2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章計數(shù)原理5.2習(xí)題課排列的應(yīng)用課后素養(yǎng)落實含解析北師大版選擇性必修第一冊

PAGE課后素養(yǎng)落實(三十二)習(xí)題課排列的應(yīng)用(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．從6本不同的書中選出4本，分別發(fā)給4個同學(xué)，已知其中兩本書不能發(fā)給甲同學(xué)，則不同安排方法有()A．180種B．220種C．240種D．260種C[因為其中兩本書不能發(fā)給甲同學(xué)，所以甲只能從剩下的4本中分一本，然后再選3本分給3個同學(xué)，故有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)＝240種．]2．從8人中選3人排隊，其中甲乙不分開參排，若參排，就肯定排在一起，其不同的排法共有()A．252種B．278種C．144種D．362種C[依據(jù)甲、乙的參排狀況加以分類．若甲乙不參排，不同的排法有Aeq\o\al(3,6)＝120種；若甲、乙參排，不同的排法有Aeq\o\al(1,6)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝24種；所以共有不同的排法120＋24＝144種，即選C．]3．從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A．24B．18C．12D．6B[當選0時，先從1，3，5中選2個數(shù)字有3種方法，然后從選中的2個數(shù)字中選1個排在末位有兩種方法，剩余1個數(shù)字排在首位，共有3×2＝6(種)方法；當選2時，先從1，3，5中選2個數(shù)字有3種方法，然后從選中的2個數(shù)字中選1個排在末位有兩種方法，其余2個數(shù)字全排列，共有3×2Aeq\o\al(2,2)＝12(種)方法．依分類加法計數(shù)原理知共有6＋12＝18(個)奇數(shù)．]4．若把英語單詞“Look”的字母依次寫錯了，則可能出現(xiàn)的錯誤的種數(shù)為()A．24B．10C．9D．11D[Look有兩個相同字母，故可能出現(xiàn)錯誤eq\f(1,2)Aeq\o\al(4,4)－1＝11(種)．本題也可列舉求解．]5．4名男生和4名女生并坐一排照相，女生要排在一起，不同排法的種數(shù)為()A．Aeq\o\al(8,8)B．Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(4,4)C．Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)D．Aeq\o\al(5,8)B[因為4名女生要排在一起，所以先將4名女生捆綁與其他4名男生一起排列，然后再將4名女生排列，共有Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(4,4)種排法．]二、填空題6．編號為A，B，C，D，E的五個小球放在如圖所示的五個盒子里，要求每個盒子只能放一個小球，且A球不能放在1，2號盒子中，B球必需放在與A球相鄰的盒子中，則不同的放法有________種．30[依據(jù)A球所在位置分三類：(1)若A球放在3號盒子內(nèi)，則B球只能放在4號盒子內(nèi)，余下的三個盒子放球C，D，E有Aeq\o\al(3,3)＝6種不同的放法，則依據(jù)分步計數(shù)原理，此時有Aeq\o\al(3,3)＝6種不同的放法；(2)若A球放在5號盒子內(nèi)，則B球只能放在4號盒子內(nèi)，余下的三個盒子放球C，D，E有Aeq\o\al(3,3)＝6種不同的放法，則依據(jù)分步計數(shù)原理，此時有Aeq\o\al(3,3)＝6種不同的放法；(3)若A球放在4號盒子內(nèi)，則B球可以放在2號，3號，5號盒子中的任何一個，余下的三個盒子放球C，D，E有Aeq\o\al(3,3)＝6種不同的放法，依據(jù)分步計數(shù)原理，此時有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝18種不同的放法．綜上所述，由分類計數(shù)原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30種．]7．顯示屏上的七個小孔排成一排，每個小孔可以顯示紅、黃、藍三種顏色，或不顯示．若每次由其中三個小孔顯示一組紅、黃、藍三色信號，但相鄰的兩個小孔不同時顯示，則該顯示屏能夠顯示的不同信號數(shù)為________．60[3個顯示小孔不相鄰，即在4個不顯示的小孔的5個空當中插入3個顯示的小孔，又因3個小孔顯示的顏色不相同，故有Aeq\o\al(3,5)＝60種不同的信號數(shù)．]8．從1，2，3，4，…，10十個數(shù)中任取兩個數(shù)，分別做對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，可得到________個不同的對數(shù)值．69[從10個數(shù)中取出兩個數(shù)的全部排列數(shù)為：Aeq\o\al(2,10)＝10×9＝90．當1為底數(shù)時，不合題意的共有9個，當1為真數(shù)時，對數(shù)值都是零，應(yīng)去掉8個，又因log23與log49同，log32與log94同，log24與log39同，log42與log93同．∴共有不同對數(shù)值90－9－8－4＝69．]三、解答題9．如圖，某傘廠生產(chǎn)的“太陽”牌太陽傘蓬是由太陽光的七種顏色組成的，七種顏色分別涂在傘蓬的八個區(qū)域內(nèi)，且恰有一種顏色涂在相對區(qū)域內(nèi)，則不同的顏色圖案的此類太陽傘至多有多少種？[解]如圖，對8個區(qū)域進行編號，任選一組對稱區(qū)域(如1與5)同色，用7種顏色涂8個區(qū)域的不同涂法有7！種，又由于1與5，2與6，3與7，4與8是對稱的，通過旋轉(zhuǎn)后5，6，7，8，1，2，3，4與1，2，3，4，5，6，7，8是同一種涂色，即重復(fù)染色2次，故此種圖案至多有eq\f(7！,2)＝2520種．10．某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，假如第一節(jié)不排體育，最終一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排法？[解]6門課總的排法是Aeq\o\al(6,6)種，其中不符合要求的可分為：體育排在第一節(jié)有Aeq\o\al(5,5)種排法；數(shù)學(xué)排在最終一節(jié)有Aeq\o\al(5,5)種排法；但這兩種方法，都包括體育在第一節(jié)，數(shù)學(xué)排在最終一節(jié)，這種狀況有Aeq\o\al(4,4)種排法，因此符合條件的排法應(yīng)是：Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(4,4)＝504種．