2023年上海中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：二次函數(shù)（原卷版+解析）

專題09二次函數(shù)

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是歷年中考的重點(diǎn)。這部分知識(shí)命題形式比較靈活，既有

填空題、選擇題，又有解答題，而且常與方程、幾何、銳角的三角比在一起，顯現(xiàn)在解答題中。因此，熟

練把握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，會(huì)靈活運(yùn)用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式是解決綜合應(yīng)用題

的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。

在知怨導(dǎo)圖

二次函數(shù)二次函數(shù)的

的定義圖像及性質(zhì)

二次函數(shù)

二次函數(shù)解

析式的求法

重點(diǎn)考向

—

一、二次函數(shù)的概念

概念：一般地，形如y=a/+b%+c(a,b,c是常數(shù)，a力0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。

注意：二次項(xiàng)系數(shù)a70,而b,c可以為零.

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量X的二次式，X的最高次數(shù)是2.

⑵a,b,c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

(1)一般式：y=?2+Ax+c.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)％、y的值，通常選擇一般式.

(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-*)2+左.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

交點(diǎn)式：已知圖像與％軸的交點(diǎn)坐標(biāo)％、通常選用交點(diǎn)式：y=a(x-

(3)x2,x；)(x-x2).

翼例引微

^4__J____j_________I_____L*

一、單選題

1.下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）

2

A.y=x+2B.y=）

x

C.y=（2x—Ip—4?D.y=2-3x2

2.下列各點(diǎn)中，在二次函數(shù)y=8%-9圖象上的點(diǎn)是（）

A.（-1,-16）B.（1,-16）C.（—3,—8）D.（3,24）

3.若函數(shù)＞=（根-3），中+5是關(guān)于%的二次函數(shù)，則加二（）

A.-3B.3C.3或一3D.2

4.已知拋物線,=--+-+4經(jīng)過(guò)（-2,T）和（4,〃）兩點(diǎn)，則"的值為（）

A.-2B.-4C.2D.4

5.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（T。），（2,0）,（0,2）三點(diǎn)，則該函數(shù)的解析式為（）

A.y——/+%+2B.y=爐+x—2C.y-%?+3x+2D.y———%+2

6.將拋物線》=(%-1丫+2沿y軸折疊后得到的新拋物線的解析式為()

A.y=(x+1)2—2B.y=(x-1)2-2C.y=—(x—l)2—2D.=(x+1)2+2

7.小宇利用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)丁=仆2+區(qū)+°（〃。0）的圖象時(shí)，先取自變量工的一些值，計(jì)算出相應(yīng)的函數(shù)

值y,如下表所示：

X01234

y40-103

接著，他在描點(diǎn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，表格中有一組數(shù)據(jù)計(jì)算錯(cuò)誤，他計(jì)算錯(cuò)誤的一組數(shù)據(jù)是（）A.%=4,y=3

B.x=3,y=0C.x=2,y=-lD.x=0,y=4

8.二次函數(shù)》=奴2+陵+。（〃，b,c為常數(shù)，且QW。）中的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如表，下列選項(xiàng)正確的是

()

X......-20134......

y......6-4-6-4m......

A.m=6B.這個(gè)函數(shù)的圖像與x軸無(wú)交點(diǎn)

C.二次函數(shù);y=ax2+bx+c有最小值-6D.當(dāng)x＜l,y的值隨x值得增大而減小

二、填空題

9.已知關(guān)于X的二次函數(shù)＞=(〃―1的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則〃2的值為.

10.寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口向上，且與y軸的負(fù)半軸相交的拋物線的解析式：.

11.函數(shù)y=依+1)的圖象是拋物線，則左的值是.

12.已知函數(shù)y=(A-l)/M+2x-l為二次函數(shù)，則上的值為.

13.已知拋物線〉=9+如+”的圖象經(jīng)過(guò)(-3,0),(1,0),則此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

在重點(diǎn)考向

二、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1.二次函數(shù)的圖象：二次函數(shù)^=。/+桁+。的圖象是對(duì)稱軸平行于y軸的一條拋物線

拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).

①a決定拋物線的開(kāi)口方向：

當(dāng)。＞0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)。＜0時(shí)，開(kāi)口向下；時(shí)相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.

②平行于y軸(或重合)的直線記作x=丸.特別地，y軸記作直線尤=0.

③頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、

開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同

求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸：

y=ax2+bx+c=Jx+-^-\.'.頂點(diǎn)坐標(biāo)(--匕"，')對(duì)稱軸是直線1=一2~

2a)4〃la4a2a

2.二次函數(shù)的性質(zhì)

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)對(duì)應(yīng)在它的圖象上，有如下性質(zhì):

二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

2

y=a^y=ax2y=a(x+m)y=a[x+c)2y=ax2_C2b、

y—xH-----

,I

拋物線+c+ca)

4ac-b2

+-----------

4a

開(kāi)口方向當(dāng)。＞0時(shí)開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸；

當(dāng)〃V0時(shí)開(kāi)口向下，并無(wú)限向下延伸。

頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)(0,c)(-m,0)(-m,k)

b4ac-b2

(-,)

2a4a

b

對(duì)稱軸y軸y軸直線x=-m直線x=-m直線x=-2

2a

X=0時(shí)x=o時(shí)X=-m時(shí)X=-m時(shí)

X=-；^-時(shí)，^min=^aC~~T~

a>0

A"。^nin=CL=0^nin=C2a4a

最

值x=o時(shí)X=0時(shí)X=-m時(shí)X=-m時(shí)

a<0X=---時(shí)，2出=4cic----

Ain二。20Ain二。2a4a

在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨X的增大而減小

a>0

增在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大支x

減在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨尤的增大而增大

性

a<0在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大

4.二次函數(shù)產(chǎn)。*2+加+。(。用)的系數(shù)a,b,c,△與拋物線的關(guān)系

a。決定開(kāi)口方向：當(dāng)a>0時(shí)開(kāi)口向上，a<0時(shí)開(kāi)口向下。

a、。同時(shí)決定對(duì)稱軸位置：a、6同號(hào)時(shí)對(duì)稱軸在y軸左側(cè)

a,ba、。異號(hào)時(shí)對(duì)稱軸在y軸右側(cè)

6=0時(shí)對(duì)稱軸是y軸

c決定拋物線與y軸的交點(diǎn)：c>0時(shí)拋物線交y軸的正半軸

cc=0時(shí)拋物線過(guò)原點(diǎn)

c<Q時(shí)拋物線交y軸的負(fù)半軸

△決定拋物線與x軸的交點(diǎn)：△>0時(shí)拋物線與無(wú)軸有兩個(gè)交點(diǎn)

△△=0時(shí)拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)

△<0時(shí)拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)

0

典例引微

1________._______________?L-

一、單選題

1.將拋物線y=4-(尤+1)2向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線必定經(jīng)過(guò)點(diǎn)()

A.(-2,2)B.(-1,1)C.(0,6)D.(1,-3)

2.拋物線y=/+x+2,點(diǎn)(2,a),(-1,b),(3,c),則a、b、c的大小關(guān)系是()

A.c>a>bB.b>a>c

C.a>b>cD.無(wú)法比較大小

3.若二次函數(shù)y=-V+2&+3的圖象與無(wú)軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.以上都不對(duì)

4.下列關(guān)于二次函數(shù)y=4（x-3）2-5的說(shuō)法，正確的是（）

A.對(duì)稱軸是直線x=-3B.當(dāng)x=3時(shí)有最小值-5

C.頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3,5）D.當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而減少

5.一次函數(shù)y=or+b與二次函數(shù)y=a無(wú)2+bx+c在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（）

6.由于被墨水污染，一道數(shù)學(xué)題僅能見(jiàn)到如下文字：已知二次函數(shù)＞=依2+法+。的圖象過(guò)點(diǎn)（1,0）……求

證這個(gè)二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)一定不具有的性質(zhì)是（）

A.過(guò)點(diǎn)（3,0）B.頂點(diǎn)是G2,2）

C.在X軸上截得的線段的長(zhǎng)是2D.與y軸的交點(diǎn)是（0,3）

7.足球運(yùn)動(dòng)員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，

足球距離地面的高度耳（單位：加）與足球被踢出后經(jīng)過(guò)的時(shí)間f（單位：s）之間的關(guān)系如表：

t01234567

h08141820201814

Q

下列結(jié)論：①足球距離地面的最大高度超過(guò)20m；②足球飛行路線的對(duì)稱軸是直線f=］；③點(diǎn)（9,0）在

該拋物線上；④足球被踢出5s?7s時(shí)，距離地面的高度逐漸下降.其中正確的結(jié)論是（）A.②③

B.①②③C.①②③④D.②③④

8.小明在研究拋物線y=-（x-/z）2-/7+l（/z為常數(shù)）時(shí)，得到如下結(jié)論，其中正確的是（）

A.無(wú)論尤取何實(shí)數(shù)，y的值都小于0

B.該拋物線的頂點(diǎn)始終在直線y=上

C.當(dāng)-1＜無(wú)＜2時(shí)，y隨尤的增大而增大，則

D.該拋物線上有兩點(diǎn)4（百,%），B（X2,J2）,若%＜%,尤i+尤2＜2〃，則為

9.如圖，拋物線y=（x-a）2+//（。＞0）與y軸交于點(diǎn)直線y=；尤經(jīng)過(guò)拋物線頂點(diǎn)過(guò)點(diǎn)2作8A〃尤

