2024年中考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題：圓

專題09圓

易錯(cuò)點(diǎn)1:圓中的平行弦

易錯(cuò)點(diǎn)2:垂徑定理

易錯(cuò)點(diǎn)3:弧、弦、圓心角關(guān)系

易錯(cuò)點(diǎn)4:圓心角

易錯(cuò)點(diǎn)5:圓周角

易錯(cuò)點(diǎn)6:點(diǎn)與圓位置關(guān)系

易錯(cuò)點(diǎn)7:直線與圓位置關(guān)系

易錯(cuò)點(diǎn)8:三角形的外接圓

易錯(cuò)點(diǎn)9:三角形的內(nèi)切圓

易錯(cuò)點(diǎn)10：切線的性質(zhì)與判定

易錯(cuò)點(diǎn)11:圓內(nèi)接四邊形

易錯(cuò)點(diǎn)12:正多邊形與圓

易錯(cuò)點(diǎn)13:弧長(zhǎng)和扇形面積

易錯(cuò)點(diǎn)14:圓與三角形結(jié)合

易錯(cuò)點(diǎn)15:圓與四邊形結(jié)合

易錯(cuò)點(diǎn)16:圓與一次函數(shù)結(jié)合

易錯(cuò)點(diǎn)17:圓與反比例函數(shù)結(jié)合

易錯(cuò)點(diǎn)18:圓與二次函數(shù)結(jié)合

易錯(cuò)點(diǎn)19:圓與相似結(jié)合

V

易錯(cuò)點(diǎn)20:圓與三角函數(shù)結(jié)合

易錯(cuò)點(diǎn)21:圓的新定義

易錯(cuò)點(diǎn)22:圓的無(wú)刻度尺作圖

\

易錯(cuò)點(diǎn)23:阿基米德折線定理

易錯(cuò)點(diǎn)24:阿氏圓

易錯(cuò)點(diǎn)25:秦九韶一海倫公式

易錯(cuò)點(diǎn)26:托勒密定理

圓專題

易錯(cuò)點(diǎn)：

1.對(duì)圓的定義理解不清：學(xué)生可能會(huì)混淆圓的定義，認(rèn)為所有的曲線都是圓，或者認(rèn)為圓只能由圓心和一

個(gè)點(diǎn)確定。實(shí)際上，圓是由一個(gè)固定點(diǎn)（圓心）和所有到該點(diǎn)距離相等的點(diǎn)組成的集合。

2.對(duì)圓的性質(zhì)理解不透徹：例如，學(xué)生可能不理解為什么圓的周長(zhǎng)和面積與半徑有關(guān)，或者為什么直徑是

圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦。

3.對(duì)圓的對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)性理解不足：學(xué)生可能無(wú)法正確理解和應(yīng)用圓的對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)性，這會(huì)影響他們解

決與圓相關(guān)的問題。

4.計(jì)算錯(cuò)誤：在進(jìn)行圓的周長(zhǎng)、面積、圓弧長(zhǎng)度等計(jì)算時(shí)，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。這可能是由于對(duì)公

式理解不清，或者計(jì)算技能不熟練導(dǎo)致的。

5.忽視單位：在進(jìn)行圓的計(jì)算時(shí)，學(xué)生可能會(huì)忽視單位的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤。例如，他們可能會(huì)將半

徑的單位誤認(rèn)為是厘米，而實(shí)際上應(yīng)該是米或毫米。

6.對(duì)圓與其他幾何圖形的關(guān)系理解不清：例如，學(xué)生可能無(wú)法理解為什么圓與直線、其他圓、三角形等幾

何圖形之間的關(guān)系會(huì)影響圓的性質(zhì)。

7.對(duì)圓心角與弧長(zhǎng)的關(guān)系理解不足：學(xué)生可能會(huì)混淆圓心角與弧長(zhǎng)的關(guān)系，無(wú)法正確地將它們聯(lián)系起來(lái)。

實(shí)際上，弧長(zhǎng)與圓心角之間的關(guān)系是通過圓的半徑來(lái)建立的，弧長(zhǎng)等于圓心角（以弧度為單位）與半徑的

乘積。

8.對(duì)圓的切線理解不清：切線是與圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線。學(xué)生可能會(huì)對(duì)切線的性質(zhì)感到困惑，例如切線

與半徑垂直、切線長(zhǎng)定理等。

9.對(duì)圓的內(nèi)接和外接多邊形理解不足：在學(xué)習(xí)多邊形與圓的關(guān)系時(shí)，學(xué)生可能會(huì)對(duì)內(nèi)接多邊形和外接多邊

形的概念感到混淆，無(wú)法正確理解它們的性質(zhì)。

10.忽視圖形的動(dòng)態(tài)變化：在處理與圓相關(guān)的動(dòng)態(tài)問題時(shí)，如滾動(dòng)圓、旋轉(zhuǎn)圓等，學(xué)生可能會(huì)忽視圖形的動(dòng)

態(tài)變化，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。

易錯(cuò)點(diǎn)1：圓中的平行弦

例：0。的半徑是10,或AB〃CD,/3=16,CD=12,則弦與CD的距離是（）

A.2B.14C.2或14D.7或1

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用.作42于E,OFLCD于F,由垂徑定理得

AE=-AB=S,CF=-CD=6,由于/3〃CD,易得E、。、尸三點(diǎn)共線，在Rt^ZOE和RMOC廠中，利

22

用勾股定理分別計(jì)算出OE與OF,然后討論：當(dāng)圓心O在弦AB與CD之間時(shí)，AB與CD的距離=OF+OE；

當(dāng)圓心。在弦AB與CD的外部時(shí),AB與CD的距離=OF-OE.

