高等數(shù)學(xué)（第三版）課件：曲面與空間曲線

曲面與空間曲線一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面三、幾種常見的二次曲面四、空間曲線

一、曲面方程的概念

定義:如果曲面上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程而不在曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個(gè)方程,則稱方程為曲面的方程,而稱曲面為此方程的圖形.圖9.23圖9.24例1

建立球心在點(diǎn),半徑為的球面方程.解設(shè)是球面上的任一點(diǎn),則而所以

這就是球心在點(diǎn),半徑為的球面方程.

當(dāng)時(shí),得球心在原點(diǎn),半徑為的球面方程為

柱面:直線沿定曲線平行移動(dòng)所形成的曲面稱為柱面.定曲線稱為柱面的準(zhǔn)線,動(dòng)直線稱為柱面的母線.例2

建立母線平行于軸的柱面方程.圖9.26解設(shè)準(zhǔn)線是面上的一條曲線,

是柱面上的任意一點(diǎn).過點(diǎn)的母線與面的交點(diǎn)一定在準(zhǔn)線上,點(diǎn)的坐標(biāo)為,不論點(diǎn)的豎坐標(biāo)取何值,它的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都滿足方程

,因此所求柱面方程為

在空間直角坐標(biāo)系中,方程表示以面上的曲線為準(zhǔn)線,母線平行于軸的柱面.

類似地,方程表示以面上的曲線為準(zhǔn)線,母線平行于軸的柱面.

方程表示以面上的曲線為準(zhǔn)線,母線平行于軸的柱面.

用面和面去截曲面,其截痕為

它們都是雙曲線.

也表示單葉雙曲面,中心軸分別是軸、軸.

二、旋轉(zhuǎn)曲面

旋轉(zhuǎn)曲面:平面曲線繞同一平面上定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.圖9.31例3

建立面上一條曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樵谇€上,所以解設(shè)為旋轉(zhuǎn)曲面上任一點(diǎn),過點(diǎn)作平面垂直于軸,交軸于點(diǎn)交曲線于點(diǎn)則所以旋轉(zhuǎn)曲面方程為

同理,曲線繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為

面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為

面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為例4

將坐標(biāo)面上的直線繞軸旋轉(zhuǎn)一周,試求所得旋轉(zhuǎn)曲面方程.解將保持不變,換成得即所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為圖9.32

由上時(shí)表示的曲面稱為圓錐面.點(diǎn)稱為圓錐的頂點(diǎn).

三、幾種常見的曲面

二次曲面:在空間直角坐標(biāo)系中,若是二次方程,則它的圖形稱為二次曲面.

截痕法:用一系列平行于坐標(biāo)面的平面去截曲面,求得一系列的交線,對(duì)這些交線進(jìn)行分析從而把握曲面的輪廓特征,這種方法稱為截痕法.1.橢球面

用三個(gè)坐標(biāo)面分別去截橢球面,交線為:圖9.33這些交線都是橢圓.

用平行于面的平面截橢球面,交線為是平面上的橢圓.

用平行其它兩個(gè)坐標(biāo)面的平面去截橢球面,分析的結(jié)果類似.

2.單葉雙曲面

用三個(gè)坐標(biāo)面截曲面,所得截線分別為

圖9.343.雙葉雙曲面

圖9.35用和面截曲面,所得截線分別為它們都是以軸為實(shí)軸,虛軸分別為軸和軸的雙曲線.

用平行于面的平面截曲面,得當(dāng)時(shí),其截痕是一橢圓;

當(dāng)時(shí),其截痕縮為一點(diǎn)和;當(dāng)時(shí),沒有圖形.也表示雙葉雙曲面.4.橢圓拋物面圖9.36

用和面截曲面,所得截線分別為它們都是開口向上的拋物線.

用平面截曲面,得當(dāng)時(shí),沒有圖形;當(dāng)時(shí),相交于一點(diǎn);當(dāng)時(shí),所得截線為

5.雙曲拋物面

用三個(gè)坐標(biāo)面截曲面,所得截線分別為

它們分別表示兩條相交直線、開口向上的拋物線和開口向下的拋物線.圖9.37

用平行于和面的平面和截曲面,所得截線分別為

用平行于面的平面截曲面,所得截線為

四、空間曲線1.空間曲線的一般方程例5

下列方程組表示什么曲線？(1)(2)解

(1)是球心在原點(diǎn),半徑為5的球面.是平行于面的平面,它們的交線是在平面上的圓(2)方程表示球心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為的上半球面;方程表示母線平行于軸的圓柱面,方程組表示上半球面與圓柱面的交線.

圖9.392.空間曲線的參數(shù)方程

(為參數(shù))例6

設(shè)空間一動(dòng)點(diǎn)在圓柱面上以角速度繞軸旋轉(zhuǎn),同時(shí)又以線速度沿平行于軸的正方向上升(其中都是常數(shù)),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做螺旋線,試求其參數(shù)方程.則動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程即螺旋線的參數(shù)方程為:圖9.40如果令,以為參數(shù),則螺旋線的參數(shù)方程為其中．

解取時(shí)間為參數(shù),設(shè)時(shí),動(dòng)點(diǎn)在處,經(jīng)過時(shí)間,動(dòng)點(diǎn)由運(yùn)動(dòng)到3.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影

設(shè)空間曲線的一般方程為消去,得

稱為曲線關(guān)于面的投影柱面.

它與面的交線就是空間曲線在面上