11．甲、乙兩人要在一排8個空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則不同的坐法有()A．10種B．16種C．20種D．24種C[一排共有8個座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有6個空座．∵要求每人左右均有空座，∴在6個空座的中間5個空中插入2個座位讓兩人就坐，即有Aeq\o\al(2,5)＝20種坐法．故選C．]12．從0，1，3，5，7中取出不同的三個數(shù)作為一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的系數(shù)，其中有實數(shù)根的不同的一元二次方程有()A．16個B．17個C．18個D．19個C[方程有實根，需Δ＝b2－4ac≥0．當c＝0時，a，b可在1，3，5，7中任取兩個，有Aeq\o\al(2,4)個；當c≠0時，b只能取5，7，b取5時，a，c只能取1，3，共有Aeq\o\al(2,2)個；b取7時，a，c可取1，3或1，5，有2Aeq\o\al(2,2)個，所以有實數(shù)根的不同的一元二次方程共有Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(2,2)＝18個．]13．(多選題)7名學(xué)生，站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端，不同排法的種數(shù)為()A．Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5) B．Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)C．Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5) D．Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)ABC[法一(特別元素優(yōu)先法)按甲是否在最右端分兩類：第一類，甲在最右端，有Aeq\o\al(6,6)種方法；其次類，甲不在最右端，甲有Aeq\o\al(1,5)個位置可選，乙也有Aeq\o\al(1,5)個位置可選，其余5人有Aeq\o\al(5,5)種排法，即Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)種方法．故有Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)＝3720種方法．法二(間接法)無限制條件的排列方法共有Aeq\o\al(7,7)種，而甲在最左端，乙在最右端的排法分別有Aeq\o\al(6,6)種，甲在最左端且乙在最右端的排法有Aeq\o\al(5,5)種．故有Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720種方法．法三(特別元素優(yōu)先法)按最左端先支配分步．對于最左端除甲外有Aeq\o\al(1,6)種排法，余下六個位置全排列有Aeq\o\al(6,6)種排法，其中甲不在最左端，乙在最右端的排法有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)種．故有Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)＝3720種方法．]14．(一題兩空)用數(shù)字0，1，2，3，4，5可組成________個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，在這些四位數(shù)中，按從小到大的依次排成一個數(shù)列，則第85個數(shù)為________．3002301[(1)法一(干脆法)：Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(3,5)＝300(個)．法二(間接法)：Aeq\o\al(4,6)－Aeq\o\al(3,5)＝300(個)．(2)1在首位的數(shù)的個數(shù)為Aeq\o\al(3,5)＝60．2在首位且0在其次位的數(shù)的個數(shù)為Aeq\o\al(2,4)＝12．2在首位且1在其次位的數(shù)的個數(shù)為Aeq\o\al(2,4)＝12．以上四位數(shù)共有84個，故第85個數(shù)是2301．]15．用0，1，2，3，4這五個數(shù)字，可以組成多少個滿意下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)．(1)被4整除．(2)比21034大的偶數(shù)．(3)左起其次、四位是奇數(shù)的偶數(shù)．[解](1)被4整除的數(shù)，其特征是末兩位數(shù)是4的倍數(shù)，可分兩類：當末兩位數(shù)是20，40，04時，其排列數(shù)為3Aeq\o\al(3,3)＝18個，當末位數(shù)是12，24，32時，其排列數(shù)為3·Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝12個，故滿意條件的五位數(shù)共有：3Aeq\o\al(3,3)＋3Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝30個．(2)可分五類：當末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是2時，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(2,2)＝6個；當末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是3或4時，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12個；當末位數(shù)字是2，而首位數(shù)字是3或4時，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12個；當末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是2時，有Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(1,1)＝3個；當末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是3時，有Aeq\o\al(3,3)＝6個．故有(Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(2,2))＋Aeq\o\al(1,2)