【詳解】解：如圖，作于E,OFLCD于尸,連。4OC,。4=。。=10,

AB//CD,

:.E、0、尸三點(diǎn)共線，

在RtAAOE中，OE=y/OA2-AE2=A/102-82=6，

在RMOC/中，OF=NOC2-CF。=JlO2*=8,

當(dāng)圓心。在弦48與CD之間時(shí)，48與CD的距離Ob+OE=8+6=14；

當(dāng)圓心。在弦48與CD的外部時(shí)，與。的距離。b-0E=8-6=2.

所以與CD的距離是14或2.

故選：C.

變式1：在圓中兩條平行弦的長(zhǎng)分別6和8,若圓的半徑為5,則兩條平行弦間的距離為.

【答案】1或7/7或1

【分析】如圖，AB//CD,AB=6,CD=8,過。點(diǎn)作OEL43于E,交CD于尸點(diǎn)，連。4OC,根據(jù)

垂徑定理得AE=BE=；AB=3,由于EFVAB,則成工。，根據(jù)垂徑定理得

CF=FD=；CD=4,然后利用勾股定理可計(jì)算出OE=4,OF=3,再進(jìn)行討論即可求解.

過。點(diǎn)作OE_L48于￡,交CD于F點(diǎn)、,連。40C,

AE=BE=-AB=3,

2

---AB//CD,EFLAB,

：.EF1CD,

：.CF=FD=LCD=4,

2

在中，04=5

OE=sJo^-AE2=后吁=4，

同理可得。尸=3,

當(dāng)圓心。在48與CD之間時(shí)，AB與CD的距離=。￡+。尸=4+3=7；

當(dāng)圓心。不在AB與CD之間時(shí)，AB與CD的距離=OE-OF=4-3=1.

故答案為7或1.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

變式2：如圖，在0O中，AB是。O的直徑，AC=AD,48交CO于E,直徑CM交40于N,連接

⑴求證：AB//DM-,

(2)若?！?4,ON=2,求。。的半徑.

【答案】(1)見解析

(2)1+畫

2

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理得到/3LCD,根據(jù)圓周角定理得到MD，CD,根據(jù)平行線的判定定理即可得

到結(jié)論；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CE=O￡,根據(jù)三角形的中位線定理得到。"=2。￡=8,根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：：/C=AD,

■■ACAD>

??Z5是。O的直徑,

ABLCD,

〈CM是。。的直徑,

JMDVCD,

：.AB//DM；

(2)AC=AD,ABLCD,

：.CE=DE,

OC=OM,

:?DM=2OE=8,

,/AB//DM,

：.VAON:VDMN,

.AOON

DM~~NM'

?AO-2

-8-AO-2,

?"、屈

??AO=1+--,

2

故。。的半徑為1+①.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，平行線的判定，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角

定理是解題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)2：垂徑定理

例：如圖，為OO的直徑，弦CD交AB于點(diǎn),E,BC=BD,NCDB=3G,NC=2百，則?！?()

【答案】D

【分析】

本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形.根據(jù)垂徑定理的推論可得43LCD,再由圓周角

定理可得ZB/C=NCO8=30。，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得/E=3,NB=4,即可求解.

【詳解】解：助,

■■BC=BD，

'：為。。的直徑，

ABVCD,

VABAC=ZCDB=30°,AC=2^3,

AE=ACxcosZBAC=3,

為。。的直徑，

ZACB=90°,

AT

??.AB=-------------=4,

cos^BAC

：.CM=2,

OE=AE-OA=\.

故選：D

變式1：如圖，為OO的弦，C為。。上一點(diǎn)，于點(diǎn)。.若0/=麗，AB=6,則

【答案】叵

10

【分析】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.也考查了解直角

三角形.先利用垂徑定理得到=3,再利用勾股定理計(jì)算出OD,然后根據(jù)余弦的定義求解.

【詳解】解：AB=6,

：.ZADO=90°,AD=BD=-AB=3,

2

在RtA/OZ）中，OA=sllO,

OD=OD=y/OA2-AD2=1>

cosZAOD=OP_iVio

CM一而一］0

故答案為：巫.

10

變式2：如圖，正方形4BCD內(nèi)接于O。，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接CE交8。于點(diǎn)尸，延長(zhǎng)CE交。。于點(diǎn)G,

G

⑴求證：FB2=FEFG

(2)若48=10,求F5和EG的長(zhǎng).

【答案】(1)詳見解析

(2)尸5=41EG=45

【分析】

(1)證明AEEBSAAFG,利用相似三角形性質(zhì)解答即可;

(2)連接證明A。跖SqC尸，利用相似三角形性質(zhì)求得EB；利用相交弦定理求EG即可.

【詳解】(1)

證明：,??四邊形是正方形,

AD=BC,

:.AD=BC-

■./DBA=NG.

