2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：圓錐曲線題型拓展二（學(xué)生版+教師版）

第82講圓錐曲線題型拓展(二)

知識(shí)梳理

一、仿射變換問題

仿射變換有如下性質(zhì)：

1、同素性：在經(jīng)過變換之后，點(diǎn)仍然是點(diǎn)，線仍然是線；

2、結(jié)合性：在經(jīng)過變換之后，在直線上的點(diǎn)仍然在直線上；

3、其它不變關(guān)系.

我們以橢圓為例闡述上述性質(zhì).

22=X

橢圓3+方=l(a>b>0),經(jīng)過仿射變換,貝橢圓變?yōu)榱藞A/+y2=",

aCby

并且變換過程有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：

(1)點(diǎn)2(%,%)變?yōu)槭?

(2)直線斜率改變?yōu)椤?@3對(duì)應(yīng)直線的斜率比不變；

b

(3)圖形面積s變?yōu)?=3s，對(duì)應(yīng)圖形面積比不變；

b

(4)點(diǎn)、線、面位置不變(平行直線還是平行直線，相交直線還是相交直線，中點(diǎn)依

然是中點(diǎn)，相切依然是相切等);

(5)弦長關(guān)系滿足網(wǎng)=，叵If,因此同一條直線上線段比值不變，三點(diǎn)共線的比

\AB\v1+r

不變

總結(jié)可得下表:

變換前變換后

22

方程2+*1（°>八。）x,2+y2=a2

橫坐標(biāo)x'

.a

縱坐標(biāo)yy=-y

b

1

斜率k=^邸bAya

AxK===k

Ax'Axb

面積5=—Ax-AyS^-Ax^Ay^-S

22b

弦長/=Jl+2

kAx2

r=Ji+k'^x'=、1+囁2Ax=、

b-Jl+F

不變量平行關(guān)系；共線線段比例關(guān)系；點(diǎn)分線段的比

二、非對(duì)稱韋達(dá)問題

在一元二次方程"2+bx+c=o中，若△>()，設(shè)它的兩個(gè)根分別為再，/，則有根與

系數(shù)關(guān)系：玉+%=￡，借此我們往往能夠利用韋達(dá)定理來快速處理

aa

%-引，才+君，4+工之類的結(jié)構(gòu)，但在有些問題時(shí)，我們會(huì)遇到涉及占，%的不同系數(shù)

的代數(shù)式的應(yīng)算，比如求一，39%記不一尤2或力西+4之類的結(jié)構(gòu),就相對(duì)較難地轉(zhuǎn)化

到應(yīng)用韋達(dá)定理來處理了.特別是在圓錐曲線問題中，我們聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消

去X或y,也得到一個(gè)一元二次方程，我們就會(huì)面臨著同樣的困難，我們把這種形如

%+2%,,2網(wǎng)%+〃尤2%,至或3%%+2占一%之類中的系數(shù)不對(duì)等的情況，這些式子

x22%%2—玉+%2

是非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，稱為“非對(duì)稱韋達(dá)”.

三、光學(xué)性質(zhì)問題

1、橢圓的光學(xué)性質(zhì)

從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)

(如圖1).

圖1圖2圖3圖4

2

【引理1】若點(diǎn)A,2在直線乙的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線Z上到A,2兩點(diǎn)距離之和最小的

點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A與點(diǎn)B連線A'B和直線L的交點(diǎn).

【引理2】若點(diǎn)A,8在直線工的兩側(cè)，且點(diǎn)A,8到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)尸是直線

L上到點(diǎn)A,8距離之差最大的點(diǎn)，即|PA-最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸是點(diǎn)A關(guān)于直線心的對(duì)

稱點(diǎn)A與點(diǎn)B連線A'B的延長線和直線L的交點(diǎn).

【引理3】設(shè)橢圓方程為￡+±=ig>b>o）,月，凡分別是其左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)o

ao

在橢圓外，則DFV+DF2>2a-

2,雙曲線的光學(xué)性質(zhì)

從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦

點(diǎn)（如圖）.

【引理4】若點(diǎn)4,8在直線工的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線心上到A,8兩點(diǎn)距離之和最小的

點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)p是點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A與點(diǎn)B連線A'B和直線L的交點(diǎn).

