軸對稱中的最值模型問題（將軍飲馬）重難點題型專訓(xùn)（解析版）-初中數(shù)學(xué)

軸對稱中的最值模型問題（將軍飲馬等）重難點題型專訓(xùn)

值題型目錄

題型一將軍伏馬殛段和最值

題型二將軍飲馬之線段差量值

題型三將軍飲馬之兩定一動?值

題型四三點共線最大值

題型五雙對稱關(guān)系求周長最小值

題型六兩定兩動型最值

題型七兩動一定最值

題型八費(fèi)馬點最值問題

緊知識梳理

將軍飲馬中最短路徑問題四大模型

一兩定點在直線的異側(cè)

問題1作法圖形原理

'A

.4

L連接AB,與直線，的--------------1------------/兩點之間，線段最短，此

B

交點P即為所求。時P4+PB的和最小。

在直線1上找一點R使得PAB

+PB的和最小。

二兩定點在直線的同側(cè)

問題2：將軍飲馬作法圖形原理

4.

?B化折為直；

-----------------------------/作B關(guān)于直線/的對稱點1

XB兩點之間，線段最短，止匕

。，連A。,與直線/的交

在直線Z上找一點P,使?-/時Q4+PB的和AC最

點P即為所求。(

得小。

PA+PB的和最小。

三兩動點一定點問題

問題3：兩個動點作法圖形原理

作P關(guān)于。力的對稱點兩點之間，線段最短，

P1,作P關(guān)于OB的對稱止匕時PC+PO+CD

4

/

/

-------------?

點P2,連接P1P2。的和最小。

點P在銳角乙4OB的內(nèi)部，

在OA邊上找一點C,在OBoD'M

邊上找一點。,，使得*p2

PC+PD+CD的和最小。

四造橋選址問題

問題4：造橋選址作法圖形原理

A

Mm

A

將點A鄉(xiāng)向下平移

nXMm兩點之間，線段最短，止匕

NMN的長度得4,連

B時4M+MN+BN的最

交加于點N,過N

口小值為4B+上W。

直線ntHn,在m,n上分別作7W_L小于河。NX

求點Af、N,使MN_Lm,B

MN_L幾，且AM+MN+

BN的和最小。

注意:本專題部分題目涉及勾股定理，各位同學(xué)可以學(xué)習(xí)完第3章后再完成該專題訓(xùn)練.

勾股定理公式：&2+/=02

篋經(jīng)典例題

A【經(jīng)典例題一將軍飲馬江段和最值】

1.如圖，在△ABC中，AB=AC,分別以點4B為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧,兩弧分別交于E、尸，畫直

線即，。為的中點，河為直線EF上任意一點，若BC=5,△4BC的面積為15,則BM+MD的最小

長度為（）

_____________眇

C.7D.8

【答案】B

【分析】本題考查作圖一基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形的面積，三線合一定理，兩點之間線段最

短等知識，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線的性質(zhì).如圖，連接AM,AD.利用三角形的面積公式求出AD,再

根據(jù)兩點之間線段最短，線段的垂直平分線的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解:如圖，連接AM,AD.

■：AB=AC,D為BC的中點、,

：.AD±BC,

SAABC=豆-BC'AD=15,BC=5,

5

由作圖可知:EF垂直平分線段AB,

：.MA=MB,

：.MB+MD^AM+MD>AD^6,

.?.BM+DM'的最小值為6,

故選:B.

區(qū)變式訓(xùn)練

2.如圖，在①△ABC中，乙4cB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,4D平分/R4C,若P、Q分別是AD

和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（）

A.1.2B.2.4C.4.8D.9.6

【答案】。

【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、垂線段最短等知識，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.作點Q關(guān)于AD

的對稱點E,連接CE,PE,則PE=PQ,從而可得PC+PQ=PC+PE,先根據(jù)兩點之間線段最短可得當(dāng)點

C,P,E共線時，PC+PE的值最小，最小值為CE,再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得點E在邊AB上，然后根據(jù)垂線

段最短可得當(dāng)CE，AB時，CE的值最小，最后利用三角形的面積公式求解即可得.