:ZEFB=ZBFG,

*.^EFBs心FG,

FB_EF

'FG-FB'

.FB?=FEFG;

(2)解：連接。￡,如圖,

G

vAB=AD=10,ZA=90°,

:.BD=>JAD2+AB2=V102+102=10V2?

:.OB=-BD=5y[2.

2

???點(diǎn)￡為/5的中點(diǎn)，

:.OE1AB,

???四邊形45CD是正方形，

:.BCLABfZDBA=45°,AB=BC,

:.OE//BC,

;.4EFSBCF,

???OE=BE=-AB.

2

.OF_OE

'FB~BC~2'

OB-BF_1

BF2

5五-BF1

.,.---------------_9

BF2

:.FB=*

3

,?,點(diǎn)E為45的中點(diǎn),

/.AE=BE=5,

EC=y/BE2+BC2=V52+1023=575?

vAEBE=EGEC,

「.5x5=EGx5^f5，

：.EG=B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理及其推論，相似三角形的判定與性質(zhì)，平

行線的性質(zhì)，勾股定理，相交弦定理，靈活運(yùn)用上述定理及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)3：弧、弦、圓心角關(guān)系

例：如圖，在。。中，是。。的直徑，ADAC=20°,弦CD=CB,則乙4DC=()

B.110°C.120°D.150°

【答案】B

【分析】本題考查弧、弦、圓心角的關(guān)系，圓周角定理的推論，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).根據(jù)弧、弦、圓心

角的關(guān)系結(jié)合圓周角定理可求出NC48=ND/C=20P,再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可求出ZB=70。，

最后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：：弦CD=C3,

ZCAB=ADAC=20P,

是。。的直徑，

Z4c8=90°,

，NB=90°-ZCAB=70°,

：.ZZ)=180°-Z5=110°.

故選：B.

變式1：如圖，在。。中，48=/C,點(diǎn)F為直徑/。上一點(diǎn)，連接CF并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G,交。。于點(diǎn)E,

若/G=/尸，BG=4,GF=6,則的長(zhǎng)為.

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的

性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.設(shè)4G=4P=x,則力5=x+4,連接5戶，根

據(jù)已知條件得到=根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得到乙4q=/4尸C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

得至IZAGF=ZAFG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)ZG=4F=%,則/3=x+4,連接8尸，

'ABD=ACD，油=比，

；?BD=CD，

：./BAD=/CAD,

在△4BF與△4CF中,

AB=AC

<NBAF=NCAF,

AF=AF

：.AABF^AACF(SAS)

ZAFB=ZAFC,

VAG=AF,

???ZAGF=ZAFG,

：./BGF=/AFC,

JZBGF=ZAFB,

ZABF=ZFBG,

/.小ABFs^FBG,

.BGFGBF

??而一萬(wàn)一商，

.46BF

**BFxx+4'

解得尤=12（負(fù)值舍去）,

43=12+4=16.

故答案為：16.

變式2：如圖，在“BC中，ZC=90°,DM=DE,DEJ.AD交AB于點(diǎn)、E,ZE為。。的直徑，DFYAB.

⑵若DM平分一/AC,求/。。的度數(shù)；

(3)若40=">=6cm,求圖中陰影部分的面積.

【答案】(1)見解析

(2)30°

(3)2萬(wàn)一竽%m?

【分析】(1)根據(jù)圓周角，弦，弧的關(guān)系證明即可.

(2)運(yùn)用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得到/CW=/尸ED,結(jié)合/C=90。，DF±AB,繼而得到

ZCDM=ZFDE,結(jié)合AE為。。的直徑，得到NADE=90°,ZDAE=ZFDE=90°-ZAED；根據(jù)

ZCAD=ZDAB,結(jié)合三角形的外角性質(zhì)，計(jì)算即可.

(3)連接OD,證明出是等邊三角形，求出。尸=FE=go/)=Gcm,根據(jù)S陰影=S扇形。。后一^^/，

計(jì)算即可.

【詳解】(1)，/DM=DE,

?**DM=DE，

/CAD=ZDAB.

(2)???四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，

???/CMD=ZFED,

VZC=90°,DF工AB,

：./CDM=ZFDE,

1為。。的直徑，

???ZADE=90°,

NDAE=ZFDE=90°-NAED；

ACAD=ZDAB,

：.NDAE=ZFDE=ACAD=ZCDM；

???QM平分/4DC,

???ZADM=ZCDM；

???NDAE=ZFDE=/CAD=ZCDM=/ADM；

：.ACAD+ZCDM+ZADM=9。；

???3ZCAD=90°

解得/C40=3O。.

(3)VAD=BD=6cmfDFLAB,

：./BAD=ZB,

連接8,

OA=OD,

：./ADO=ZDAB,

*.?ACAD=ZDAB,

：./ADO=/CAD,

：.OD//AC,

ZC=90°,

???ZODB=90°,

：./B+/DOB=9G。,

???/DOB=ABAD+/ADO="B,

???3N5=90。，

解得/B=30。，

：.ZBOD=60°fZODF=30°,

?OD=OE,

：.△ODE是等邊三角形，

ZODE=ZOED=60°,

：.ZODF=NFDE=ZEDB=3。,

DF=—BD=3cm,

2

：.OD=DF=2V3cm

sin60°

??.OF=FE=-OD=43cm

2

2

60x%x

?*S陰影二S扇形OOE_SgOF=---xV3x3

3602

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，三角函數(shù)，扇形面積公式.解題的關(guān)鍵是掌握以

上知識(shí)點(diǎn).