【引理5】若點(diǎn)A,2在直線刀的兩側(cè)，且點(diǎn)A,2到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)尸是直線

入上到點(diǎn)距離之差最大的點(diǎn)，即|尸4-依|最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸是點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)

稱點(diǎn)A與點(diǎn)B連線A'B的延長線和直線L的交點(diǎn).

3

【引理6】設(shè)雙曲線方程為彳一,=15>0,6>0）,月，鳥分別是其左、右焦點(diǎn)，若

點(diǎn)￡）在雙曲線外（左、右兩支中間部分，如圖），則。月-。居<2a.

3、拋物線的光學(xué)性質(zhì)

從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線與拋物線的軸平

行（或重合）.反之，平行于拋物線的軸的光線照射到拋物線上，經(jīng)反射后都通過焦點(diǎn).

【結(jié)論1】已知：如圖，拋物線C:無2=2pyQ0），?0,日為其焦點(diǎn)，,是過拋物

線上一點(diǎn)。（尤0,%）的切線，A,8是直線j上的兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)°）,直線DC平行于了

軸.求證：ZFDA=ZCDB■（入射角等于反射角）

【結(jié)論2】已知：如圖，拋物線C:y2=2px（p>0），/是拋物線的焦點(diǎn)，入射光線從

尸點(diǎn)發(fā)出射到拋物線上的點(diǎn)M，求證：反射光線平行于x軸.

4

yt

四、三點(diǎn)共線問題

證明三點(diǎn)共線問題常用方法是斜率法和向量法

必考題型全歸納

題型一：仿射變換問題

例1.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）仿射變換是處理圓錐曲線綜合問題中求點(diǎn)軌跡的一類特殊而

又及其巧妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關(guān)系，其體解題方法為將

0：提+*1伍”>0）由仿射變換得：/=/=則橢圓.+*1變?yōu)?/p>

x"+y'2=l,直線的斜率與原斜率的關(guān)系為左'=：3然后聯(lián)立圓的方程與直線方程通過計(jì)

b

22

算韋達(dá)定理算出圓與直線的關(guān)系.最后轉(zhuǎn)換回橢圓即可.已知橢圓C:a+%=1（。>6>0）

的離心率為《45，過右焦點(diǎn)用且垂直于x軸的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)且恒口=鼠1,過

55

橢圓外一點(diǎn)p作橢圓C的兩條切線4、4且4,3切點(diǎn)分別為M、N.

⑴求證：點(diǎn)P的軌跡方程為Y+y2=9；

⑵若原點(diǎn)O到乙、4的距離分別為4、4,延長表示距離4、4的兩條直線，與橢圓C交

于y、w兩點(diǎn)，試求：原點(diǎn)o在1W邊上的射影Z所形成的軌跡與尸所形成的軌跡的面積

之差是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)求出變化函數(shù).

例2.（2024?河北邯鄲?高二?？计谀┓律渥儞Q是處理圓錐曲線綜合問題中求點(diǎn)軌跡的一

類特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關(guān)系，具體解題方法為將

C：±+±=l（a>6>0）由仿射變換得：x'=±,y'=g,則橢圓二+耳=1變?yōu)?/p>

ababab

5

爐+產(chǎn)=1,直線的斜率與原斜率的關(guān)系為左'=：左，然后聯(lián)立圓的方程與直線方程通過計(jì)

b

22

算韋達(dá)定理算出圓與直線的關(guān)系，最后轉(zhuǎn)換回橢圓即可.已知橢圓。:*+斗=1（。>6>0）

的離心率為在，過右焦點(diǎn)后且垂直于x軸的直線與C相交于AB兩點(diǎn)且=過橢

55

圓外一點(diǎn)p作橢圓C的兩條切線4，4且4,峭切點(diǎn)分別為M，N.

（1）求證：點(diǎn)P的軌跡方程為Y+y2=9；

⑵若原點(diǎn)O到L，4的距離分別為4，%,延長表示距離4，&的兩條直線，與橢圓C交

于兩點(diǎn)，過。作OZLIW交iW于Z,試求：點(diǎn)Z所形成的軌跡與P所形成的軌跡的

面積之差是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)求出變化函數(shù).

