得

令.即

把代回，得方程的通解為

實際計算中，經(jīng)常會遇到方程右側(cè)是類似“”的分式形式，經(jīng)過變形本質(zhì)上也是齊次方程.【例9.3.3】

求微分方程

的通解分析：分子分母同除以，屬于齊次方程，令

可以求解解：

方程變形為

方程為齊次方程，設，則

原方程化為

即分離變量得

兩端積分

得

或者

把代回，得方程的通解為【例9.3.4】

求解方程分析：分子分母同除以，屬于齊次方程，令

可以求解解：

方程改寫為齊次方程設，則

原方程化為

,分離變量得

兩端積分

即當時，此外，方程還有解把代回，得方程的通解為

求齊次方程的初值問題也采用同樣的方法.【例9.3.5】

求下面初值問題的解：分析：等式兩邊同除以

，利用齊次方程的解法求解解：

方程改寫為齊次方程設，則原方程化為兩端積分

將代入，整理得最后，利用初值條件，解出

代入上式得方程的解為

*當方程的右端是線性分式函數(shù)時，也可以把它設法化為齊次方程來求解.*【例9.3.6】

求方程

的通解分析：此問題的難點在于方程右端函數(shù)不是齊次的，其分子分母都含有常數(shù)，可以采用坐標平移的方法消去常數(shù)，然后變?yōu)辇R次方程求解.解：

令

代入方程改寫為關于新變量的齊次方程，設，則

分離變量

兩端積分

將變量逐個還原，整理得原方程的通解為本節(jié)主要介紹了齊次方程的形式及解法，該解法的本質(zhì)是利用換元法將微分方程轉(zhuǎn)化為可分離變量的方程

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