易錯(cuò)點(diǎn)4：圓心角

例：如圖，/BCD是。。的弦，延長(zhǎng)/BCD相交于點(diǎn)￡,已知NE=30。，ZAOC=100°,則防的度數(shù)

C

A.70°B.50°C.40°D.30°

【答案】C

【分析】本題考查了等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，圓心角等知識(shí).明確角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

如圖，連接。8、OD、AC,由三角形內(nèi)角和求NCMC+NOC4=180。-//。。，

NEAO+NECO=180P-/E-(ZOAC+ZOCA),

ZAOB+ZCOD=180P-(AOAB+AOBA>18(P-“CD+NODC),根據(jù)

ZBOD=360°-ZAOC-(ZAOB+ZCOD),計(jì)算求解即可.

【詳解】解：如圖，連接05、OD、AC,

ZOAC+ZOCA=18CP-ZAOC=8CP,

AEAO+AECO=180P-Z51-(ZOAC+ZOCA)=70P,

NOAB+AOBA+ZOCD+ZODC=2x70°=140°,

ZAOB+ZCOD=180°-(ZOAB+ZOB^+180°-(ZOCD+ZOD^=220,

:.NBOD=36。°-ZAOC-(ZAOB+NCOj=40c,

；?防的度數(shù)為40。,

故選：C.

變式1：已知/4PE,有一量角器如圖擺放，中心。在P/邊上，6M為0?？潭染€，。8為180?？潭染€，角

的另一邊尸E與量角器半圓交于C,。兩點(diǎn)，點(diǎn)C,。對(duì)應(yīng)的刻度分別為160。，68°,則=

【分析】利用點(diǎn)C,。對(duì)應(yīng)的刻度分別為160。，68°,求出/C。。，ZCOP,再根據(jù)OC=OD求出NOC。,

利用外角的性質(zhì)得到NOCD=ZCOP+ZAPE,從而得解.

【詳解】解：如圖，連接OD,OC,

：.ZCOD=ZAOC-ZAOD=92°,ZCOP=180°-4OC=20°,

'：OC=OD,

ZOCD=ZODC=gx(180?！狽COD)=1x(180°-92°)=44°,

ZOCD=ZCOP+ZAPE,

???ZAPE=ZOCD-ZCOP=24°,

故答案為：24.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊對(duì)等角，三角形外角的定義與性質(zhì)，圓心角等知識(shí)，根據(jù)刻度找出相應(yīng)的圓心角并

計(jì)算其他角度是解題的關(guān)鍵.

變式2：如圖，已知N3是O。的直徑，點(diǎn)。是半圓中點(diǎn)，點(diǎn)C是劣弧曲上的一點(diǎn).

TT

(1)在圖①中，/n4c=15。，劣弧3c長(zhǎng)為求AB的長(zhǎng)；

(2)在圖②中，點(diǎn)C是訪中點(diǎn)，與/C交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在弦/C上，^.AF=DF,若QC=2,求ZC的

長(zhǎng).

【答案】⑴AB=2；(2)AC=2+2母

【分析】(1)連接0。、OC,如圖，利用點(diǎn)。是半圓中點(diǎn)得到90。，再利用圓周角定理得到

ZDOC=30°,則NBOC=60。，然后利用弧長(zhǎng)公式可計(jì)算出08,從而得到A8的長(zhǎng)；

(2)利用圓周角定理得到=90。，再判斷為等腰直角三角形，則NB4D=NDA4=45。，接著

判斷△/mC為等腰直角三角形，所以。尸=DC=2,利用勾股定理求出C〃=2夜，然后計(jì)算/尸+尸C即可.

【詳解】解：(1)連接。D、OC,如圖，

:點(diǎn)。是半圓中點(diǎn)，

ZBOD=90°,

:NDOC=2NDAC=2x15。=30。，

Z50C=60°,

TT

??,劣弧5C長(zhǎng)為

.60x"xOB_n

一180—

解得03=1,

??.AB=2OB=2：

(2)???/B為直徑，

???ZADB=90°,

???點(diǎn)。是半圓中點(diǎn)，

???AD=BD,

???為等腰直角三角形，

ABAD=/DBA=45°,

二?點(diǎn)。是五B中點(diǎn)，

.?.ADAC=ABAC=-x45°=225,

2

FA=FD,

：.ZFDA=NFAD=22.5°,

：.ZDFC=ZFDA+ZFAD=45°,

丁ZACD=/ABD=45。,

???△加C為等腰直角三角形，

：.DF=DC=2,

根據(jù)勾股定理CF=NDF?+DC?=y/2CD=272，

?**AC=AF+FC=2+142-

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，弧長(zhǎng)公式，等腰三角形，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理應(yīng)用，掌

握?qǐng)A周角定理，弧長(zhǎng)公式，等腰三角形，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)5：圓周角

例:如圖，已知是。。的直徑，點(diǎn)C、D分別在兩個(gè)半圓上，若過點(diǎn)C的切線與48的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)￡,

則/。與NE的數(shù)量關(guān)系是（）

c

VXOBE

D

A.ZD+ZE=90°B.ZD+2Z￡=180°

C.2ND-NE=90。D.2ZD+ZE=180°

【答案】C

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

連接BC,OC,AC,根據(jù)圓周角定理得到N/CB=90。，得至ljZD=9()O-N3NC=，根據(jù)切

2

線的性質(zhì)得到/OCE=90。，求得/<:0￡=90。-/￡,于是得到結(jié)論.