軸，與拋物線交于點(diǎn)C,與直線y=g無(wú)交于點(diǎn)A,若點(diǎn)C恰為線段中點(diǎn)，則線段0A長(zhǎng)度為（）

A.726B.3石C.延D.生叵

33

10.如圖，二次函數(shù)>=點(diǎn)+加；+。的圖像與X軸交于點(diǎn)A（-1,0）,與y軸的交點(diǎn)B在（0,2）與（0,3）

之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線x=2,下列結(jié)論：①M(fèi)c<0；②9a+3b+c>0；③若點(diǎn)

點(diǎn)N1|,yJ是函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，則”>V；?-1<a<-|；⑤c—3a>0,其中正確結(jié)論有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

二、填空題

11.拋物線'=/-x的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

12.已知拋物線y=*-x-1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為G”。），則代數(shù)式-3療+3m+2022的值為.

13.已知二次函數(shù)y=（x+m）2+2,當(dāng)尤>2時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

14.將拋物線丁=-2（》+3『+3以原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)180度得到的拋物線解析式為.

15.如圖，一位籃球運(yùn)動(dòng)員投籃，球沿拋物線y=-0.2/+尤+2.25運(yùn)行，然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的

中心離地面的高度為3.05m,則他距籃筐中心的水平距離OH是m.

16.已知二次函數(shù)%=依2+云+。（<2工0）與一次函數(shù)為=如+〃（加二。）的圖象相交于點(diǎn)4（-1,6）和3（7,3）,如

圖所不，則使不等式加+&v+c<〃a+〃成立的X的取值范圍是

17.如圖，二次函數(shù)〉=。/+灰+<:的圖像與無(wú)軸相交于點(diǎn)A、B,與y軸相交于點(diǎn)C.過(guò)點(diǎn)C作C￡>_Ly軸,

交該圖像于點(diǎn)D若8（8,0）、￡>（6,4）,則AASC的面積為

18.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點(diǎn)A叫做“整點(diǎn)”如：3（3,0）、C（-l,3）

都是“整點(diǎn)”.當(dāng)拋物線>=以2-4依+1與其關(guān)于X軸對(duì)稱拋物線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界）共有9個(gè)整

點(diǎn)時(shí)，。的取值范圍______.

三、解答題

19.如圖，拋物線>的圖像經(jīng)過(guò)A(4,0)、3(0,-4)兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)A先向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到點(diǎn)C,請(qǐng)判斷點(diǎn)C是否在拋物線上.

20.如圖，直線％=-；x+2與無(wú)軸交于點(diǎn)8.拋物線為=-gY+法+。與該直線交于A、8兩點(diǎn)，交y軸于

點(diǎn)D(0,4),頂點(diǎn)為C.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并求出點(diǎn)A的坐標(biāo).

(2)求二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，并結(jié)合圖像，直接寫(xiě)出當(dāng)才%時(shí)，％的取值范圍.

21.二次函數(shù)y=(m+l)x2-2(/71+l)x-2m+4.

(1)求該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸；

(2)若圖象過(guò)點(diǎn)4-2,〃)，且求加z的取值范圍；

⑶若點(diǎn)尸(4％),。(2,力)在該二次函數(shù)圖象上，且%?%，求玉的取值范圍.

22.“燃情冰雪，一起向未來(lái)”，北京冬奧會(huì)于2022年2月4日如約而至，某商家看準(zhǔn)商機(jī)，進(jìn)行冬奧會(huì)吉

祥物“冰墩墩”紀(jì)念品的銷(xiāo)售，每個(gè)紀(jì)念品進(jìn)價(jià)40元.規(guī)定銷(xiāo)售單價(jià)不低于44元，且不高于60元.銷(xiāo)售期

間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300個(gè)，由于銷(xiāo)售火爆，商家決定提價(jià)銷(xiāo)售.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)

現(xiàn)，銷(xiāo)售單價(jià)每上漲1元，每天銷(xiāo)量減少10個(gè).