22

例3.（2024?全國?高三專題練習(xí)）"N是橢圓T+方=1（°>6>。）上一條不過原點(diǎn)且不垂

直于坐標(biāo)軸的弦，尸是九W的中點(diǎn)，則％，A,2是該橢圓的左右頂點(diǎn)，

。是橢圓上不與42重合的點(diǎn)，則?怎.CD是該橢圓過原點(diǎn)。的一條

弦，直線C。，。。斜率均存在，貝2a久=.

變式L（2024?全國?高三專題練習(xí)）如圖，作斜率為六的直線/與橢圓±+y2=i交于

24

P,。兩點(diǎn)，且M在直線/的上方，則AM尸。內(nèi)切圓的圓心所在的定直線方程為

6

22

變式2.（2024?全國?高三專題練習(xí)）尸是橢圓土+工=1上任意一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn),

43

PO=2OQ,過點(diǎn)。的直線交橢圓于4,2兩點(diǎn)，并且=則APAB面積為

22

變式3.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知直線/與橢圓二+匕=1交于"，N兩點(diǎn)，當(dāng)

42

k（）M，koN=，△MON面積最大，并且最大值為.記"（5,%）,可（%,%），當(dāng)

△MON面積最大時(shí)，尤;+*=,犬+￡=.P是橢圓上一點(diǎn)，

OP=WM+]uON,當(dāng)△MON面積最大時(shí)，川+〃2=.

變式4.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：f+尸=1左頂點(diǎn)為A,P,Q為橢圓C上兩

動(dòng)點(diǎn)，直線PO交A。于E,直線。。交AP于。，直線。己。。的斜率分別為尢,占且

4&=-；，AD^ADF,AE^juEQ（4月是非零實(shí)數(shù)），求才+筋=.

題型二：非對(duì)稱韋達(dá)問題

22

例4.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓鼻+2=1（°>6>0）的左、右焦點(diǎn)是片、瑯,

ab

左右頂點(diǎn)是A、A,離心率是包，過工的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、0（不是左、右頂點(diǎn)）,

2

且MPQ的周長是4正，

直線4P與交于點(diǎn)M

（1）求橢圓的方程;

7

(2)⑴求證直線4P與4Q交點(diǎn)M在一條定直線I上;

(ii)N是定直線/上的一點(diǎn)，且PN平行于x軸，證明：糕

是定值.

例5.(2024?四川成都?高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知點(diǎn)48分別為橢圓

22

E:|y+}=l(a＞6＞0)的左、右頂點(diǎn)，耳，耳為橢圓的左、右焦點(diǎn)，立=3福，尸為橢

圓上異于48的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，月的周長為12.

(1)求橢圓E的方程；

(2)已知點(diǎn)/(3,0),直線尸河與橢圓另外一個(gè)公共點(diǎn)為Q,直線AP與BQ交于點(diǎn)N,求

證：當(dāng)點(diǎn)尸變化時(shí)，點(diǎn)N恒在一條定直線上.

22

例6.(2024?陜西榆林?高二校聯(lián)考期末)已知橢圓C：※+方=1(°＞。＞0)的左、右焦點(diǎn)

分別為耳，F(xiàn)。,離心率e=；,P為C上一動(dòng)點(diǎn)，△尸月居面積的最大值為坦.

⑴求C的方程；

(2)若過B且斜率不為。的直線/交橢圓于M,N兩點(diǎn)，4，4分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),

直線AM,4N分別與直線位》=1交于7,Q兩點(diǎn)，證明：四邊形。魂。為菱形.

丫2d1

變式5.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知橢圓C:1r+}=1(々＞人＞0)的離心率為《，短軸

8

長為2vL

(i)求橢圓c的方程；

(2)設(shè)8分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)P(4,0)且斜率不為0的直線/與橢圓C

交于N兩點(diǎn)，直線與2N相交于點(diǎn)0.證明：點(diǎn)0在定直線上.

22

變式6.(2024?吉林四平?高二校考階段練習(xí))已知橢圓C言+方=1(°>6>0)的左、右頂

點(diǎn)分別為"1、M2,短軸長為2g,點(diǎn)C上的點(diǎn)尸滿足直線尸想、尸區(qū)的斜率之積為

_3

4,

⑴求C的方程；

(2)若過點(diǎn)(1,0)且不與》軸垂直的直線/與C交于A、B兩點(diǎn)，記直線加外、/28交于點(diǎn)

Q.探究：點(diǎn)Q是否在定直線上，若是，求出該定直線的方程；若不是，請(qǐng)說明理由.