【詳解】解：連接8C,OC,AC,

是。。的直徑，AZACB=90°,

NABC=ZD=90°-ZBAC,

'：OA=OC,NCOE=ZBAC+ZACO,

：.ABAC=NACO=-ZCOE,

2

ZD=90°-ABAC=90°--ZCO￡,

2

?.,?！晔?。。的切線，；./0?！?90。，

/COE=90°-ZE,：.ZD=90°-1/COE=90。一；(90。-NE),

2/D—/E=9Q。.

故選：C.

變式1：如圖，“3C內(nèi)接于OO,ZABC=70°,過點(diǎn)A的切線與CO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。，則40=

5

，D

C

【答案】50。/50度

【分析】

本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，連接CM,根據(jù)圓周角定理得到

4400=2/3=140。，根據(jù)切線的性質(zhì)得到/。4。=90。，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論，正確地作

出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】

ZAOC=2ZB=14CP,

?.?N。是O。的切線，ZOAD=90°,

ND=ZAOC-ZOAD=140°-90°=50°,

故答案為:50°.

變式2：如圖，“3C內(nèi)接于O。，AB=AC,。是北上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE交BD于點(diǎn)、E.

(1)求證：DC=DE；

（2）若/8=10,BC=4小,BE=6.

①求4D的長(zhǎng)；

②CD的長(zhǎng)為.

【答案】（1）證明見解析

⑵①3石；②5

【分析】

（1）利用平行線的性質(zhì)可得N4D8=NDEC,再利用同弧所對(duì)的圓周角相等可得=從而可

得乙4cB=NDEC,然后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得NA4C=/ADC,再利用三角形內(nèi)角和定理可得

ZABC=ZDCE,最后利用等腰三角形的性質(zhì)可得ZABC=ZACB,從而可得

ZDCE=NDEC=NACB=ZABC,再利用等角對(duì)等邊即可解答；

（2）①證明ABCESA/CO,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解.

②過點(diǎn)A作Z尸工8C,垂足為尸，過點(diǎn)A作/G,3。，垂足為G,根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得

CF=-BC=2y[5,再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得〃CF=NADG,從而可得cos443=cos/ADG,

2

進(jìn)而可得竺=變，然后求出DG的長(zhǎng)，從而在放“DG中，利用勾股定理求出/G的長(zhǎng)，再在Rta/BG中，

ACAD

利用勾股定理求出BG的長(zhǎng)，從而求出5。的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】（1）

證明：vAD//CE,

ZADB=/DEC,

???ZADB=ZACB,

/.ZACB=/DEC,

NBAC=/BDC,ZBAC+ZABC+ZACB=180°,ZBDC+ZDEC+ZDCE=180°,

/.ZABC=/DCE,

???AB=AC,

/.ZABC=ZACB,

ZDCE=ZDEC=ZACB=ZABC,

???/DCE=/DEC,

;.DE=DC；

(2)

解：??/ZACB=ZDCE,

/.ZACB-ZACE=ZDCE-ZACE,

/.NBCE=NACD,

???ZDBC=ADAC,

..△BCEs小ACD,

BC_BE

,?就一茄’

vAB=AC=10,

.46__6

一!^"-IF'

:.AD=3下，

的長(zhǎng)為3VL

②過點(diǎn)A作/尸」3C,垂足為尸，過點(diǎn)A作/G,5。，垂足為G,

A

:.CF=-BC=245f

2

CF

在VA^ACF中，cos/lACF=----,

AC

在Rt^ADG中，cos//Z)G=-----,

AD

???ZACF=ZADG,

/.cosZACF=cosZADG,

.CFDG

,就一IK'

.275_DG

「記一亞’

/.DG=3,

AG=yjAD2-DG2=-32=6，

在RtZ\/3G中，AB=10,

BG=dAB?-AG?=V102-62=8，

:.BD=BG+DG=S+3=11,

CD=DE=BD-BE=11-6=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形外接圓與外心，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題目的已知

條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)6：點(diǎn)與圓位置關(guān)系

例：如圖，在Rt448C中，N8=90°,^5=4,8C=7,點(diǎn)。在邊3c上，且8。=3,連接/D.以點(diǎn)。為

圓心，以r為半徑畫圓，若點(diǎn)/,B,C中只有1個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，則r的值可能為（）

A

【答案】B

【分析】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)到圓心距離為d,半徑為r,當(dāng)d>r時(shí),

點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=7?時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi).先根據(jù)勾股定理求出AD7AB。+BD°=5，再

得出CD=BC-BD=4,根據(jù)點(diǎn)4,B,C中只有1個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，推出3<r《4,即可解答.

【詳解】解：,:NB=90o,AB=4,BD=3,BC=7,

AD=ylAB2+BD2=5>CD=BC-BD=7-3=4,

?.?點(diǎn)/,B,C中只有1個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，BD<CD<AD,

...在圓內(nèi)的點(diǎn)為點(diǎn)B,

3<r<4,

故選：B.