(1)求當(dāng)每個(gè)紀(jì)念品的銷(xiāo)售單價(jià)是多少元時(shí)，商家每天獲利2640元；

(2)將紀(jì)念品的銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，商家每天銷(xiāo)售紀(jì)念品獲得的利潤(rùn)w元最大？最大利潤(rùn)是多少元？

23.如圖，已知拋物線>=以2+5尤+4的對(duì)稱軸是直線x=3,且與x軸相交于A、8兩點(diǎn)(B點(diǎn)在A點(diǎn)的右

側(cè))，與y軸交于C點(diǎn).

(1)A點(diǎn)的坐標(biāo)是；B點(diǎn)坐標(biāo)是:

(2)求直線8c的解析式；

（3）點(diǎn)尸是直線BC上方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與8、C重合），是否存在點(diǎn)P,使APBC的面積最大.若

存在，請(qǐng)求出△P8C的最大面積，若不存在，試說(shuō)明理由；

（4）若點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在拋物線上，以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M

點(diǎn)坐標(biāo).

在重聲考向

三、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

1、列二次函數(shù)解應(yīng)用題

列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，

表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個(gè)變量的等式.對(duì)于應(yīng)用題要注意以下步驟：

（1）審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個(gè)，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量

關(guān)系（即函數(shù)關(guān)系）.

（2）設(shè)出兩個(gè)變量，注意分清自變量和因變量，同時(shí)還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確.

（3）列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含有等量關(guān)系的語(yǔ)句，將此語(yǔ)句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù).

（4）按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問(wèn)題。

（5）檢驗(yàn)所得解是否符合實(shí)際：即是否為所提問(wèn)題的答案.

（6）寫(xiě)出答案.

要點(diǎn)：

常見(jiàn)的問(wèn)題：求最大（小）值（如求最大利潤(rùn)、最大面積、最小周長(zhǎng)等）、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線

的模型問(wèn)題等.解決這些實(shí)際問(wèn)題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.

2、建立二次函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題

一般步驟：（1）恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；（2）將已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系

式；（4）代入已知條件或點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；（5）利用關(guān)系式求解問(wèn)題.

要點(diǎn):

（D利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，利用題中存在

的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問(wèn)題.在研究實(shí)際問(wèn)題

時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.

（2）對(duì)于本節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)由低到高處理好如下三個(gè)方面的問(wèn)題：

①首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；

②學(xué)會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中建立二次函數(shù)的模型；

③借助二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.

真例引順

JJ■_____?_____L-

一、單選題

1.從高處自由下落的物體，下落距離S與下落時(shí)間r的平方成正比.若某一物體從125米高度自由下落，5

秒落地，則下落1秒時(shí)，距離地面的高度為（）

A.5米B.25米C.100米D.120米

2.我校辦公樓前的花園是一道美麗的風(fēng)景，現(xiàn)計(jì)劃在花園里再加上一噴水裝置，水從地面噴出，如圖，以

水平地面為x軸，出水點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋物線y=-f+5x（單位：

米）的一部分，則水噴出的最大高度是（）

“興米）

//\、

1/■,

°x（米）

A.4.5米B.5米C.6.25米D.7米

3.2019年在武漢市舉行了軍運(yùn)會(huì).在軍運(yùn)會(huì)比賽中，某次羽毛球的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線

y=-]-x2+x+^的一部分（如圖），其中出球點(diǎn)B離地面。點(diǎn)的距離是之米,球落地點(diǎn)A到。點(diǎn)的距離是（）

444

A.1米B.3米C.5米D.一米

16

4.如圖，在水平地面點(diǎn)A處有一網(wǎng)球發(fā)射器向空中發(fā)射網(wǎng)球，網(wǎng)球在地面上的落點(diǎn)為8,網(wǎng)球飛行路線是

一條拋物線，小明在直線上點(diǎn)C（靠點(diǎn)8一側(cè)）右側(cè)豎直向上擺放若干個(gè)無(wú)蓋的、直徑為0.5米，高為

0.3米的圓柱形桶（網(wǎng)球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計(jì)）.已知AB=4米，AC=3米，網(wǎng)球飛行的最大

高度OM=3米，若要使網(wǎng)球能落入桶內(nèi)，則至少需擺放圓柱形桶（）.

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

5.單板滑雪大跳臺(tái)是北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目之一，舉辦場(chǎng)地為首鋼滑雪大跳臺(tái).運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可

以看作是拋物線的一部分.從起跳到著陸的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員起跳后的豎直高度》（單位：m）與水平距離x

（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a（x-/z）2+Ma<0）.如圖記錄了某運(yùn)動(dòng)員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù),

根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出該運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行到最高點(diǎn)時(shí)，水平距離為（）.