【詳解】解:如圖，作點Q關(guān)于AO的對稱點E,連接CE,PE,

由軸對稱的性質(zhì)得：PE=PQ,

:.PC+PQ=PC+PE,

由兩點之間線段最短可知，

當(dāng)點。,P,E共線時，PC+PE的值最小，最小值為CE,

?/人。平分/R4C,

.,.點E在邊AB上，

由垂線段最短可知，當(dāng)CEJ_AB時，CE的值最小，

則此時SAABC=yAB-CE=yAC?反7,即yx10CS=yx6x8,

解得CE=4.8,

即PC+PQ的最小值是4.8,

故選：C.

3.如圖，在△4BC中，4B=AC=10,8C=12,AD=8,4D是NA4c的角平分線，若E,9分別是40

和AC上的動點，則EC+EF的最小值是.

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱一最短路線問題,三角形的面積，垂線段最短，作F關(guān)于

AD的對稱點P,由對稱性可知，點?在上，當(dāng)CF」4B時，EC+EF的最小值為CP,再利用面積法

求出C歹的長即可，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:作F關(guān)于40的對稱點F',

?.?AD是/R4C的平分線，

.?.點F在AB上，

：.EF=EF',

/.當(dāng)CP，48時，EC+EF的最小值為CP,

■：AB=AC,4D是/A4C的平分線，

：.AD_LBC,

?.SAABC=yBCXA。=j-ABXCF',

12X8=1OxC嚴(yán)，

：.CF'=^,

5

.?.EC+EF的最小值為季，

5

故答案為：學(xué).

5

4.唐朝著名詩人李頑的代表作品《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含

著一個有趣的數(shù)學(xué)問題.如圖1,詩中將士在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河邊飲馬后再到

B點宿營.請問在何處飲馬才能使總路程最短？我們可以用軸對稱的方法解決這個問題.

圖1圖2圖3

（1）如圖2,作點B關(guān)于直線I的對稱點B',連接AB'與直線，交于點。，點。就是所求的位置.

理由：如圖3,在直線Z上另取不同于點。的任一點O,連接40,，B'C,

因為點B、口，關(guān)于直線Z對稱，點C、。在直線，上，

所以CB=,C'B=,

所以AC+CB=AC+C?，=,

在AAC舊中，依據(jù),

可得ABYAO+CB,

所以AC+CBcAO+OB,

即AC+CB最小.

（2）遷移應(yīng)用：如圖4,/\ABC是等邊三角形，N是AB的中點，4D是8。邊上的中線，40=6,河是

AD上的一個動點，連接BM、MN,則BM+的最小值是.

圖4

【答案】（1）見解析

（2）6

【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到CB=CB',C'B=,然后利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊求解

即可；

⑵連接同根據(jù)題意得到當(dāng)點N,M,。三點共線時，BM+MN有最小值，即M7的長度，然后根等邊

三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：理由：如圖3,在直線/上另取不同于點。的任一點。，連接A。，,B'C,

因為點B、身關(guān)于直線，對稱，點。、。在直線％上，

所以CB=CB',C'BC'B',

所以AC+CB=AC+CB'^AB',

在中，依據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊

可得ABYAO+Cm,

所以AC+CBVAC'+C'B',

即AC+CB最小.

故答案為：CB',C'B',AB',三角形的任意兩邊之和大于第三邊；

⑵解:如圖所示，連接MC,NC,

?：A4BC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，

AD垂直平分

:.BM=CM,

：.BM+MN^CM+MN>NC,

：.當(dāng)點、N,M,。三點共線時，BW+AflV有最小值，即NC的長度,

-.?AD=6,N是AB的中點,△ABC是等邊三角形，

：.NC=AD=6,

.?.BAl+AflV的最小值為6.

【點睛】本題主要考查的是軸對稱圖形的性質(zhì)以及兩點之間線段最短,三角形三邊關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)等

知識，正確掌握兩點之間，線段最短是解題的關(guān)鍵.