變式1:在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，我們定義點(diǎn)/（xj）的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為B（x+y,x7）.如果已知點(diǎn)A在直線

>=x+3上，點(diǎn)3在O。的內(nèi)部，。。的半徑長(zhǎng)為3萬(wàn)（如圖所示），那么點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x的取值范圍

是.

【答案】-3<x<0

【分析】根據(jù)點(diǎn)A在直線尸x+3上，可求得點(diǎn)/（尤））的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為3（2x+3,-3）,根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

可得08<3啦，根據(jù)勾股定理即可得答案.

【詳解】解：：點(diǎn)/在直線V=x+3上，

4（x,x+3）,

x+y=x+x+3=2x+3,x-y=x-（x+3）=-3,

/.點(diǎn)/（x,田的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為8（2x+3,-3）,

當(dāng)03=3收時(shí)，（2X+3）2+（-3）2=（3^）2,此時(shí)點(diǎn)8在。。上，

整理得x（尤+3）=0,

解得：西=一3戶2=0,

?.?點(diǎn)3在。。的內(nèi)部，0B，

??—3<x<0,

故答案為：-3<x<0.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及解一元二次方程，點(diǎn)在圓內(nèi)，“<r；點(diǎn)在圓上，d=r,

點(diǎn)在圓外，d>r,正確得出點(diǎn)8坐標(biāo)，熟練掌握點(diǎn)與圓點(diǎn)位置關(guān)系是解題關(guān)鍵.

變式2：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。為原點(diǎn)，對(duì)于兩個(gè)圖形x,y和直線>=相，若在圖形x上存在點(diǎn)/,

在圖形y上存在點(diǎn)3,使得點(diǎn)/和點(diǎn)8關(guān)于直線>=機(jī)對(duì)稱，就稱圖形X和Y互為加關(guān)聯(lián)圖形.

⑴已知點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,3）,

①點(diǎn)P與點(diǎn)0互為-1關(guān)聯(lián)圖形，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為二

②若。。的半徑為1,點(diǎn)尸與。?；樗P(guān)聯(lián)圖形，則他的值為」

⑵已知點(diǎn)/（3,4）,射線04與線段/：y=-2（T4x42）互為/關(guān)聯(lián)圖形，求f的取值范圍.

（3）已知O。的半徑為2,直線y=gx-l與x軸，y軸分別交于C,D,若。。關(guān)于了=加對(duì)稱的圖形S與點(diǎn)

C互為2機(jī)關(guān)聯(lián)圖形，直接寫出機(jī)的值及點(diǎn)。與圖形S的位置關(guān)系.

【答案】⑴①（0,-5）；②1或2；

（2）-1<f<|；

111

（3）m=±-,m=-,。在S上，m=一一，。在S內(nèi)部.

222

【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，與圓有關(guān)的位置關(guān)系等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是理解題意，求對(duì)稱點(diǎn).

（1）①求出點(diǎn)P關(guān)于夕=-1的對(duì)稱點(diǎn)即可；②求點(diǎn)P和（0/）以及點(diǎn)P和（0,-1）對(duì)稱得加的值；

（2）求出。（0,0）和點(diǎn)（0,-2）對(duì)稱時(shí)的，的值，以及（0,-2）和，,|）對(duì)稱時(shí),的值，從而確定范圍；

（3）圓心。關(guān)于》=加的對(duì)稱點(diǎn)是/（0,2間，設(shè)圖形S上的點(diǎn)/與C點(diǎn)關(guān)于y=對(duì)稱，設(shè)J（x,y）,由〃=2

得/+（了-2加）2=4,將J（百,4〃，代入得（6了+（4機(jī)一2%『=4,求出機(jī)的值，進(jìn)而求出。個(gè)圖形S的位

置關(guān)系.

【詳解】（1）解：①如圖1,

圖1

V2x(-l)-3=-5,A0(0,-5),

②如圖2,

P-

二二行二：》

-Yx

圖2

..1+3-1+3,

22

「?次=2或1.

圖3

題意得，?；/（3,4）,

4

???直線04的解析式是：＞=

Q

???當(dāng)X=2時(shí)，^=-,

：+(-2)=1,

?3―

2

23

-1W￡W—.

3

（3）解：如圖4,

圖4

圓心。關(guān)于N的對(duì)稱點(diǎn)是/（02"）,設(shè)圖形S上的點(diǎn)J與。點(diǎn)關(guān)于＞=2m對(duì)稱,

設(shè)由"=2得,

x2+()-2加)2—4,

由/x—l=O得，

x=V3，

???。(百,0),

</(百,4加),

「?(百)+(4m-2m)2=4,

m=±—,

2

當(dāng)加=；時(shí)，/(O.l),

V￡>(O,-l),

DI=2,

???。在S上，

當(dāng)"?=一!時(shí)，/(0,-1),

￡>7=0,

二。在S內(nèi)部.

易錯(cuò)點(diǎn)7：直線與圓位置關(guān)系

例：在一中，ZC=90°,ZA=60°,BC=4.若0c與相離，則半徑為廠滿足()

【答案】C

【分析】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理和含30度直角三角形的性質(zhì)，

根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得到ZC和的長(zhǎng)度，再根據(jù)OC與N8相離可知半徑小于點(diǎn)C

到的距離，即可進(jìn)行求解.