變式7.(2024?全國?高三專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓

C：￡+冬=l(a>b>0)的長軸長為4,且經(jīng)過點(diǎn)(瓦Ge),其中e為橢圓C的離心率.

ab

(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A3,直線/過C的右焦點(diǎn)尸，且交C于兩點(diǎn)，若

直線AM與交于點(diǎn)T,求證：點(diǎn)T在定直線上.

9

22

變式8.(2024?吉林長春?高二東北師大附中?？计谀?已知橢圓C：1r+%=1,>。>0)

的離心率為差，H1,一是C上一點(diǎn).

2I2)

(1)求C的方程.

(2)設(shè)A,8分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)3(1,0)作斜率不為0的直線/,/與C交于

p,Q兩點(diǎn)，直線"與直線交于點(diǎn)M,記AP的斜率為尤，的斜率為七.證明：①

3為定值；②點(diǎn)加在定直線上.

22

變式9.(2024?廣西桂林?高二統(tǒng)考期末)已知橢圓C:「+2=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分

ab

別是68,點(diǎn)尸是橢圓。上任一點(diǎn)，若△尸片月面積的最大值為右，且離心率e=g.

⑴求C的方程；

(2)48為C的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)工且斜率不為0的直線交C于M,N兩點(diǎn)，證明：直

線AM與的交點(diǎn)在一條定直線上.

變式10.(2024?福建泉州?高二福建省泉州第一中學(xué)校考期中)已知橢圓C：

，+；-Ma〉。〉。)的左、右頂點(diǎn)分別為A,4,離心率為孝，點(diǎn)尸,孝］在橢圓C上.

(1)求橢圓C的方程.

⑵若過點(diǎn)8(2,0)且斜率不為0的直線與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，已知直線4V與相

交于點(diǎn)G,試判斷點(diǎn)G是否在定直線上？若是，請(qǐng)求出定直線的方程；若不是，請(qǐng)說明理

由.

10

題型三：橢圓的光學(xué)性質(zhì)

例7.（2024?湖北孝感?高二大悟縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）生活中，橢圓有很多光學(xué)性質(zhì)，

如從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)現(xiàn)橢圓C

的焦點(diǎn)在無軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，從左焦點(diǎn)可射出的光線經(jīng)過橢圓鏡面反射到右焦點(diǎn)

F2,這束光線的總長度為4,且橢圓的離心率為也，左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為4、B.

2

（1）求橢圓C的方程；

（2）點(diǎn)P在橢圓上，求線段8P的長度忸目的最大值及取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）不過點(diǎn)N的直線/交橢圓C于跖N兩點(diǎn),記直線/,AM,⑷V的斜率分別為左,。心，若

M勺+與）=1,證明：直線/過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

例8.（2024?全國?高三專題練習(xí)）橢圓的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓

22

反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上.已知橢圓C：亍+斗=1（0<6<2）,

用工為其左、右焦點(diǎn).初是C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)若現(xiàn)叫+阿周的最大值為6.動(dòng)直

線/為此橢圓C的切線，右焦點(diǎn)耳關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)尸（%,乂），S=|3%+4y「24|,則橢

圓C的離心率為—；S的取值范圍為.

22

例9.（2024?山東青島?統(tǒng)考二模）已知橢圓石:=+==1（4>。>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

ab

月、工，過B的直線與E交于點(diǎn)A、B,直線/為E在點(diǎn)A處的切線，點(diǎn)B關(guān)于/的對(duì)稱

,「5

點(diǎn)為由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，耳、A、M三點(diǎn)共線.若|從卻=。，竭\(yùn)BF.=\于貝U

11

州--------

變式1L（2024?安徽六安?高三六安一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性

質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).已

22

知橢圓=+與=15>6>0）的左、右焦點(diǎn)為耳，工，尸為橢圓上不與頂點(diǎn)重合的任一點(diǎn)，/

ab

為△尸月鳥的內(nèi)心，記直線。尸，尸/（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為尢，k2,若3左=2自，

則橢圓的離心率為.