A【經(jīng)典例題二將軍伏馬之線段差最值】

5.如圖，在△ABC中，AB=CB,ZB=100°.延長線段8C至點。，使CD=BC,過點。作射線DP〃

AB,點E為射線OP上的動點，分別過點4,。作直線EC的垂線⑷W,DN.當(dāng)[4W-0N|的值最大

時，NACE的度數(shù)為.

【答案】130°/130度

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì).如圖，過點B作BH

直線Z于點77.證明。N=BH,推出AM與重合時，|⑷W-DN|的值最大，此時因初一DN|=AB,畫出

相應(yīng)的圖形，根據(jù)條件，利用三角形的內(nèi)角和、鄰補(bǔ)角的意義，求出結(jié)果.

【詳解】解:如圖，過點B作直線Z于點H.

DN±直線Z,BH±直線I,

：.4DNC=4BHC,

?：4DCN=ABCH,BC=CD,

△CDN竺/\CBH(ASA),

:.BH=DN,

：.\AM-DN\=\AM-BH\,

AM與AB重合時，的值最大，

/.當(dāng)DN與DP重合,4M與AB重合時，|4W-DN|=\AM-BH\的值最

大，此時|4W-ON|=AB,

VZABC=100°,

/.4cBM=180°-100°=80°,

?：AM±CE,

：./AMC=90°,

/3。"=90。-80。=]0。，

___________F

又；AB=BC,

：.NACB=(180°-100°)+2=40°,

AZACE=180°-AACB-ZBCM=180°-40°-10°=130°,

故答案為：130°.

區(qū)變式訓(xùn)練

6.如圖，48〃。。，E為0P上一動點，4B=CB=CD,過人作4VLEC交直線EC于N,過。作。河

±EC交直線EC于點、M,若ZB=114°,當(dāng)AN-DM■的值最大時,則ZACE=

【答案】123°

【分析】當(dāng)DM與DP重合，AN與AB重合時，|4V—DM\的值最大，此時|4V—=AB,畫出相應(yīng)的圖

形，根據(jù)條件，利用三角形的內(nèi)角和、鄰補(bǔ)角的意義，求出結(jié)果.

【詳解】解：當(dāng)DM與DP重合，AN與AB重合時，|AN-DA1|的值最大，此時\AN-DM\=AB,

?：/ABC=114°,

ZCDE=180°-114°=66°,

AMCD=90°-66°=24°,

又；AB=BC,

：.ZACB=(180°-114°)4-2=33°,

AACE=180°-AACB-4DCM=180°-33°-24°=123°,

故答案為：123°.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意畫出相應(yīng)

圖形是解決問題的關(guān)鍵.

7.如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點.已知

△ABC的頂點均在格點上.

（1）畫出格點三角形48。關(guān)于直線DE對稱的；

（2）/\AB'C的面積是

（3）在直線上找出點P,使|以-最大，并求出最大值為.（保留作圖痕跡）

【答案】（1）見解析

⑵5

（3）見解析，何

【分析】本題考查作圖—軸對稱變換，線段最短，勾股定理；

（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可.

（2）利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可.

（3）延長AC,交直線DE于點P,則點P即為所求.利用勾股定理求出AC的長，即可得出答案.

【詳解】（1）解:如圖所示,AAB'C即為所求；

（2）八4日（7的面積是（1+3）x4-^-X3xl-^-xlx3=8--|---|-=5

（3）如圖所示，延長AC,交直線DE于點P,

D

E

此時|P4—=47,為最大值，

則點P即為所求.

由勾股定理得，AC=V32+l2=VW,

/.最大值為Vio.

故答案為：，IU.

8.如圖，已知△4BC的三個頂點在格點上.

（1）畫出，使它與△4BC關(guān)于直線MN對稱；

_________0

（2）在直線MN上畫出點。，使ABDM=ACDN.

⑶在直線MN上畫出點P,使|A4—最大.

【答案】（1）見詳解

（2）見詳解

（3）見詳解

【分析】（1）分別作點A、B、。關(guān)于直線MN的對稱點A1、Bi、G；順次連接4、Bi、G所得的三角形即為所

求.

