高等數(shù)學（第三版）課件：曲面與空間曲線

曲面與空間曲線一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面三、幾種常見的二次曲面四、空間曲線

一、曲面方程的概念

定義:如果曲面上每一點的坐標都滿足方程而不在曲面上的點的坐標都不滿足這個方程,則稱方程為曲面的方程,而稱曲面為此方程的圖形.圖9.23圖9.24例1

建立球心在點,半徑為的球面方程.解設是球面上的任一點,則而所以

這就是球心在點,半徑為的球面方程.

當時,得球心在原點,半徑為的球面方程為

柱面:直線沿定曲線平行移動所形成的曲面稱為柱面.定曲線稱為柱面的準線,動直線稱為柱面的母線.例2

建立母線平行于軸的柱面方程.圖9.26解設準線是面上的一條曲線,

是柱面上的任意一點.過點的母線與面的交點一定在準線上,點的坐標為,不論點的豎坐標取何值,它的橫坐標和縱坐標都滿足方程

,因此所求柱面方程為

在空間直角坐標系中,方程表示以面上的曲線為準線,母線平行于軸的柱面.

類似地,方程表示以面上的曲線為準線,母線平行于軸的柱面.

方程表示以面上的曲線為準線,母線平行于軸的柱面.

用面和面去截曲面,其截痕為

它們都是雙曲線.

也表示單葉雙曲面,中心軸分別是軸、軸.

二、旋轉(zhuǎn)曲面

旋轉(zhuǎn)曲面:平面曲線繞同一平面上定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.圖9.31例3

建立面上一條曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.因為所以又因為在曲線上,所以解設為旋轉(zhuǎn)曲面上任一點,過點作平面垂直于軸,交軸于點交曲線于點則所以旋轉(zhuǎn)曲面方程為

同理,曲線繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為

面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為

面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為例4

將坐標面上的直線繞軸旋轉(zhuǎn)一周,試求所得旋轉(zhuǎn)曲面方程.解將保持不變,換成得即所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為圖9.32

由上時表示的曲面稱為圓錐面.點稱為圓錐的頂點.

三、幾種常見的曲面

二次曲面:在空間直角坐標系中,若是二次方程,則它的圖形稱為二次曲面.

截痕法:用一系列平行于坐標面的平面去截曲面,求得一系列的交線,對這些交線進行分析從而把握曲面的輪廓特征,這種方法稱為截痕法.1.橢球面

用三個坐標面分別去截橢球面,交線為:圖9.33這些交線都是橢圓.

用平行于面的平面截橢球面,交線為是平面上的橢圓.

用平行其它兩個坐標面的平面去截橢球面,分析的結果類似.

2.單葉雙曲面

用三個坐標面截曲面,所得截線分別為

圖9.343.雙葉雙曲面

圖9.35用和面截曲面,所得截線分別為它們都是以軸為實軸,虛軸分別為軸和軸的雙曲線.

用平行于面的平面截曲面,得當時,其截痕是一橢圓;

當時,其截痕縮為一點和;當時,沒有圖形.也表示雙葉雙曲面.4.橢圓拋物面圖9.36

用和面截曲面,所得截線分別為它們都是開口向上的拋物線.

用平面截曲面,得當時,沒有圖形;當時,相交于一點;當時,所得截線為

5.雙曲拋物面

用三個坐標面截曲面,所得截線分別為

它們分別表示兩條相交直線、開口向上的拋物線和開口向下的拋物線.圖9.37

用平行于和面的平面和截曲面,所得截線分別為

用平行于面的平面截曲面,所得截線為

四、空間曲線1.空間曲線的一般方程例5

下列方程組表示什么曲線？(1)(2)解

(1)是球心在原點,半徑為5的球面.是平行于面的平面,它們的交線是在平面上的圓(2)方程表示球心在坐標原點,半徑為的上半球面;方程表示母線平行于軸的圓柱面,方程組表示上半球面與圓柱面的交線.

圖9.392.空間曲線的參數(shù)方程

(為參數(shù))例6

設空間一動點在圓柱面上以角速度繞軸旋轉(zhuǎn),同時又以線速度沿平行于軸的正方向上升(其中都是常數(shù)),則動點的軌跡叫做螺旋線,試求其參數(shù)方程.則動點的運動方程即螺旋線的參數(shù)方程為:圖9.40如果令,以為參數(shù),則螺旋線的參數(shù)方程為其中．

解取時間為參數(shù),設時,動點在處,經(jīng)過時間,動點由運動到3.空間曲線在坐標面上的投影

設空間曲線的一般方程為消去,得

稱為曲線關于面的投影柱面.

它與面的交線就是空間曲線在面上