V/m

A.4mB.7mC.8mD.10m

6.洗手盤(pán)臺(tái)面上有一瓶洗手液.當(dāng)同學(xué)用一定的力按住頂部A下壓如圖位置時(shí)，洗手液從噴口8流出，路

線近似呈拋物線狀，且噴口B為該拋物線的頂點(diǎn).洗手液瓶子的截面圖下面部分是矩形同學(xué)測(cè)得:

洗手液瓶子的底面直徑G"=12cm,噴嘴位置點(diǎn)8距臺(tái)面的距離為16cm,且8、D、H三點(diǎn)共線.在距離

臺(tái)面15.5cm處接洗手液時(shí)，手心。到直線板的水平距離為女m,不去接則洗手液落在臺(tái)面的位置距期的

水平面是（）cm

C.126D.12-72

二、填空題

7.如圖，一拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂?shù)剿娴木嚯x為2米時(shí)，水面寬度為4米；那么當(dāng)水位上升0.5米后，水

面的寬度為米.（結(jié)果可帶根號(hào)）

<—4—>

8.兩輛車(chē)A和&從相同標(biāo)記處同時(shí)出發(fā)，沿直線同方向行駛，并且由出發(fā)點(diǎn)開(kāi)始計(jì)時(shí)，行駛的距離x與

行駛時(shí)間f的函數(shù)關(guān)系分別為：無(wú)A=$3+2/和4=〃+次,求：

(1)它們剛離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)時(shí)，行駛在前面的一輛車(chē)是;

(2)它們出發(fā)后，B車(chē)相對(duì)A車(chē)速度為零的時(shí)刻是.

9.小亮和小明在籃球場(chǎng)練習(xí)投籃，小亮投籃時(shí)籃球出手的高度是1.7米，籃球的運(yùn)行路線是拋物線的一部

分，籃球運(yùn)行的水平距離為3米時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，最高點(diǎn)的高度是3.5米，籃筐的高度是3.05米，結(jié)果小亮

恰好命中籃筐，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(籃球和籃筐均看作一個(gè)點(diǎn))，y軸經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)，解答

下列問(wèn)題.

(1)小亮投籃時(shí)籃球運(yùn)行路線所在拋物線的解析式為；

(2)小亮投籃時(shí)與籃筐的水平距離L為；

(3)小亮投籃后籃球被籃筐彈了出來(lái)，恰被離籃筐水平距離為5米處的小明跳起來(lái)接住.已知籃球彈出后

運(yùn)行路線也是拋物線的一部分(兩拋物線在同一平面內(nèi))，運(yùn)行的水平距離為2米時(shí)到達(dá)最高點(diǎn)，小明接球的

高度為2.3米.則籃球彈出后最高點(diǎn)的高度為；

三、解答題

10.如圖，有長(zhǎng)為12加的籬笆，現(xiàn)一面利用墻(墻的最大可用長(zhǎng)度a為5m),設(shè)花圃的寬A3為xm,面積

為Sm?.

a

B'-----------------------'C

(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式及x值的取值范圍；

(2)要圍成面積為9m2的花圃，A2的長(zhǎng)是多少米？

(3)當(dāng)A3的長(zhǎng)是多少米時(shí)，圍成的花圃面積最大？

11.某商人將進(jìn)價(jià)為每件8元的某種商品按每件10元出售，每天可銷(xiāo)出100件.他想采用提高售價(jià)的辦法

來(lái)增加利潤(rùn).經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)這種商品每件每提價(jià)1元，每天的銷(xiāo)售量就會(huì)減少10件.請(qǐng)問(wèn)每件售價(jià)提高多

少元時(shí)，才能使一天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

12.某公司研發(fā)了一款成本為30元的新型產(chǎn)品，投放市場(chǎng)進(jìn)行銷(xiāo)售.按照物價(jià)部門(mén)規(guī)定，銷(xiāo)售單價(jià)不低于

成本且不高于70元，調(diào)研發(fā)現(xiàn)每天的銷(xiāo)售量y(個(gè))與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所

示.