【詳解】解：VZC=90°,NZ=60。,BC=4,

\ZB=30°

\AB=2AC,

??AC2+BC2=AB2

'.AC2+42=4AC2,解得：NC=#,

設(shè)點(diǎn)C到的距離為人則

22

—x—y/3■/i--x4x—y/3,

2323

h=2,

?若OC與42相離，

0<r<2

故選：C.

變式1:如圖，直線48、相交于點(diǎn)O,ZAOD=30°,半徑為2cm的。尸的圓心在直線48上，且位于

點(diǎn)。左側(cè)的距離6cm處.如果。尸以lcm/s的速度沿由/向8的方向移動(dòng)，那么秒鐘后G)P

與直線CO相切.

D

【答案】2或10

【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系和含30。角的直角三角形的性質(zhì)，由圓的相切解得路程，根據(jù)題意

與。P相切時(shí)，RE=2,當(dāng)。尸在直線CO左側(cè)時(shí)如圖，由//。。=30。，求得K。，則有4尸即可求得

時(shí)間；當(dāng)。P在直線CD右側(cè)時(shí)，同理求得尸々即可求得時(shí)間.

【詳解】解：當(dāng)。尸在直線左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)6作交。于點(diǎn)￡,如圖,

'C

z\pyB

D

：.RE=2,

*：ZAOD=30°,

：.耳。=4,

PPi=OP-OPX=6-4=2cm,

一一2

則。尸向右移動(dòng)了2cm,所用時(shí)間1=2秒;

當(dāng)。尸在直線CQ右側(cè)時(shí)，如圖，

C

D

過點(diǎn)4作々尸，交于點(diǎn)R則^^=2,

*.*/COB=AAOD=30P

.?.《。=4,

PPi=OP+OPX=6+4=1Qcm,

則。尸向右移動(dòng)了10cm,所用時(shí)間丁=10秒.

故答案為：2或10.

變式2：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)尸（演,九）到直線及+與+。=0（1+82片0）的距離公式為:

d=由+叫：I,例如，求點(diǎn)打1,3）到直線4x+3y-3=0的距離.解：由直線4x+3y-3=0知：A=4,

J/2+臺(tái)2

|4xl+3x3-3|

B=3,C=—3所以尸(1,3)至lj直線4x+3y-3=0的距離為:d==2根據(jù)以上材料，解決下列

A/42+32

問題:

3

(2)己知：0c是以點(diǎn)C(2,l)為圓心，1為半徑的圓，0c與直線＞=-^^+方相切，求實(shí)數(shù)6的值；

(3)如圖，設(shè)點(diǎn)尸為問題2中OC上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)A,B為直線3x+4y+5=0上的兩點(diǎn)，且48=2,請(qǐng)求

出尸面積的最大值和最小值.

【答案】(1)2(;

(2)6=3或6="；

一44

(3)面積最大為4,最小為2

【分析】(1)直接利用距離公式代入計(jì)算即可得到答案；

3

(2)把直線y=-^x+6整理，得3尤+4了-46=0,利用公式列方程求解即可；

4

(3)先求圓心C(2,l)到直線的距離，判斷出P到的最大距離與最短距離可得答案.

【詳解】⑴解:3x4y5=0,

其中/=3,B=4,C=5,

2

???距離為

3

(2)直線＞+6整理，得3x+4y-46=0,

4

故。=3,6=4,c=-4b.

OC與直線相切,

???點(diǎn)。到直線的距離等于半徑,

13x2+4x1-4611

即Er

整理得|10-鋤=5,

解得V或6*

44

(3)如解圖，過點(diǎn)C作CD,48于點(diǎn)。.

?.?在3x+4.v+5=0中，

a=3,b=4,c=5,

…13x2+4x1+51、

圓心C(2,l)到直線AB的距離CD=J~「=3,

V32+42

OC上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為3+1=4,

最小距離為3-1=2,

S^BP的最大值為:*2x4=4,

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合題，點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理

解題意，學(xué)會(huì)把直線的解析式轉(zhuǎn)化為/x+2y+C=0的形式，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問題，掌握?qǐng)A上的點(diǎn)到直線的

距離的最大值以及最小值.

易錯(cuò)點(diǎn)8：三角形的外接圓

例：如圖，已知E是“8C的外心，尸、。分別是/8、AC的中點(diǎn)，連接￡尸、EQ交BC于點(diǎn)F、D,若BF=5,

DF=3,CD=4,則AABC的面積為（）

A

Q

BF\/DC

E

A.18B.24C.30D.36

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的外接圓和外心，三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫

做三角形的外心，考查了直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理，三角形的面積，連接即，AD,由題意

得出/尸=8尸，AD=DC,可證得D/D尸=90。，根據(jù)三角形的面積公式可得出答案，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的

應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】連接"，AD,如圖，

是的外心，P、。分別是48、NC的中點(diǎn),

EPVAB,EQ1AC,

：.AF=BF,AD=DC,

'：BF=5,CD=4,

AF=5,AD=4,

'：DF=3,

DF2+AD1AF2<

.?.△40尸是直角三角形，QADF=90°,

BC=BF+DF+DC=5+3+4^12,

??.SHBC=；BC/O=；X12X4=24，

故選：B.