,切線一-1

變式12.（2024?天津和平?高三天津一中?？茧A段練習(xí)）歐幾里得生活的時(shí)期人們就發(fā)現(xiàn)了

橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)：由橢圓一焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過另一焦點(diǎn)?現(xiàn)有

22

一橢圓C:二+與=l（a>b>0）,長軸長為4,從一個(gè)焦點(diǎn)尸發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上

ab'

7

一點(diǎn)P反射之后恰好與尤軸垂直，且尸P=

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知A為該橢圓的左頂點(diǎn)，若斜率為上且不經(jīng)過點(diǎn)A的直線/與橢圓C交于M,N兩

點(diǎn)，記直線AM,AN的斜率分別為品k2,且滿足人（尢+&）=2.

①證明：直線/過定點(diǎn)；

②若|OM『+|ON『=5,求人的值.

12

22

變式13.（2024?全國?高二專題練習(xí)）已知橢圓C：=+多=1（°>6>0）上、下頂點(diǎn)分別

ab

為A,B,且短軸長為2后，7為橢圓上（除A1外）任意一點(diǎn)，直線AL7B的斜率之積為

-1,耳，尸2分別為左、右焦點(diǎn).

⑴求橢圓C的方程.

（2）“天眼”是世界上最大、最靈敏的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡，它的外形像一口“大鍋”，可以接收

到百億光年外的電磁信號(hào).在“天眼”的建設(shè)中，用到了大量的圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，請(qǐng)以

上面的橢圓C為代表，證明：由焦點(diǎn)可發(fā)出的光線射到橢圓上任意一點(diǎn)M后反射，反射光

線必經(jīng)過另一焦點(diǎn)（提示：光線射到曲線上某點(diǎn)并反射時(shí)，法線垂直于該點(diǎn)處的切

線）

22

變式14.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓￡:1+3=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別

ab

為的F2,過q的直線與E交于點(diǎn)A,3.直線/為E在點(diǎn)A處的切線，點(diǎn)3關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)

\BE\5BF

為V.由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，耳，4”三點(diǎn)共線.若|A31=〃，r=亍，則^2^=（）

眼耳|7AFX

A.4B.1C.-D.-

2747

變式15.（多選題）（2024?全國?高三專題練習(xí)）橢圓有一條光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出

發(fā)的光線，經(jīng)過橢圓反射后，一定經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).假設(shè)光線沿直線傳播且在傳播過程中

22

不會(huì)衰減，橢圓的方程為上+匕=1,則光線從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，到首次回到該焦點(diǎn)所

95

經(jīng)過的路程可能為（）

A.2B.8C.10D.12

變式16.（2024?全國?高三專題練習(xí)）歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前

13

375年一公元前325年)，大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并

且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲

波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線/'表示與橢圓C的切線垂

直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線，已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為耳

F2(C,0)(C>0),若由耳發(fā)出的光線經(jīng)橢圓兩次反射后回到可經(jīng)過的路程為8c.對(duì)于橢圓C

上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)尸，橢圓在點(diǎn)尸處的切線為/,耳在/上的射影為H,其中

|。叫=2"

(1)求橢圓C的方程；

(2)如圖，過B作斜率為左化>0)的直線機(jī)與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸上方).

點(diǎn)N是橢圓上異于A,B的兩點(diǎn)，MF2,叫分別平分和若AM%N

A]

外接圓的面積為等7r，求直線機(jī)的方程.

O

變式17.(2024?貴州黔西?高二統(tǒng)考期末)歐幾里得生活的時(shí)期人們就發(fā)現(xiàn)了橢圓有如下的

光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過該橢圓的另一焦點(diǎn).現(xiàn)

22

有橢圓C：?+^=l(a>b>0),長軸長為4,從橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)/發(fā)出的一條光線經(jīng)該

7

橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)P反射之后恰好與尤軸垂直，且|尸耳=".

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，N為橢圓C的左頂點(diǎn)，若斜率為上且不經(jīng)過點(diǎn)/的直線/與橢圓C

14

交于M,N兩點(diǎn)，記直線AM,A7V的斜率分別為勺，k2,且滿足k(匕+&)=2,且

|OM「+|OAf=5,求上的值.