（2）連接BG交直線于點。即可作答；

（3）延長AC交直線AW于點P即可作答；

【詳解】⑴如圖，

證明：根據(jù)對稱性可知/CQN=NCDN,

根據(jù)對頂角相等可得：NCQN=ZBDM,

即有NBDM=4CDN;

點P即為所求.

證明：如圖，當(dāng)點P在丹處時，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可知：|_B4—PC|<AC；

當(dāng)點A、C、P在三點共線時，此時有：_R4—PC=AC；

綜上有：|_B4—PC|<A。，當(dāng)且僅當(dāng)點A、。、P在三點共線時取等號，

即點P滿足要求.

【點睛】本題考查了作軸對稱圖形，軸對稱的性質(zhì)，對頂角相等，三角形三邊的關(guān)系等知識，掌握軸對稱圖形的

性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵.

&【經(jīng)典例將軍飲馬之兩定一動量值】

9.小王準(zhǔn)備在紅旗街道旁建一個送奶站，向居民區(qū)提供牛奶，要使兩小區(qū)到送奶站的距離之和

最小，則送奶站C的位置應(yīng)該在（）.

居民區(qū)4/

居民區(qū)3

口街道

A.JD.7c

居民區(qū)W

\居民區(qū)8

門街道1

C.

【答案】。

【分析】本題考查軸對稱—最短路線的問題，將折線最短問題轉(zhuǎn)化為兩點之間，線段最短問題.會作對稱點是

解此類問題的基礎(chǔ)，要求學(xué)生能熟練掌握，并熟練應(yīng)用.另外本題的解決還應(yīng)用了三角形的三邊關(guān)系：三角形

的兩邊之和大于第三邊.先作點A關(guān)于街道的對稱點4,再根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，得出A'C'+

BOAB,再進(jìn)行邊的等量代換，即可作答.

【詳解】解:如圖：作點A關(guān)于街道的對稱點4,連接4B交街道所在直線于點C,

：.A!C=AC,

：.AC+BC=A'B,

在街道上任取除點。以外的一點。，連接A'C,BC,AC,

/.AC+BC=A'C+BC,

在4ACB中，兩邊之和大于第三邊，

：.AC'+BC>A'B,

：.AC'+BOAC+BC,

.?.點。到兩小區(qū)送奶站距離之和最小.

故選：C.

區(qū)變式訓(xùn)練

10.（2023春?黑龍江齊齊哈爾?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，一個牧童在小河的南4km的4處牧馬，而他正位

于他的小屋8的西8km北7km處,他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所

走的最短路程是多少？

_______________________________

小河

匕

牧童孫

東

?5小屋

【答案】17km

【分析】如圖（見詳解），將小河看成直線皿N,由題意先作人關(guān)于的對稱點Ar,連接4B,構(gòu)建直角三角形,

則AB就是最短路線；在Rt￡\A'DB中，ZA'DB=90°,BD=8km,A'D=A。+4A,利用勾股定理即可求出

AB.

【詳解】如圖，做出點人關(guān)于小河山W的對稱點4,連接4B交上W于點P,則就是牧童要完成這件事情

所走的最短路程長度.

A'

\PM

M■7：----N

A

?B

由題意知：A'D=4：+4+7=15km,BD=8km,Z￡>=90°,

在Rt^A'DB中，由勾股定理求得4B=^A'C^+BD2=17km,

則他要完成這件事情所走的最短路程是17km.

【點睛】本題考查了軸對稱—最短路線問題，掌握軸對稱的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

11.（2023春?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，正△ABC的邊長為2,過點B的直線1LAB,且△ABC與

/\A'BC關(guān)于直線I對稱，D為線段BC上一動點,則AD+CD的最小值是.

【答案】4

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)得到ZABC==60°,=2,證明

△CBD空^A'BD，得到CD=4。,推出當(dāng)A、。、4三點共線時，AD+CD最小，此時AD+CD=+AB

=4.