變式1:如圖，8。是AABC的外角/48E的平分線，“3C外接圓的圓心。為NB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)。3,NC交

于點(diǎn)足若NA4C=30。，BF=6,則的周長(zhǎng)為

【答案】9+3VJ/3百+9

【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì),

熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)角平分線的定義得到/防。=445。，根據(jù)圓周角定理得到4cs=90。，求得/BW=90。，根據(jù)三角

形的內(nèi)角和定理得到=60。，得到/斤=4=30。，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到"5=5尸=6,根

據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BC=-AB=3,AC=GAB=36,于是得到結(jié)論.

22

【詳解】解：???瓦）是"的外角的平分線，

???ZEBD=ZABD,

小5。外接圓的圓心。為45的中點(diǎn)，

???/5是。。的直徑，

乙4c3=90。，

???ZBCF=90°,

ZBAC=30°f

???ZABC=60°,

ZABE=nO0,

：.ZABD=ZDBE=60°,

ZCBF=ZDBE=60°,

：.ZF=ZA=30°9

：.AB=BF=6f

???BC=-AB=3,AC=-AB=36,

22

”5。的周長(zhǎng)=/B+BC+ZC=6+3+3G=9+3百，

故答案為：9+36.

變式2：如圖，已知三角形"BC中，AB=AC,。是AABC的外接圓劣弧/C上的點(diǎn)（不與點(diǎn)/,。重合）,

延長(zhǎng)8。至E.

（1）求證：4D的延長(zhǎng)線平分NCAE

（2）若N8/C=30。，AABC中8c邊上的高為2+6，求外接圓的面積

【答案】（1）見解析

⑵4%

【分析】（1）要證明4D的延長(zhǎng)線平分NCDE,即證明/瓦牙=/。尸，轉(zhuǎn)化為證明/AD3=/CD尸，再根

據(jù)N,B,C,。四點(diǎn)共圓的性質(zhì)和等腰三角形角之間的性質(zhì)，即可得到.

（2）求“3C外接圓的面積.只需解出圓半徑，故作等腰三角形底邊上的垂直平分線即過圓心，再連接OC,

根據(jù)角之間的關(guān)系在三角形內(nèi)即可求得圓半徑，可得到外接圓的面積，

【詳解】（1）證明：

'：A,B,C,。四點(diǎn)共圓,

ZABC+ZADC=1SO0,

/CDb+NZDC=180°,

ZCDF=ZABC,

'：AB=AC,

：./ABC=ZACB,

ZADB=ZACB,

：.ZADB=NCDF,

NADB=ZEDF，

：.ZEDF=ZCDFf

即的延長(zhǎng)線平分NCOE；

(2)解：設(shè)。為外接圓圓心，連接/O并延長(zhǎng)交5C于4，交。。于點(diǎn)〃，連接OC,

A

???AB=AC,

:?么B=%C，

：.AH上BC,

：.NOAC=/OAB=-ABAC=-x30°=15°,

22

???ZCOH=2ZOAC=30°,

設(shè)圓半徑為r,

回

AO//=OCcos30°=—r,

2

???力5C中BC邊上的高為2+百，

:.AH=OA+OH=r+——=2+6,

2

解得：丫=2.

...03c的外接圓的面積為4萬(wàn).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外接圓的性

質(zhì)，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

易錯(cuò)點(diǎn)9：三角形的內(nèi)切圓

例：如圖，已知“3C中，ZC=70°,48=10,內(nèi)切圓。。半徑為3,則圖中陰影部分面積和是()

B

【答案】A

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，扇形面積的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)切圓與

內(nèi)心；根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得圖中陰影部分面積和是"03的面積與扇形T。。的面積的差，進(jìn)而即可求解

【詳解】解:

?.?OO是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為G,D,R,

，圖中陰影部分面積和是2的面積一扇形7。。的面積,

；04、08分別是NCA4的角平分線，

ZOAB=-ZCAB,NOBA=-ZCBA,

22

ZACB=70°,

ZCAB+ZCBA=180o-70°=110°,

ZOAB+AOBA=-ZCAB+-ZCBA=55°,

22

ZAOB=ISO~(ZOAB+ZOBA)=125°,

112525

陰影=S"OB—S扇形roe=5乂1°、3-而X萬(wàn)x3°=15一~《兀>

故選：A.

變式1：如圖，的內(nèi)切圓。。與8c分別相切于D,￡兩點(diǎn)，連接?！?/O的延長(zhǎng)線交?！暧?/p>

點(diǎn)R若NACB=7Q°,貝的大小是.

c

【答案】35。/35度

【分析】如圖所示，連接?！?OD,OB,設(shè)。8、DE交于H,由內(nèi)切圓的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出

ZAOB=125°,再由切線長(zhǎng)定理得到5。=BE,進(jìn)而推出08是。E的垂直平分線，即NORF=90。，貝|

ZAFD=ZAOH-ZOHF=35°.

【詳解】解：如圖所示，連接OE,OD,0B,設(shè)03、DE交于H,

'：O。是的內(nèi)切圓，

.?.04分別是NC48、/CA4的角平分線,

：.ZOAB=-ZCAB,ZOBA=-ZCBA,

22

ZACB=70°,

：.ZCAB+ZCBA=180°-ZACB=110°,

ZOAB+ZOBA=-ZCBA+-ZCAB=5