變式18.(2024?四川成都?川大附中校考二模)橢圓的光學(xué)性質(zhì)：光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出

22

發(fā)經(jīng)橢圓反射后通過另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)有一橢圓C:「+與=1(〃>6>0),長軸A4長為4,從

ab

一個(gè)焦點(diǎn)尸發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)P反射之后恰好與X軸垂直，且尸尸=T.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點(diǎn)。為直線x=4上一點(diǎn)，且。不在x軸上，直線。4，與橢圓C的另外一個(gè)交點(diǎn)分

別為M,N,設(shè)△QA4,AQMN的面積分別為耳，S,,求今的最大值.

d2

變式19.(2024?江蘇連云港?高二統(tǒng)考期中)班級(jí)物理社團(tuán)在做光學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有

趣的現(xiàn)象：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個(gè)焦點(diǎn)處.

22

根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面問題：已知橢圓C的方程為三+匕=1,其左、右焦點(diǎn)分別是

1612

F、,F2,直線/與橢圓C切于點(diǎn)尸，且|尸周=5,過點(diǎn)尸且與直線/垂直的直線比與橢圓

15

B.叵

題型四：雙曲線的光學(xué)性質(zhì)

例10.（2024?上海浦東新?高二華師大二附中校考階段練習(xí)）圓錐曲線都具有光學(xué)性質(zhì)，如

雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是

發(fā)散的，其反向延長線會(huì)經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲

線的部分，AP是它的一條對(duì)稱軸，廠是它的一個(gè)焦點(diǎn)，一光線從焦點(diǎn)尸發(fā)出，射到鏡面上

點(diǎn)、B,反射光線是3C,若/PEB=120。，ZFBC=90°,則該雙曲線的離心率等

于.

FP

例11.（2024?全國?高二專題練習(xí)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1,從雙曲線右焦點(diǎn)工發(fā)

出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)耳.我國首先研制成功的

“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部

22

分，如圖2,其方程為當(dāng)=1,6,工分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)B發(fā)出的光線經(jīng)

3

雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后（口上在同一直線上），滿足-O—

⑴當(dāng)|AB|=4時(shí)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

16

（2）過F2且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于S,T兩點(diǎn)，點(diǎn)M是線段ST的中點(diǎn),

試探究是否為定值，若不是定值，說明理由，若是定值，求出定值.

閨周

例12.（2024?山東煙臺(tái)??？寄M預(yù)測(cè)）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)

中，例如從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長

線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).如圖，從雙曲線C的右焦點(diǎn)工發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射，且反

射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)耳.已知入射光線名尸的斜率為-2,且鳥尸和反射光線

PE互相垂直（其中P為入射點(diǎn)），則雙曲線C的漸近線方程為.

變式20.（2024?江蘇南京?高二校考期末）圓錐曲線具有光學(xué)性質(zhì)，如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)

是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延

長線會(huì)經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，AP是它

的一條對(duì)稱軸，廠是它的一個(gè)焦點(diǎn)，一光線從焦點(diǎn)廠發(fā)出，射到鏡面上點(diǎn)B,反射光線是

BC,若/PEB=120。，ZFBC=90°,則該雙曲線的離心率等于（）

V5+1

B.V5C.V3+1

2

17

變式21.（多選題）（2024?高二單元測(cè)試）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利

用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：耳，乃是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從巴發(fā)出的光線機(jī)射在雙曲線右

支上一點(diǎn)P,經(jīng)點(diǎn)P反射后，反射光線的反向延長線過用；當(dāng)P異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲

22

線在點(diǎn)P處的切線平分/可尸居.若雙曲線C的方程為土-二=1,則下列結(jié)論正確的是

C.當(dāng)“過點(diǎn)。（7,5）時(shí)，光線由月到戶再到Q所經(jīng)過的路程為13

D.若點(diǎn)T坐標(biāo)為（1,0）,直線PT與C相切,則|尸若|=12

變式22.（2024?全國?高三專題練習(xí)）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線

經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線

22

氏3-谷=1（。>0*>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，耳，從此發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的42兩

ab

5.