（1）求每天的銷(xiāo)售量y（個(gè)）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元？

13.圖1是一個(gè)傾斜角為。的斜坡的橫截面.斜坡頂端8與地面的距離為3米.為了對(duì)這個(gè)斜坡上的綠

地進(jìn)行噴灌，在斜坡底端安裝了一個(gè)噴頭A,8C與噴頭A的水平距離為6米，噴頭A噴出的水珠在空中走

過(guò)的曲線可以看作拋物線的一部分.設(shè)噴出水珠的豎直高度為y（單位：米）（水珠的豎直高度是指水珠與水

平地面的距離），水珠與噴頭A的水平距離為尤（單位：米），y與x之間近似滿足二次函數(shù)關(guān)系，圖2記錄了

尤與y的相關(guān)數(shù)據(jù)，其中當(dāng)水珠與噴頭A的水平距離為4米時(shí)，噴出的水珠達(dá)到最大高度4米.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）斜坡上有一棵高1.9米的樹(shù)，它與噴頭A的水平距離為2米，通過(guò)計(jì)算判斷從A噴出的水珠能否越過(guò)這

棵樹(shù).

誣模擬檢測(cè)

一、單選題

1.二次函數(shù)y=-（x-2）2-3的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（2,3）B.（2,-3）C.（-2,3）D.（-2,-3）

2.下列拋物線中，對(duì)稱軸是y軸的拋物線是（）

A.y=x2-lB.y=（x+l）-C.y=x2+xD.y=x2-x-1

3.將拋物線＞=3爐+1繞原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為（）

A.y——2X2+1B.y=—2x2—1

11

C.y=——x9+1D.y=——x9-1

22

4.下列函數(shù)中，當(dāng)元＞0時(shí)，＞值隨x值增大而減小的是（）

22

A.y=—xB.y=-x+lC.y=——D.y=x2+1

3x

5.在下列函數(shù)中，同時(shí)具備以下三個(gè)特征的是（）

①圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）；②圖像經(jīng)過(guò)第三象限；③當(dāng)x<0時(shí)，y的值隨x的值增大而增大

A.y=-x2+2B.y=C.y=-2x+3D.y=-

X

6.將拋物線y=2d向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后，所得新拋物線和原拋物線相比，不變的是

（）

A.對(duì)稱軸B.開(kāi)口方向C.和y軸的交點(diǎn)D.頂點(diǎn).

7.小明準(zhǔn)備畫(huà)一個(gè)二次函數(shù)的圖像，他首先列表（如下），但在填寫(xiě)函數(shù)值時(shí)，不小心把其中一個(gè)蘸上了

墨水（表中），那么這個(gè)被蘸上了墨水的函數(shù)值是（）

X-10123

y3430

A.-1B.3C.4D.0

8.二次函數(shù)y=a^+笈+。（。*0）的圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）

B.4a+2b+c>0

C.c>0D.當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)有最小值

9.如圖，已知拋物線y=^+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,0）,與y軸交于（0,2）,且頂點(diǎn)在第一象限，那么下列

結(jié)論：①a+c=b；②x=-l是方程爾+兒：+0=0的解；③a6c>0；?c-a>2,其中正確的結(jié)論為（）

C.①②④D.①②③④

10.下列關(guān)于二次函數(shù)尸/-3的圖象與性質(zhì)的描述，不正確的是（）

A.該函數(shù)圖象的開(kāi)口向上

B.函數(shù)值y隨著自變量x的值的增大而增大

C.該函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

D.該函數(shù)圖象可由函數(shù)y=『的圖象平移得到

二、填空題

11.如果二次函數(shù)y=(a-l)Y的圖像在y軸的右側(cè)部分是下降的，寫(xiě)出符合條件的一個(gè)。的值是.

12.將拋物線C向左平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位后，所得拋物線為y=(x-l)2,則拋物線C解析式為

13.拋物線y=f-4x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

14.如果拋物線y=(A+l)無(wú)2有最高點(diǎn)，那么上的取值范圍是.

15.如果拋物線丫=加+6尤+c(a*O)的對(duì)稱軸是直線x=l,那么2a+60.(從＜,=,＞中選擇)

16.一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方形，如果它的邊長(zhǎng)增加x(x＞0)厘米，則面積隨之增加y平方厘米，那么y關(guān)

于尤的函數(shù)解析式為一.

3

17.如圖，點(diǎn)A在直線上，如果把拋物線y=N沿方向平移5個(gè)單位，那么平移后的拋物線的表

達(dá)式為.

18.當(dāng)兩條曲線關(guān)于某直線/對(duì)稱時(shí)，我們把這兩條曲線叫做關(guān)于直線/的對(duì)稱曲線，如果拋物線

G：y=/-2x與拋物線CZ關(guān)于直線尸一1的對(duì)稱曲線，那么拋物線C2的表達(dá)式為

三、解答題

19.已知拋物線＞=2尤2—4X一6.

(1)請(qǐng)用配方法求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如果該拋物線沿x軸向左平移機(jī)(機(jī)＞0)個(gè)單位后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求的值.