【詳解】解:如圖，連接HD,

正/XABC的邊長為2,AABC與/\A'BC關(guān)于直線/對稱，

/.AABC==60°,=AB=B。=2,

/.NCBC'=60°,

fff

???ZCBC=AABCf

?：BD=BD,

???△CBO經(jīng)△48。，

:.CD=KD,

：.AD+CD=A，D+CD,

：.當(dāng)三點共線時，AO+CD最小，此時AD+CD=4B+AB=4,

故答案為：4.

【點睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，最短路徑問題，正確掌握全

等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

12.（2023?江蘇?八年級假期作業(yè)）如圖，在△43C中，48=47,乙BAC=120°,AB邊的垂直平分線。E交

AB于點。，若AE=3,

（1）求的長；

（2）若點P是直線DE上的動點,直接寫出Q4+PC的最小值為.

【答案】⑴9

（2）9

【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可證△ABE為等腰三角形，由角度可證△力CE為30°直角三角形，再由線

段之間的關(guān)系即可求出的長；

（2）根據(jù)將軍飲馬原理即可得出_R4+P。的最小值為的長度.

【詳解】（1）解：?.?AB=AC,120°

ZB=ZC=y（180°-ABAC）=30°

???AB邊的垂直平分線交AB于點D,

:.BE=AE—3,

???ABAE=AB=30°

???/CAE=ABAC-ABAE=120°-30°=90°

在RtACAE中，/C=30°

：.CE=2AE=6

：.BC=BE+CE=3+6=9

（2）解:如圖，

___________F

取點A關(guān)于直線DE的對稱點，即點B;連接B,C兩點，與直線DE交于點P(E),

,/PA=PB

：.PA+PC^PB+PC

根據(jù)兩點之間線段最短

則BC即為B4+PC的最小值，最小值為9

【點睛】本題考查了圖形的軸對稱，相關(guān)知識點有：垂直平分線的性質(zhì)、將軍飲馬等，軸對稱性質(zhì)的充分利用是

解題關(guān)鍵.

A【經(jīng)典例題四三點共線最大值】

13.如圖，在△48。中，48=47,AC的垂直平分線交AC于點N,交48于點N，48=12cm,△BMC的

周長是20cm，若點P在直線MN上，則R4—PB的最大值為.

【答案】8cm

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到=再利用三角形兩邊之差小于第三邊解答即可.

【詳解】解：垂直平分AC,

:.MA=MC,

又'''CABMC=+MC+BC=20cm,BM+MA=AB=12cm,

BC=20-12=8cm,

在A4N上取點P,連接PA、PB、PC,

???TWN垂直平分力C,

：.PA=PC,

：.PA-PB=PC-PB,

在/XPBC中PC-PB<BC,

當(dāng)P、8、C共線時，即P運(yùn)動到與P'重合時，(PC—PB)有最大值，

此時PC—PB=BC=8cm.

故答案為：8cm.

【點睛】本題考查了線段之差的最大值，熟練運(yùn)用三角形邊角關(guān)系與垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

X變式訓(xùn)練

14.如圖，AC,8。在AB的同側(cè)，AC=2,BD=8,AB=10,M為AB的中點，若NCMD=120°,則CD

A.12B.15C.18D.20

【答案】B

【分析】作點A關(guān)于CM的對稱點4,點B關(guān)于DW的對稱點連接C4、MA\MB\A'B\B'D,由對稱的

性質(zhì)得MA=MA,MB=MB，，8D=BD=8,4C=AC=2,再由“有一個角為60°的等腰三角形是等邊三

角形.”可判定△AMB，為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得A'C+A'B'+B'D=AC+AM+BD,由CD

<CA'+A'B'+BD,即可求解.

【詳解】解:如圖，作點A關(guān)于CM■的對稱點H,點B關(guān)于DM的對稱點B,連接CA'、MA'、MB'、A'B'、B'D,

B，D=BD=8,

HC=AC=2,

???M為AB的中點，

：.MA=MB,

：.MA=MB',

?：ACMD=120°,

：.AAMC+ZDMB=6Q°,

：.ACMA'+ADMB'=60°,

AA'MB'=120°-60°=60°,

.?.△4W為等邊三角形，

/.WMA

=]AB=5,

A'C+A'B'+B'D

=AC+AM+BD

=2+5+8=15

?/CD^CA'+A'B'+B'D,

.?.GD的最大值為15,

故選：B.