—,ABBD=0,則E的離心率為（

D.75

~2~

18

變式23.（多選題）（2024?湖北?黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從

雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另

一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.已知

2

K，心分別為雙曲線C:》2-匕=1的左，右焦點(diǎn)，過C右支上一點(diǎn)4（元。,%）（毛＞1）作直

4

線/交X軸于點(diǎn)Mpko],交y軸于點(diǎn)N,則（）

A.C的漸近線方程為'=±2尢B.Zf；AM=ZF2AM

C.過點(diǎn)耳作耳垂足為H,則I?！俺狣.四邊形A隼明面積的最小值為

475

變式24.（多選題）（2024?安徽蕪湖?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦

點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).已知O

22

為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳，入分別是雙曲線C:二-匕=1的左、右焦點(diǎn)，過巴的直線交雙曲線C的

916

右支于N兩點(diǎn)，且"（無”必）在第一象限，AMRF2,△科區(qū)的內(nèi)心分別為小12,

其內(nèi)切圓半徑分別為卜馬，△西N的內(nèi)心為/.雙曲線C在M處的切線方程為

W-J4=l,則下列說法正確的有（）

9lo

A.點(diǎn)人、，均在直線x=3上B.直線M的方程為邛-鬢=1

9lo

22

變式25.（多選題）（2024?海南?海南中學(xué)?？既＃┮阎p曲線。：?-%=1僅＞0）的左

右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從右焦點(diǎn)月發(fā)出的光線機(jī)交雙曲線右

支于點(diǎn)尸，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線”的反向延長線過左焦點(diǎn)耳，如圖所示.若雙曲線c

的一條漸近線的方程為恁-＞=0,則下列結(jié)論正確的有（）

19

412

B.若則|尸々川尸"|=12

c.若射線”所在直線的斜率為左，則左e-V3,V3

D.當(dāng)〃過點(diǎn)M（8,5）時(shí)，光由月所經(jīng)過的路程為10

變式26.（多選題）（2024?貴州貴陽?高三貴陽一中校考階段練習(xí)）雙曲線具有如下光學(xué)性

質(zhì)：如圖，4，乃是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從工發(fā)出的光線機(jī)射在雙曲線右支上一點(diǎn)P,

經(jīng)點(diǎn)尸反射后，反射光線的反向延長線過耳；當(dāng)P異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)P處的

22

切線平分/4PE.若雙曲線C的方程為2-!=1,則下列結(jié)論正確的是（）

lo9

B.當(dāng)機(jī)工〃時(shí)，|尸耳卜|尸閭=36

C.當(dāng)“過點(diǎn)。（7,5）時(shí)，光線由B到尸再到Q所經(jīng)過的路程為5

D.若點(diǎn)T坐標(biāo)為（1,0）,直線PT與C相切，則「用=16

變式27.（多選題）（2024?廣東廣州?高二統(tǒng)考期末）費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的一條重要原

理，可以推導(dǎo)出雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反

20

射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的

3

切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.已知耳、8分別是以y=土為漸近線且過點(diǎn)

A（4后,3）的雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，在雙曲線C右支上一點(diǎn)尸伉,%）&>4,%>0）處的

切線/交x軸于點(diǎn)。，則（）

A.雙曲線C的離心率為也B.雙曲線C的方程為［-4=1

4169

C.過點(diǎn)可作與KLPQ,垂足為K,則|。司=8D.點(diǎn)。的坐標(biāo)為

題型五：拋物線的光學(xué)性質(zhì)

例13.（2024?甘肅白銀?高二統(tǒng)考開學(xué)考試）拋物線的光學(xué)性質(zhì)：經(jīng)焦點(diǎn)的光線由拋物線反

射后的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸（即光線在曲線上某一點(diǎn)處反射等效于在這點(diǎn)處切線的

反射），過拋物線犬=97上一點(diǎn)P作其切線交準(zhǔn)線/于點(diǎn)PN11,垂足為N,拋物線

的焦點(diǎn)為歹，射線尸尸交/于點(diǎn)Q,若MP|=MQ.則,|MN|=.

例14.（2024?四川巴中?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物

線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋

物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線y=4x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，一條平行于x軸的光線從

點(diǎn)A（5,4）射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)B反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)C射出，則

忸C卜.