20.已知拋物線y=-2/+fev+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,l)、.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）把表達(dá)式化成>=-2（*+加）2+左的形式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸.

21.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）滿足下表：

X-1012

y-4-228

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）用配方法求出這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸.

22.我們已經(jīng)知道二次函數(shù)y=62+bx+c（a<0）的圖像是一條拋物線.研究二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，我們

主要關(guān)注拋物線的對(duì)稱軸、拋物線的開(kāi)口方向、拋物線的最高點(diǎn)（或最低點(diǎn)）的坐標(biāo)、拋物線與坐標(biāo)軸的

交點(diǎn)坐標(biāo)、拋物線的上升或下降情況（沿x軸的正方向看）.

已知一個(gè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a*0）的大致圖像如圖所示.

（1）你可以獲得該二次函數(shù)的哪些信息？（寫(xiě)出四條信息即可）

（2）依據(jù)目前的信息，你可以求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式嗎？如果可以，請(qǐng)求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式;

如果不可以，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件，并求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-；x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B.拋物線

>=-；/+法+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、2頂點(diǎn)為C.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)將拋物線沿y軸向上平移，平移后所得新拋物線頂點(diǎn)為。，如果求平移的距離；

(3)設(shè)拋物線上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為他，將拋物線向左平移3個(gè)單位，如果點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在內(nèi)，求優(yōu)

的取值范圍.

專題09二次函數(shù)

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是歷年中考的重點(diǎn)。這部分知識(shí)命題形式比

較靈活，既有填空題、選擇題，又有解答題，而且常與方程、幾何、銳角的三角比在一起，

顯現(xiàn)在解答題中。因此，熟練把握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，會(huì)靈活運(yùn)用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)

式求二次函數(shù)的解析式是解決綜合應(yīng)用題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。

先知巧導(dǎo)圖

二次函數(shù)二次函數(shù)的

的定義圖像及性質(zhì)

二次函數(shù)

「二x國(guó)鼓與)

-563勸

【程的關(guān)系J

二次函數(shù)二次函數(shù)解

的應(yīng)用析式的求法設(shè)法

1R：豆的,

實(shí)際應(yīng)用,

在重點(diǎn)考向

一、二次函數(shù)的概念

概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，aK0)的函數(shù)，叫做二次函

數(shù)。

注意：二次項(xiàng)系數(shù)a40,而b,c可以為零.

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的結(jié)構(gòu)特征：

⑶等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.

⑷a,b,c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

⑴一般式：y=ax?+Z?x+c.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式.

(2)頂點(diǎn)式：y=a(無(wú)-左.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

(3)交點(diǎn)式：已知圖像與％軸的交點(diǎn)坐標(biāo)七、/，通常選用交點(diǎn)式：

y=-x；X%-x2).

翼例引微

一、單選題

1.下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（

y=（2尤一1）——4x2y=2-3x2

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐一判斷即可.

【解析】解：A、＞=尤+2未知數(shù)的最高次不是2,不是二次函數(shù)，不符合題意;

2

B、y=r未知數(shù)的最高次不是2,不是二次函數(shù)，不符合題意；

C、y=（2x-l）--4/=4*2—4x+l-4尤2=-4x+l未知數(shù)的最高次不是2,不是二次函數(shù),

不符合題意；

D、＞=2-3/是二次函數(shù)，符合題意；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，一般地，形如丫=以2+灰+。（。*0）的函數(shù)叫做

二次函數(shù).

2.下列各點(diǎn)中，在二次函數(shù)丁=/-8尤-9圖象上的點(diǎn)是（）

A.（―1,—16）B.（1,—16）C.（一3,—8）D.（3,24）

【答案】B

【分析】把選項(xiàng)坐標(biāo)代入二次函數(shù)驗(yàn)證即可.

【解析】A.y=l+8-9=0?16,選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.y=l-8-9=-16=-16,選項(xiàng)正確，符合題意；

C.＞=9+24-9=24?8,選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D.y=9-24-9=-24?24,選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是把選項(xiàng)坐標(biāo)代入二次函數(shù)驗(yàn)證.

3.若函數(shù)＞=（”7-3）物一+5是關(guān)于x的二次函數(shù)，則（）

A.-3B.3C.3或-3D.2

【答案】A

【A析】根據(jù)二次函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.

【解析】解：：函數(shù)y=（m—3）J"H+5是關(guān)于X的二次函數(shù)，

|m|-1=2

m-3^0

m=—3,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，熟知形如，=改2+笈+°（。片0）的函數(shù)是二次函

數(shù)是解題的關(guān)鍵.