【點睛】本題考查了對稱在幾何變換中的應(yīng)用，等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短等，根據(jù)題意構(gòu)建

等邊三角形來轉(zhuǎn)移線段是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，△ABC為等腰直角三角形，乙4cB=90°,河在△ABC的內(nèi)部，NACM=4NBCM,P為射線CA1

上一點，當(dāng)|E4—PB\最大時，2cBp的度數(shù)是.

___________F

A

【答案】117*7117度

【分析】作點人關(guān)于直線CM的對稱點H,連接A'B并延長交CM于點P,交AB于點。，則點P就是使

\PA-PB\的值最大的點，|R4—連接4。,根據(jù)題意得出18°,/ACM=72°,再由等角的

余角相等及三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解:如圖，作點A關(guān)于直線CM■的對稱點4,連接并延長交CM于點P,交于點。，則點P就是

使|Q4—的值最大的點，|B4—PH=4B,連接4。，

1.?AABC為等腰直角三角形，

ACAB=/ABC=45°,NACB=90°,

?/AACM=4/BCM

：.ABCM+NACM=54BCM=90°,

/.ABCM=18°,乙4cAi=72°,

1/AC^A'C,

：.A'C^BC,ACAA=ACAA',

1/ACAA'+2ACM=180°-90°=90°,ZPCB+2ACM=90°

/./CA4=ZPCB=18°=ACA'A,

：./ACH=180°-18°-18°=144°,

/.ABCA=144°-90°=54°,

?：A'C^BC,

NCSA=18°；54°=63。，

ZCBP=180°-63°=117°,

故答案為：117°.

【點睛】題目主要考查軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及等角的余角相等，理解題意，作

出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識點是解題關(guān)鍵.

16.如圖,方格圖中每個小正方形的邊長為1,點4B、C、M、N都在格點上.

⑴畫出△4BC關(guān)于直線AW對稱的△4瓦。1.

（2）若以N點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，點B的坐標(biāo)為（0,5）,則△ABC關(guān)于非軸對稱△4502，寫出

點4,G的坐標(biāo).

(3)在直線上找點P使\PB-PA\最大,在圖形上畫出點P的位置,并直接寫出\PB-PA\的最大值.

【答案】(1)見解析

(2)4(—5,—3),C2(—1,—2)

(3)畫圖見解析，3

【分析】(1)先畫出A、B、。對應(yīng)點4、Bi、G的位置，然后順次連接4、Bi、G即可；

(2)根據(jù)點B的坐標(biāo)，建立坐標(biāo)系，然后求出力、。的坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于多軸對稱的點橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為

相反數(shù)進(jìn)行求解即可；

(3)如圖所示，連接AP,BP,ArP,由軸對稱的性質(zhì)得到AP=4P,由三角形三邊的關(guān)系可知，PB—_R4iW

故當(dāng)n、及P三點共線，點P與點Pi重合時，—的值最大，最大為據(jù)此求解即可.

【詳解】⑴解:如圖所示，A41B1G即為所求；

(2)解:如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系,

.?.點4的坐標(biāo)為(一5,3),點。的坐標(biāo)為(-1,2),

,/△ABC與2G關(guān)于a：軸對稱，

.,.點兒的坐標(biāo)為(—5,—3),點。2的坐標(biāo)為(—1,—2);

⑶解:如圖所示,連接AP,BP,A.P,

?：A與4關(guān)于直線MN對稱,

：.AP^AXP,

\PB-PA\^\PB-PA1\,

由三角形三邊的關(guān)系可知，

/.當(dāng)4、B、P三點共線，點P與點Pi重合時，PR—R4i的值最大，最大為A.B,

_R41最大值=3.