例15.（2024?全國?高二專題練習(xí)）根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)

拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線V=2x,若從點(diǎn)。（3,2）發(fā)射平行

21

于X軸的光射向拋物線的/點(diǎn)，經(jīng)N點(diǎn)反射后交拋物線于8點(diǎn)，則|48|=.

變式28.（2024?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）拋物線有一條重要的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光

線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸.已知拋物線C：產(chǎn)=2彳，

一條光線從點(diǎn)尸（4,2）沿平行于x軸的方向射出，與拋物線相交于點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)M反射后與

C交于另一點(diǎn)N,則△MON的面積為.

變式29.（2024?江蘇常州?高二常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？计谥校佄锞€有光學(xué)性質(zhì)，即由其

焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出，反之亦然.如圖所

示，今有拋物線V=2px一光源在點(diǎn)處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋

物線的軸的方向射向拋物線上的點(diǎn)尸，反射后又射向拋物線上的點(diǎn)。再反射后又沿平行

于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線/：2》-4、-17=0上的點(diǎn)乂再反射后又射回點(diǎn)

M,設(shè)尸，0兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（芯,無），（不2，兀）.

⑴證明：

（2）求拋物線方程.

變式30.（2024?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）拋物線有一條重要的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光

線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸.已知拋物線

C：V=2px（p>0）,一條光線從點(diǎn)P（4,2）沿平行于x軸的方向射出，與拋物線相交于點(diǎn)

22

___,.3

M,經(jīng)點(diǎn)M反射后與C交于另一點(diǎn)N.若OM?ON=-二,則△MON的面積為（）

4

5535

A.—B.—C.-D.一

8422

變式31.（2024?湖南長沙?高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦

點(diǎn)射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于地物

線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線丁=4x的焦點(diǎn)為歹,

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線4從點(diǎn)「（，”,同（r<4時(shí)射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)

A仿，X）反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)3（%，%）反射后，沿直線4射出，則直線4與4間的

距離最小值為（）

A.2B.4C.8D.16

變式32.（2024?全國?高二專題練習(xí)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射

后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反

射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線V=16x的焦點(diǎn)為歹，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)

P卜,4板）射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)B射出，則APAB的

面積為（）

A.4B.6夜C.1272D.2472

變式33.（2024?江西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）用于加熱水和食物的太陽灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性

質(zhì)：一束平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)過拋物面（拋物線繞它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲

而叫拋物面）的反射后，集中于它的焦點(diǎn).用一過拋物線對(duì)稱軸的平面截拋物面，將所截

得的拋物線C放在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)稱軸與x軸重合，頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，如圖，若拋

物線C的方程為y2=8x,平行于x軸的光線從點(diǎn)M（12,2）射出，經(jīng)過C上的點(diǎn)A反射后，

再從C上的另一點(diǎn)B射出，則|M8|=（）

23

A.6B.8C.2729D.29

變式34.（多選題）（2024?遼寧沈陽?東北育才學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，拋物線有如下光學(xué)性

質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出.已知拋物線

V=4x的焦點(diǎn)為月一束平行于x軸的光線自從點(diǎn)M（3,1）射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)

尸（%，州）反射后，再經(jīng)拋物線了上另一點(diǎn)。（馬，必）反射，沿直線4射出，則下列結(jié)論中正

C.\PQ\=~D.乙與乙之間的距離

為5

變式35.（多選題）（2024?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）拋物線有如下光

學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，

平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后，必過拋物線的焦點(diǎn).已知平行于x軸的光

線4從點(diǎn)M射入，經(jīng)過拋物線C:/=8x上的點(diǎn)p反射，再經(jīng)過C上另一點(diǎn)。反射后，沿

直線4射出，經(jīng)過點(diǎn)N,則（）

24

A.若人的方程為y=2,則|PQ|=8

B.若乙的方程為y=2,S.ZPQM=ZMQN,則M（13,2）

C.分別延長PO,NQ交于點(diǎn)。，則點(diǎn)。在C的準(zhǔn)線上

D.拋物線C在點(diǎn)P處的切線分別與直線嚇，4所成角相等

變式36.（多選題）（2024?湖南長沙?長沙一中校考模擬預(yù)測(cè)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由

其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于

拋物線對(duì)