4.已知拋物線＞=-/+/+4經(jīng)過(guò)（-2,7）和（4,〃）兩點(diǎn)，則〃的值為（）

A.-2B.-4C.2D.4

【答案】B

【分析】將（-2,T）代入解析式，求出b值，再將（4,〃）代入解析式，求出〃值即可.

【解析】解：將（-2,7）代入函數(shù)解析式，得：-4=-（-2）2+（-2）/）+4,

解得：6=2,

y——x?+2,x+4,

當(dāng)x=4時(shí)，y=-42+2x4+4=4,即：n=-4；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)的函數(shù)值.解題的關(guān)鍵的是利用待定系數(shù)法，正確的求出二次

函數(shù)解析式.

5.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（-L0）,（2,0）,（0,2）三點(diǎn)，則該函數(shù)的解析式為（）

A.y——x?+x+2B.y=+x—2C.y=X？+3尤+2D.y=—x?—x+2

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，可以設(shè)二次函數(shù)一般式求出解析式

【解析】解：設(shè)yuad+At+c,

把（-1,0）,（2,0）,（0,2）分別代入戶加+法+G得

a-b+c=0

<4a+2b+c=0,

c=2

解得a=-l,b=l,c=2,

；?該函數(shù)的解析式是：y=-/+》+2,

故選：A

【點(diǎn)睛】此題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌

握用二次函數(shù)一般式求出解析式是解題關(guān)鍵.

6.將拋物線y=（x-l）2+2沿y軸折疊后得到的新拋物線的解析式為（）

A.y=（x+1）2—2B.y=（尤_1）一一2C.y=—（無(wú)一1）__2D.y=（x+l/+2

【答案】D

【分析】關(guān)于〉軸對(duì)稱的兩點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，據(jù)此解答即可.

【解析】解：根據(jù)題意，得

翻折后拋物線的解析式的解析式為：y=（-x-l）2+2.

即y=（x+i）-+2.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換.總結(jié)：關(guān)于X軸對(duì)稱的兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，縱

坐標(biāo)坐標(biāo)互為相反數(shù).關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)坐標(biāo)互為相反數(shù).關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱的兩點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù).

7.小宇利用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)了=62+及+C（。*0）的圖象時(shí)，先取自變量尤的一些值，計(jì)

算出相應(yīng)的函數(shù)值y,如下表所示:

X0i234

y40-103

接著，他在描點(diǎn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，表格中有一組數(shù)據(jù)計(jì)算錯(cuò)誤，他計(jì)算錯(cuò)誤的一組數(shù)據(jù)是（）

A.x-4,y-3B.元=3,y=0C.x=2,y=-lD.尤=0,y=4

【答案】D

【分析】利用表中數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,則頂點(diǎn)坐標(biāo)為

（2-1）,再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，進(jìn)行驗(yàn)證.

【解析】=l和x=3時(shí)，y=o；

...拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-1）,

設(shè)拋物線為y=a（x-2）2-1,

把x=l,y=0代入得0=a-1,

??a=1,

該二次函數(shù)解析式為y=（》-2）2-1,

當(dāng)x=0時(shí)，y=22-l=3^4,

<'.%=0,y=4錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象，找出圖表數(shù)據(jù)特點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性解答即可，注

意進(jìn)行驗(yàn)證，以確保判定的正確性.

8.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，且awO）中的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如表，下

列選項(xiàng)正確的是（）

X......-20134......

y......6-4-6-4m......

A.m=6B.這個(gè)函數(shù)的圖像與x軸無(wú)交點(diǎn)

C.二次函數(shù)y=#+8x+c有最小值-6D,當(dāng)x<l,y的值隨尤值得增大而減小

【答案】D

【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的表達(dá)式，從而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷各選項(xiàng).

【解析】解：：根據(jù)二次函數(shù)的x與y的部分對(duì)應(yīng)值圖，

當(dāng)x=-2時(shí)，y=6,當(dāng)x=O時(shí)，y=-4,當(dāng)x=l時(shí)，>=一6,

6=4a-2b+ca=l

<-4=c,解得：<匕=一3,

-6=a+b+cc=-4

y=x2-3x-4,

令x=4,貝|加=y=4?—3x4—4=0,故A錯(cuò)誤；

（-3）2-4xlx（T）=25>0,

這個(gè)函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

函數(shù)有最小值為4x1x（一勺-（-3）2=一"，故c錯(cuò)誤，

4x14

-33

??,拋物線的對(duì)稱軸為直線％=-~=T，開(kāi)口向上，

ZXI.L

3

???當(dāng)天<5,y的值隨尤