__________W

【點睛】本題主要考查了畫軸對稱圖形，坐標(biāo)與圖形變化一一軸對稱，寫出坐標(biāo)系中點的坐標(biāo),三角形三邊關(guān)

系的應(yīng)用等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

【經(jīng)典例題五雙對稱關(guān)系求周長最小值】

17.如圖，在五邊形ABCDE中，NR4E=120°,/B=NE=90°,AB=BC,=在8C、Q叼上分別找

至U一點Af、N,使得△4W的周長最小，則N4W+N4W的度數(shù)為（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】。

【分析】根據(jù)要使△AM四周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，A關(guān)于BC和ED的

對稱點4,4",即可得出+乙4"=/HA4=60°,進(jìn)而得出AAMN+/4W=2（24+乙4"）即可得出答

案.

【詳解】解:作A關(guān)于BC和即的對稱點4,,連接4,,交BC于M,交ED于N,則4,A"即為/\AMN

的周長最小值.作E4延長線

VZBA￡；=120o,H-——X—---------------------二夕

/./A'+/A"=AHAA'=60°,外

?：Z=AMAA',Z=ANAE,

且+/M44=2AMN,/A"+ANAE=AANM,'D

+AMAA'+ANAE+AA"=AAMN+AANM

=2（ZA,+ZA,f）=2x60°=120°,

故選：C.

【點睛】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三能形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)

已知得出M,N的位置是解題關(guān)鍵.

區(qū)變式訓(xùn)練

18.如圖，在四邊形4BCD中，乙4=NC=90°,28=32°,在邊4B,BC上分別找一點E,尸使尸的周

A.110°B.112°C.114°D.116°

【答案】。

【分析】如圖，作點。關(guān)于R4的對稱點P,點。關(guān)于BC的對稱點Q,連接PQ,交4B于交于尸，則

點0,嚴(yán)即為所求，結(jié)合四邊形的內(nèi)角和即可得出答案.

【詳解】解:如圖，作點。關(guān)于BA的對稱點P,點。關(guān)于BC的對稱點Q,連接PQ,交4B于0，交BC于嚴(yán),

則點?，7即為所求.

?.?四邊形ABGD中，乙4=/。=90°,乙8=32°,R

.?.乙40。=180°—32°,飛、、

由軸對稱知，乙4DE，=/P,/CDP=/Q,\'\A

在APDQ中，/P+/Q=180°—/ADC

=180°-(180°-32°)

=32。，

：.AADE'+/LCDF'=/P+/Q=32°,9----------——六4

AE'DF'=AADC-(AADE'+/CDF，)\'：

=180°-32°-32°,*?

O

=116°.

故選：D.

【點睛】本題考查的是軸對稱一最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短線路問題求法以及四邊形的內(nèi)角和定理等

知識，根據(jù)已知得出E,F的位置是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm,BC=9cm,AB的垂直平分線交48于點Af,交AC于點N,在

直線MN上存在一點P,使P、B、。三點構(gòu)成的4PBC的周長最小,則APBC的周長最小值為.

【答案】19cm

【分析】如圖所示，連接AP,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AP=BP,^］當(dāng)A、P、。三點共線時，P4+PC

有最小值，最小值為AC的長，據(jù)此求解即可.

【詳解】解:如圖所示，連接AP,

_____________阻

AB的垂直平分線交AB于點朋r，交AC于點N,點P在直線MN上，

：.AP=BP,

：./XPBC的周長=+PC+3。=B4+PC+BC,

當(dāng)P4+PC最小時，PB+PC最小，即此時APBC的周長最小，

當(dāng)A,P,。三點共線時，24+PC有最小值，最小值為AC的長，

APBC的周長最小值=AC+BC=19cm,

故答案為：19cm.

【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵：線段垂直平分線

上的點到線段兩端的距離相等.

20.在草原上有兩條交叉且筆直的公路OA、OB,在兩條公路之間的點P處有一個草場，如圖，AAOB=

30°,OP=6.5.現(xiàn)在在兩條公路上各有一戶牧民在移動放牧，分別記為M、N,若存在M、N使得

△PMN的周長最小，則△尸周長的最小值是.

【答案】6.5

【分析】本題主要考查了軸對稱——最短路線問題.作出軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱性質(zhì)，等邊三角形的判

定和性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵.

作點P關(guān)于直線的對稱點。，作點P關(guān)于直線08的對稱點D,連接CD,分別交04、OB于河、N,得到

△PMN，其周長的最小值等于CD長，由軸對稱性質(zhì)證明。。=QD=6.5,/COD=60°,得到△COD是等邊

三角形，即得CD=6.5.

【詳解】如圖，作點P關(guān)于直線OA的對稱點。，作點P關(guān)于直線OB的對稱點。，連接CD,分別交OA,OB

于點Af、N,

則CM=PM,DN=PN,

：./\PMN的周長的最小值為PA/+7VW+PN=CM+MN+DN=CD,

'：OC=OP=6.5,OD=OP=6.5,D

OC=OD=6.5,，/飛、

?/AAOC=Z.AOP,ABOD=ZBOP,AAOP+/BOP=/AOB=30°,/

2cOD=NCOP+ADOP=2(ZAOF+/BOP)=60°,

/./XCOD是等邊三角形,

()*I

：.CD=OC=6.5,M\<A

.?.△PMV的周長的最小值為6.5.~'''d

故答案為：6.5.

廠1經(jīng)典例題六兩定兩動型量值】

21.幾何模型:條件:如圖1,4、B是直線Z同旁的兩個定點.

問題:在直線Z上確定一點P,使24+的值最小.

解法:作點A關(guān)于直線I的對稱點A,連接則A3與直線I的交點即為P,且24+P8的最小值為

線段AR的長.

⑴根據(jù)上面的描述,在備用圖中畫出解決問題的圖形；

⑵應(yīng)用：①如圖2,已知乙403=30°,其內(nèi)部有一點P,OP=12,在AAOB的兩邊分別有C、。兩點

（不同于點O）,使△PCD的周長最小，請畫出草圖，并求出AFCD周長的最小值；

②如圖3，AAOB=20°，點M、N分別在邊04上，且OM=ON=2,點P,Q分別在OB、OA上，

則M產(chǎn)+PQ+QN的最小值是.

【答案】（1）見解析

⑵①12；②2

【分析】（1）根據(jù)模型作出圖形；

（2）①分別作P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N,連接MN,交04、OB于C、。，則AFGD的周長最小，進(jìn)而根

據(jù)軸對稱的性質(zhì)推出4MON為等邊三角形，進(jìn)一步得出結(jié)果；②作點“關(guān)于OB的對稱點AT,點N關(guān)于OA

的對稱點N',連接M'N'交OB于P,交。4于Q,連接PM、NQ,此時MP+PQ+QN的值最小，最小值為

ATN，,進(jìn)而推出AATON，為等邊三角形，進(jìn)一步得出結(jié)果.

【詳解】⑴解:如圖1,

（2）①如圖2,

作法：（I）作。關(guān)于OA的對稱點

（II）作點P關(guān)于03的對稱點N,

（川）連接上W,分別交04于點。，交08于。,

則竹⑵的周長最小，

連接OM、ON,

?.?點河和點P關(guān)于04對稱，

眇

：.OM=OP=12,AMOC=4PoC,

同理可得，ON=OP=12,APOD=ANOD,

：.OM=ON,

AMOC+APOC+APOD+ANOD=2ZPOC+2/POD=2(/POC+APOD)=2乙4OB=60°,

.?.△MON為等邊三角形，

:.MN=12,

：.4PCD的局長=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12;

②如圖3,

作法：(I)作點〃■關(guān)于OB的對稱點點N關(guān)于。4的對稱點AT,

(II)連接ATM交08于P,交04于Q,

(川)連接加、人口，

?/OM=OM'=2ON=ON'=2PM=PM'QN=QN',

/.MP+PQ+QN=PM'+PQ+QN=M'N',

此時A/F+PQ+QN的值最小，最小值為ATM,

?/OM=OM',ON=ON',MM'_LOB,NN'_LOA,